resiprok kisi kristal
Post on 10-Feb-2018
1.470 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
1/214
FISIK Z T P D T
O l e h
DRS. P A R N O, M.Si
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN FISIKAPebruari 2006
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
2/214
i
Ralat fisika zat padat 2006
hal ralat
10 Gambar 1.9 CsCl
13 c/a = (2/3) akar 618 Baris ke-8 dalam table: . berikutnya
25 Pers (1.30) fkr,hkl27 KBR seharusnya adalah KBr
35 interaksi seharusnya Interaksi
41 Baris ke-2 dr bw: dobel +
42 03.b. primitip adalah; 06.
48 2.1 dan 2.3
57 Letak Pers 2.34
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
3/214
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nyasehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan.
Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZAT
PADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksud
agar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.
Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswa
dalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat.
Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empat
kredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkan
sudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKA
STATISTIK.
Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehingga
memahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahami
subbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku ini
mahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhirsecara berturutan.
Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga
buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun dari
para pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini.
Semoga buku ini berguna. Amin!
Malang, Pebruari 2006
Penyusun,
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
4/214
ii
DAFTAR ISI
halaman
B A B I STRUKTUR KRISTAL1.1SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2
1.1.1 Pengertian Pokok 2
1.1.1.1.Zat padat Kristal 21.1.1.2 Kisi Kristal 3
1.1.1.3 Vektor Basis 4
1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 41.1.1.5 Tiga Dimensi 5
1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6
1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 91.1.3.1 Struktur NaCl 9
1.1.3.2 Struktur CsCl 101.1.3.3 Struktur Intan 11
1.1.3.4 Struktur ZnS 12
1.1.3.5 Struktur HCP 121.1.4 Geometri Kristal 13
1.1.4.1 Arah kristal 13
1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14
1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 161.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18
1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 181.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 191.2.1.1 Hukum Bragg 19
1.2.1.2 Teori Hamburan 20
1.2.1.3 Kisi Resiprok 231.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24
1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28
1.3.1 Gaya Antaratom 281.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30
1.3.2.1 Ikatan Ionik 30
1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32
1.3.2.3 Ikatan Logam 341.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35
1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37
RINGKASAN 38
LATIHAN SOAL BAB I 41
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
5/214
iii
B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47
2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 472.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52
2.1.2.1 Model Einstein tentang CvZat Padat 532.1.2.2 Model Debye tentang CvZat Padat 56
2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58
2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58
2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58
2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 632.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66
RINGKASAN 66
LATIHAN SOAL BAB II 68
BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I(MODEL ELEKTRON BEBAS)
3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73
3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73
3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76
3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78
3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 803.2.2 Paramagnetik Pauli 82
3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83
3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87
3.3.1 Hukum Matthiessen 873.3.2 Efek Hall 88
3.3.3 Resonansi Siklotron 90
3.3.4 Pancaran Termionik 91
3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS
TERKUANTISASI 93
RINGKASAN 94
LATIHAN SOAL BAB III 96
BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI)
4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99
4.1.1 Teorema Bloch 100
4.1.2 Model Kronig-Penney 101
4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105
4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 1084.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110
4.1.6 Metode LCAO 115
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
6/214
iv
4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119
4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektrondalam Kristal 119
4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron
dalam Kristal 1254.2.3 Konduktivitas listrik 1274.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129
4.2.4.1 Efek Hall 129
4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130
RINGKASAN 133
LATIHAN SOAL BAB IV 136
BAB V SEMIKONDUKTOR5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140
5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140
5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 1445.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145
5.3.1.1 Donor 1455.3.1.2 Aseptor 147
5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI
DENGAN METODE OPTIK 149
RINGKASAN 150
LATIHAN SOAL BAB V 152
BAB VI BAHAN DIELEKTRIK
6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 1546.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN
(PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156
6.3 POLARISABILITAS BAHAN
(PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157
6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157
6.3.2 Sumber Polarisabilitas 1616.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163
6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163
6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164
6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167
6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 1706.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170
6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171
6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172
6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173
RINGKASAN 173
LATIHAN SOAL BAB VI 178
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
7/214
v
BAB VII BAHAN MAGNETIK
7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183
7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184
7.3 GEJALA PARAMAGNET 186
7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 1907.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193
7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 1937.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193
7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194
7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197
7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK
DAN FERRIMAGNETIK 198
RINGKASAN 199
LATIHAN SOAL BAB VII 201
DAFTAR RUJUKAN
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
8/214
B A B I
STRUKTUR KRISTAL
Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dari
atom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudo
kecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, maka
atom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbeda
dengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebih
besar sehingga strukturnya tidak tertentu.
Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yang
terdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zat
padat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.
Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunan
atom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisika
zat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zat
padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebut
kristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinya
akan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadidistribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,
polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.
Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
9/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
2
Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal beserta
perluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis struktur
yang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapat
ditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasan
gaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.
1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL
1.1.1 Pengertian Pokok
1.1.1.1 Zat Padat Kristal
Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya
(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjang
dalam ruang. Kristal sempurnamempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,
kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagai
keterbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)
ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik di
sekitar titik setimbangnya.
Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi.
Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.
Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.
Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisibnanR
21 += (1.1)
dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan bdana
adalah vektor basis.
R
a
b
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
10/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
3
Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digeser
sejauh vektor R
di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), maka
keadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadap
translasi semacam itu.
1.1.1.2 Kisi Kristal
Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristal
dianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu di
dalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal.
Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisi
Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadap
operasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslahsejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidak
ekivalen.
Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais.
Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A
Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A, B dan C. Tetapi, dua
tempat kisi A dan A tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasi
sepanjang AA. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu
basis.Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitar
titik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A.
Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih
kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
11/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
4
1.1.1.3 Vektor Basis
Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan oleh
persamaan (1.1), yakni bnanR
21
+= . Perhatikanlah bahwa bdana
, yang
dinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.
1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip
Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi oleh
vektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalam
Gambar 1.3 berikut.
Gambar 1.3 Vektor bdana
membentuk sel satuan
Sel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik dan
membentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasi
oleh vektor kisi R
di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerah
paralelogram dengan sisi a
dan b
adalah ba
=ab sin , dimana adalah sudut
antara a
dan b
.
Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuan
mempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuan
mengandung satu titik kisi.
Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip,yakni sel satuan yang hanya
mengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitipmemiliki lebihdari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitip
disebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basis
non-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya.
R
a
b
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
12/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
5
Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan
non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel)
Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titik
kisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.
Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah total
titik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x=1. Hal demikian tidak terjadi
pada sel satuan nonprimitip.
Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-
primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakan
kelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkait
dengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.
1.1.1.5 Tiga Dimensi
Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,
hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yang
perlu diperhatikan adalah
(a) ungkapan vektor basis menjadi
cnbnanR
321 ++= (1.2)
dengan vektor basis ),,( cba
yang tidak koplanar,
(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum,
5
43
2
1
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
13/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
6
(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut , dan seperti terlihat
pada Gambar 1.5 berikut.
(d) volume paralelepipidum dengan sisi
a
, b
dan c
adalah luas bagian
dasar berbentuk paralelogram ba
yang dikalikan dengan komponen c
sepanjang sumbu yang tegak lurus
terhadap bagian dasar tersebut, yaitu
bacV
= .
Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan
vektor basis ),,( cba
dan sudut , , antaranya
Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuan
primitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojok
paralelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,
sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak
8x 81 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip.
1.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal
Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadap
terbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisi
kristal dua maupun tiga dimensi.
Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, seperti
terlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.
Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi
No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut
1 Genjang Jajaran genjang a b 900
2 Persegi Bujur sangkar a = b = 9003 Heksagonal Belah ketupat a = b = 1200
4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a b = 9005 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a b = 900
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
14/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
7
Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi
Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan
nonprimitip
Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang
terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetri
rotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel
1.2 dan Gambar 1.7 berikut.Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi
NoSistemKristal
Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas
1 Triklinik P a b c Tidak ada2 Monoklinik P , C a b c = = 900900 Sebuah sumbu rotasi-2
3 Ortorombik P , C, I, F a b c = = = 900Tiga sumbu rotasi-2ortogonal
4 Tetragonal P , I a = b c = = = 900 Sebuah sumbu rotasi-4
5 Trigonal Ra = b = c = = < 1200
tetapi bukan 900Sebuah sumbu rotasi-3
6 Heksagonal P a = b c = = 900
= 1200
Sebuah sumbu rotasi-3
7 Kubik P , I , F a = b = c = = = 900Empat sumbu rotasi-3sepanjang diagonalkubus
Kisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi persel
satuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1.
a
aa
a
b
a
b
a
b
a
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
15/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
8
Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga
dan distribusinya dalam 7 sistem kristal
P = primitip C = base centered
I = body Centered F = face centered
R = rombohedral primitip
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
16/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
9
1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana
1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl)
Na Cl mempunyai struktur FCCdengan basis satu atom Na dan satu atomCl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arah
sumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkan
oleh Gambar 1.8 berikut.
Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensi
Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di
Cl : 0 0 0 0 0 0 Na: 0 0 0 0 0 0
Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh 3a, dan
setiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarak
pisah masing-masing a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 .
NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari
dua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Kedua
subkisi tersebut terpisah sejauh a satu sama lain.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
17/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
10
Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,
AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;
5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 .
1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl)
CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.
Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihat
pada Gambar 1.9 berikut.
Gambar 1.9 Struktur CsCl
Setiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom
Cs : 0 0 0 Cl :
CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravaisyang terdiri dari
dua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atom
Cs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh 3a (setengah diagonal ruang).
Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memiliki
konstanta kisi 4,11 .
Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,
CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing
2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 .
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
18/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
11
1.1.3.3 Struktur Intan
Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel
FCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya
0 0 0 dan
seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut.
Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya
Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik
pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan
ketinggian di atas bidang dasar
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
19/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
12
Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.
Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang
bersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dan
dinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalen
dalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik.
Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi
FCCyang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan .
Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putih
dengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 .
1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS)
Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri
dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS
dengan posisi atom
Zn : 0 0 0 0 0 0S:
Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbeda
terdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memiliki
konstanta kisi 5,41 .
Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-
masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 .
1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure)
Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhingga
secara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksi
kepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12
berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yang
mana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisan
kedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusat
titik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
20/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
13
Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A
(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB, dan
menghasilkan struktur HCP, dan
(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC, dan menghasilkan
struktur FCC.
Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP atau
bidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisi
heksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasis
satu atom.
Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 63
2 =1,633 dan
jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantung
pada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom.
Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,
Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;
1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.
1.1.4 Geometri Kristal
1.1.4.1 Arah KristalTelah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektor
kisi (1.2), yaitu cnbnanR
321 ++= . Arah vektor R
dinyatakan dengan [n1n2
n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
21/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
14
sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristal
ortorombik seperti Gambar 1.13 berikut.
Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik
OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001]
Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, maka
seringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yang
ekivalen. Arah [n1n2n3] yang ekivalen menggunakan notasi . Misalnya,
pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]
dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan . Secara sepenuhnya
mencakup arah [100], [010], [001], [1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari
1 adalah 1; dan menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik.
Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlah
atom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya
[111].
1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller
Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan oleh
indek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut.
a
DC
c
b
B
A
O
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
22/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
15
Gambar 1.14 Bidang (233)
Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis cdanba
, masing-masing pada
x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan
c
z
b
y
a
x. Lalu, diambil
kebalikannya, yaitu
z
c
y
b
x
a. Indek Miller didapatkan dengan menyatakan
perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dan
dinyatakan dengan notasi
( )
=
z
cm
y
bm
x
amlkh (1.3)
dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulat
terkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasi
indek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehingga
jika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller
(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeks
Miller (hkl)=(346).
Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel
(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.
Misalnya dalam sistem kubik indek {100} menunjukkan enam bidang, yaitu
(100), (010), (001), ( 1 00), (01 0) dan (00 1 ).
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
23/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
16
Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik.
Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan (1 00)dalam sistem kubik
Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikan
vektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni
knjninnozoyoxo
++=
.
1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller
Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan abc.
Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
24/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
17
Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang Miller
Jarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan z
merupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cos
=y cos =z cos . Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungan
cos2+ cos2+ cos2=1 sehingga didapatkan
2/1
222
111
1
++
=
zyx
dhkl (1.4)
Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan
z
cml
y
bmk
x
amh === ;; (1.5)
sehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi
2/1
2
2
2
2
2
2
++
=
c
l
b
k
a
h
mdhkl (1.6)
Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111
=(1/3)
3a; d110
=
2a
dan d020=a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarak
antarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebih
besar.
Y
Garis normalz
Z
y
x
X
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
25/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
18
1.1.4.4 Fraksi Kepadatan
Fraksi kepadatan,didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume
yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan
dalam bentuk rumusan
( )V
rNF
33/4 = (1.7)
dengan N= jumlah atom dalam sel satuan
r = jari-jari bola atom
V = volume sel satuan
Jarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagai
jumlah jari-jari kedua atom tersebut.
Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal dengan
ukuran geometrik sel satuan.
Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal
No Parameter SC BCC FCC Intan HCP1 Jari-jari atom a/2 a3/4 a2/4 a3/8 a/22 Atom persel satuan 1 2 4 8 63 Volume sel satuan a3 a3 a3 a3 3a32
4 Fraksi kepadatan/6
(=0,524)3/8
(=0,68)2/6
(=0,74)3/16(=0,34)
2/6(=0,74)
5 Jumlah tetanggaterdekat
6 8 12 4 12
6Jarak terhadaptetangga terdekat
a ()a3 ()a2 ()a3 a
7Jumlah tetanggaterdekat berikutnya
12 6 6 12 6
8Jarak terhadaptetangga terdekat
berikutnyaa2 a a ()a13 a3
Tampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) dan
FCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).
1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL
Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.
Panjang gelombang optik, misalnya 5000 , menghasilkan gelombang terhambur
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
26/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
19
elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jika
panjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi
(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbeda
dengan arah berkas datang.
1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal
1.2.1.1 Hukum Bragg
W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan model
sederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.
Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulan
bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperan
sebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3sampai 10-5radiasi yang
datang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkas
refleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-
X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi.
(a) (b)Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena
posisi detektor jauh dari kristal.
(b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkanbidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksi
Beda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah =AB + BC AC = 2 AB AC
karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka
AB = d/sin dan AC = AC cos = (2d/tg ) cos
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
27/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
20
dimana adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehingga
= 2 d sin . Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika
= n (1.8)
dimana n = 1, 2, 3, . (ordo refleksi) dan = panjang gelombang sinar-X,
sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)
n = 2 dhklsin (1.9)
Harga ditentukan secara bebas dan sin diukur secara langsung dari refleksi
eksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalah
difraksi hanya mungkin terjadi jika
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
28/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
21
( ) ( )tkDie
eD
AftD =,' (1.11)
dengan feadalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunan
amplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D.
Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan di
P1dan P2disajikan pada Gambar 1.19 berikut.
Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r
adalah vektor posisi elektron-1 terhadap
elektron-2
Gambar 1.20 Vektor hamburan s
.
Sudut 2adalah sudut hamburan
Didefinisikan vektor hamburan s
, seperti pada Gambar 1.20, yaitu
okks
= (1.12)
Karena hamburan bersifat elastik kkko ==
, maka terlihat dari Gambar 1.20
bahwa
sin2kss ==
(1.13)
Beda panjang lintasan sinar terhambur =P1M- P1N. Jika SdanSo
, masing-
masing merupakan vektor satuan dalam arah kdanko
, maka ( )srk
=
1. Beda
fasa antara gelombang terhambur dalam radial
srk
==
=
2 (1.14)
Superposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang
( )( ) ( )rsiikDeDikikDeT eeD
Afee
D
Af
+ +=+= 1 (1.15)
k s
ko
2
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
29/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
22
Secara umum, bila vektor posisi 1r
untuk elektron-1 dan 2r
untuk elektron-2
relatif terhadap pusat tertentu, maka
( )21 rsirsiikD
eT eeeD
A
f
+= (1.16)
Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing dengan
vektor posisi lr
, dengan l = 1, 2, 3, , n, maka bentuk umum gelombang untuk
(1.16) dalam arah terhambur s
tertentu
ikD
T eD
Af= (1.17)
dengan
lrsin
l
e eff
== 1 (1.18)disebutpanjang hamburan total.
Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadrat
besarnya medan. Oleh karena itu
2
1
22 lrsin
l
e effI
== (1.19)
Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi lR
, makafaktor
hamburan kristal fkr
=
=N
l
Rsi
alkrleff
1
(1.20)
Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dari
atom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu jc
llRR += '
, dimana
c
lR '
adalah posisi sel satuan ke-l, dan jadalah posisi atom dalam sel satuan,
sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
faktorisasifkr= F S (1.21)
dengan ==j l
Rsisi
aj
clj eSdanefF
'
'
(1.22)
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
30/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
23
F dan S, masing-masing mengungkapkanfaktor struktur geometri dankisi.Faktor
struktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor struktur
geometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.
1.2.1.3 Kisi Resiprok
Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saat
kristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi
resiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.
Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyataadalah cdanba
, , maka dapat
didefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok,yakni
bxac
bxac
axcb
axcb
cxba
cxba
===
222 (1.23)
Hal ini berarti vektor basis resiprok
a. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang,
b. bahwa a
tegak lurus terhadap bidang ( )cb , , dan demikian pula permutasi
siklisnya, dan
c. bahwa bxacaxcbcxba
== merepresentasikan volume sel satuan dengan
rusuk vektor cdanba
, .
Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok
++= cnbnanGn
321 (1.24)
dengan n1, n2dan n3adalah bilangan bulat.
Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.
a. 2=== ccbbaa
b.( ) === cxbaVdancxbaVdengan
VV oo
o
o
,
23
c. Setiap vektor dari kisi resiprok ++= clbkahGhkl
tegak lurus terhadap
bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.
d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.
e. Jarak antarbidang dhkldan hklG
direlasikan oleh
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
31/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
24
2=hklhkl Gd
(1.25)
Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21
berikut.
Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknya
Dari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwa
a. a
tegak lurus terhadap b
; dan b
tegak lurus terhadap a
010100
222
db
daa
===
b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl)dalam ruang nyata, dan
c. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata.
Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.
a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.
b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.
1.2.1.4 Difraksi Sinar-X
Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.
Ternyata
n
cl
GA
N
l
RAiNe
,1
' ==
(1.26)
120
010
100O
*b
*a
110G
O
b
a
d010
d100
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
32/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
25
Dalam hal ini A
adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjang
vektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan cl
R '
.
Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilaivektor hamburan s
, kecuali
hklGs
= (1.27)
Hal ini berarti s
harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginat
bahwa k=2/, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan
(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg
2 dhklsin = (1.28)
Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karena
pemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripada
melihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristal
dari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukum
Bragg menurut teori hamburan.
Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok
Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S0, tetapi
bernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga
Shkl = N (1.29)
Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkr
menjadi
fkr,hkl= N Fhkl (1.30)
dan intensitas I menjadi
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
33/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
26
22
, hklhklkrhkl FfI (1.31)
Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).
Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkasterdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,
meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg.
Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan
cwbvaujjjj
++=
dan kondisi Bragg terpenuhi
++== clbkahGshkl
maka
( ) ++=j
lwkvhui
ahkl
jjjefF 2
(1.32)
Contoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.
a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi
Fhkl= fa
b. Sel satuan base centered C. Atomnya terletak di 000 dan 0 sehingga
(1.32) menjadi
Fhkl= fa(1 + ei(h + k))
Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, 1, 2,
c. Sel satuan body centered I. Atomnya terletak di 000 dan sehingga
(1.32) menjadi
Fhkl= fa(1 + ei(h + k+ l))
Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, 1, 2,
d. Sel satuan face centered F. Atomnya terletak di 000, 0, 0 dan 0
sehingga (1.32) menjadi
Fhkl= fa(1 + ei(h + k)
+ ei(h + l)
+ ei(k + l)
)Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, 1, 2,
Dengan kata lain Fhkl0 hanya jika semua indek genap atau semua indek
ganjil.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
34/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
27
Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan sudut
hamburan (I vs 2) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr.
Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBr
KCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektron
pada K+dan Cl-sama banyak sehingga faktor hamburan atom fakeduanya hampir
sama sehingga ia terlihat oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengan
konstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkan
bahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr,
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
35/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
28
faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCC
oleh difraksi sinar-X.
Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi
(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan
Gkk o
= (1.33)
Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan menghasilkan
Gkko
=
Persamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinya
sebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelum
tumbukan hanya momentum linier foton yang datang oo kp
= , dan setelah
tumbukan adalah momentum linier foton terhambur kp = dan momentum linier
kristal G
. Dengan demikian perubahan momentum linier foton
Gppp o
==
Energi kinetik seluruh kristal Ek=(Ghkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruh
kristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Eksangat kecil
dan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak ada
energi yang hilang
kkkckcEEooo
===
Jelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.
1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL
1.3.1 Gaya Antaratom
Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya
inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya
antaratom.Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik.Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal ini
menyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.
Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Cl
bebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
36/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
29
dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atom
bebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatan
terlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatan
kovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut.
Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuat
bersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentu
memiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yang
merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsi
jarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut.
Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atom
Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah Vo, yang terjadi pada jarak Ro
yang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap
sehingga mencapai nol pada R (dua atom bebas). Sedangkan pada R0
untuk R
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
37/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
30
1.3.2 Jenis Ikatan Kristal
1.3.2.1 Ikatan Ionik
Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebutikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ion
menyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyai
simetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida.
Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yang
berpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusun
dalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk dan
ukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+dan ion Cl-yang sama banyak.
Apabila Uijadalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energi
total ion ke-i adalah
=j
ijiUU (1.35)
dimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasal
dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik eksp (-rij/), dimana
(tetapan) dan (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-
menarik Coulomb q2/4orij. Dengan demikian
ijo
r
ijr
qeU ij
4
2/ = (1.36)
Potensial tolak-menolakterjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarak
antarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarak
antarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsip
eksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harus
menempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secara
tajam. Sedangkanpotensial Coulombterjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidak
sejenis (tanda -).
Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion
Utot= N Ui
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
38/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
31
Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanya
dihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarak
terdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadi
antartetangga terdekat saja, maka
=
)tan(4
1
)tan(4
2
2/
terdekatggatebukanR
q
p
terdekatggateR
qe
U
oij
o
R
ij
(1.37)
sehingga energi total
==
R
qezNNUU
o
R
itot
4
2/ (1.38)
dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion
=j ijp
1 adalah konstanta Madelung (termasuk j=i)
Dalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,
maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika
diambil syarat bahwa 0== oRR
tot
dR
dU, maka diperoleh
zqeR
o
Ro
o
4
2
/2 = (1.39)
Dengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2N
buah ion pada jarak setimbang Ro
=
=ooo
RRtot RR
qNU
o
1
4
2
(1.40)
BentukooR
qN
4
2
disebut energi Madelung. Harga berorde 0,1Ro sehingga
interaksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekali
pengaruhnya terhadap energi kisi.
Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristal
KCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
39/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
32
tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Harga
konstanta Madelung bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untuk
NaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381.
Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-
rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titik
leleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logam
Na dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.
1.3.2.2 Ikatan Kovalen
Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukup
jauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, maka
masing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat danmembentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linier
dari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai dua
kemungkinan, yaitu
2121 =+= ganjilgenap dan (1.41)
dimana 1 dan 2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbital
molekular genapdan ganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut.
Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) genapdan (b) ganjil
Sedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |genap|2 dan
|ganjil|2seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut.
(a) (b)
Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur
a b
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
40/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
33
(a) genapdan (b) ganjil
Tampak bahwa genap mengandung elektron terutama pada daerah antara dua
proton, sedangkan ganjilmengandung elektron di sekitar masing-masing proton
yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton.
Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda seperti
ditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut.
Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen
sebagai fungsi jarak antarinti
Orbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genapmempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbital
stabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbital
antibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memiliki
keadaan setimbang pada 0,74 dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaan
dasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai dengan
prinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spin
antiparalel.
Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atas
menyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yang
terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai
konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
41/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
34
merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron dari
satu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun.
Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.
Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang
menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi
prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih
dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupun
proton-proton.
Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkat
kekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalam
struktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.
1.3.2.3 Ikatan Logam
Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan
suatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara
susunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektron
konduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas
elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak
Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi
ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karena
energi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atom
bebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotak
potensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecil
sehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.
Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dan
syarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron
E V-2/3 (1.42)
Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalam
kristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yang
sangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
42/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
35
mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yang
menjadi sumber ikatan logam.
Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,
logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecil
menyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memiliki
susunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusun
padat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) dan
lain-lain.
1.3.2.4 Ikatan Van der Walls
Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektron
valensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas muliayang sangat stabil karenasel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehingga
potensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momen
multipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energi
kohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinya
kondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwa
terdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalam
padatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -
248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar.Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan
nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nol
sebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan ini
tidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapat
menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara
keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan
ikatan antara atom gas mulia.
Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telah
dirumuskan oleh Van der Walls London melalui energi
6R
AU = (1.43)
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
43/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
36
Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secara
empirik didapatkan potensial tolak-menolak
12R
BU= (1.44)
A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial totaldua
atom berjarak R adalah
( )
=612
4RR
RU
(1.45)
dimana dan adalah parameter baru, dengan 46=A dan 412=B. Potensial
(1.45) di atas dikenal dengan namapotensial Lennard-Jones.
Gaya antara dua atom ditentukan melalui dU/dR. gaya ini sangat cepatberubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapat
mungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (cubic
close-packed).
Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energi
kohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-
Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat N
buah atom dalam kristal, maka energi tersebut
( )
= j ijij
totRpRp
NU612
21 4
(1.46)
dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor muncul karena hitungan
dilakukan dua kali pada setiap pasangan atom.
Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitungan
menghasilkan
== j j
ijijpp 45392,14;13188,12 612 (1.47)
Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga
( )
==
=7
6
13
12
)45,14)(6()13,12(1220RR
NdR
dU
oRR
tot (1.48)
dan menghasilkan harga
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
44/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
37
Ro/= 1,09 (1.49)
Nilai Ro/hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;
1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikian
energi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperoleh
dengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh
( )
=612
)45,14()13,12(2RR
NRUtot
(1.50)
dan pada posisi setimbang Ro
Utot(Ro) = - (2,15) (4N) (1.51)
Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jika
dilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksisebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.
1.3.2.5 Ikatan Hidrogen
Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atom
penyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atas
molekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh air
pada 00C.
Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam
kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan
interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga
bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi
bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.
Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen
sehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
45/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
38
Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air
sebagai akibat adanya ikatan hidrogen
Tetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yang
mengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnyasalam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV.
RINGKASAN
01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya
teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal
memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor
translasi kisi bnanR
21 += , maka keadaannya tetap sama.
02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik
dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-
Bravais.Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis
dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang
saling menembus dengan orientasi tertentu.
03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel
satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi
perselnya)dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya).Hubungan
antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar,
dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.
04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis,
yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat
persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi
Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P),
Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R),
Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).
05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan,ZnS dan HCP
06. Arah kristal, yakni vektor cnbnanR
321 ++= , dinyatakan dengan [n1n2
n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
46/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
39
bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller,
khusus untuk sumbu ortogonal dengan abc dinyatakan oleh persamaan
2/1
222
111
1
++
=
zyx
dhkl
07. Fraksi kepadatan,didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang
ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan
dalam bentuk rumusan
( )V
rNF
33/4 =
08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang
bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi
maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg
n = 2 dhklsin
Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang
dhkldapat dihitung.
09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom
diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah
hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X
oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan
bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat
faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing
adalahfaktor struktur geometri dankisi.
10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk hklGs
= ,
yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari
hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg2dhklsin = .
11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan
atom ke-j dalam sel satuan cwbvau jjjj
++= , didapatkan faktor struktur
kisi( ) ++=
j
lwkvhui
ahkl
jjjefF 2
.
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
47/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
40
12. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti
tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya
antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan
didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih
kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga
dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar,
potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga
dan terjadi gaya tarik-menarik.
13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan
elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia.Energi ikatan berasal dari
potensial tolak-menolak medan sentral empirikdan tarik-menarik Coulomb.Di
titik setimbang energi tersebut adalah
=
=ooo
RRtot RR
qNU
o
1
4
2
14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom
untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan
kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti-
inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang
menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena
interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-
elektron ataupun proton-proton.
15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan
suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat
bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara
ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas
tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas
elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yangnetral.
16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata
semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu
momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
48/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
41
elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi
atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya.
Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan
antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah
( )
=
j ijij
totRpRp
NU
612
21 4
17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air
terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal
sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih
ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu
bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini
menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol
listrikinilah yang menghasilkan ikatan hidrogensehingga terbentuk kristal.
LATIHAN SOAL BAB I
01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah kccjbbiaa ,, ===
,
dengan kdanji , adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian.
a. Gambarlah kisi tersebut!
b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut?
c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?
02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip
))(2/())(2/(),)(2/( ikacdankjabjiaa +=+=+=
!
b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji , sebagai kombinasi linier
dari vektor basis primitip ialah
cbajacbaia
+=+= , dan cbaka
++=
c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a j , a k, a( ji + ), a( ki + ), a( kj + )
dan a( kji ++ ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a
, b
dan c
!
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
49/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
42
d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu ()a( ki + ),
()a( kj + ), ()a( ji + ), ()a( kji 2 ++ ), ()a( kji 2 ++ ), dan
()a( kji 2 ++ ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisiatom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip
dengan koefisien bilangan bulat)
03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip
))(2/())(2/(),)(2/( jikacdanikjabkjiaa +=+=+=
!
b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji , sebagai kombinasi linier
dari vektor basis primitip adalah bajacaia
+=+= , dan cbka
+= !
04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip kcjia )( 21
21 + ,
kcjia )( 21
21 ++ , dan kcjia )( 2
121 + dimana a adalah sisi bujursangkar dan
c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !
05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi,
pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri
rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2; 2/2; 2/3; 2/4; dan 2/6. Tetapi,
misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2/5 karena tidak
memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentukbangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai
simetri putar 2/5 !
06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 632 =1,633 !
07. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647
; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 . Jika berat atom
besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing
suhu tersebut!
08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 dan berat atom 26,98
sma. Hitunglah massa jenisnya!
09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122],
(11 2) dan [1 1 2]!
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
50/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
43
10. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 . Berapakah
kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?
11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan
konstanta kisi 2,86 !
12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz)
memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni
knjninnozoyoxo
++=
!
13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur
kristal dalam Tabel 5.1!
14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 . Berapakah sudut Bragg
yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210)dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai
panjang gelombang 1,54 ?
15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220,
dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 .
a. Berapakah konstanta kisinya?
b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?
16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20),
dengan mengingat definisi (1.22)!17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 , b=2,50
dan =120o!
18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok 321 alakahG
++= tegak lurus
terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal!
b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah
dhkl=2/ G
!
19. Suatu sel satuan berukuran a=4 , b=6 , c=8 dan ==900, =1200.Tentukan
a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok!
b. jarak antar bidang (210)!
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
51/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
44
c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X
yang dipakai 1,54 !
20. Buktikan bahwa
a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga!
b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!
21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah
zcayaxaayaxaa ,)()3(,)()3( 321
21
221
21
1 =+=+=
a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c!
b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah
zc
bya
x
a
bya
x
a
b 2
,2
3
2,
2
3
2321
=
+
=
+
=
, sehingga kisi
merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30osumbu-
sumbunya terhadap sumbu a3!
22. Buktikan persamaan (1.26)!
23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan
refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)!
b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!
24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur
BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi
potensial total suatu sistem kristal ionik adalahR
qN
R
ANE
n
0
2
4
= , dengan
N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama
merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta
yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial
tarik-menarik Coulomb, dengan adalah konstanta Madelung yang hanya
bergantung pada struktur kristal.
a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah nq
AR n
2
010
4
= !
b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
52/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
45
=nR
NqE
11
4 00
2
0
!
c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 , energi ikat terukur 7,95
eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!
26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl
Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) Na+(gas) + e-(elektron)e-(elektron) + Cl (gas) Cl-(gas) + 3,61 eV (afinitas elektron)
Na+(gas) + Cl-(gas) NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif)
Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini
lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat
molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebutmenjadi ion-ion penyusunnya)
27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion
positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8cm. Tentukan energi
tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion
tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat
7,9 eV/molekul)
29. Buktikan bahwa konstanta Madelung
a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi!
b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal
NaCl, CsCl dan ZnS!
30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa
parameter Lennard-Jones =50.10-16 erg dan =2,96 . Hitunglah energi
kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh
lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat
penting)
31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan
energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi
BCC harga == j
ij
j
ijpp 2533,12;11418,9 612 .
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
53/214
I STRUKTUR KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
46
32. Sama dengan soal 26), tetapi untuk struktur HCP dan FCC! Diketahui bahwa
untuk kisi HCP harga == j
ij
j
ijpp 45489,14;13229,12 612 .
33. Energi total untuk 2 atom argon adalah126
+
=
R
aB
R
aCE oo relatif
terhadap keadaan keduanya pada jarak tak terhingga. Harga B= 2,35.103 eV,
C= 1,69.108 eV dan ao adalah radius Bohr. Suku pertama merepresentasikan
energi tarik menarik antara elektron-elektron terluar; dan kedua adalah energi
tolak menolak antara ion-ion teras. Hitunglah
a. posisi setimbang !b. Buktikan bahwa di posisi setimbang energinya didominansi oleh energi
tarik menarik! (harga mutlak energi tarik menarik lebih besar daripada
energi tolak menolak, dan energi totalnya berharga negatip)
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
54/214
B A B II
DINAMIKA KISI KRISTAL
Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifat
statik pada masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik,
melainkan berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat energi termal.
Bab ini membahas vibrasi kisi secara agak rinci.
Bab ini mula-mula membahas vibrasi kristal dalam batasan panjang
gelombang elastik, yang mana kristal dapat dianggap medium kontinu. Kapasitas
panas bahan dikemukakan dalam beberapa model, dan yang sesuai dengan
eksperimen adalah hanya yang menggunakan konsep fisika kuantum. Akhirnya,
bab ini ditutup oleh bahasan vibrasi kisi kristal, yang dikaitkan dengan sifat diskrit
kisi.
2.1 GETARAN DALAM ZAT PADAT
2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda GetarPadatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di
sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat
gelombang yang merambat mempunyaipanjang gelombang yang jauh lebih besar
daripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat
dianggap sebagai medium kontinu. Dengan demikian persoalan fisisnya
menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut gelombang
elastik.
Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatubatang isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis dan modulus
Young Y, antara x dan (x+dx) menurut hukum Newton mempunyai persamaan
gerak
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
55/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
48
[ ]AxSdxxSt
udxA )()(
2
2
+=
(2.1)
dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan.
Regangan e=du/dx dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke
S = Y u (2.2)
Untuk bagian yang kecil sesungguhnya
S = S(x+dx) S(x) = (S/x) dx
sehingga persamaan gerak gelombang (2.1) di atas menjadi
02
2
2
2
=
t
u
Yx
u (2.3)
yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.
Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu
u = Aoei(kx - t) (2.4)
Dimana Ao, k dan adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial
gelombang. Substitusi solusi (2.4) ke dalam persamaan gelombang (2.3)
menghasilkan
= vsk (2.5)
dengan
vs= (Y/)1/2
(2.6)adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (2.5) antara frekuensi dan bilangan
gelombang disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier,
dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2.1 berikut.
Gambar 2.1 Kurva dispersi gelombang elastik
k
=vsk
0
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
56/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
49
Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vssebagai kemiringannya) dimiliki
oleh beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dan
gelombang suara dalam cairan dan gas.
Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran
terjadi karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan
dengan jarak antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal.
Persamaan (2.6) dapat digunakan untuk menentukan modulus Young.
Misalnya, pengukuran menunjukkan untuk suatu padatan tertentu vs= 5.105cm/s
dan = 5 gr/cm3sehingga didapatkan nilai Y = 1,25.1012gr/cm s2.
Apabila gelombang elastik satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi
domain ruangnya saja, yakni
u = Aoeikx (2.7)
dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga
memiliki syarat batas periodik
u (x=0) = u (x=L) (2.8)
dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (2.7) ke dalam (2.8)
menghasilkan kondisi
eikL= 1 (2.9)
sehingga
kn= (2/L) n, dimana n=0, 1, 2, (2.10)
Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah moda
getar.
Jika L besar sekali, maka knhampir kontinu (pandangan makro). Dalam
domain k, jarak antartitik adalah (2/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan
(k+dk) sebesar
dN = (L/2) dk (2.11)Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara dan (+d).Rapat keadaan
g() didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g()dmemberikan jumlah moda
getar yang mempunyai frekuensi antara dan (+d) seperti di atas. Oleh karena
itu didapatkan
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
57/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
50
dkd
Lg
/
1
2)(
=
Ungkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan
demikian g() yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah
dkd
Lg
/
1)(
= (2.12)
Terlihat bahwa rapat keadaan g() bergantung pada relasi dispersi. Untuk
hubungan linier (2.5), dimana d/dk=vs, maka didapatkan
sv
Lg
1)(
= (2.13)
yang konstan tidak bergantung pada .
Bahasan tiga dimensi kubikdengan rusuk L memberikan syarat bahwa
( )1
) =++ LkLkLki zyxe
sehingga
(kx, ky, kz) = [ n (2/L) , m (2/L) , l (2/L) ] (2.14)
dimana n, m, l = 0, 1, 2, . Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa
sebuah titik mempunyai volume (2/L)3dan merepresentasikan satu moda getar,
seperti Gambar 2.2 berikut.
Gambar 2.2 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi
ky
kx
kontur (+d)kontur
k
d
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
58/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
51
Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak
padapermukaan boladalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx, ky,
kz) = (0,0,0).
Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletak
dalam elemen volume4k2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).
Dengan demikian, jumlah moda getar dalam selang vektor gelombang di atas
( )dk
kV
L
dkkdN
2
2
3
2
2/2
4
== (2.15)
dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g() diperoleh dengan
menggunakan hubungan dispersi (k).
Apabila digunakan hubungan dispersi linier (2.5), maka didapatkan
3
2
22)(
sv
Vg
= (2.16)
yang dilukiskan dalam Gambar 2.3 berikut.
Gambar 2.3 Rapat keadaan dalam medium elastik
Ternyata bahwa bertambahnya g() berbanding lurus dengan 2, tidak seperti
dalam kasus satu dimensi dimana g() berharga konstan. Hal ini terjadi karena
kenaikan elemen volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan
karena itu berbanding lurus juga dengan 2karena sebanding dengan k.
Ungkapan g() di atas bersesuaian dengan moda tunggal untuk setiap nilai
k
. Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k
mengandung tiga moda
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
59/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
52
berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal. Hubungan
dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (2.16) menjadi
+= 332
2 11
2)( TL vvVg
(2.17)
dimana vLdan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal
dan transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (2.17) menjadi
3
2
22
3)(
sv
Vg
= (2.18)
2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat
Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas
tersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan
bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak
atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki
energi sama, yaitu ()k0T, dengan k0adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti
energi kinetik setiap atom gas memiliki energi ()k0T. Gas monoatomik memiliki
tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1
kilomol
U = NA(3/2) k0T = (3/2) RT (2.19)
Dengan demikian, kapasitas panaspada volume konstan
RT
UC
V
V2
3=
= (2.20)
Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas Q yang
diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu T, yakni C=Q/T. Jika proses
berlangsung pada volume tetap, maka Q=U, dimana U adalah kenaikan
energi dalam sistem. Dalam hal persamaan di atas, NAadalah bilangan Avogadro
dan R adalah tetapan gas. Menurut (2.20) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47
J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk gas He dan Ar pada suhu kamar.
Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untuk
geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki
energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana,
-
7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal
60/214
II DINAMIKA KISI KRISTAL
Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM
53
energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi
total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi
RTTkTkNU ooA 32
3
2
3
=
+= (2.21)
Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan
adalah
CV= (U/T)V= 3R (2.22)
Harga (2.22) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit(1819), yang berlaku
untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi.
Selanjutnya, eksperimen menunjukkan bahwa nilai CVmenurun apabila T
menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapat
indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nol
mutlak
CVT3
Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori
mekanika kuantum.
2.1.2.1 Model Einstein tentang CVZat Padat
Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam men
top related