relasi

RELASIRELASI

Produk CartesiusRelasiRelasi Khusus

Produk CartesiusProduk Cartesius

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulisAx By

}dan ),{( ByAxyxBA

{1,2}Bdan },,{ cbaA

)},3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1{(

)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(

bababaAB

ccbbaaBA

Misalkan maka:

Pengertian RelasiPengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan

seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

2 adalah faktor dari 42 adalah faktor dari 102 adalah faktor dari 145 adalah faktor dari 10

Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panah

A B

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Jelaslah bahwa R A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ).

Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R A x B

A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

RELASI KHUSUSRELASI KHUSUS

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.

R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x)RR non-refleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)RR irrefleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R

RELASI KHUSUSRELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.

R simetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R(y,x)R

R non- simetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R(y,x) R

R asimetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R (y,x) R

R antisimetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R (y,x)R x=y

RELASI KHUSUSRELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z.

R transitif pada A bhb.(x,y,zA).(x,y)R ( y,z )R (x,z) R

R non-transitif pada A bhb :( x,y,z A).(x,y)R ( y,z )R (x,z)R

R intransitif pada A bhb :( x,y,z A).(x,y)R ( y,z )R (x,z)R

RELASI KHUSUSRELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut

P a r t i s i dari A bhb.1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu

adalah himpunan A sendiri.2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama

merupakan dua himpunan yang saling lepas.Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak

kosong dari himpunan A, misalnya {A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila

1. A1 A2 A3 ….. An = A

2. (Ai , Aj ). Ai Aj Ai Aj =

FUNGSIFUNGSI

Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

f : A B bhb. ( x A).( !y B) . y = f (x)

FUNGSIFUNGSI

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu:

1.Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B. (Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asal dihabiskan “)

2.Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis:

( xi, xj A). x1 = x2 f (x1) = f (x2)

FUNGSIFUNGSI

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSIFUNGSI

Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat relasi f : ABa.f : {(1,a), (2,b), (3,c)}b.f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}c.f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}

FUNGSIFUNGSI

Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat relasi f : ABa.f : {(1,a), (2,b), (3,c)} bukan fungsi

hanya relasi biasab.f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}

bukan fungsi hanya relasi biasac.f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} fungsi

FUNGSIFUNGSI

Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu:

1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya.Contoh :f: R R dimana f(x) = xR = himpunan semua bilangan nyata.

FUNGSIFUNGSI

2. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian (khusus) dari A x B.Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapat juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R :

F = { (x,y)x R, y R, y = x }

FUNGSIFUNGSI

Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A B dan g : A B

dikatakan sama bila kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah kawannya.f = g bhb ( x A).f(x) = g(x)

Contoh :f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)

= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)Maka f = g

FUNGSI-FUNGSI KHUSUSFUNGSI-FUNGSI KHUSUS

1. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO2. FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU3. FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-

SATU4. FUNGSI KONSTAN5. FUNGSI IDENTITAS

FUNGSI SURJEKTIF/ONTOFUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A.

Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).

f : A B adalah fungsi surjektif bhb ( yB) ( xA). y = f (x)bhb Rf = B

bhb ( yB) f-1 (y) =

FUNGSI SURJEKTIFFUNGSI SURJEKTIF

Contoh

•2

•3

•5

•7

•10

Diagram panahA B

FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATUFUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A.

f : A B adalah fungsi injektif bhb ( x1,x2 A ). x1 x2 f(x1) f(x2) bhb ( x1,x2 A ). f(x1) = f(x2) x1 = x2

FUNGSI INJEKTIFFUNGSI INJEKTIF

contoh

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSI BIJEKTIFFUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif.

Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu.

FUNGSI BIJEKTIFFUNGSI BIJEKTIF

Contoh

•2

•3

•5

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSI KONSTANFUNGSI KONSTAN

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B.

f : A B adalah fungsi konstan bhb.( !c B)(xA).f(x) = c

Contoh:1. f(x) = 2

•2

•3

•5

•7•10•14

2. Diagram panahA B

FUNGSI IDENTITASFUNGSI IDENTITAS

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri.

Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama.

f : A A adalah fungsi indentitas bhb.( xA). f(x) = x

FUNGSI IDENTITASFUNGSI IDENTITAS

CONTOH

•2

•3

•5

•2

•3

•5

Diagram panahA A

LATIHANLATIHAN

Misalkan A : {a,b,c}B : {1,2,3}C: {x, y, z, w}D: {4,5,6}f: AB g: BC h: CDi: BDTentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif

atau bijektif?a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)}b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)}c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)}d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}

FUNGSI TERSUSUN FUNGSI TERSUSUN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi).

Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi f : A B dan g : C D di mana Rg A,

C A B

maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi fungsi baru, yang disajikan dengan lambangf o g : C B

Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ )

g f

f o g

FUNGSI TERSUSUNFUNGSI TERSUSUN

CONTOH: Modul halaman 81Latihan:1. Misalkan

A : {a,b,c}B : {1,2}C: {1,2,3}D: {x, y, z, w}f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}Tentukan g o f!

2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!

a .

b .

c .

. 1

. 2

. 3

. x

. y

. z

. w

A C Df g

g o f

FUNGSI TERSUSUNFUNGSI TERSUSUN

CONTOH: Modul halaman 81Latihan:1. Misalkan

A : {a,b,c}B : {1,2}C: {1,2,3}D: {x, y, z, w}f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}Tentukan g o f : AD

g o f (a) = g(f(a)) = g(2) = xg o f (b) = g (f(b)) = g (1) = yg o f ( c ) = g(f (c ) = g(2) = x

Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!

g o f (x) = g (f(x)) = g (x2 + 3x + 1)= 2 (x2 + 3x + 1) – 3= 2x2 + 6x + 2 – 3= 2x2 + 6x – 1

FUNGSI TERSUSUNFUNGSI TERSUSUN

Sifat-sifat Komposisi Fungsi.1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap

tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h)

2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f.

3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas.

Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi Nyata dan Grafik FungsiFungsi

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata.