relasi dan fungsi1

Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Adaptif

RELASI DAN FUNGSI

Kompetensi Dasar :Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

Indikator :1.Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan

jelas2.Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan

contohnya

Adaptif

RELASI DAN FUNGSI

Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :1.Diagram panah2.Himpunan pasangan berurutan3.Diagram Cartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil, sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan:a.Diagram panahb.Himpunan pasangan berurutanc.Diagram Cartesius

Adaptif

RELASI DAN FUNGSI

Jawab:a. Diagram panah

“banyak roda dari”

1.2.

3.

4.

5.

. becak

. mobil

. sepeda

. motor

. bemo

A B

c. Diagram Cartesius

b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)

(3, bemo), (4, mobil )}

X

Y

O 1 2 3

bemo

motorsepeda

mobil

becak

4

•

•

•

••

Adaptif

Pengertian Fungsi :

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B

. . . .

.

.

.

.

.

.

.

BfA

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

Beberapa cara penyajian fungsi :

Dengan diagram panahDengan diagram panah f : D f : D K. Lambang fungsi tidak harus f. K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya, Misalnya,

uunn = n = n2 2 + 2n atau u(n) = n+ 2n atau u(n) = n2 2 + 2n+ 2n Dengan diagram KartesiusDengan diagram Kartesius Himpunan pasangan berurutanHimpunan pasangan berurutan Dalam bentuk tabelDalam bentuk tabel

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

Contoh :Contoh : grafik fungsi grafik fungsi

4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. juga dari –2.

– – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan fdilambangkan f–1–1(4) = 2 atau – 2.(4) = 2 atau – 2.

Grafik Kartesius merupakan grafik Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. titik saja.

Gambarlah grafikGambarlah grafik sebuah fungsisebuah fungsi : f: x : f: x f(x) = x f(x) = x22

dengan Ddengan Dff = {–2, –1, 0, 1, 2}, R = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rff = {0, 1, 4}. = {0, 1, 4}.

(2,4)(–2,4)

XO

(1,1)(–1,1)

(0,0)

Y

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

Beberapa Fungsi KhususBeberapa Fungsi Khusus

1). Fungsi Konstan1). Fungsi Konstan 2). Fungsi Identitas2). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap jika f(Fungsi genap jika f(x) = f(x), danx) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f( Fungsi ganjil jika f(x) = x) = f(x)f(x)

5).5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat TerbesarFungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b [[ x ] = {b | b x < b + 1, b bilangan bulat, x x < b + 1, b bilangan bulat, xR} R}

Misal, jika Misal, jika 2 2 x < x < 1 maka [[x] = 1 maka [[x] = 22 6).6). Fungsi LinearFungsi Linear 7). Fungsi Kuadrat7). Fungsi Kuadrat 8). Fungsi Turunan8). Fungsi Turunan

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

Jenis FungsiJenis Fungsi

1. 1. Injektif ( Satu-satu)Injektif ( Satu-satu)Fungsi f:AFungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu adalah fungsi satu-satu dan f(x) = xdan f(x) = x22 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).

2. Surjektif (Onto)2. Surjektif (Onto)Fungsi f: AFungsi f: AB maka apabila f(A) B maka apabila f(A) B dikenal fungsi into B dikenal fungsi into. . Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektifJika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif..

Fungsi f(x) = xFungsi f(x) = x2 2 bukan fungsi yang onto bukan fungsi yang onto

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f: AApabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka

“ “f adalah fungsi yang bijektif”f adalah fungsi yang bijektif”

RELASI DAN FUNGSI

Adaptif

FUNGSI LINEAR

1.Bentuk Umum Fungsi Linear Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan

Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta

2. Grafik Fungsi Linear

Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 :

1. Dengan tabel

2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Contoh :Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal

a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.

Jawab

a. Ambil sembarang titik pada domain

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

{x \-1 x 2, x R}.

-1 0 1 2X

2-6 -2Y = 4x-2 6

Adaptif

FUNGSI LINEAR

b.

X-2 O

Y

-1

-6

-2

1

2

2

6

•

•

•

•

c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )

y = 4x – 2

0 = 4x - 2

2 = 4x

x = 2

1

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)

Adaptif

FUNGSI LINEAR

3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien :

(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=

(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya

adalah m =

b

a

12

12

xx

yy

Contoh :1. Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 72. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Jawab :

1a. Y = 3x – 4

gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5

m = = - b

a5

2

2. m =

=

=

= 1

12

12

xx

yy

)2(1

36

21

36

Adaptif

FUNGSI LINEAR

4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah

y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

= 12

1

xx

xx

12

1

yy

yy

Contoh 1 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Contoh 2 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

12

1

yy

yy

Jawab :

=

=

=

3(y – 3) = 1(x + 2)

3y – 9 = x + 2

3y - x – 11 = 0

12

1

xx

xx

34

3

y

21

2

x

1

3y3

2x

Adaptif

FUNGSI LINEAR

5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2

Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - 21m

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0

Adaptif

FUNGSI LINEAR

Jawab :1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0

maka

Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0

Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0

2

1

2

11

b

am

21 mm

2

12

11 m

Adaptif

FUNGSI LINEAR

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = -½ (x + 3)

y – 5 = -½x -

2y – 10 = -x – 3

x + 2y – 10 + 3 = 0

x + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

23

61

b

am

2

1

2

111

1221

m

mmm

2

3

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

1.Bentuk umum fungsi kuadrat y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c R dan a 0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Berdasarkan nilai a

(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai

ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.

(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai

ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang

berbeda.

(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung

sumbu X.

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac

Adaptif

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu XKedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X

X(i) X

(ii)X(iii)

a > 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0D > 0

a < 0D = 0

X

(vi)a < 0D < 0

FUNGSI KUADRAT

Adaptif

3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik

• Persamaan sumbu simetri adalah x =

• Koordinat titik puncak / titik balik adalah

(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)

FUNGSI KUADRAT

a

b

2

a

D

a

b

4,

2

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.

Jawab :(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

x2 – 4x – 5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x = -1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).

(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 y = -5

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik

9)1(4

))5)(1(4)4((

4

22

4

)1(2

)4(

42

a

Dy

a

bx

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).

(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.

Jadi, titik bantunya (1, -8).

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Grafiknya :Y

X -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9 •

••

•

•

•

•

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)Jawab:

f(x) = ax2 + bx + c

f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4

a + b + c = -4 . . . 1)

f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3

0 + 0 + c = -3

c = -3 . . . 2)

f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5

16a + 4b + c = =5 . . . 3)

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Substitusi 2) ke 1)

a + b – 3 = -4

a + b = -1 . . . 4)

Substitusi 2) ke 3)

16a + 4b – 3 = 5

16a + 4b = 8 . . . 5)Dari 4) dan 5) diperoleh : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1

Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .

)2

)(1

()( xxxxaxf

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

Contoh :

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Jawab :

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)

Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :3 = a(0 - 1)(x + 3)3 = -3a a = -1Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

32)( 2 xxxf

))(()( 21 xxxxaxf

)3)(1(1)( xxxf

32)( 2 xxxf

)32(1 2 xx

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.

pp yyxaxf 2)()(

Adaptif

FUNGSI KUADRAT

f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = 1

Jawab :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)

Contoh :

Adaptif

FUNGSI EKSPONENFUNGSI EKSPONEN

D = domain

f(x) =2XX

2– 3

2–2

2– 1

20

21

22

23

...

– 3 –2 – 1

0 1 2 3

...

n 2n

K = kodomain

Adaptif

FUNGSI EKSPONEN

Grafik f: x f(x) = 2x

untuk x bulat dalam [0, 5]

adalah:x2

XO

Y

(0,1)(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

x 0 1 2 3 4 5

F(x)=2x 161 2 4 8 32

Adaptif


x

21

x

21

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x) =x

21

) =

f(x)= 2

Grafik f(x) = dan g(x) = Grafik f(x) = dan g(x) =

x

X2

Adaptif


Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

Grafik f: x 2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x

merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif)

Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

untuk berbagai nilai x real

SifatSifat

x

21

X

Y

O 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x) =x

21

) =

f(x)= 2x x

2

1

x

2

1

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi

eksponen.

xxf a log)(

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :

Untuk a > 1, a R

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai berikut :adalah sebagai berikut :

xay

o

Y

X

xy a log

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 1 :

Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen

a. 8 = 23

b. ¼ = 2-2Jawab :a. 8 = 23 2 log 8 = 3b. ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2Contoh 2 :Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang

ekuivalena. 4 = 2 log 16b. -6 = 2 log Jawab :a. 4 = 2log 16 24 = 16 b. -6 = 2log 2-6 =

64

1

64

1

64

1

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Contoh 3 :

Jawab :Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut.

Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2

x

¼

½

1

2

4

8

f(x) = 2 log x+2

0

1

2

3

4

5

Adaptif

FUNGSI LOGARITMA

Grafiknya

Y

XO

2log)( 2 xxf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 -2

1

2

3

4

5

6

Adaptif

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = sin x

amplitudo

1 periode

FUNGSI FUNGSI TRIGONOMETRITRIGONOMETRI

Adaptif

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Grafik y = 2 sin x

2

-2

Periode 3600

Amlpitudo 2

Y=sin x


Adaptif

0

1

-1

900 1800 2700 3600

Y=sin x

450 1350 2250 3150

pereode

amplitudo

Grafik y = sin 2x


Adaptif

-900

1

-1

00 900 1800 2700

Grafik y = cos x

amplitudo

1 periode


-900

Adaptif

Grafik y = 2cos x

-900

1

-1

00 900 1800 2700

2

-2Y=cos x

amplitudo

periode


relasi dan fungsi1

Documents