1. relasi dan fungsi
TRANSCRIPT
MODUL AJAR MATEMATIKA
Kode Modul : MA31RF
Pokok Bahasan : Relasi dan Fungsi
Penyusun : Nur Muchamad
Website : matematika.mdl2.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2014
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 1
RELASI DAN FUNGSI
A. Konsep Relasi Dan Fungsi
a. Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota satu himpunan ke himpunan
lain. Suatu relasi dari himpunan π΄ ke himpunan π΅adalah pemasangan atau
perkawanan atau korespondensi dari anggota himpunan π΄ ke anggota-anggota
himpunan π΅.
Contoh Relasi:
1. Relasi βayah dariβ
2. Relasi βsatu kurangnya dariβ
3. Relasi βkuadrat dariβ
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 2
b. Fungsi
Suatu relasi dari himpunan π΄ ke himpunan π΅ disebut fungsi dari π΄ ke π΅ jika setiap
anggota π΄ dipasangkan dengan tepat satu anggota π΅.
Jika π adalah suatu fungsi dari π΄ ke π΅, maka:
1. Himpunan π΄ disebut Domain (daerah asal),
2. Himpunan π΅ disebut Kodomain (daerah kawan), dan
3. Himpunan anggota π΅ yang memiliki pasangan di π΄ (himpunan πΆ) disebut Range
atau daerah hasil fungsi π.
Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan π΄ dengan anggota-anggota
himpunan π΅ disebut aturan fungsi π.
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
π:π΄ β π΅ dibaca βfungsi π memetakan setiap anggita himpunan π΄ ke himpunan π΅β,
dan dinotasikan dengan π(π₯).
π:πΆ β π· dibaca βfungsi π memetakan setiap anggita himpunan πΆ ke himpunan π·β,
dan dinotasikan dengan π(π₯).
Contoh Soal:
Diketahui himpunan π΄ = {1, 2, 3, 4} dan himpunan π΅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu
fungsi π:π΄ β π΅ ditentukan oleh π π₯ = 2π₯ β 1.
1. Gambarlah fungsi π dengan diagram panah,
2. Tentukan range fungsi π,
3. Gambarlah grafik fungsi π.
Penyelesaian:
1. Diagram Panah
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 3
2. Dari diagram panah di atas, terlihat bahwa:
π π₯ = 2π₯ β 1
π 1 = 2 1 β 1 = 2 β 1 = 1
π 2 = 2 2 β 1 = 4 β 1 = 3
π 3 = 2 3 β 1 = 6 β 1 = 5
π 4 = 2 4 β 1 = 8 β 1 = 7
Jadi, range fungsi π adalah π π = {1, 3, 5, 7}
3. Grafik Fungsi π
c. Menyajikan Relasi dan Fungsi
Jika diketahui himpunan π΄ = {0, 1, 2, 5} dan π΅ = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi βsatu
kurangnya dariβ himpunan π΄ ke himpunan π΅ dapat disajikan dalam diagram panah,
diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
1. Diagram Panah
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 4
2. Diagram Cartesius
3. Himpunan Pasangan Berurutan
π = { 0,1 , 1,2 , 2,3 , 5,6 }
4. Rumus
π π₯ = π₯ + 1, di mana π₯ β {0, 1, 2, 5} dan π π₯ β {1, 2, 3, 4, 6}
B. Macam-macam Fungsi
a. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)
Suatu fungsi π:π΄ β π΅yang ditentukan dengan rumus π(π₯) disebut sebagai fungsi
konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku π π₯ = πΆ, di
mana πΆ adalah bilangan konstan.
Contoh Soal:
Diketahui π:π β π dengan rumus π π₯ = 3 dengan domain π·π = {π₯| β 3 β€ π₯ β€ 2}.
Gambarlah grafik fungsi π(π₯).
Penyelesaian:
π₯ β3 β2 β1 0 1 2
π(π₯) 3 3 3 3 3 3
Grafik:
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 5
b. Fungsi Linear
Suatu fungsi π(π₯) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus
π π₯ = ππ₯ + π, dengan π β 0, π dan π adalah bilangan konstan, dan grafiknya
berupa garis lurus.
Contoh Soal:
Jika diketahui π π₯ = 2π₯ + 3, gambarlah grafiknya!
Penyelesaian:
π π₯ = 2π₯ + 3
π₯ 0 β3/2
π(π₯) 3 0
Grafik:
c. Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi π(π₯) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus
π π₯ = ππ₯2 + ππ₯ + π, dengan π β 0, π, π, dan π adalah bilangan konstan, dan
grafiknya berupa parabola.
Contoh Soal:
Perhatikan gambar di bawah ini.
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 6
Fungsi π ditentukan oleh π π₯ = π₯2 + 2π₯ β 3.
Tentukanlah:
a. Domain fungsi π
b. Nilai minimum fungsi π
c. Nilai maksimum fungsi π
d. Range fungsi π
e. Pembuat nol fungsi π
f. Koordinat titik balik minimum
Penyelesaian:
a. Domain fungsi π adalah π·π = π₯ β4 β€ π₯ β€ 2, π₯ β π
b. Nilai minimum fungsi π adalah β4
c. Nilai maksimum fungsi π adalah 5
d. Range fungsi π adalah π π = π¦ β4 β€ π¦ β€ 5,π¦ β π
e. Pembuat nol fungsi π adalah π₯ = β3 dan π₯ = 1
f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi π adalah (β1,β4)
d. Fungsi Identitas
Suatu fungsi π(π₯) disebut sebagai fungsi identitas apabila untuk setiap anggota
domain fungsi berlaku π π₯ = π₯ atau setiap anggota domain dipetakan pada dirinya
sendiri. Grafik fungsi identitas berbentuk garis lurus yang melalui titik asal dan
semua titik absis maupun ordinatnya sama.
Contoh Soal:
Fungsi pada π didefinisikan sebagai π π₯ = π₯ untuk setiap π₯.
a. Carilah π(β2), π(0), π(1), dan π(3)
b. Gambar grafiknya
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 7
Penyelesaian:
a. π β2 = β2
π 0 = 0
π 1 = 1
π 3 = 3
b. Grafik π π₯ = π₯
e. Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi π(π₯) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi π(π₯) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
Contoh Soal:
Diketahui fungsi: π π₯ =
β1023
jikajikajikajika
π₯ β€ β1β1 < π₯ β€ 22 < π₯ β€ 4π₯ β₯ 4
Tentukanlah:
a. Nilai dari π(β2), π(0), π(3), dan π(5)
b. Gambar grafik fungsi π(π₯)
Penyelesaian:
a. Nilai π(π₯) berbeda tergantung pada interval π₯-nya
π π₯ =
β1023
jikajikajikajika
π₯ β€ β1β1 < π₯ β€ 22 < π₯ β€ 4π₯ β₯ 4
π β2 = β1
π 0 = 0
π 3 = 2
π 5 = 3
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 8
b. Grafik fungsi π π₯
f. Fungsi Modulus
Suatu fungsi π(π₯) disebut sebagai fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini
memetakan setiap bilangan Real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
π:π₯ β π₯ atau π: ππ₯ + π β ππ₯ + π
π π₯ = |π₯|:
π₯ = π₯βπ₯
jikajika
π₯ β₯ 0π₯ < 0
Grafik fungsi modulus (mutlak):
g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Suatu fungsi π(π₯) disebut fungsi ganjil apabila berlaku π βπ₯ = βπ(π₯) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku π βπ₯ = π(π₯). Tetapi apabila π βπ₯ β βπ(π₯)dan
π βπ₯ β π π₯ maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Contoh Soal:
Tentukan fungsi π di bawah ini apakah termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau
fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
1. π π₯ = 2π₯3 + π₯
2. π π₯ = 3 cos π₯ β 5
3. π π₯ = π₯2 β 8π₯
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 9
Penyelesaian:
1. π π₯ = 2π₯3 + π₯
π βπ₯ = 2 βπ₯ 3 + βπ₯
π βπ₯ = 2 βπ₯3 β π₯
π βπ₯ = β2π₯3 β π₯
π βπ₯ = β 2π₯3 + π₯
π βπ₯ = βπ π₯
Jadi, fungsi π(π₯) merupakan fungsi ganjil.
2. π π₯ = 3 cos π₯ β 5
π βπ₯ = 3 cos βπ₯ β 5
π βπ₯ = 3 cosπ₯ β 5
π βπ₯ = π π₯
Jadi, fungsi π(π₯) merupakan fungsi genap.
3. π π₯ = π₯2 β 8π₯
π βπ₯ = βπ₯ 2 β 8 βπ₯
π βπ₯ = π₯2 + π₯
Karena π βπ₯ β βπ(π₯) dan π βπ₯ β π π₯ , maka fungsi π(π₯) merupakan
fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
C. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Perhatikan contoh berikut ini.
Misalkan himpunan π΄ = {1, 2, 3} dan π΅ = {π, π, π}.
1. Fungsi π:π΄ β π΅ dinyatakan dengan pasangan terurut π = { 1,π . 2,π , 3, π }.
Diagram panah dari fungsi π diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa π 1 = π, π 2 = π, dan π 3 = π. Dengan demikian, untuk tiap
anggota π΄ yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di π΅. Suatu fungsi dengan
tidap anggota himpunan π΄ yang berbeda mempunyai peta yang berbeda seperti
itu disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
2. Fungsi π:π΄ β π΅ dinyatakan dengan pasangan terurut π = { 1,π , 2,π , 3,π }.
Diagram panah dari fungsi π diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahwa π 1 = π, π 2 = π, dan π 3 = π. Perhatikan bahwa 2 β 3,
tetapi π 2 = π 3 = π. Oleh karena ada anggota yang berbeda di π΄ tetapi
mempunyai peta yang sama di π΅ maka fungsi π bukan fungsi injektif atau bukan
fungsi satu-satu.
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 10
Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi injektif atau fungsi satu-satu
sebagai berikut.
Definisi:
Fungsi π:π΄ β π΅ disebut fungsi inhektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika
untuk setiap π1 ,π2 β π΄ dan π1 β π2 berlaku π(π1) β π(π2).
Artinya suatu fungsi π:π΄ β π΅ dikatakan injektif apabila untuk setiap anggota π΄ yang
berbeda memiliki peta yang berbeda di π΅, atau setiap anggota π΄ dipetakan pada tepat
satu anggota π΅.
b. Fungsi Surjektif
Perhatikan contoh berikut ini.
Misalkan himpunan π΄ = {1, 2, 3, 4} dan π΅ = {π, π, π}.
1. Diketahui fungsi π:π΄ β π΅ dinyatakan dengan pasangan terurut
π = { 1,π , 2,π , 3, π , 4, π }. Diagram panah dari fungsi π diperlihatkan pada
gambar di bawah.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi π adalah π π = {π,π, π}. Dengan demikian
π π = π΅. Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan himpunan π΅ seperti itu
disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.
2. Diketahui fungsi π:π΄ β π΅ dinyatakan dengan pasangan terurut π =
{ 1,π , 2,π , 3,π , 4,π }. Diagram panah dari fungsi π diperlihatkan pada
gambar di bawah.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi π adalah π π = {π,π}. Dengan demikian
π π β π΅. Suatu fungsi dengan daerah hasilnya merupakan himpunan bagian murni
dari himpunan π΅ seperti itu disebut fungsi into atau fungsi ke dalam.
Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi onto (fungsi kepada) dan fungsi
into (ke dalam) sebagai berikut.
Definisi:
1. Suatu fungsi π:π΄ β π΅ disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi
kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi π sama dengan himpunan π΅ atau
π π = π΅.
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 11
2. Suatu fungsi π:π΄ β π΅ disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya
jika daerah hasil fungsi π merupakan himpunan bagian murni dari himpunan π΅
atau π π β π΅.
c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Perhatikan contoh berikut ini.
1. Misalkan fungsi π:π΄ β π΅ dengan π΄ = {0, 1, 2} dan π΅ = {π,π, π} dinyatakan
dengan pasangan terurut π = { 0,π , 1,π , 2, π }. Diagram panah fungsi π
diperlihatkan pada gambar di bawah.
Tampak bahaw fungsi π adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi
yang bersifat seperti itu disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
2. Misalkan fungsi π:π΄ β π΅ dengan π΄ = {3, 4, 5} dan π΅ = {π,π, π, π } dinyatakan
dengan pasangan terurut π = { 3,π , 4,π , 5, π }. Diagram panah fungsi π
diperlihatkan pada gambar.
Tampak bahwa fungsi π adalah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif.
Dalam hal demikian, fungsi π bukan fungsi bijektif.
Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi bijektif sebagai berikut.
Definisi:
Fungsi π:π΄ β π΅ disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi π sekaligus
merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
D. Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan
Penjumlahan π dan π berlaku π + π π₯ = π π₯ + π(π₯)
Contoh Soal:
Diketahui π π₯ = π₯ + 2 dan π π₯ = π₯2 β 4. Tentukan (π + π)(π₯).
Penyelesaian:
π + π π₯ = π π₯ + π(π₯)
π + π π₯ = π₯ + 2 + (π₯2 β 4)
π + π π₯ = π₯ + 2 + π₯2 β 4
π + π π₯ = π₯2 + π₯ β 2
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 12
b. Pengurangan
Penguranganπ dan π berlaku π β π π₯ = π π₯ β π(π₯)
Contoh Soal:
Diketahui π π₯ = π₯2 β 3π₯ dan π π₯ = 2π₯ + 1. Tentukan (π β π)(π₯).
Penyelesaian:
π β π π₯ = π π₯ β π(π₯)
π β π π₯ = π₯2 β 3π₯ + (2π₯ + 1)
π β π π₯ = π₯2 β 3π₯ β 2π₯ β 1
π β π π₯ = π₯2 β 5π₯ β 1
c. Perkalian
Perkalianπ dan π berlaku π.π π₯ = π π₯ .π(π₯)
Contoh Soal:
Diketahui π π₯ = π₯ β 5 dan π π₯ = π₯2 + π₯. Tentukan (π.π)(π₯).
Penyelesaian:
π.π π₯ = π π₯ .π(π₯)
π.π π₯ = π₯ β 5 + (π₯2 + π₯)
π.π π₯ = π₯3 + π₯2 β 5π₯2 β 5π₯
π.π π₯ = π₯3 β 4π₯2 β 5π₯
d. Pembagian
Pembagianπ dan π berlaku π
π π₯ =
π π₯
π π₯ dengan π(π₯) β 0
Contoh Soal:
Diketahui π π₯ = π₯2 β 4 dan π π₯ = π₯ + 2. Tentukan π
π (π₯).
Penyelesaian:
π
π π₯ =
π π₯
π π₯
π
π π₯ =
π₯2 β 4
π₯ + 2
π
π π₯ =
π₯ β 2 (π₯ + 2)
π₯ + 2
π
π π₯ = π₯ β 2
e. Perpangkatan
Perpangkatanπ berlaku ππ(π₯) = {π π₯ }π = π π₯ Γ π π₯ Γ β¦Γ π π₯
Contoh Soal:
Diketahui π π₯ = π₯ β 3. Tentukan π2(π₯).
Penyelesaian:
π2(π₯) = {π π₯ }2
π2 π₯ = (π₯ β 3)2
π2(π₯) = (π₯ β 3)(π₯ β 3)
π2 π₯ = π₯2 β 3π₯ β 3π₯ + 9
π2 π₯ = π₯2 β 6π₯ + 9
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 13
f. Domain Alami Suatu Fungsi
Kalau daerah asal (domain) suatu fungsi π tidak atau belum ditentukan, maka kita
dapat mengambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan Real yang mungkin
sehingga daerah hasilnya merupakan himpunan bilangan Real. Daerah asal yang
ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami atau domain alami atau
natural domain.
Contoh Soal 1:
Tentukan daerah asal alami (natural domain) dari tiap fungsi berikut ini.
1. π π₯ =4
π₯+1
2. π π₯ =1
π₯2β4π₯+3
3. π π₯ = 4 β π₯2
4. π π₯ =5
π₯2β5π₯+6
Penyelesaian:
1. π π₯ =4
π₯+1
Supaya π(π₯) bernilai real, maka π₯ + 1 β 0 atau π₯ β β1.
Jadi, π·π = {π₯|π₯ β π dan π₯ β β1}.
2. π π₯ =1
π₯2β4π₯+3
Supaya π π₯ bernilai real, maka π₯2 β 4π₯ + 3 β 0
π₯2 β 4π₯ + 3 β 0
π₯ β 1 π₯ β 3 β 0
π₯ β 1 dan π₯ β 3
Jadi, π·π = {π₯|π₯ β π dan π₯ β 1;π₯ β 3}.
3. π π₯ = 4 β π₯2
Supaya π π₯ bernilai real, maka 4 β π₯2 β₯ 0
4 β π₯2 β₯ 0
π₯2 β 4 β€ 0
π₯ β 2 π₯ + 2 β€ 0 β β2 β€ π₯ β€ 2
Jadi, π·π = {π₯| β 2 β€ π₯ β€ 2; π₯ β π }.
4. π π₯ =5
π₯2β5π₯+6
Supaya π(π₯) bernilai real, makaπ₯2 β 5π₯ + 6 > 0
π₯2 β 5π₯ + 6 > 0
π₯ β 2 π₯ β 3 > 0 β π₯ < 2 atau π₯ > 3
Jadi, π·π = {π₯|π₯ < 2 atau π₯ > 3; π₯ β π }.
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 14
Contoh Soal 2:
Misalkan fungsi-fungsi π dan π ditentukan dengan rumus
π π₯ = π₯ + 1 dan π π₯ = 16 β π₯2
Carilah fungsi-fungsi berikut ini, kemudian tentukanlah domain alaminya.
1. π + π (π₯)
2. π β π (π₯)
3. π.π (π₯)
4. π
π π₯
5. π3(π₯)
Penyelesaian:
Fungsi π akan bernilai real jika π₯ + 1 β₯ 0 atau π₯ β₯ β1.
Domain alami fungsi π adalah π·π = {π₯|π₯ β₯ β1; π₯ β π }.
Fungsi π akan bernilai real jika 16 β π₯2 β₯ 0.
16 β π₯2 β₯ 0
π₯2 β 16 β€ 0
π₯ β 4 π₯ + 4 β€ 0 β β4 β€ π₯ β€ 4
Domain alami fungsi π adalah π·π = {π₯| β 4 β€ π₯ β€ 4; π₯ β π }.
1. π + π π₯ = π π₯ + π π₯ = π₯ + 1 + 16 β π₯2
Domain alami fungsi π + π (π₯) adalah π·π+π = {π₯| β 1 β€ π₯ β€ 4; π₯ β π }
2. π β π π₯ = π π₯ β π π₯ = π₯ + 1 β 16 β π₯2
Domain alami fungsi π β π (π₯) adalah π·πβπ = {π₯| β 1 β€ π₯ β€ 4; π₯ β π }
3. π.π π₯ = π π₯ .π π₯ = π₯ + 1. 16 β π₯2 = π₯ + 1 (16β π₯2)
Domain alami fungsi π.π (π₯) adalah π·π .π = {π₯| β 1 β€ π₯ β€ 4; π₯ β π }
4. π
π π₯ =
π π₯
π π₯ =
π₯+1
16βπ₯2=
π₯+1
16βπ₯2
Domain alami fungsi π
π π₯ adalah π·π
π
= {π₯| β 1 β€ π₯ < 4; π₯ β π }
5. π3 π₯ = π π₯ 3 = π₯ + 1 3
= π₯ + 1 π₯ + 1
Domain alami fungsi π3(π₯) adalah π·π3 = {π₯|π₯ β₯ β1; π₯ β π }.
http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR βRELASI DAN FUNGSIβ 15
DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas
XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk
Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI
Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.
Jakarta: Erlangga.