rangkuman matematika oleh komang santi devi

Disusun Oleh : NI KOMANG SHANTI DEVI

metode yang berhubungan dengan penyajian dan penafsiran kejadian yang bersifat peluang dalam suatu penyelidikan terencana atau penelitian ilmiah

Dalam statistika tercakup dua pekerjaan penting, yaitu : Penyajian dan penafsiran....DATA...informasi

DATA : ukuran suatu nilai Data bentuk jamak (plural) Datum bentuk tunggal (singular)

Informasi : data yang telah diproses Dalam banyak pengambilan keputusan dalam

bidang bisnis, manajemen dan ekonomi, statistik (data) atau statistika (metode) berperan sangat penting seperti :…

Berdasarkan sumber-nya data dibedakan menjadi : Data primer : data yg didapatkan atau

dikumpulkan sendiri, misal dgn melakukan wawancara, observasi atau penelitian lapangan/laboratorium

Data sekunder : data yg didapat dari pihak lain, misal dari data providers seperti : BPS, LIPI, SRI dll

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi : Data Numerik (kuantitatif) dinyatakan dalam besaran →

numerik (angka), Misalnya : Data pendapatan per kapita, pengeluaran, harga, jarak, dll.

Data Kategorik (Kualitatif) diklasifikasikan →berdasarkan kategori/kelas tertentu Misalnya : Kategori Mahasiswa Berprestasi dan Tidak Berprestasi, Kategori kota kecil, sedang dan besar, Kategori pendukung partai politik XXX, YYY, ZZZ, dll.

Pengolahan Data dengan Statistika mensyaratkan bentuk data numerik, untuk itu data Kategorik terlebih dahulu harus diubah ke bentuk numerik dengan memberi bobot pada setiap kategori.

Salah satu alasan diperlukannya statistik adalah generalisasi akan parameter suatu populasi yang dapat diambil dengan hanya meneliti sebagian kecil anggota populasi (sampel). Generalisasi ini bukan tanpa kesalahan, tetapi secara statistik, kesalahan generalisasi dan hal lain yang berhubungan dengan sampel, pengambilan data, rumus (perhitungan) dan lain-lain selalu dapat diprediksi.

Teknik statistik mampu melakukan tiga tugas penting dalam ilmu pengetahuan, yaitu menerangkan gejala, meramalkan kejadian dan mengontrol keadaan. Statistik deskriptif merupakan bagian statistik yang memikul tugas untuk menerangkan suau gejala. Statistik inferensia merupakan bagian laindari statistik yang membuat ramalan dan mengontrol kejadian.

Empat tingkat Skala/Pengukuran berikut karakteristiknya:

(a) Nominal : Tidak ada urutan, urutan tidak menunjukkan tingkatan (rangking) Tidak ada titik awal Tidak ada perbedaan

Misalnya : Apa warna favorit anda :1. Ungu 2. Abu-abu 3. Coklat 4. Putih(B) Ordinal : Ada urutan. urutan

menunjukkan tingkatan (rangking) Tidak ada titik awal Tidak ada perbedaan

Misalnya : Bagaimana prestasi belajar anda semester lalu?

1. Sangat Baik2. Baik3. Sedang-sedang saja4. Buruk5. Sangat Buruk Skala Nominal dan Ordinal digunakan

berkaitan dengan data kategorik/kualitatif.

Contoh pertanyaan yang jawabannya berbentuk kata atau kalimat adalah:

1. Berbelanja di toko ini lebih sering lebih baik, supaya dapat harga diskon untuk produk-produk tertentu :

[ ] sangat setuju[ ] setuju [ ] netral[ ] tidak setuju [ ] sangat tidak setuju2. Sebutkan gerai ritel modern yang sering anda

kunjungi: ...................3. Sebutkan alasan kenapa anda memilih gerai

tersebut (jawaban no.2): ...............................................................................................................

Pertanyaan di atas mempunyai jawaban dalam bentuk kata atau kalimat, meskipun pernyataan nomor satu sudah menyediakan pilihan jawaban. Jawaban untuk ketiga pertanyaan tersebut harus dikodekan terlebih dahulu. Pengkodean jawaban pada nomor 1 harus mengikuti skala ordinal, sedangkan nomor 2 dan 3 mengikuti skala nominal.

(c) Interval: Ada Urutan Ada Perbedaan Tidak ada titik awal

Misalnya:• Temperatur atau suhu : 0°C bukan berarti tidak

mempunyai suhu.• Tangga Nada• IQ(d) Rasio : Ada Urutan Ada Perbedaan Ada titik awalMisalnya:• Pendapatan (Rp. 135 245,23 per bulan): Pendapatan

Rp. 0 berarti tidak ada (bandingkan dengan 0°C pada suhu)

Skala Interval dan Rasio digunakan berkaitan dengan data numerik/kuantitatif.

Metode Statistika adalah prosedur-prosedur atau cara-cara penyajian dan penafsiran data.

Penyajian data meliputi : pengumpulan, pengorganisasian, peringkasan dan penyajian data (data collection, organization, summarization, presentation)

Penafsiran data meliputi : pendugaan, pengujian dugaan dan penarikan kesimpulan (generalisasi).

Dua jenis Metode Statistika (Statistics)a. Statistika Deskriptif (Descriptive Statistics) Metode pengumpulan, peringkasan dan

penyajian data Descriptive : bersifat memberi gambaran

b. Statistika Inferensia = Statistika Induktif (Inferential Statistics)

Metode analisis, peramalan, pendugaan dan penarikan kesimpulan Inferential : bersifat melakukan generalisasi (penarikan kesimpulan).

Contoh Masalah Statistika Deskriptif

1. Tabulasi Data2. Diagram Balok3. Diagram Kue Pie4. Grafik

perkembangan harga dari tahun ke tahun

Contoh Masalah Statistika Inferensia

1. Pendugaan Parameter

2. Pengujian Hipotesis

3. Peramalan dengan Regresi/Korelasi

Contoh 1Ekonomia seorang mahasiswi FE-UG, mengumpulkan data untuk

penulisan ilmiahnya. Ia mewawancarai 10 pedagang asongan di depan kampus dan mengetahui bahwa rata-rata pendapatan kotor mereka adalah Rp. 97 523, 25. Hasil wawancara ini dilaporkannya dalam PI-nya. (Deskriptif, Primer, Numerik)

Contoh 2Dari tayangan TV langsung dari Bursa Efek, Drs. Untung Selalu

seorang pialang memperkirakan bahwa harga saham perusahaan-perusahaan blue-chip akan terus turun sampai minggu ke tiga bulan September. Perubahan akan bervariasi antara $ -2.35 sampai $ -5.60 per 100 lembar. (Inferensia, Sekunder, Numerik)

Contoh 3Bagian penelitian dan pengembangan produk

DONKING DONUT melakukan survei rasa kesukaan (favorite favor) donatnya erhadap 1000 pelanggannya secara acak.Pelanggan yang terpilih diharuskan melakukan penetapan rangking terhadap 4 rasa donat yang baru (MINT, PEACH, MOCCA, SUGAR-FREE). Hasil penelitian disajikan dalam bentuk diagram pie. (Deskriptif, Primer, Kategorik)

Populasi : keseluruhan pengamatan Sampel = Contoh = sample : himpunan

bagian populasi Ukuran Populasi = N = banyak anggota

populasi Ukuran Sampel = n = banyak anggota

sampel Parameter : nilai yang menyatakan ciri

populasi Statistik (Statistic) : nilai yang menyatakan

ciri sampel

Ciri Parameter Statistik

Rata-rata μ = myu x

Standar Deviasi,Simpangan Baku

σ = sigma s

Ragam, Variance σ² s²

proporsi π p atau p

Bias suatu sampel: perbedaan ciri sampel dengan ciri populasi tempat sampel diambil.

Sampel yang baik adalah sampel dengan bias minimal.

Cara mendapatkan sampel dengan bias minimal adalah dengan mengambil Sampel/Contoh acak.

Kaidah pencacahan

Hal.: 23PELUANG

1. Aturan pengisian tempat yang tersedia

Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

Jawab:Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu:

AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:

Langkah 1:Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

Langkah 2:Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

Hal.: 24PELUANG

4 x 3 = 12Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang

mungkin terjadi

Contoh 2

Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap?

Jawab:Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.

Hal.: 25PELUANG

Jadi, ada cara Amalia dapat berpakaian lengkap4 x 2 x 3 = 12

Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :

Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.

n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi.n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dannk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi.

Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah

Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah

perkalian.

Hal.: 26PELUANG

n1 x n2 x n3 x … x nk.

Definisi dan Notasi faktorialDefinisi:

Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.

1 x 2x 3 x … x (n-1) x n,

n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

dengan

Hal.: 27PELUANG

1! = 1

Jadi n! =

n! =

0! = 1 dan

atau

Hal.: 28PELUANG

Masalah

Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).

Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

Jawab:

Menurut Prinsip Perkalian

= 3×2

→ 1

123 ××)!23(

!3

−→ n

rP)!rn(

!n

−=3

2P 32P

ObyekEksp.

A

B

C

Cara Eksp.

Diundi untuk

memperebutkan 2 hadiah

A

B

C

B

C

A

C

A

B

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

...

...

...

...

...

...

S, n(S) =

3 cara2 cara

32P

Banyaknya cara: n(S) =

= 3×2 = 6 ==

Hal.: 29PELUANG

Permutasi Dengan Beberapa Unsur SamaAda berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.

Jawab

MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM

Ada 6 cara

Jika salah satu anggota diberi indeks

M1 A 1 M2 A2

M2 A2 M1 A1

M1 A2 M2 A1

M2 A1 M1 A2

cabang) 4 memuat anggota 6 dari anggota masing-(masing 4

berlainan) huruf 4 dari huruf 4 permutasi (banyaknya 4!

= ) Adan Adari (permutasi 2! )M dan M dari (permutasi 2!

4!

2121 × = 2! !2

!4

Selanjutnya perhatikan bahwa

=

6 =cabangmemuatindeksdiberisetelahanggotadarigsinmagsinMa

hurufbanyaknyasesuaiindekasdiberiAdanMsetelahpermutasiSeluruh

46−

Hal.: 30PELUANG

Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?

Jawab

!1!.2!.4

!7

=2471C

−−74C × ×47

2C−

1! 2! !4

!7

1! 2! !4

2).(1) . (3 . 4) . 5 . 6 . 7( ==7)1,2,4(P

Secara umum, dengan

n1= + n2 + + nkn

. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada ,

dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada .

Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada:

74C

472C

−

2471C

−−

Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =

!n...!n.!n

!n

k21=

n)n,...,n,n( k21

P

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

7)1,2,4(P = = 105 cara

Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada

Hal.: 31PELUANG

Permutasi Siklis

A

C B

C

B A

B

A C

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

nsiklisP

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.

Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa:

CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!

Permutasi berulang

Hal.: 32PELUANG

Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.

Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.

≤

Hal.: 33 PELUANG

Secara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:

dengan r P (berulang) =nr n

No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir

1 O = {A,B,C,D}

Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga

AB = c1

AC = c2

AD = c3

BC = c4

BD = c5

CD = c6

2 O = {A,B,C,D}

Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga

ABC = c1

ABD = c2

ACD = c3

BCD = c4

Hal.: 34 PELUANG

42P

42C

Hal.: 35 PELUANG

42C

42P

Perhatikan bahwa

= x 2!

12 = 6 x 2!

6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6

2!2!2!2!2!2!

AB dan BAAC dan CAAD dan DABC dan CBBD dan DBCD dan DC

c1 = AB

c2 = AC

c3 = AD

c4 = BC

c5 = BD

c6 = CD

Banyaknya Permutasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan

Macam Kombinasi

Macam Kombinasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan

(Bayangkan hasilnya dari diagram pohon ybs)

Banyaknya Permutasi

c1 = ABC

c2 = ABD

c3 = ACD

c4 = BCD

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBAABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBAACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCAABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA

3!3!3!3!

= 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3!

Hal.: 36 PELUANG

Perhatikan bahwa

24 = 4 × 3!

= × 3!

Dari :

(1) = × 2!

(2) = × 3!

42P

42C

43P

43C

42P4

2C 2!=

43P4

3C3!

=

Maka Secara Umum :

nrC = =

nrP

r!

n!

(n – r)! r!

Hal.: 37PELUANG

Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama

Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.

Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama.

Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah

4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.

Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn

Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.

Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.

Banyak cara pengambilan adalah:

Hal.: 38PELUANG

n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke

Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian

)A(frlimn ∞→

Hal.: 39 PELUANG

Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan :1.Cara mendatar2.Membuat tabel3.Membuat diagram pohon

Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.

P(A)=

Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)

Hal.: 40PELUANG

Eksperimen (Percobaan Acak)

ObyekEksp.

Cara Eksp.

Hasil-hasilYang Mungkin

s1

s2

s3

s4

s5

S

S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }

= Himpunan semua hasil yang mungkin

dalam eksperimen itu

s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing

disebut titik sampels2

Ss1

s3 s4 s5

Hal.: 41PELUANG

sn

S

As3

s2s1sm

S = Ruang Sampel

= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}

A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S

= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}

Prinsip Penjumlahan

P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})

= jumlah peluang masing-masing titik sampel

yang ada di dalamnya

Pengambilan Sekaligus Kombinasi→Pengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna)

Pengambilan Satu Demi Satu

1. Tanpa Pengembalian Permutasi→Pengulangan obyek eksp. tidak

dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna)

2. Dengan Pengembalian Bukan Permutasi dan → Bukan Kombinasi

Hal.: 42PELUANG

Peluang Berdasar Pengambilan Sampel

Banyaknya Eksp.

Frek. Munculnya

s1 =s2 s3

300 kali3.000 kali15.000 kali30.000 kali

banyak kali

921.0124.98910.012

Fr (s1) ≈

105991

5.0079.984

Fr (s2) ≈

93997

5.00410.004

Fr (s3) ≈

3

1

3

1

3

1

Hal.: 43 PELUANG

1. Pengambilan Sekaligus

Hasil-hasil yang mungkinObyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp1: ambil acak

2 bola sekaligus

… s1

… s2

… s3

1 2

1 3

2 3

S

A

Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin?

A

Ss2

s1 s3

P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =

Maka S berdistribusi seragam

3

1

S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3 } , n(A) = 2.

n(S) =

= 3 .32C

P(A)

= )S(n

)A(n3

2

Hal.: 44PELUANG

2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian

Obyek Eksp

Cara Ekp.

1 2 3

Eksp 2 : ambil acak

2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian

Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin?

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1 2 … s1…

1 3 … s2…

2 1 … s3…

2 3 … s4…

3 1 … s5…

3 2 … s6…

S

A

3 cara2 cara

Hasil-hasil yang mungkin

A

S

s6

s5

s4

s2

s1

s3

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =

Maka S berdistribusi seragam.

6

1

S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = .

n(S) = = =

)S(n

)A(n6

4

3

2

3 × 2 6..ekspobyekdari

obyekP 32

Hal.: 45PELUANG

3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian

Eksp2:ambil acak2 bola 1-1 dengan pengemb.

Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?

I

Hasil-hasil yang mungkin

S

II A

2

3

1 2 3

1

1 … s11 1…

2 … s21 2…

3 … s31 3…

1 … s73 1…

2 … s83 2…

3 … s93 3… 3 cara

3 cara

A

Ss7

s2s6

s3

s4

s8

s1

s5s9

S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.

n(S) = 3 × 3 = 9

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 }

P(A) = = .)S(n

)A(n

9

4

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =

Maka S berdistribusi seragam.

9

1

Hal.: 46PELUANG

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan

Contoh:Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?Jawab:P(kenapolio) = 0,01, n= 8000Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio

Hal.: 47PELUANG

)( 1 )(

1

)(

'

'

APAP

n

an

a

n

nn

anAP

−=

−=

−=

−=

A’

S

A

Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n

elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka

P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A.

Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan

simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A.

1. Komplemen

2.Dua Kejadian Saling Lepas

6

5

12

10 B) (A P ==∪

Hal.: 48PELUANG

.1.4

A .2 .5 .7 .3 .11

B .6 .8 .9 .10 .12

S

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}A={kejadian mendapatkan bilangan

prima}B={kejadian mendapatkan sedikitnya

bilangan 5}

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

)( BAP ∩

) ( BA∩

Hal.: 49PELUANG

12

3 ) ( =∩BAP dan

)( )( )( )(

12

3

12

8

12

5

12

3 8 5

12

10 ) (

BAPBPAPBAP

BAP

∩−+=∪↓↓↓

−+=−+==∪

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)

)( )( )( BPAPBAP +=∪

Maka = P(Ø) = 0 Maka = P(Ø) = 0

Jika Jika AA dan dan BB kejadian yang saling lepas maka kejadian yang saling lepas maka

Contoh Soal :

Hal.: 50 PELUANG

1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?

Kejadian Majemuk

∩

6

1

)(

)( =Sn

An

Hal.: 51 PELUANG

Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)

Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =

Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =

Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) = 6

1

)(

)( =Sn

Bn

∩36

1

6

1.

6

1 =

1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)

)( )( )( BPAPBAP +=∪

)( )( )( BPAPBAP +=∩

Hal.: 52 PELUANG

Rangkuman

2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

b

c

AC

AB

miringsisi

Adgnanberdampingyangsisi ==∠

αA

C

B

ab

c

1. Sinus α =

2. Cosinus α =

3. Tangan α =

b

a

AC

BC

miringsisi

Adgnberhadapanyangsisi ==∠

c

a

AB

BC

Adgnanberdampingyangsisi

Adgnberhadapanyangsisi ==∠

∠

Perbandingan Trigonometri pada

bangun yang lain :

P Q

R

Cos Q =

Sin Q =

Tg Q =

Sin R =

Cos R =

Tg R =

QR

PR

QR

PQ

PQ

PR

QR

PQ

QR

PR

PR

PQ

KEMBALI KE ….

Perhatikan gambar

10 cm

AB

C

300

No. 1

a. Tentukanlah panjang AB

b. Tentukanlah panjang BC

Jawab

Cos 300 =

Sin 300 =……… ?

Rumus fungsi yang mana yang kita gunakan ?

AC

AB⇒ 030Cos)AC(AB =

030Cos).10(AB =3

2

1).10(AB =

⇒

⇒

⇒ 35AB =

Silahkan anda coba

Catatan : Nilai Sin/Cos dapat dilihat pada tabel

AC

ABCoba anda cari BCDengan Menggunakan fungsi apa ?

No. 2

Jika diketahui segitiga ABC siku-siku di ∠ C, panjang AB = 25 cm, AC =

9 cm

Tentukanlah :

a. Besar ∠ A

b. B Besar ∠ B

Jawab :

Fungsi Trigono yang mana yang kita pergunakan ?

cos A = …. Karena yang diketahui AC dan AB

AB

ACACos = ⇒ 6,0

5

3

25

9 ===ACos ⇒ 6,0CosA =

Lanjutkan ke

r

x

miringsisi

Adgnberhadapanyangsisi =∠

r

y

miringsisi

Adgnanberdampingyangsisi =∠

x

y

Adgnanberdampingyangsisi

Adgnberhadapanyangsisi =∠

∠

Sb y

Sb x

yr

x

1. Sinus α =

2. Cosinus α =

3. Tangan α =

LANJUTKAN KE…

α

SUDUT ISTIMEWAUntuk ∠ 300 dan ∠ 600

A B

C

600

300

2

1

3

Sin 300 =

Cos 300 =

Tg 300 =

Sin 600 =

Cos 600 =

Tg 600 =

2

1

AC

AB =

32

1

2

3

AC

BC ==

33

1

3

1

BC

AB ==

32

1

2

3

AC

BC ==

2

1=AC

AB

1

3

AB

BC =

Untuk ∠ 450

Sin 450 =

Cos 450 =

Tg 450 =

450

450

AB

C

22

1

2

1

AC

BC ==

22

1

2

1

AC

AB ==

11

1

AB

BC ==1

12

Untuk ∠ 00

X=r

Sb. : y

Sb.: x

Sin 00 =

Cos 00 =

Tg 00 =

0r

0

r

y ==

1r

r

r

x ==

0x

0

x

y ==

Catatan :

X = r

Y = 0

Y=0

Untuk ∠ 900

Sin 900 =

Sin 900 =

Cos 900 =

y = r

X = 0

1r

r

r

y ==

0r

0

r

x ==

∞==0

y

x

y

Catatan :

X = 0

Y = r

22

1

22

1

33

1

3

α 0O 30O 45O 60O 90O

Sin 0 1

Cos 1 0

Tg 0 1 ∞

Ctg ∞ 1 0

2

12

2

12

2

1

2

1

33

13

LANJUTKAN KE….

DIPEROLEH DARI

Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga siku-siku

Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu :

1. 00

2. 30o

3. 450

4. 60o

5. 90o

LANJUTKAN KE..

00 18090 << α 00 900 << α

00 270180 << α00 360270 << α

Sudut di Kuadran I = α Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Τan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - α)Hanya Sin bernilai (+)

Sudut di Kuadran III =γ =(180 +α )Hanya Tan bernilai (+)

Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -α)Hanya Cos bernilai (+)

MGMP MATEMATIKA SMKDKI JAKARTA

θr θ)B(r,

Koordinat Kutub

B(r,θ)

Koordinat kartesius A (x,y)y)A(x,

Koordinat kutub B(r,θ)

Dari diperoleh x = r . cos θ

sedangkan diperoleh y = r . sin θ

Sehingga didapat Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cosθ , r.Sinθ)

Cosθr

x =

Sinθr

y =

Koordinat kartesius A (x,y)

22 yxr +=

x

yTanθ =

x

yarc.Tanθ =

Sehingga koordinat kutub A (r,θ)

ATURAN SINUS

SinCc

SinBb

SinAa ==

ATURAN KOSINUS

2bcCosA2c2b2a −+=2acCosB2c2a2b −+=

2abCosC2b2a2c −+=

MGMP MATEMATIKA SMKDKI JAKARTA

SinCc

SinBb

SinAa ==

SinΑb

CD =

aSinBCD =b.SinACD =

SinBa

CD =

aSinBbSinA =

SinB

b

SinA

a =

Pada segitiga ABC, diketahui c = 6, sudut B = 600 dan sudut

C = 450. Tentukan panjang b !

0

2

6

3

45

6

60

21

21

00

=

=

=

bSinSin

bSinC

c

SinB

b

632

66

2

2

2

36

2

63

21

21

==

•=

×=

b

b

b

2bcCosA2c2b2a −+=

2acCosB2c2a2b −+=

2abCosC2b2a2c −+=

Pada segitiga ABC, diketahui

a = 6, b = 4 dan sudut C = 1200 Tentukan panjang c

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos Cc2 = (6)2 + (4)2 – 2.(6).(4).cos 1200

c2 = 36 + 16 – 2.(6).(4).( – ½ )c2 = 52 + 24 c2 = 76 c =√76 = 2√19

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat lingkaran

Jari-jari lingkaran Busur lingkaran Tali busur Diameter/garis tengah Juring lingkaran Tembereng Apotema

Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran

O

B

Jari-Jari Lingkaran

Garis lengkung yang melalui titik-titik pada lingkaran

Busur Lingkaran

A

B

Ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada lingkaran

A

B

Tali Busur

Tali busur yang melalui pusat lingkaran. Panjang diameter sebuah lingkaran sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut.

O

A

B

Diameter

Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua buah jari-jari lingkaran yang melalui ujung busur lingkaran tersebut

O

A

Juring Lingkaran

B

Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran

O

A

BTembereng

Ruas garis terpendek yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebuah titik pada tali busur.

O

A

B

Apotema

Gambarkan sebuah lingkaran beserta bagian-bagian seperti yang diuraikan di atas.

Misalkan r adalah jari-jari sebuah lingkaran dan d adalah diameternya.

Keliling lingkaran, disimbolkan dengan K, dirumuskan dengan

K = 2 π r atau K = π d

dimana π adalah sebuah bilangan nyata yang dapat didekati dengan 3,14 atau 22/7

Contoh Soal

Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari 14 cm!

Penyelesian:

Keliling: K = 2 π r = 2 x 22/7 x 14 = 88 cm

Luas lingkaran, disimbolkan dengan L, dirumuskan dengan

L = πr2 atau L = ¼ πd2

Contoh Soal

Hitunglah luas lingkaran dengan jari jari 14 cm.Penyelesaian:

Luas : L = πr2 = 22/7 x 14 x 14

= 616 cm2

Tentukan jari-jari dan diameter lingkaran yang mempunyai keliling 154 cm. Gunakan π = 22/7!

Penyelesaian:

Keliling K = 2 π r = 2 x 22/7 x r = 154 cm

Maka r = (154 x 7/22) : 2 = 24,5 cm

1. Diamater sebuah uang logam adalah 2,8 cm. Hitunglah keliling dan luasnya.

2. Sebuah mobil memiliki ban yang diameternya 45 cm. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh mobil jika bannya berputar 2000 kali.

3. Seseorang mengendarai sepeda motor sepanjang 6,6 km. Jika panjang jari-jari roda motornya 35 cm, berapa kali ban motor berputar?

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran berjari-jari 7 dan lingkaran berjari-jari 10 jika pusat kedua lingkaran berimpit.

5. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan luas 1386 m2. Hitung keliling taman itu.

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran. Titik sudutnya merupakan pusat lingkaran.

Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di sebuah titik. Titik sudutnya terletak pada busur lingkaran.

Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama mempunyai sifat: Ukuran sudut pusat sama dengan dua kali ukuran sudut keliling

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 18 cm. Sebuah juring AOB memiliki sudut pusat 40o.

Tentukan Panjang busur AB Luas juring AOB.Penyelesaian:

Keliling lingkaran K = 2πr = 2 x 3,14 x 18 = 113,04 cm

Panjang busur AB = cm

Luas lingkaran L = πr2 = 3,14 x 18 x 18 =1017,36 cm2.

Luas juring AOB = cm2.04,11336,1017360

40 =×o

o

56,1204,113360

40 =×o

o

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 15 cm. Sudut pusat AOB besarnya 90o. Tentukan luas tembereng AB.

Penyelesaian:Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas segitiga AOB

= ¼ π r2 – ½ r2

= ¼ x 3,14 x 152 – ½ x 152

= 64,125 cm2

Pada lingkaran dengan pusat O diketahui sudut keliling ACB ukurannya 35o. Tentukan ukuran sudut pusat yang menghadap busur AOB.

Penyelesaian:Ukuran sudut AOB = 2 x ukuran sudut keliling ACB

= 2 x 35o = 70o.

1. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 14 cm. Tentukan: Panjang busur AB di hadapan sudut pusat 72o

Luas juring AOB yang sudut pusatnya 72o

Luas tembereng AB Panjang apotema dari O ke tali busur AB

1. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O. Ukuran sudut keliling ACB = ao dan sudut pusat AOB = (a + 55)o. Tentukan a.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Garis singgung ini tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung.

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dengan jari-jari 6 cm dan sebuah titik A berjarak 10 cm dari O. Dari titik A dibuat garis singgung ke lingkaran dan menyinggung lingkaran di titik B. Tentukan panjang ruas garis AB.

Penyelesaian:Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh:

AB2 =OA2 – OB2 = 100 – 36 = 64.Maka AB = 8 cm

1. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat O dan A yang berturut-turut berjari-jari 13 cm dan 5 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 17 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan luarnya.

2. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat O dan A yang berturut-turut berjari-jari 7 cm dan 3 cm. Jika panjang OM 26 cm tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Di dalam setiap segitiga dapat dibuat lingkaran yang menyinggung ketiga sisinya. Lingkaran ini dinamakan lingkaran dalam segitiga. Jika panjang sisi segitiga adalah a, b, dan c maka jari-jari lingkaran dalam dapat ditentukan dengan rumus dimana s = ½ (a + b + c)

s

csbsassr

))()(( −−−=

Kita dapat juga membuat lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Lingkaran ini dinamakan lingkaran luar segitiga. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ditentukan dengan rumus

))()((4 csbsass

abcr

−−−=

Diketahui sebuah segitiga dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 6 cm dan c = 8 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya.

s = ½ (a + b + c) = ½ (10 + 6 + 8) = 12. Jari-jari lingkaran dalam:

Jari-jari lingkaran luar:

212

)812)(612)(1012(12))()((=

−−−=

−−−=

s

csbsassr

5)812)(612)(1012(124

)8)(6)(10(

))()((4=

−−−=

−−−=

csbsass

abcr

1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 10 cm, 17 cm dan 21 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luarnya.

2. Buktikan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.

3. Lukislah lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga yang mempunyai panjang sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm.