[ppt]kakulus 1informatikaunindra.org/file/kalkulus 1/bahan ajar/01-02... · web viewhimpunan semua...

Pertemuan I

Secara Teknis Kalkulus adalah metode matematika yang menggunakan proses infinite untuk menyelesaikan masalah2 finite.

Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua masalah fundamental:

- problems of change (e.g. motion) - problems of content (e.g. area, volume)

Bilangan Real dan Notasi Selang

Bilangan real : meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan 2)

dan irasional (seperti √2 dan π).

Bilangan rasional: meliputi semua bilangan bulat (positif, nol,

dan negatif) dan pecahan murni.

Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R.

Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =, dan >), dan sifat kelengkapan.

Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.

Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.

Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:

(a,b) = { x є R | a < x < b }[a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b }[a,b) = { x є R | a ≤ x < b }(a,b] = { x є R | a < x ≤ b }

(-∞,b)= { x є R | x < b }(-∞,b]= { x є R | x ≤ b }(a,∞) = { x є R | x > a }[a,∞) = { x є R | x ≥ a }

Buat macam – macam selang dan Gambarkan

Presentasikan sesuai urutan kelompok Siapkan Pertanyaan untuk kelompok

lainnya Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

N : bilangan asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1,2,3,….Z :…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbabaq

Q :

IrasionalQR

,3,2

Contoh Bil Irasional

Bilangan

Nyata Khayal

Irrasional Rasional

Bulat Pecahan

2; -2; 1,1

24

0,126827684340------

0,1236

1; 8 ;4 ½; 2/7 10

Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan bulat

Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan

Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.

Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol. A = {1,2,3,4,5,6,…..}

Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol. A = {0,1,2,3,4,5,6,…..}

Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P = {2,3,5,7,11…..}

11

Pertemuan II

Sifat-sifat urutan :Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti

berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <

yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)

-32

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang

Himpunan selang axx a,

axx a,

bxax ba,

bxax ba,

bxx ,b

bxx ,b

xx ,

Jenis-jenis selang

Grafik

a

a

a b

a b

b

b

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

xExD

xBxA

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (Hp)

Cara menentukan Hp :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0)()(

xQxP

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan

menyederhanakan bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang

dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

53213 x

352313 x

8216 x48 x

84 x

8,4Hp = 4 8

1

8462 x248 x

248 x842 x

221

x

2,

21

22

1

Hp 2

3,

21

0352 2 xx

0312 xxTitik Pemecah (TP) :

21

x dan 3x

3

++ ++--

21

3

Hp =

637642 xxxxx 7642 6376 xxdan

4672 xx dan 6637 xx

4

109 x 010 xdan

910

x 010 xdan

910

x dan 0x

Hp =

,0

910,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

910,0

0131

3

xx

x

132

11

xx

013

21

1

xx

0131

2213

xxxx

5.

TP : -1, 31

, 3

3

++ ++--

-1

--

31

Hp =

3,

311,

xx

xx

321

032

1

xx

xx

0

32231

xx

xxxx

032322 2

xxxx

6.

Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

-3 2-- ++ --

,23,Hp =

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

0,0,

xxxx

x

Sifat-sifat nilai mutlak:

yx

yx

yxyx

2xx axaaax 0,

axaax 0, atau ax

yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

12

3

4

5

yxyx

5432 xx

2221 2 xx

Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3232 xx

1

2

3

xx

x

1242

4

312

2

xx

xx

5

23 xx6

Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan

Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).

Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang.Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2.Persamaan lingkaran yang berpusatdi (a,b) dan berjari-jari r pada bidangAdalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalahAx + By + C = 0

dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan

tadi dapat dinyatakan sebagaiy = mx + c

dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis

tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)

dengan gradien m adalahy – y0 = m(x – x0)

Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y =x2

menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris

terhadap sb-y. (Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai ordinat, setelah menetapkan titik x

sebagai absis)

Gambarkan Garfik Persamaan Berikut :

x2 + (y – 7)2 = 12.6x – 5y = 8.

x = y2.

Selesaikan soal di Buku PurcellTiap sub Bab berikut : 1.2 no. 14,15, 17. 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25 1.5 no. 7, 10, 12. 1.6 no. 9, 13, 17, 23 1.7 no. 1, 11, 17, 19.