pertemuan07

Bagian IV

Determinan

A. Fungsi DeterminanMisalkan A adalah matriks bujusangkar. Fungsi determinan dinotasikan dengan det, dan det(A) adalah jumlah semua perkalian tanda dari A. Bilangan dari det(A) disebut juga dengan determinan A.

⇔ Contoh, matriks 2 x 2 dan 3 x 3 :

211222112221

1211 aaaaaa

aadet −=

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

det a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

– a13a22a31 – a12a11a32 – a23a32a33

Bentuk perkalian ini dapat disajikan sebagai berikut :

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

2221

1211

aa

aa

−−=

987

654

321

B

−

=24

13A

Diketahui matriks, berikut :

( ) 10)4)(1()2)(3(Adet −=−−=

( ) 240)72()48()105()96()84()45(Bdet =−−−−−++=

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

det atau

Notasi determinan sering juga ditulis sebagai,

Misalkan A, matriks bujursangkar berukuran nxn maka berlaku :

(a). Jika mempunyai baris nol, atau kolom nol, maka det(A) = 0

(b). Det (A) = det (AT)

(c). Jika matriks segitiga (atas, bawah, atau diagonal) maka det (A) = a11a22 …ann

(d). Jika B merupakan matriks hasil perkalian baris tunggal atau kolom tunggal dari A dengan k skalar, maka det(B) = k det(A).

(e). Jika B merupakan matriks hasil dari baris atau kolom dari A yang dipertukarkan maka berlaku det(B) = – det(A).

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

k

aaa

aaa

kakaka

=

(f). Jika B merupakan hasil dimana satu baris dari A dijumlahkan dengan baris lainnya atau dimana satu kolom dijumlahkan dengan kolom lainnnya, maka berlaku det (B) = det (A).

333231

232221

131211

333231

131211

232221

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

−=

333231

232221

131211

333231

232221

231322122111

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

kaakaakaa

=+++

B. Determinan Pada Matriks Dasar

Misalkan E adalah matriks dasar maka,

1. Jika E merupakan perkalian dari baris In dengan k, maka det(E) = k.

2. Jika E merupakan hasil pertukaran dua baris dari In, maka det(E) = -1.

3. Jika E merupakan hasil penjumlahan sebuah perkalian dari satu baris In, maka berlaku det(E) = 1.

1

0001

0100

0010

1000

, −=3

1000

0100

0030

0001

= 1

1000

0100

0010

7001

, =

C. Reduksi baris/kolom pada suatu Determinan

Metode untuk mendapatkan suatu determinan matriks dengan cepat, yaitu dengan mereduksi matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas mengunakan OBE.

Contoh 1 :

dengan mereduksi ke bentuk baris eselon maka,

−=

162

963

510

A

162

963

510

A −=)(det R1 ↔ R2

162

510

963

A

−−=)(det

162

510

321

3

−−=

5100

510

321

3

−

−−=

R1 ← faktor 3 pada baris 1 dikeluarkan dari determinan matriks.

R3← R3 + (–2)R1

5500

510

321

3

−

−−=

R3← (–1/55)R3

R3← R3 + (–10)R2

1651553 =−−= ))((

100

510

321

55 3

−−−= )(

Contoh 2, Carilah Determinan matriks berikut :

−

=

5137

0360

6072

3001

A Diketahui,

−

=

5137

0360

6072

3001

A det)det(

C4← C4 + (-3)C1

−

=

26137

0360

0072

0001

A det)det(

Dengan Operasi Pada kolomnya maka determinannya,

= (1)(7)(3)(–26) = – 546

D. Bentuk – bentuk Fungsi Determinan

Misalkan A, B, dan C, matriks berukuran nxn, hanya berbeda satu baris, katakan baris ke-r dan

diasumsikan bahwa baris ke-r dari C adalah hasil penjumlahan antara baris ke-r pada matriks A dan B.

maka,

det(C) = det(A) + det(B)

hasilnya sama.

−+++ )1(71401

302

571

det =

741

302

571

det +

− 110

302

571

det

E. Determinan Dari Perkalian MatriksJika A dan B merupakan matriks bujursangkar berukuran sama, maka

det(AB) = det(A). det(B)Hal ini berlaku juga untuk,Jika B adalah matriks berukuran nxn dan E adalah matriks elementer berukuran nxn, maka

det(EB) = det(E). Det(B)sehingga,

det(E1E2 … ErB) = det(E1) det(E2)… det(Er) det( B)

Contoh 1 : det(E1E2B) = det(E1).det(E2).det( B)

Contoh 2 :

Diketahui,

det(A) = 1, det(B)= –23 dan det(AB) = –23,

maka,

det(AB) = det(A). det(B) terbukti.

F. Determinan Dari Suatu Matriks Invers Jika A adalah matriks yang dapat diinvers maka,

det (A-1) =

=

12

13A

−=

85

31B

=

143

172AB

)(det A

1

G. Sistem Linier dalam bentuk Ax = λx

Jika suatu sistem linier n dapat dituliskan sebagai,

Ax = λx

dimana λ adalah skalar maka persamaan ini dapat juga ditulis sebagai,

(λI – A)x = 0

Contoh :

x1 + 3x2 = λx1

4x1 + 2x2 = λx2

dengan bentuk matriks dapat ditulis sebagai,

2

1

x

x

24

31

=

2

1

x

xλ

dengan,

sehingga,

atau,

atau,

=

2

1

x

xxdan,

=

24

31A

2

1

x

xλ

−

24

31

2

1

x

x

=

0

0

2

1

x

x

10

01λ

−−

−−24

31

λλ

=

0

0

−

2

1

x

x

24

31

2

1

x

x

=

0

0

Sehingga,

dan λ adalah nilai eigen atau nilai karakteritik dari A. sedangkan penyelesaian tunggalnya disebut vektor eigen dari A dihubungkan dengan λ .

Sistem persamaan (λI – A)x = 0, mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika,

det (λI – A)x = 0

Yang disebut juga sebagai persamaan karakteristik.

Jadi persamaan karakteristik dari A,

−−

−−=−

24

31AI

λλ

λ

Jadi persamaan karakteristik dari A,

atau,

λ2 – 3λ – 10 = 0

dengan faktor – faktor persamaannya adalah,

(λ + 2)(λ – 5) = 0

Nilai eigen dari A, λ = –2 dan λ = 5.

Dari definisi diketahui,

024

31)AI =

−−−−

=−λ

λλdet(

−−

−−24

31

λλ

2

1

x

x

=

−−−−

⇔

=

0

0

x

x

44

33

0

0

2

1

Untuk, λ = –2,

Untuk, λ = 5

−=

=

t

t

x

xx

2

1

−−

−−24

31

λλ

2

1

x

x

=

−−−−

⇔

=

0

0

x

x

44

33

0

0

2

1

−−

−−24

31

λλ

2

1

x

x

=

−

−⇔

=

0

0

x

x

34

34

0

0

2

1

=

=

t

t

x

xx 4

3

2

1

H. Ekspansi Kofaktor : Aturan Cramer

1. Kofaktor dan Minor

Jika A adalah matriks bujursangkar, maka elemen minor aij dinotasikan Mij dan didefinisikan sebagai submatriks yang mengandung baris ke-i dan kolom ke-j yang dihapus pada matriks A.

Bilangan (–1)i+j Mij dinotasikan sebagai Cij disebut Kofaktor dari elemen aij.

Contoh :

Misalkan

−=

841

652

413

A

1684

65

841

652

413

M11 ==−

=

16MM)1(C 111111

11 ==−= +

Elemen minor untuk a11 :

Kofaktornya untuk a11 :

Dengan cara yang sama elemen minor a32 :

26MM)1(C 323223

32 −=−=−= +

Kofaktornya untuk a11 :

2662

43

841

652

413

M 32 =−

=−

=

Catatan :

Perbedaan antara elemen minor dan kofaktor hanya pada tanda, Cij = ± Mij. Langkah untuk menentukan tanda + dan –, disesuaikan dengan faktor baris ke-i dan kolom ke-j itu berada dapat ditunjukkan, susunan daftar berikut :

−+−+−+−+−+−+−+−+−+−+

Contoh : C11= M11 , C21= – M21 , C12 = – M12 , C22 = M22

2. Ekspansi Kofaktor

Misalkan matriks A :

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

det(A)= a11M11 + a12(– M12) + a13M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13

Contoh :

−−−=

245

342

013

B Misalkan,

Maka,

45

420

25

321

24

343

245

342

013

Bdet−−

+−

−−

−−

=−

−−=)(

= 3(– 4) – (1)(– 11) + 0 = – 1

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

det(A) = a11C11 + a12C12) + a13C13

= a11C11 + a21C21 + a31C31

= a21C21 + a22C22 + a23C23

= a12C12 + a22C22 + a32C32

= a31C31 + a32C32 + a33C33

= a13C13 + a23C23 + a33C33

Variasi lain penentuan Determinan A adalah :

3. Determinan matriks A, berukuran nxn dapat dihitung dari jumlah semua hasil perkalian elemen pada setiap baris (atau kolom) dengan kofaktornya, untuk setiap

1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n.

det(A)= a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi berdasarkan kofaktor kolom ke - j )

det(A)= ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi berdasarkan kofaktor baris ke - i )

dan

Contoh 1 :

Misalkan matriks,

akan ditentukan determinannya berdasarkan ekspansi kofaktor kolom 1, maka

45

420

25

321

24

343

245

342

013

Adet−−

+−

−−

−−

=−

−−=)(

= 3(– 4) – (1)(– 11) + 0 = – 1

−−−=

245

342

013

A

Contoh 2 :

Diketahui matriks A, akan ditentukan deteminannya berdasarkan ekspansi kofaktor Operasi barisnya.

0810

3300

1121

3110

Adet−

−

=)(

Maka,

−−

=

3573

5142

1121

6253

A

R1 ← R1 + (–3)R2

R3 ← R3 + (–2)R2

R4 ← R4 + (–3)R2

081

330

311−−=

390

330

311−−=

Ekspansi berdasarkan baris ke – 2

R3 ← R3 + R1

Ekspansi berdasarkan kolom ke – 1

1839

331 −=−−= )(

4. Matriks Ajoint

Jika A matriks berukuran nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij , maka matriks,

nn2n1n

n22221

n11211

CCC

CCC

CCC

Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini disebut adjoint dari A, dinotasikan sebagai adj(A)

−

−=

042

361

123

A

Contoh : misalkan matriks,

Kofaktor dari A

C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = –10 C33 = 16

−

−

161012

1624

16612

Jadi matriks kofaktornya :

dan adjoint dari A adalah :

−−=161616

1026

12412

Aadj )(

5. Invers matriks menggunakan matriks Ajoint

Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka

−

−=

042

361

123

A

Contoh :

)A(adj)A(det

1A 1 =−

−−=161616

1026

12412

Aadj )(

det (A) = 64

=∴

−

−−

6416

6416

6416

6410

642

646

6412

644

6412

1

64

1A

5. Aturan Cramer

Jika Ax = b adalah sistem n persamaan linier yang tidak diketahui, sedemikian sehingga det(A) ≠ 0, maka sistim itu mempunyai penyelesaiannya unik. Penyelesaian adalah :

,Adet

Adetx 1

1 )(

)(= ,Adet

Adetx 2

2 )(

)(= ,Adet

Adetx,... n

n )(

)(=

dimana, Aj merupakan matriks A yang elemen pada kolom ke–j diganti oleh elemen matriks,

=

n

2

1

b

b

b

b

Diketahui,

x = A-1b

b)A(adjAdet

1bAx 1

)(== −

=

n

2

1

nnn2n1

2n2212

1n2111

b

b

b

CCC

CCC

CCC

Adet

1

)(

+++

++++++

=

nnnn22n11

2nn222121

1nn212111

CbCbCb

CbCbCb

CbCbCb

Adet

1

)(

Elemen baris ke – j dari x adalah,

)(Adet

Cb...CbCbx jnnj22j11

j

+++=

=

+

+

+

−

−

−

nn1njn

n21j22

n11j11

1nj2n1n

1j22221

1j11211

j

aab

aab

aab

aaa

aaa

aaa

A

)(

)(

Adet

Adetx j

j =

det(Aj) = b1C1j + b2C2j + … + bnCnj

Contoh :

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistim persamaan linier berikut :

x1 + + 2x3 = 6 –3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 – x1 – 2x2 + 3x3 = 8

44Adet

321

643

201

A =⇒

−−−= )(

Penyelesaian

40Adet

328

6430

206

A 11 −=⇒

−= )(

11

10

44

40

Adet

Adetx 1

1

−=−==⇔)(

)(

72Adet

381

6303

261

A 12 =⇒

−−= )(

152Adet

821

3043

601

A 33 =⇒

−−−= )(

11

18

44

72

Adet

Adetx 2

2 ===⇔)(

)(

11

38

44

152

Adet

Adetx 3

3 ===⇔)(

)(

Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan Aturan Cramer : – a – 4b + 2c + d = –32 2a – b + 7c + 9d = 14

– a + b + 3c + d = 11 a – 2b + c – 4d = – 4