persamaan diferensial yang dapat ditransformasi ke dalam persamaan diferensial bessel [revisi]

1  

Persamaan diferensial yang dapat ditransformasi ke dalam persamaan diferensial Bessel (Revisi) 

Ignatius Danny Pattirajawane 

Departemen Matematika, Universitas Terbuka, NIM. 016338119 

Persamaan diferensial dengan bentuk tertentu dapat dipecahkan dengan mentransformasikannya ke dalam persamaan diferensial Bessel. 

Rumus ini diambil dari Murray Spiegel, Theory and Problems of Advanced Mathematics For Engineers & Scientists, Schaum’s Outline Series, SI (metric) edition, McGraw‐Hill, 1983, halaman 226: 

Persamaan  

2 1   0 

di mana  , , ,  adalah konstanta‐konstanta, yang memiliki solusi 

Dimana  . Jika  0 persamaan dapat dipecahkan sebagai persamaan diferensial Euler atau Cauchy. 

Catatan: bentuk umum di atas tampaknya belum memperhatikan spesifitas selisih akar‐akar persamaan 

insidial    , .  

Bentuk solusi 1 untuk selisih akar‐akar persamaan indisial tidak nol dan bukan merupakan bilangan bulat:   

Bentuk solusi 2 untuk akar‐akar indisial sama dengan nol:  , di mana adalah fungsi Weber‐Bessel orde ke nol. 

Bentuk solusi 3 untuk selisih akar‐akar persamaan indisial bilangan bulat:  , di mana  merupakan fungsi Weber‐Bessel orde ke n. 

Dengan demikian kita dapat menggunakan rumus ini untuk memecahkan soal‐soal dalam buku modul Bambang Soedijono, Metode Matematis I, MATA4431, Penerbit Universitas Terbuka, 2011. 

Ambil contoh soal dalam contoh 5.2 halaman 5.11 persamaan  0, perlu kita ubah menjadi bentuk persamaan Bessel:  0, sehingga memiliki konstan sebagai berikut: 

2 1 012 

2  

  1,32  , 0,

12  

13 ,

23

Selisih persamaan akar‐akar persamaan indisialnya   (tidak nol dan bukan bilangan bulat. 

Jadi solusinya mengambil bentuk yang pertama 

23

23

Rumus inilah yang dapat menjelaskan mengapa buku modul tersebut menggunakan substitusi   

dan  .  

 adalah tidak lain dan tidak bukan  . Sedangkan  ,  ‐nya diperoleh dari 

, .   itu sendiri tidak lain adalah  . 

Dengan menggunakan rumus ini kita dapat menyelesaikan keempat soal dalam latihan halaman 5.13. 

1. 4 4 0 0 

2 1 1 0 

 14

12 ,

12  , 0, 0 

0 ,  

Akar‐akar persamaan indisialnya sama dengan nol. Jadi solusinya   

2. 2 0 2 0 

2 1 212 

  1, 1, 0,12 

12 ,  

3  

Selisih akar‐akar persamaan indisialnya merupakan bulangan bulat. Jadi solusinya 

3. 0 0 

2 1 1 0 

  1,12, 0, 0 

0 , 2  

Jadi solusinya  2 2  

4. 1 0 0 

2 1 012 

 4 1

41, 1,

12

1 4 ,12

141 4  

 ,  

Jadi solusinya tergantung pada bentuk selisih akar‐akar persamaan indisial. Untuk jenis yang ketiga solusinya adalah sebagai berikut