percobaan satu faktor: rancangan acak kelompok lengkap ... · faktor : jenis obat apakah ada faktor...

Percobaan Satu Faktor: RancanganAcak Kelompok Lengkap (RAKL) (Randomized Block Design)

ARUM HANDINI PRIMANDARI

Latar belakang

• Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yang dilakukandengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalam grup-grup yanghomogen yang dinamakan kelompok dan kemudian menentukanperlakuan secara acak di dalam masing-masing kelompok.

• Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, maka rancangan inidapat mengurangi galat percobaan yang mana dengan adanyapengelompokkan, maka dapat membuat keragaman satuan-satuanpercobaan di dalam masing-masing kelompok sekecil mungkin sedangkanperbedaan antar kelompok sebesar mungkin

Perhatikan kasus berikut

Ingin mengetahui pengaruh jenis obatterhadap kecepatan penyembuhan

Faktor : jenis obat

Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan

penyembuhan selain jenis obat?

Bila faktor-faktor lain yang dapatmempengaruhi keragaman respon (selainfaktor yang diteliti) tidak dapatdiseragamkan (dikendalikan) olehpeneliti, maka RAL tidak dapatditerapkan.

Umur

•Balita, anak-anak

•Remaja

•dewasa

•Orang tua

Jeniskelamin

•Laki-laki

•Perempuan

Alergi•Ada riwayat

•Tidak ada

Mengapa RAKL?

Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman

Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan dalam jumlah besar

Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan

keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi

Ciri – ciri RAKL

Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapatfaktor yang tidak seragam (heterogen)

Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dankelompok (plus galat percobaan)

Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompokdan Galat

Keuntungan / kelebihan RAK

Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL

- Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah kuadratgalat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatan atau bisamengurangi jumlah ulangan

Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlahulangan/kelompok

Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihatperbedaan antar kelompok

Kekurangan RAK

• Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis

• Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit

• Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengansemakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalamkelompok

• Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat, sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlahperlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaankecil (homogen)

• Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit

Pengacakan dan bagan percobaan

Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiapperlakuan diulang dalam 3 kelompok.

Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok

Total unit percobaan ada 6 × 3 = 18 unit percobaan

Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok

Salah satu bagan percobaan :

P1 P3 P2 P4 P6 P5 Kelompok 1

P3 P5 P6 P4 P1 P2 Kelompok 2

P1 P5 P3 P4 P2 P6 Kelompok 3

Tabulasi Data

Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:

PerlakuanKelompok

TotalRata-rata1 2 … n

1 𝑦11 𝑦12 … 𝑦1𝑛 𝑦1∙ ത𝑦1∙

2 𝑦21 𝑦22 … 𝑦2𝑛 𝑦2∙ ത𝑦2∙

⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮

𝑎 𝑦𝑎1 𝑦𝑎2 … 𝑦𝑎𝑛 𝑦𝑎∙ ത𝑦𝑎∙

Total 𝑦∙1 𝑦∙2 … 𝑦∙𝑛 𝑦∙∙ ത𝑦∙∙

Baris 𝑖 merupakanperlakuan, sedangkankolom 𝑗 merupakan

kelompok

Model linier aditif RAKL

Model linier aditif dari RAKL yaitu:

dengan

Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j

μ: rataan umum

τi: pengaruh perlakuan ke-i

ßj: pengaruh kelompok ke-j

εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j

Asumsi untuk model tetap adalah

Asumsi untuk model acak adalah

ij i j ijY

iid

2ij

i 1,2,...,t

j 1,2,...,r

N 0,

t r

i ji 1 j 1

0 dan 0

iid iid

2 2i jN 0, dan N 0,

Hipotesis pengaruh perlakuan

Hipotesis pengaruh kelompok

Hipotesis model tetap

0 1 2 t

1 i

H : ... 0

H : 0,(i 1,2,...,t)

0 1 2 r

1 j

H : ... 0

H : 0,( j 1,2,...,r)

Tidak terdapat perbedaan pengaruhperlakuan terhadap respon yang diamati

Tidak terdapat perbedaan pengaruhkelompok terhadap respon yang diamati

Hipotesis model acak

Hipotesis pengaruh perlakuan

Hipotesis pengaruh kelompok

20

21

H : 0

H : 0

20

21

H : 0

H : 0

Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

Keragaman perlakuan berpengaruh positifterhadap respon yang diamati

Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

Keragaman kelompok berpengaruh positifterhadap respon yang diamati

Perhitungan analisis variansi

2

t r2

ij

i 1 j 1

2ti

i 1

2rj

j 1

YFK

tr

JKT Y FK

YJKP FK

r

YJKK FK

t

JKG JKT JKP JKK

Tabel analisis variansi

Kriteria keputusan :

1. H0 ditolak jika: (untuk perlakuan)

2. H0 ditolak jika: (untuk kelompok)

SV db JK KT Fhitung

Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/KTG

Kelompok r-1 JKK KTK KTK/KTG

Galat (t-1)(r-1) JKG KTG

Total tr-1 JKT

hitung ,t 1,(t 1)(r 1)F F

hitung ,r 1,(t 1)(r 1)F F

Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL

Ukuran kebaikan RAK dengan RAL

Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus:

Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama dengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2 kali dari ulangan(kelompok) RAK.

2b r r

2b r b

db 1 db 3 ˆER

ˆdb 3 db 1

2b

2r

ˆ KTG

r 1 KTK r t 1 KTGˆ

tr 1

Contoh penerapan

Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatupengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan),katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobotbadan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewanpercobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiridari umur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukanpengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkantingkat umur domba tersebut.

Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantanyang memperoleh makanan yang berbeda

Kelompok Umur

1 2 3 4

Pe

rlak

uan

A 2 3 3 5

B 5 4 5 5

C 8 7 10 9

D 6 5 5 2

Penyelesaian

1. Model

Dimana :

Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang memperoleh campuranmakanan ke-i

μ: nilai tengah umum (rata – rata) pertambahan bobot badan

τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i

βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j

εij: pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yang memperoleh perlakuanmakanan ke-i

ij i j ijY ;i 1,2,3,4; j 1,2,3,4

2. Asumsi

Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif

Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap,

Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap,

εij timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengah samadengan nol dan ragam σ².

i i ii

0 dan E

j j jj

0 dan E

3. Hipotesis

0 1 2 3 4

1 i

H : 0

H : 0,(i 1,2,3,4)

0 1 2 r

1 j

H : ... 0

H : 0,( j 1,2,...,r)

4. Taraf signifikasi

5. Statistik uji

6. (Kriteria keputusan)

7. Perhitungan◦ perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG◦ tabel analisis variansi

8. Kesimpulan

Hitung pula:

1. Koefisien Keragaman (KK)

2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)

Latihan RAKL dengan R

# RAKL

# Perlakuan: pemberian ransum

# faktor: ransum, level: jenis ransum

# kelompok: kel umur domba jantan

# unit pengamatan: pertambahan bobot

# Input data

ransum = c(rep('A',4),rep('B',4),rep('C',4),rep('D',4))

umur = c(rep(c('1','2','3','4'),4))

# ransum = gl(4,4,labels = c("A","B","C","D"))

# umur = gl(4,1,16)

bobot = c(2,3,3,5,5,4,5,5,8,7,10,9,6,5,5,2)

percobaan = data.frame(ransum, umur, bobot)

# Anova

result = aov(bobot~ransum+umur, data = percobaan)

summary(result)

Plot

par(mfrow = c(1,2))

plot(bobot~ransum, data = percobaan)

plot(bobot~umur, data = percobaan)

Data Hilang dalam RAK

Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atautidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaanpemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakitatau mati.

Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933) memungkinkan kita untuk menduga data yang hilang tersebut.

Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akan memberikantambahan informasi kepada peneliti, tetapi hanya sebagai fasilitasuntuk analisis dari data yang tersisa tersebut.

Kehilangan Data tunggal (Single value)

Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannya dihitungdengan formula:

Dimana:

r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan

B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok dan perlakuan yang kehilangan satuan percobaannya.

G: total seluruh nilai pengamatan.

Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabel pengamatandan dilakukan analisis variansi.

rB tT G

Yr 1 t 1

Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehinggajumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadi minimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atas sebesar:

2B t 1 Y

Biast t 1

Contoh

rB tT G 4 18 4 14 79

Y 5.4r 1 t 1 (4 1)(4 1)

Kelompok UmurTotal

1 2 3 4P

erl

aku

an

A 2 3 3 5 13

B 5 4 ℎ 5 14

C 8 7 10 9 34

D 6 5 5 2 18

Total 21 19 18 21 79

Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilaipengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian total kelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan total perlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4.

Biasnya:

Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu:

JKP (hasil perhitungan) – bias

2 2

B t 1 Y 18 (4 1)5.4Bias 0.27

t t 1 4(4 1)

Hasil analisis variansi dengan pendugaan data hilang

Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 – 0.27 = 60.86

Analisis variansi alternatif (warna merah mengalami perubahan)

SV db JK KT F

Kelompok 3 2.43 0.81

Perlakuan 3 61.13+ 20.38 9.39

Galat 9 17.39 1.93

Total 15 – 1 = 14 80.95

SV db JK KT F

Kelompok 3 2.43 0.81

Perlakuan 3 60.86 20.28 9.35

Galat 9 – 1 = 8 17.39 2.17

Total 14 80.65

Kehilangan Data Lebih dari Satu

Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yang Memperoleh Makanan Berbeda

Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.

Kelompok UmurTotal

1 2 3 4

Pe

rlak

uan

A 2 3 3 5 13

B 5 4 ℎ2 5 14

C 8 7 10 9 34

D 6 ℎ1 5 2 13

Total 21 14 18 21 74

Prosedur iterasinya:

1. Pendugaan h1 melalui:

2. Pendugaan h2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumushilang data tunggal sebelumnya.

i j

1

Y Y 13 3 14 3h 4.5

2 2

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 4.5)h 5.5

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

3. Pendugaan h1 (iterasi pertama) dengan rumus sama.

4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama.

1

rB tT G 4 14 4 13 (74 5.5)h 3.2

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2)h 5.6

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

5. Pendugaan h1 (iterasi kedua)

6. Pendugaan h2 (iterasi kedua)

Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h1 dan h2 telah konstan di nilai h1 = 3.2 dan h2 = 5.6

1

rB tT G 4 14 4 13 (74 5.6)h 3.2

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

2

rB tT G 4 18 4 14 (74 3.2)h 5.6

r 1 t 1 (4 1)(4 1)

Datanya menjadi:

Kelompok UmurTotal

1 2 3 4

Pe

rlak

uan

A 2 3 3 5 13

B 5 4 ℎ2 = 5.6 5 19.6

C 8 7 10 9 34

D 6 ℎ1 = 3.2 5 2 13

Total 21 17.2 18 21 82.8

Besarnya bias untuk dua data hilang

2 2

1 1 2 2B t 1 Y B t 1 YBias

t t 1

Tabel analisis variansi

SV db JK KT F

Kelompok 3 5.21 1.74

Perlakuan 3 64.41 21.47 9.71

Galat 9 – 2 = 7 15.49 2.21

Total 15 – 2 = 13 85.11

2 2

14 (4 1)3.2 18 (4 1)5.6Bias 1.73

4(4 1)

Tabel analisis variansi alternatif

SV db JK KT F

Kelompok 3 5.21 1.74

Perlakuan 3 62.68 20.89 9.49

Galat 7 15.49 2.21

Total 13 83.38

Referensi

Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam PenelitianPercobaan, Tarsito, Bandung.

Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung.

Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.

Box Plot/Whisker Plot