pengintegralan dan penurunan deret · pdf filematematika teknik ii ( ir. i nyoman setiawan,...
Post on 06-Feb-2018
235 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
1
Pengintegralan dan PenurunanDeret Fourier
( )
( )
∑
∑∫∫∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−=
++=
≤<≤−++=
11110
10
11
0
)sin(sin)cos(cos)(21
sincos21)(
untuksincos21)(
111
n
nn
n
t
tnn
t
t
t
t
nnn
ntntnantnt
nbtta
dtntbntadtadttf
ttntbntaatf ππ
IntegralDeretFourier
( )
∑
∑∞
=
∞
=
−=
++=
1
10
)sincos()('
sincos21)(
nnn
nnn
ntnantnbtf
ntbntaatfTurunanDeret Fourier
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
2
Teori Parseval(March Antoine Parseval ahli matematika Francis)
( )∑∞
=
++=1
0 sincos)(n
nn nxbnxaaxfDeret Fourier :Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan f(x) kemudian di integralkan dari -π sampai π
Identitas Parseval ( )∑∫∞
=−
++=1
2220
2 2)(1n
nn baadxxfπ
ππ
L
L
,2,1sin)(1
,2,1cos)(1
)(21
0
==
==
=
∫
∫
∫
−
−
−
nnxdxxfb
nnxdxxfa
dxxfa
n
n
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
3
Identitas Parseval
( )∑∞
=
++=1
0 sincos21)(
nnn tnbtnaatf ωω
Identitas Parseval :
Untuk deret Fourier :
( )∑∫∞
=
++=1
2220
0
2
21
41))((1
nnn
T
baadttfTPeriode T
( )∑∫∞
=−
++=1
2220
2
21))((1
nnn
L
L
baadttfL
Periode T = 2L
∑∑∫∞
−∞=
∞
−∞=
==n
nn
nn
T
cccdttfT
2*
0
2))((1Deret Fourier Komplek
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
4
Daya rata-rata Pav
( )
( )∑
∫
∞
=
++=
=
−
1
2220
0
2
av
21
41
teoremadengan
)(1
kandidefinisi periodedengan periodik sinyal dari P ratarataDaya
nnnav
T
av
baaP
Parseval
dttfT
P
T f(t)
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
5
Contoh :
Carilah Daya rata-rata pada tahanan 1Ω oleh sinyal tegangan dengan periode 2π diberikan oleh :
ttttv 3cos212sin
31cos)( +−=
( ) dttvP
baa
Ttv
av ∫=−
−===
=
π
π
π
2
0
2
231
)(21ratarataDaya
31,
21,1:FourierderetKoefisien
2periodedenganperiodik)(
Dengan teori Parseval didapatkan :
Penyelesaian :
W68,021
311
21 22
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=avP
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
6
Fungsi Ortogonal.
Dua fungsi gm(x) dan gn(x) dikatakan ortogonaldalam interval a ≤ t ≤ b jika
( ) nmdxxgxgggb
anmnm ≠== ∫ 0)()(,
Akar kuadrat (gm,gm) yang tak negatif disebut norma(ukuran) dari gm(x) dan secara umum dinyatakandengan :
∫==b
ammmm dxxgggg )(),( 2
mg
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
7
Fungsi Ortogonal.
Suatu himpunan ortogonal g1,g2,… pada selang a ≤ t ≤ byang fungsi-fungsinya mempunyai norma 1 memenuhihubungan
( ) ∫⎩⎨⎧
===≠
==b
anmnm nnm
mnmdxxgxggg
L
L
,2,1untuk1,2,1untuk0
)()(,
Himpunan semacam ini disebut himpunan ortonormaldari fungsi-fungsi pada selang a ≤ t ≤ b
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
8
Fungsi Ortogonal.
Penulisan secara singkat (gm,gn) = δmn yang disebutdelta Kronecker* yang didefinisikan dengan :
),2,1,(untuk1untuk0
L=⎩⎨⎧
=≠
= nmnmnm
mnδ
Jadi dari suatu himpunan ortogonal dapat diperoleh suatuhimpunan ortonormal dengan membagi setiap fungsidengan normanya.
( *Leopold Kronecker ahli matematika Jerman )
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
9
Tunjukan fungsi gm(x) = sin mx, m = 1, 2, … membentuksuatu himpunan ortogonal pada selang -π ≤ x ≤ π .
Contoh :
Penyelesaian : Untuk m ≠ n diperoleh :
( ) 0)cos(21)cos(
21sinsin, ∫∫∫
−−−
=+−−==π
π
π
π
π
π
dxxnmdxxnmdxnxmxgg nm
),2,1(sin)(),( 22 L===== ∫∫−
mdxmxdxxggggb
ammmm π
π
π
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
L,3sin,2sin,sinπππ
xxx
Normanya :
Jadi himpunan ortonormalnya :
top related