pemograman finite element method pada...
Post on 06-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHOD
PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN
MATLAB
Tugas Akhir
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi
Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
03 0404 037
JUBEL NAINGGOLAN
SUB JURUSAN STRUKTUR
DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHOD
PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN
MATLAB
Tugas Akhir
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi
Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
03 0404 037
JUBEL NAINGGOLAN
Pembimbing
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan
NIP. 130905362
BIDANG STUDI STRUKTUR
DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
ABSTRAK
Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur pada elemen truss jika dilakukan secara analitis memerlukan waktu yang lama, dikarenakan banyaknya persamaan dari setiap elemen yang harus diselesaikan da juga hasil yang diperoleh kurang akurat karena itu diperlukan komputer untuk menyusun suatu bahasa pemrograman dalam menyelesaikan perhitungan struktur tersebut.
Pada tugas akhir ini akan dibuat suatu aplikasi pemograman finite elemen methode pada elemen truss dengan menggunakan Mtalab. Matlab adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Bentuk bangunan sipil yang dianalisis dimodelkan sebagai elemen truss dimana pada tahap awal dimasukkan data-data struktur kemudian dibentuk kekakuan lokal masing-masing batang. Kekakuan lokal tersebut kemudian ditransformasikan sehingga diperoleh matriks kekakuan struktur dan nilai deformasi, dari hasil tersebut diperoleh gaya-gaya dalam dari struktur. Sebagai verifikasi program hasil perhitungan dengan pemograman Matlab (data keluaran Matlab) dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel2003.
Pemograman Finite Elmement Method yang dibuat pada tugas akhir ini dapat digunakan untuk menghitung Displacement, gaya-gaya batabg dan deformasi pada element truss, hasil perhitungan ( data keluaran program )dapat dinyatakan akurat, dikarenakan hasil tersebut sama dengan hasil perhitungan dengan Mikrosoft excel2003.
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
KATA PENGANTAR
Segala Pujian hormat dan kemulian hanya bagi Allah di tempat yang maha
tinggi, yang telah memberikan berkat, kasih dan karunia-Nya sehingga penulis
dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul:
PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHOD
PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB
Penulisan Tugas Akhir ini merup$akan salah satu syarat dalam menempuh
ujian sarjana pada Fakultas Teknik, Departemen Teknik Sipil Universitas
Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari
berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik,
sehingga dalam kesempatan ini dengan hati yang tulus penulis mengucapkan
terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku dosen pembimbing yang telah
banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan
dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini
2. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Jurusan Departemen
Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Ir. Teruna Jaya, Msc, selaku Sekretaris Jurusan Departemen Teknik
Sipil Universitas Sumatera Utara.
4. Bapak Ir. Syahrir Arbeyn Siregar, Ir. Mawardi S, Ibu Nursyamsi, ST.MT,
selaku dosen Pembanding
5. Bapak/Ibu dosen pengajar dan seluruh pegawai administrasi Departemen
Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
6. Ibunda tercinta Op.Dela Siringo-ringo atas kasih sayang, doa restu, dorongan
yang diberikan, dan abang-abangku Ir. H. Leonardo N, M.Si, Taruli N, ST,
Sutrisno N, SH, Blider L N, S,Pd, adik-adikku Sanggul N, Sapta Putra N.
7. Untuk Pemimpin Rohani, PKKku: B’Antonius, B’Mue, K’Vera, dan B’Edward
serta Ev. Manat Simbolon, terimaksih untuk dukungannya.
8. Rekan-rekan dalam UKM KMK USU UP FT yang tak tersebut satu persatu,
KTB Adelphos( Ganda, Tomie, Rodo) KTB Samuel (B’Herderd, B’Jimmi,
B’Volma, B’Rendra) adik-adik KK (Adrianto, Jhonra, Meiman, Marni K S)
9. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara
khususnya angkatan’03, Imran, Tohank, Himsar, Dona, Ronal, Yunus,
Mianto,Genk Irigari (Ricard, Tony, Gaplex, B’Ryan02), serta penghargaan
khusus kepada Senina Masana, Donny, Estomihie, Sarman, terimakasih untuk
bantuannya dan semua pihak yang yang tidak disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak
kekurangannya dan jauh dari sempurna. Hal ini penulis akui karena keterbatasan
pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis, penulis memohon maaf yang
sebesar-besarnya apabila terdapat kesalahan penulisan dan penyusunan tugas
akhir ini. untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen
serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan. Akhir kata penulis berharap
tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan.
Medan, Mei 2009
030404037 Jubel Nainggolan
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
DAFTAR ISI
Abstrak .......................................................................................................... i
Kata pengantar................................................................................................. iii
Daftar isi .......................................................................................................... iv
Daftar notasi .................................................................................................... vii
Daftar tabel ...................................................................................................... viii
Daftar gambar ................................................................................................. ix
BAB I
Latar Belakang Masalah ...……………………………………………..... 1
Maksud dan Tujuan ................................................................................... 4
Pembatasan Masalah .....………………………………………………..... 4
Metodologi …………………..........……………………………………... 5
Sistematika Penulisan ................................................................................. 5
BAB II Teori Dasar
2.1 Pendahuluan ……………………..........……………………………….... 8
2.1 Jenis-jenis Struktur ……………………………………………………... 9
2.1.1 Truss (Rangka) …………........………………………………........... 9
2.1.2 Beam elemen …………………............…………………………...... 9
2.1.3 Frame (Portal) ……....………………………………………............ 10
2.1.4 Grid/Grillage (Balok Silang ...…………………………………….... 10
2.1.5. Spring Element...…………………………....................………….... 10
2.2 Konsep Elemen Hingga ………………………………………………... 12
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
2.3 Dasar-dasar dari Finite Element Method …………………………….... 15
2.3.1 Finite Element Method and Metode Ritz ………………………...... 15
2.4 Truss Element ………………………………………………………...... 20
2.4.1 Matriks Kekakuan ....................... …………………………………. 21
2.4.1.1 Menentukan Matriks Kekakuan terhadap Sumbu Lokal ........... 22
2.4.1.2 Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global............ 25
2.4.1.3 Matriks Kekakuan Struktur ……….....……………………....... 26
2.4.2 Syarat Keseimbangan ......................................................................... 30
BAB III METODE ANALISA
3.1 Pendahuluan …………………………………………………………… 31
3.2 Lingkungan Kerja Matlab ……………………………........................... 32
3.2.1 Beberapa Bagian Dekstop tolls Matlab………….…...…………...... 32
3.2.2 Dasar mengoperasikan Matlab ………………….……...………….. 33
3.2.3 M- File ................................................ .............................................. 34
3.2.3.1 Membuat fungsi Independent M-File …………………………. 38
3.2.4 Debugging M-File ………………………………………………….. 38
3.3 Fungsi Matlab ………………..................................................................... 40
3.3.1 Fungsi Matematika lainnya ................................................................ 42
3.3.2 Analisa Simbolik ............................................................................... 43
3.4 Interupting dan Terminating dalam Matlab ….………………………... 45
3.5 Variabel pada Matlab……………………………………………………. 45
3.6 Penulisan Matriks ...................................................................................... 46
3.6.1 Matriks Khusus …....……………………………………………….. 49
3.7 Operator ..................................................................................................... 54
3.7.1 Operasi bentuk Aljabar dalam Matlab .............................................. 54
3.7.2 Operator Keterangan .......................................................................... 54
3.8 Grafik 2D (dua dimensi ) dan 3D (tiga dimensi ) ...................................... 55
3.9 Kendali Program ........................................................................................ 56
3.10 Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga pada truss elemen
dengan Matlab ...............……………………………………………………... 61
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
BAB IV Aplikasi pada Truss Element
4.1 Contoh Rangka ………...………………………………………………. 63
4.2 Pemograman Matlab ………………………………………………….. 64
4.3 Verifikasi Program .................................................................................. 125
4.3.1 Output Program Matlab ........................................................................ 125
4.3.2.Perhitungan Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan
menggunakan Mikrosoft Excel2003 ..................................................... 126
4.3.3. Output Mikrosoft Excel2003 .............................................................. 127
BAB V Kesimpulan dan Saran
5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………. 128
5.2 Saran ………………………………………………………………….. 128
Daftar Pustaka ………………………………………………………….…. 129
Lampiran Perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel 2003............... 130
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
DAFTAR NOTASI
Te = Energi Potensial Total
V = Potensial dari gaya luar
U = Energi regangan (disebut juga reaksi)
φi = suatu fungsi
V = lendutan
σ = tegangan
ε = regangan
P = Gaya Aksial (kg)
A = Luas Penampang (cm2)
L = Panjang bentang (m)
E = modulus elastisitas (kg/cm2)
{ }f = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul
{ }d = vektor dari perpindahan (displacement)
[ ]K = matrix kekakuan simetri
[ ]ek = matrix kekakuan global
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 : Diskritisasi Elemen a dan b ...................................................... 24
Tabel 2.2 : Menentukan Matriks Kekakuan Global .................................... 27
Tabel 4.1 : Perpindahan Titik .....................................……………........... 125
Tabel 4.2 : Reaksi perletakan .......................................………… ........... 125
Tabel 4.3 : Gaya batang……………......................................................... 125
Tabel 4.4 : Perpindahan Titik berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel..... 127
Tabel 4.5 : Reaksi perletakan berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel.... 127
Tabel 4.6 : Gaya batang berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel............. 127
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 : Element truss.........................................……………............... 3
Gambar 2.1 : Jenis Struktur dalam sipil ....................……………................ 11
Gambar 2.2 : Bentuk mesh pada metode elemen hingga……………........... 14
Gambar 2.3a : Pemodelan Ritz........................................................................ 17
Gambar 2.3b : Pemodelan FEM ....................................................................... 17
Gambar 2.4 : Sebuah Element truss ....................……………..................... 18
Gambar 2.5. : Diskritisasi Element Truss ...................................................... 20
Gambar 2.6. : Elemen truss dengan 8 titik simpul dan 13 elemen ................ 21
Gambar 2.7. : Matriks kekakuan pada sumbu lokal ....................................... 22
Gambar 2.8. :Gaya bekerja pada elemen ....................................................... 23
Gambar 2.9. : Matriks kekakuan pada sumbu global ..................................... 25
Gambar 2.10. : Titik simpul setiap elemen setelah didiskritisasi .................... 27
Gambar 2.11. : Tanda dan defenisi Arah Gaya …………………................... 28
Gambar 3.1 : Matlab Intervace ……………………….……..............…..... 33
Gambar 3.2. : Tampilan operasi matematik sederhana ................................. 34
Gambar 3.3. : Tampilan Set path …………………………………......….... 35
Gambar 3.4. : Tampilan Add Folder …………………………….. .........… 35
Gambar 3.5. : Tampilan Folder baru ………………………......................... 36
Gambar 3.6. : Tampilan M-File Editor …………………………....…..…... 37
Gambar 3.7. : Tampilan Hasil Run M-File ………………………..…….…. 37
Gambar 4.1. : Struktur rangka ........................................................................ 64
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHODE
PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN
MATLAB
1.1. Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi informasi yang terjadi pada saat ini sudah sangat
pesat, hal ini terjadi baik di negara berkembang maupun negara maju. Indonesia
termasuk salah satu negara berkembang yang berusaha untuk mengikuti
perkembangan teknologi informasi tersebut. Perkembangan teknologi informasi
dalam hal ini juga diikuti oleh perkembangan teknologi komputer termasuk di
dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) yang sangat membantu guna
memudahkan pekerjaan dalam berbagai disiplin ilmu. Bidang ilmu teknik sipil
merupakan salah satu bidang ilmu yang menuntut pekerjaan yang cepat, tepat,
akurat serta efisien di dalam waktu dan saat ini telah banyak berkembang
perangkat lunak yang profesional untuk membantu perhitungan dan perencanaan
di bidang teknik sipil seperti SAP 2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak
lagi perangkat lunak yang sejenis. Pada umumnya perangkat lunak yang
dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga (Finite Element
Methode ) untuk memecahkan masalah statika dan mekanikanya.
Metode Elemen Hingga (Finite Element Methode ) adalah salah satu
metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang
engineering, seperti analisa gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu kompenen
struktur, heat transfer, fluida, transportasi massa dan elektromagnetik potensial.
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
Metode Elemen Hingga (Finite Element Methode ) juga dikenal sebagai metode
kekakuan ataupun displasment methode, dikarenakan dalam perhitungan terlebih
dahulu menghitung perpindahan kemudian mengitung gaya batang. Setelah
dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat karena pada saat
itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian
masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan komputer, metode elemen hingga
ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis,
karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang
baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju
sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk
menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa
struktur, pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low
level language dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language
seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga akhir-akhir ini semakin
berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena
kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah
Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk
analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemograman
matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat
dan bentuk matriks. Sesuai dengan perkembangan struktur, dalam perencanaan
berbagai program telah digunakan untuk membantu dalam perhitungan struktur,
Matlab masih jarang digunakan dalam perencaan struktur. Matlab merupakan
integrasi dari komputansi, visualisasi dan pemograman dalam suatu lingkungan
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
yang mudah digunakan, karena permasalahan dan pemecahannya dinyatakan
dalam notasi matematika biasa.
Matlab adalah sistem interaktif dengan elemen dasar array yang merupakan basis
datanya. Array tersebut tidak perlu dinyatakan khusus seperti di bahasa
pemograman yang ada sekarang. Hal ini memungkinkan untuk memecahkan
banyak masalah perhitungan teknik, khususnya yang melibatkan matriks dan
vektor dengan waktu yang lebih singkat dari waktu yang dibutuhkan untuk
menulis program yang lain.
Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai frame (portal) dan truss
(rangka). Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah truss
(rangka), dimana definisi dari portal adalah kerangka yang terdiri dari dua atau
lebih bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas sedangkan definisi
truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan
batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna
mendukung atap atau jembatan.
Gambar.1.1 Element Truss 1
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur pada
plane - truss element memerlukan waktu lama serta ketelitian yang cukup besar
jika dilakukan secara manual oleh karena itu diperlukan suatu alat bantu yang
dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut dan
oleh karena itu disusunlah suatu bahasa pemrograman yang cocok untuk itu yaitu
dengan suatu bahasa script programming sehingga kecepatan dalam pembuatan
program dengan source code yang dibentuk lebih singkat dan cepat dibandingkan
jika menggunakan bahasa pemrograman yang high level, sehingga dapat
menciptakan suatu efisiensi dalam pekerjaan pembuatan program serta tingkat
keakuratan yang cukup baik jika digunakan dalam perhitungan struktur.
1.2 Maksud dan Tujuan
Untuk mengembangkan suatu pemograman komputer untuk element truss yang
berbasis metode elemen hingga ( Finite Element Methode) dengan menggunakan
bahasa script programming yaitu Matlab v6.0.
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam analisa ini penulis membatasi permasalahan untuk penyederhanaan
perhitungan sehingga tujuan dari penulisan tugas akhir ini dapat dicapai yaitu :
1. Perhitungan dilakukan dalam batas elastis
2. Hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk ditentukan dengan
hubungan gaya dan perubahan bentuk yang linier dan berlaku hukum HOOKE
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
3. Rangka yang ditinjau 2 dimensi, dengan beban terpusat P arah y (beban
vertikal) dan x (beban horizontal) dengan panjang bentang L, tinggi bentang h,
dengan 8 (delapan) titik simpul dan 13 (tiga belas) elemen
4. Perletakan sendi –roll
5. Perencanaan pada rangka (truss) tidak diikutsertakan, hanya untuk perhitungan
gaya-gaya dalam struktur saja.
1.4 Metodologi
Metode yang dipakai dalam pembuatan program ini adalah berdasarkan
Metode Elemen Hingga ( Finite Element Methode) dengan menggunakan bahasa
script programming dalam hal ini Matlab kemudian membandingkan hasil yang
diperoleh dari program dengan hasil perhitungan menggunakan Mikrosoft
excel2003.
1.5 Sistematika Penulisan
BAB I. Pendahuluan.
Berisi tentang pembahasan perkembangan teknologi komputer termasuk di
dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) untuk teknik sipil. Umumnya
perangkat lunak yang dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga
(Finite Element Methode) untuk memecahkan masalah statika dan mekanikanya,
pada awalnya dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language
dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language seperti
Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga semakin berkembang bahasa
script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix
Laboratory), untuk itu di sini dicoba membuat program analisa struktur dalam hal
ini untuk struktur rangka (truss) dengan Matlab
Bab II. Teori dasar.
Memuat berbagai jenis struktur pada bangunan teknik sipil, dasar dari Metode
Elemen Hingga (Finite Element Methode) dimana metode elemen hingga adalah
modifikasi dari metode Ritz. Dalam hal ini metode Ritz sudah lama dikenal,
namun setelah lama baru diketahui bahwa metode elemen hingga adalah
modifikasi dari metode Ritz. Pada metode elemen hingga di sini akan dibuat suatu
pemrograman plane truss untuk struktur dua dimensi dengan metode elemen
hingga dimana langkah-langkah untuk pembuatan program plane truss terdapat
pada bab ini.
BAB III. Metode analisa.
Memuat entang Matlab yang akan digunakan untuk pemrograman plane truss
tersebut. Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan
karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih
dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa
pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis,
visualisasi dan pemrograman banyak fungsi Matlab yang sudah tersedia sehingga
untuk pemrograman teknik sipil seperti dalam anlisa struktur perintah yang dibuat
lebih sederhana dari bahasa pemrograman high level language seperti Fortran,
C++, Basic, Pascal dan lain-lain.
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
BAB IV. Aplikasi.
Berisi contoh aplikasi penerapan dengan Matlab, dan hasil yang diperoleh
akan dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan Mikrosoft excel2003.
BAB V. Kesimpulan dan saran.
Menyimpulkan pemograman finite element methode untuk element truss
yang dibuat dengan Matlab.
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
BAB II
TEORI DASAR
2.1. Pendahuluan
Finite element methode merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
menghitung gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Finite
element mothode juga dapat dipakai untuk perhitugan nonstruktur, fluida, elektrik,
statik, dinamik,dan lain-lain. Finite element methode juga dikenal sebagai metode
kekakuan ataupun displacement methode, karena yang didapat terlebih dahulu dari
perhitungan adalah perpindahan kemudian menghitung gaya batang.
Dalam analisa Metode kekakuan ataupun metode elemen hingga didasarkan pada
3 pemikiran:
1. Syarat Keseimbangan,
2. Syarat Kompetibilitas,
3. Syarat bahan,
Dalam Struktur sipil Kekakuan dapat dibagi atas 2 :
1. Linier elastis
Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.
2. Non linier elastis
3. Linier inelastic
4. Non linier inelastic
2.1 Jenis-jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil
Beberapa contoh struktur pada Bangunan Teknik Sipil yang dapat
diselesaikan dengan finite element methode adalah sebagai berikut :
2.1.1 Truss (rangka)
Definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang
tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan
guna mendukung atap atau jembatan, umumnya dapat menahan gaya aksial saja.,
Truss memiliki dua (2) buah DOF (degree of freedom ) yaitu memiliki dua derajat
kebebasan. Truss dapat dikategorikan atas 2 bagian, yaitu :
a. Plane- Element truss, atau Rangka bidang, yaitu Truss 2 dimensi.
Truss yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban
yang bekerja adalah beban terpusat nodal.
b. Space-Truss, atau rangka ruang, yaitu Truss 3 dimensi.
Truss yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya
beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.
2.1.2. Beam element
Definisi Beam (balok) adalah struktur yang terdiri dari dua atau lebih bagian
konstruksi, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser dan gaya lintang,
namun tidak ada gaya Normal yang bekerja. Beam memiliki empat (4) buah DOF
(degree of freedom ).
2.1.3. Grid /Grillage (Balok Silang)
Definisi grid (balok silang) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih
bagian konstruksi yang disambungkan secara kaku (guna stabilitas) pada arah
mendatar, umumnya dapat menahan gaya yang bekerja tegak lurus (sumbu y)
terhadap bidang datarnya (sumbu x), struktur seperti sistem lantai, sistem atap dan
lantai jembatan dapat dianalisis sebagai grid atau balok silang. Grid memiliki enam
(6) buah DOF (degree of freedom ).
2.1.4. Frame (Portal)
Definisi frame (portal) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih
bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas, umumnya dapat menahan
gaya momen, gaya geser dan aksial, dapat dikategorikan atas 2 bagian, yaitu :
a. Plane- Frame Element, yaitu Frame 2 dimensi.
Frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya
beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Plane Frame
memiliki enam (6) buah DOF (degree of freedom ).
b. Space- Frame Element, yaitu Frame 3 dimensi.
Frame yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya
beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Space Frame
memiliki delapan (8) buah DOF (degree of freedom ).
2.1.5. Spring Element
Umumnya dapat menahan gaya aksial saja. Spring Element memiliki dua (2) buah
DOF (degree of freedom ).
Plane-Truss Element
2 DOF
Space-Truss
Element
2 DOF
Beam Element 4 DOF
Grid Element
6 DOF
Plane-Frame
Element
6 DOF
Space-Frame
Element
8 DOF
Spring Element
2 DOF
Gambar 2.1. Jenis Struktur dalam Sipil 3
3 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan
2.2 Konsep Elemen Hingga
Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang
sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai
bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung
kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun
elemen tersebut akan menyebutkan totalitas element tersebut. Totalitas sifat elemen
inilah disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur
mempunyai Modulus elastis (E), Modulus geser (G), Luas penampang (A), Panjang
(L) dan Inersia (I). Hal inilah yang salah satu yang perlu dipahami didalam
pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari
E,G,A,L,I.
Sebagaimana telah didefinisikan para pendahulu-pendahulu, bahwa energi
itu adalah kekal dan jika aksi (energi) dilakukan terhadap suatu materi, maka materi
akan melakukan suatu reaksi sebesar aksi tersebut. Reaksi dari materi ini akan
disebut dengan gaya dalam.”GAYA DALAM “ yang ada dalam struktur
didefinisikan yaitu, Gaya Normal, Gaya Lintang, dan Gaya Momen yang akan
mempengaruhi bentuk fisik materi tersebut. Perubahan bentuk fisik materi ini disebut
dengan peralihan (displacement). Metode elemen hingga adalah suatu metode
pemaparan bagaimana perjalanan aksi hingga timbul reaksi dalam materi, atau
metode untuk meramal besar reaksi dan reaksi apa yang timbul dari materi tersebut.
Batang bengkok menjadi batang-batangpendek yang lurus
Elemen HinggaKontinum
Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka
elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi
elemen-elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan
elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding
dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu
masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya
akan lebih sedehana. Misalnya suatu batang yang panjang, seperti pada Gambar 2.2
bentuk fisiknya tidak lurus dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk
batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi
disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga.
Suatu bidang yang luas seperti Gambar 2.2 dengan dimensi yang tidak
teratur dipotong-potong berbentuk segitiga atau bentuk segi empat yang beraturan.
Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga
atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. dan banyak lagi persoalan yang
identik dengan hal diatas. Berdasarkan pengertian di atas, kontinum dapat
didefinisikan sebagai suatu bidang ataupun luasan yang terdiri dari bagian-bagian
yang kecil yang berbentuk persegi, segitiga ataupun trapesium yang terangkai satu
sama lain sehingga merupakan satu kesatuan yang membentuk bidang tersebut.
Bidang tidak beraturan menjadi bidang-bidang segitiga beraturan
Kontinum
Elemen Hingga
Bidang tidak beraturan menjadi bidang-bidang segiempat beraturan
Kontinum
Elemen Hingga
Gambar 2.2 Bentuk mesh pada metode elemen hingga 4
Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang
berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya. karena
pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali
dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila
menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :
1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan
geometri yang sederhana (segitiga, segi empat. dan lain sebagainya).
2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat
keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.
3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga
peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik
nodalnya.
4. Pada setiap 4 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan
elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan
peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.
5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan
menggunakan prinsip usaha atau energi.
6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.
7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.
8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.
9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.
2.3 Dasar-dasar dari Finite Element Method
2.3.1 Finite Element Method dan Methode Ritz
Sebenarnya metode Finite Element adalah modifikasi dari metode Ritz seperti
pada Gambar 2.3. Metode Ritz sudah lama dikenal, namun setelah lama baru
diketahui bahwa metode Finite Element adalah modifikasi dari methode Ritz 5.
Energi Potensial
Te = U (v) + V (v) minimum …………........................................... (2.1)
dimana:
Te = Energi potensial total
V = Potensial dari gaya luar ( terjadi bila gaya luar benda mempunyai arah )
U = Energi regangan (disebut juga reaksi)
Dengan metode Ritz diperoleh 6
V(x) = ∑ ai . φi (x) = {φ}T {a} ....…................................................... (2.2)
n
i=1
5, Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan 6 O. Axelson, Finite Element Solution of Bondary value problems, pg 146-147
dimana :
V = lendutan
φi = suatu fungsi
π = minimum jika,
............................................ (2.3)
Pada suatu balok yang harus berlaku adalah 7
μ = ½ ∫ E.I ........................................ (2.4)
V = - { ∫ q.v.dx + ∑ [Fj.vj + Mj .
............................................ (2.5)
π = ½ ∫ (Eэv”2 – 2qv) dx - ∑ (Fj vj + Mj v’j) minimum ..….............. (2.6)
Dari Persamaan (2.6) dan (2.2) diperoleh 8 :
π = ½ ∫ Eэ(∑ ai . φi”)2 dx - ∫ q ((∑ ai . φi) dx - ∑[Fj ∑ai.φi (xj)
+ μj . ∑ ai . φi (xj)]
= ½ ∫ Eэ{a}T {φ”}{φ”}T {a} dx - ∫ q{φ}T {a} dx - ∑(Fj{φj}T{a}+Mj{φj}T{a})
= ½ {a}T ∫Eэ{φ”}{φ”}T dx {a}- [∫q{φ} dx + ∑(Fj {φi}T + Mj {φj}T)]{a}
π = ½ {a}T [K] {a} – {f}T {a}
...................….............…….. (2.7)
∂π ∂ai
= 0 (i = 1, 2, 3, …..,n) atau ∂π ∂{a} = 0
(ℓ)
d2V dx
( )2 . dx
(ℓ)
dV dx ( ) j]}
(ℓ) (j)
(ℓ)
n
i=1 i=1 i=1
i=1
(j)
n n
n
(ℓ) (ℓ) (j)
(ℓ) (ℓ) (j)
∂π ∂{a} = [K] {a} – {f} = 0
7, 8 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan
Pada FEM balok akan dibagi dalam beberapa elemen untuk setiap elemen berlaku
Persamaan (2.2) seperti Gambar 2.3.
Ritz
:
Gambar 2.3a. Pemodelan Ritz 9
FEM
:
Gambar 2.3b. Pemodelan FEM 10
[K] {a} f
X
V V(x) = {φ}T {a}
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
=
.
.
.
.
X
V
V(x) = {q(x)}T {d}
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
=
.
.
.
.
. . . . . . . . .
9, 10 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan
Pada metode elemen hingga, energi potensial dapat dijumlahkan dari sebuah elemen
yang ada, sehingga menjadi bentuk persamaan 11
[K] {d} – {f} = 0 ............................................................................................ (2.8)
Dalam menggunakan finite element methode, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap
element / batang akan terdapat 2 buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi
tanda ( 1 ) dan simpul akhir yang diberi tanda ( 2 ) dan sebuah element yang diberi
tanda ( a ) seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Gambar. 2.4. sebuah Element truss 12
Dalam menyelesaikan persoalan dengan finite element methode yaitu menentukan
matriks kekakuan lokal yang berbeda -beda untuk masing-masing jenis struktur
seperti truss element, beam element, grid element, dan lain-lain, masing-masing
batang memiliki kekakuan lokal tersendiri. Jika jenis struktur terdiri dari beberapa
element yang mempunyai sistem koordinat lokal yang berbeda, maka perlu
dikonversikan ke koordinat global yang dapat mewakili semua koordinat lokal
element yang ada..
Maka gaya-gaya yang terjadi pada koordinat global adalah :
}]{[}{ dkf = ………………………………………(2.10)
dimana : f = gaya-gaya batang dalam arah global ( kg )
k = kekakuan global (N/m2)
d = perpindahan global( m ataupun rad )
10 Susatio, Yerri, Ir, MT, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga, hal 7 12 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-3
Kemudian rumus untuk menentukan kekakuan global dapat diturunkan sebagai
berikut 13:
}]{[}{}]{[}{
dTdfTf
=
=
}]{[}{ dkf =
}{]][][[}{}{]][[}{][
1
11
dTkTfdTkfT
−
−−
=
=
Maka ditentukan matriks kekakuan global adalah 14:
1]][][[}{ −= TkTk ………………………………………(2.11)
Dengan [T] adalah suatu faktor konversi gaya - gaya ke arah sumbu global yang
berbeda-beda untuk tiap jenis struktur. Setelah diperoleh matriks kekakuan global,
maka dapat disusun suatu matriks kekakuan struktur yang memasukkan semua
komponen -komponen elemen yang ada 15.
=
2
1
2
1
2
1
00
dd
kk
ff
………………………………………(2.12)
Langkah berikutnya yaitu menentukan syarat- syarat-syarat batas yang ada dan
kemudian nilai perpindahan dapat diperoleh.
13, 14, 15 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan
Dengan nilai perpindahan global yang diperoleh,gaya-gaya batang untuk tiap
element dapat ditentukan dengan 16:
}]{[}{ dkf =
Dimana 17:
}{][}{ 1 dTd −= ………………………………………(2.13)
2.4.Truss Element
Gambar.2.5 Diskritisasi Element Truss 18
Rangka bidang disebut juga Plane Truss. Secara konvensional dalam mencari gaya -
gaya batang di dalam rangka dapat diselesaikan dengan metode Ritter maupun teori
keseimbangan titik buhul. Tetapi penyelesaian disini dilakukan dengan stiffness
methode ( metode kekakuan ) yang disebut juga displacement methode ( metode
perpindahan ).
Dalam hal penyelesaian dengan metode ritter ataupun keseimbangan titik buhul
disebut juga force methode, karena yang pertama didapat adalah gaya / force.
Sedangkan pada metode kekakuan atau finite element methode, yang diperoleh
terlebih dahulu adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dapat dihitung.
16, 17 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan 18 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-1
Truss element memiliki derajat kebebasan sebanyak 2 buah ( 2degree of freedom /
DOF ) yaitu hanya ada gaya lateral yang sejajar dengan batang ( Sx) . Disebut
demikian karena dalam suatu rangka batang akan bekerja dua buah gaya ( Sx1 dan
Sx2) masing-masing pada titik simpul awal dan akhir. Oleh karena itu akan secara
linear menimbulkan 2 perpindahan (u1 dan u2 ).
2.4.1. Matriks Kekakuan
Matriks kekakuan adalah matriks yang memenuhi hubungan antara gaya yang
diberikan ( )f dengan perpindahan/displacement yang dihasilkan (d ) melalui
persamaan 19 : }]{[}{ dkf = …………………………………………(2.14),
Dalam menghitung matriks kekakuan suatu rangka bidang, maka perlu ditentukan
matriks kekakuan terhadap sumbu lokal, matriks kekakuan terhadap sumbu global ,
sehingga kekakuan struktur dapat dihitung. Untuk menghitung matriks kekakuan
suatu struktur, berikut ini akan ditinjau sebuah Stuktur rangka dengan 8 nodes / titik
simpul, yaitu Titik 1, 2, 3, … 10, dan 13 elemen yaitu elemen a, b, c,... m.
Gambar 2.6. Elemen truss dengan 8 titik simpul dan 13 elemen 20
2.4.1.1.Menentu19 Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elmen hingga, hal 7 20 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Methode, USU, Medan
kan Matriks Kekakuan terhadap sumbu lokal
Setiap elemen mempunyai sumbu lokal masing-masing, sebagai contoh adalah
elemen a seperti gambar 2.8. Pada elemen ini ada 2 gaya yaitu Sx1 dan Sx2.
Titik simpul 1 pada gambar disebut juga pangkal/awal, sedangkan untuk Simpul 2
disebut ujung/akhir.
Gambar 2.7. Matriks kekakuan pada sumbu lokal 21
Menurut hokum Hooke , maka berlaku 22 : σ = E ε ; Sedangkan AP
=σ
llAEPAP ∆=⇒=⇒= εεσ ...
dimana : σ = tegangan, ε = regangan, P = Gaya Aksial, A = Luas Penampang,
L = Panjag bentang, E = modulus elastisitas
Untuk titik pangkal/awal 1, jika 1SxP = ;
LLE
ASxE
AP ∆
=⇒= .. 1ε , sedangkan 21 uuL −=∆
Dengan demikian, maka 23:
( )211. uuLAESx −= ……………………………………(2.15)
Syarat kesetimbangan ∑ H = 0, maka Sx1 + Sx2 = 0, dengan demikian
( )212. uuLAESx +−= ……………………………………(2.16)
21, 23, Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elemen hingga, hal 44-45 22 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-3
Dengan menulis dalam bentuk matriks maka didapat 24
−
−=
2
1
2
1
1111
uu
EASxSx
………………………………(2.17)
Persamaan (II.8) dapat ditulis menjadi 25:
]]{[}{ dKfe = ……...........…………………………(2.18)
Dimana;
=2
1}{SxSx
f adalah gaya, [ ]
−
−=
1111
LEAK adalah matriks kekakuan, { }
=2
1
uu
d
adalah perpindahan.
Jika suatu batang terdiri atas dua elemen seperti tergambar ,yang dibebani dengan P
(N) , dengan dimensi batang A( mm2) , dengan panjang batang L (cm), dengan
Elastisitas E (N/mm2), maka gaya batang pada elemen a dan b dapat ditentukan
dengan cara:
Gambar 2.8. Gaya bekerja pada elemen 26
Mencari kekakuan elemen 27 :
Elemen a: [ ]
=
−
−=
mmNA
LaEAKa
1111
,
a P 3 1
2
b
Elemen b:
[ ]
=
−
−=
mmNB
LaEAKb
1111
Mencari kekakuan struktur 28:
Elemen a { } [ ]{ }
==
2
1
2221
1211
dd
KaKaKaKa
daKafa
Elemen b { } [ ]{ }
==
2
1
2221
1211
dd
KbKbKbKb
dbKbfb
Tabel 2.1. Diskritisasi Elemen a dan b 29
Elemen Pangkal/awal (1) Ujung/Akhir (2) a simpul 1 simpul 2 b simpul 2 simpul 3
Pada simpul 1 (elemen a pangkal ) gaya yang terjadi adalah
2121.111 .. dKadKaf += ………………………………………..a
Pada simpul 2 (elemen a ujung dan b awal ) gaya yang terjadi adalah
2221.212 .. dKadKaf += ……………………………………….b
2121.112 .. dKbdKbf += ………………………………………..c
Pada simpul 3 (elemen b ujung ) gaya yang terjadi adalah
2221.213 .. dKbdKbf += ……………………………………….d
Dari a, b, c,d dapat ditulis dengan cara :
Titik simpul 1 32121.111 .0................ ddKadKaf ++=
Titik simpul 2 ( ) 312211221.212 ... dKbdKbKadKaf +++=
Titik simpul 3 3222213 ....................0 dKbdKbf ++=
24, 25 Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elemen hingga, hal 45-46 26, 27 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan
Dengan matriks dapat ditulis :
+=
3
2
1
2221
12112221
1211
3
2
1
0
0
ddd
KbKbKbKbKaKa
KaKa
fff
………………………………(2.19)
Matriks
kekakuan
struktur adalah [ ] 1=Ka
−−+−
−=
3
2
1
3
2
1
0
0
ddd
BBBBAA
AA
fff
………………………………………(2.20)
untuk mencari nilai f1 dan f3 dengan f2 adalah P, maka dapat dihitung dengan
menetapkan boundary coundition ( syarat batas ) d1 = d3= 0.
2.4.1.2.Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global
Dalam Syarat keseimbangan sumbu yang digunakan bukanlah sumbu lokal,
melainkan sumbu global, sehingga diperlukan matriks kekakuan terhadap sumbu
global.
Dengan cara transformasi koordinat maka akan didapat matriks kekakuan terhadap
sumbu global seperti gambar 2.10
28 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan
Gambar 2.9. Matriks kekakuan pada sumbu global 30
Untuk simpul 1 pada gambar 2.10 dapat dituliskan 31:
}]{[0cossin
sincos}{ 1
1
1
11 fT
SxySxS
f =
=
=
=αααα
……………(2.21)
Pada titik simpul 2
berlaku juga seperti
titik simpul 1 yang terlihat pada gambar 2.10 , untuk satu element berlaku 32 :
=→=
TT
TfTf eeee 00
}]{[}{ …………….…..………….(2.22)
Maka matriks kekakuan global adalah 33 :
[ ] 1]][][[ −= eeee TkTk
karena [Te] merupkan matriks orthogonal, maka dapat dituliskan sebagai 34:
[ ] Teeee TkTk ]][][[=
[ ]
−−−−
−−−−
=
0000sincos00
000000sincos
1111111111111111
0sin000cos00000sin000cos
αα
αα
αα
αα
LEAke
30 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-5 31 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan
Dengan menganggap Cos α = C, dan sin α = S, maka matriks kekakuan terhadap
sumbu global adalah 35:
[ ]
−−−−
−−−−
=
22
22
22
22
SSCSSCSCCSCCSSCSSCSCCSCC
LEAke ……..…..…………….(2.23)
2.4.1.3.Matriks Kekakuan Struktur
Setelah kekakuan Lokal dan Global ditentukan, maka selanjutnya adalah
menentukan kekakuan struktur. dari gambar 2.5 Setelah di diskritisasi dihasilkan
gambar 2. berikut
Gambar 2.10. Titik simpul setiap elemen setelah didiskritisasi 36
Dari gambar 2.11. diatas, dapat dilihat Titik simpul setiap elemen, secara tabel
digambarkan pada tabel 2.2 berikut ini.
Tabel 2.2. Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global 37
Element Simpul 1 (awal)
Simpul 2 (akhir)
a 1 2 b 1 3 c 2 3 d 2 4 e 3 4 f 3 5
g 4 5 h 4 6 i 4 7 j 5 7 k 6 7 l 6 8
m 7 8
[Ka], [Kd], [Kf], [Kh], [Kj], [Kl] sesuai dengan persamaan (2.12) adalah kekakuan
pada elemen a, d, f, h, j, dan l dengan αa = αd = αf = αh =αj =αl = 0, untuk elemen
c, g, dan k adalah [Kc], [Kg], [Kk] dengan αc =αg=αk = 270°, untuk elemen b, dan i
adalah [Kb], [Ki] dengan αb = αi = α1, sedangkan untuk elemen e, dan m adalah
[Ke], [Km] dengan αe = αm = α2.
Untuk system
koordinat
YX − berlaku 38 :
{ } [ ]{ }edeKeded
eKeKeKeK
efef
fe =
=
=
=2
1
2221
1211
2
1 ……..…..…………….(2.24)
Sebagai syarat kompatibilitas dimana perpindahan antara dua titik harus sama, maka
ditetapkan 39 :
{ } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { }822
71222
6112
5122
411122
31122
2112
111
ddd
ddddddddd
dddd
dddddd
ddddddddd
ddd
ml
mkji
lkh
jgf
ihged
fecb
dca
ba
==
====
===
===
=====
====
===
==
..…….(2.24)
36 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-18/3-19 37 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan
− +
Dimana dalam setiap titik simpul ( i ) harus memenuhi syarat keseimbangan. Pada
titik simpul ( i ) berlaku 40 :
{ }
=iy
ixi f
ff ....................................................……….(2.25)
Untuk keseragaman maka perlu dibuat definisi tanda dan arah gaya, seperti
tergambar :
Gambar 2.11. Tanda dan defenisi Arah Gaya 41
Untuk masing-masing titik simpul, maka berlaku 42 :
{ } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { }228
12227
1126
1225
111224
11223
1122
111
ml
mkji
lkh
jgf
ihged
fecb
dca
ba
fff
fffffffff
ffff
ffffff
fffffffff
fff
+=
+++=
++=
++=
++++=
+++=
++=
+=
…..…………….(2.26)
Dengan demikian didapat 43:
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] { }
[ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }
[ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }8227217226218
812711
72262172251217224217
7126117126116224216
7125115224215223215
712411612411
5124114223214222214
512311
4123113222213221213
4122113122112221212
3121112121111
........
........
........
dKmdKmdKldKlf
dKmdKm
dKkdKkdKjdKjdKidKif
dKldKldKkdKkdKhdKhf
dKjdKjdKgdKgdKfdKff
dKidKidKhdKh
dKgdKgdKedKedKddKdf
dKfdKf
dKedKedKcdKcdKbdKbf
dKddKddKcdKcdKadKaf
dKbdKbdKadKaf
++++=
++
++++++=
++++++=
++++++=
+++++
++++++=
+++
+++++++=
+++++++=
++++=
Maka Matriks kekakuan Struktur menjadi 44:
++++
+++++
+++++++
+++
=
8
7
6
5
4
3
2
1
22212221
1211222222212121
121211112221
121122222121
12121211111122222121
1212111122222121
121211112221
12121111
8
7
6
5
4
3
2
1
00000000
00000000000000000000000
dddddddd
mKmKlKKlmKmKkKjKiKKkjKiK
lKkKlKkKhKhKjKjKgKfKgKfKiKhKgKiKhKgKeKdKeKKd
fKeKfKeKcKbKKcbKdKcKdKcKaKaK
bKaKbKaK
ffffffff
{ } [ ]{ }dKf = …………………………………………….…………………….(2.27)
Dimana: { }f = vector dari gaya-gaya luar pada titik simpul
{ }d = vector dari perpindahan ( displacement )
[ ]K = matriks kekakuan →Simetri.
2.4.2 Syarat keseimbangan
Pada persamaan (2.27) banyakanya persamaan sesuai dengan banyaknya
displacement yang tidak diketahui. Untuk contoh gambar 2.1, maka perpindahan
(displacement ) adalah:
088111 ===== vuxvu ………………………………………..……….….(2.28)
diketahui:
{ }
=
000
1d ; { }
=
000
8 xd
BAB III
METODE ANALISA
3.1. Pendahuluan
Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan
karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih
dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman
level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan
pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma,
simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik perhitungan.
Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena Matlab
membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik, dan
visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk
memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan
EISPACK. Saat ini Matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai
problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah yang kompleks dari
berbagai disiplin ilmu.
Adapun kelebihan Matlab dari bahasa pemograman yang lainnya adalah
kemudahan dalam mendefenisikan matriks, penurunan persamaan ( dengan fasilitas
simbolik), dan fungsi –fungsi dengan jumlah yang cukup banyak. Dengan
memamfaatkan kelebihan programMatlab, maka efisiensi dalam pembuatan program
akan meningkat.
3.2. Lingkungan Kerja Matlab
3.2.1 Beberapa Bagian dari Dekstop tools Matlab
• Current Directory
Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan Matlab
seperti pada Gambar 3.1 Tampilan Layar dari Matlab, kita dapat mengganti direktori
ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat
direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.
• Command History
Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang
sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap matlab, dimana statemen itu dapat di
copy dan dieksekusi.
• Command Window
Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk
menjalankan fungsi, mendeklarasikan variable, menjalankan proses-proses , serta
melihat isi variable. Setiap variable yang dimasukkan dalam command window
langsung ditampilkan, bila terjadi kesalahan perintah maka akan muncul pesan error.
• Workspace
Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang
sedang aktif pada saat pemakaian Matlab. Apabila variabel berupa data matriks
berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan
double klik pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan
window “array editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user
Gambar berikut menampilkan tampilan antar muka dari Matlab.
3.2.2. Dasar Mengoperasikan Matlab
Setelah Matlab dijalankan, maka akan tampil interface matlab, seperti gambar 3.1
Gambar 3.1. Matlab Intervace 45
Kemudian dicoba operasi matematik sederhana, persamaannya adalah :
C = a + b, dimana a= 2 dan b = 3.
Langkah penerjaannya adalah sebagai berikut:
1. pada Commond area ketik perintah a =2 lalu <enter>, kemudian ketik b = 3
lalu <enter >
2. kemudian ketik c = a + b lalu <enter>
3. Hasilnya akan seperti gambar 1.2 dibawah ini:
Gambar 3.2. Tampilan operasi matematik sederhana 46
3.2.3.M-File
M-File adalah deretan perintah Matlab yang disimpan dalam bentuk file. Karena itu
Matlab menyediakan fasilitas editor dimana command yang dibuat dapat disimpan
dan di eksekusi dalam bentuk script file dengan eksitensi *.m.
M-File diperlukan agar pembuatan program lebih efektif, sebagai contoh
metode kalkulasi langsung seperti gambar 1.2 berlaku efektif command, input, dan
variable yang digunakan sedikit, jika mau menghitung kembali harus mengetik ulang
dengan command , input dan variable yang sama, namun dengan menggunakan M-
file cukup dengan memanggil nama M-File twersebut untuk menjalankan perintah
yang telah didefenisikan.
Agar Matlab mengenali M-File yang dibuat, maka harus didefenisikan
direktori dimana program tersebut berada, dengan cara :
1. Pada menu pulldonw klik File > Set Path
Gambar 3.3. Tampilan Set path 47
2. Akan muncul kotak dialog Set Path. Kemudian klik tombol Add Folder
Gambar 3.4. Tampilan Add Folder 48
3. Kotak dioalog browse for Folder akan muncul. Kemudian pilih folder dimana
akan menyimpan M- File, lalu klik OK 47, 48 hasil print screen saat matlab dioperasikan
4. Maka akan kembali kekotak dialog Set path. Dapat dilihat folder yang sudah
disimpan dalm Matlab Search path window. Klik save untuk menyimpan
informasi path lalu close
Gambar 3.5. Tampilan Folder baru 49
Kemudian dibuat M-File baru, dengan cara:
1. Pada menu pulldown klik file > New >M-File.
2. Maka akan keluar M-File Editor. Pada Editor tersebut diketik kembali
command seperti gambar 3.6
49 hasil print screen saat matlab dioperasikan
Gambar 3.6. Tampilan M-File Editor 50
3. Lalu simpan M-File tersebut dari menu pulldown klik File > Save As...
4. kotak dialog Save file as akan muncul,diberi nama contoh1.m. lalu klik save
untuk kembali ke M- File Edotor
5. kemudian ditutup dari menu pulldown klik window > Close All untuk kembali
ke command area
6. untuk mengeksekusi M-File tersebut, cukup dengan mengetik contoh1 pada
Matlab command area lalu <enter>, hasilnya sebagai berikut :
Gambar 3.7. Tampilan Hasil Run M-File 51
3.2.3.1. Membuat Fungsi Independent M-File.
Fungsi independent dalam Matlab adalah M-File yang berisi sederetan perintah
dengan variable input dan output yang telah didefenisikan, dengan tujuan agar
program yang dibuat lebih fleksibel.
Untuk jelasnya , contoh1.m yang baru dibuat merupakan program script yang dapat
dieksekusi sewaktu-waktu. Namun sifat program tersebut tidak fleksibel karena
50, 51 hasil print screen saat matlab dioperasikan
variabel yang telah ditentukan yaitu a = 2 dan b= 3, maka membuat fungsi yang
fleksibel dengan cara :
1. Buat M-File baru dari menu pulldown klik file > New > M-File.
2. Pada Matlab Editor diketik perintah seperti dibawah ini:
Function c = contoh2 (a,b);
c = a + b;
3. Simpan M- File dengan cara dari menu pulldown kill File > Save as… lalu diberi
contoh2.m.
4. Jalankan program dengan mengetik perintah
a = 5, b = 3, c = contoh2 (a, b); lalu <enter>
Maka hasilnya sebagai berikut:
3.2.4.Debugging M-File
Debugging adalah proses memeriksa kesalahan dari algoritma program yang dibuat.
Proses tersebut dilakukan perlangkah dari program yang telah dibuat, untuk
mengetahui kesalahan syntax atau run-time. Contoh:
1. Buat M-File dengan cara dari menu pulldown kill File > New > M-File,
kemudian pada Matlab M-File Editor, diketik program dibawah ini;
function c = contoh3 (a,b);
c = a + b
d = a * b
e = a / b
f = c / ( a - b )
2. M- File disimpan dengan cara dari menu pulldown kill File > save As…
Kemudian diberi nama contoh3.m
3. Kemudian baris pertama pada program dipilih, lalu menu pulldown pilih Debug
> set/clear Break Point, maka tanda lingkaran merah akan muncul di sebelah
kiri perintah
4. kemudian editor ditutup dari menu pulldown klilk File > Exit Matlab untuk
kembali ke command area.
5. dari Command area diketik :
a = 5, b= 3, c = contoh3(a,b) kemudian < enter >
6. maka command prompt secara otomatis akan ditempatkan di file contoh3.m.
Tanda panah berwarna hijau akan muncul yang berarti debugging siap dilakukan.
7. kemudian dari menu pulldown klik Debug >Step atau tekan F10. maka pada
matlab akan menjalankan perintah pada baris tersebut dan hasilnya langsung
ditampilkan pada layer, dan tanda anak panah secara otomatis akan langsung
berpindah ke baris berikutnya.
8. untuk medebugging baris berikutnya, cukup menekan F10 sampai baris terkhir
dari program.
Namun dikarenakan tahapan debugging ini cukup panjang, maka ada cara lain
yang dengan memilih langsung command yang akan dieksekusi, kemudian tekan
F10. sebagai contoh sebagai berikut:
1. Pilih baris ketiga dan keempat dari fungsi contoh3.m.
2. Kemudian untuk mengevaluasi ekspresi matematis tersebut, dari menu pulldown
klik Text >Evaluate Selection atau trkan F10.
Fungsi Matlab
Di dalam M File, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi yang berisikan
berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan.
Bentuk penulisan nama fungsi
Function [Nilai keluaran ] = namaFungsi (nilai masukan)
% operasi dari fungsi
% …
% …
Contoh penggunaan:
fungsi yang akan dibuat bernama ‘testfungsi’ memiliki tiga nilai masukan ‘c,d,e’ dan
dua nilai
keluaran ‘a,b’:
function [a,b] = testFungsi(c,d,e)
%operasi yang dijalankan
a = c + d +e;
b = c * d *e;
Selanjutnya Fungsi tersebut akan dijalankan melalui command window dengan nilai
masukan ’10,2,4’. Perhatikan penulisan kurung siku ‘[ ]’ pada nilai keluaran dan
kurung biasa
‘( )’ pada nilai masukan.
>> [a,b] = testFungsi(10,2,3)
a =
15
b =
60
Fungsi Matlab yang sifatnya built-in atau dalam bentuk M- File sangat banyak
jumlahnya. Dikarenaka fungsi ini sangat banyak untuk mengetahui berbagai fungsi
dasar; seperti matetmatika dasar, trigonometri, dan lain sebagainya dapat
menggunakan bantuan, dengan mengetik help pada command area, sebagai petunjuk
pemakaian perintah Matlab
Daftar Help topic, topik bantuan akan muncul, seperti:
Matlab\general= perintah serba guna
Matlab\ops=operator dan karakter khusus
Matlab\lang=pembuatan bahasa program
Matlab\elmet=Matriks dasar dan manipulasi matriks
Matlab\elfun=fungsi matematika dasar
Matlab\spefun=Fungsi matematika khusus
Sebagai contoh untuk mengetahui fungsi sinus dalam matrik ketik help sin:
Help sin
Maka hasilnya adalah:
SIN Sind
SIN (x) is the sine of the element of x.
Overloaded methods
Help sym/sin.
Untuk mengetahui informasi yang lebih luas tentang sebuah fungsi pada matlab
dapat menggunakan perintah lookfor.
Beberapa fungsi umum yang berhubungan dengan script file adalah:
clear all= Menghapus semua Variabel di memori
clear var= Menghapus variable var di memori
clc= Membersihkan layer
%= Symbol untuk menyisipkan komentar
;= Menonaktifkan mode display output
load file name= Mengalokasikan dari file name yang berisi matriks (mxn) ke
memori
disp (‘string’)= Menampilkan string pada layar
3.3. 1. Fungsi Matematika lainnya
Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi
matematika antara
lain sebagai berikut:
• abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x
• sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1
• exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, x e
• log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x
• log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log
• sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x
• rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y
3.3.2.Analisa simbolik
Analisa simbolik adalah suatu proses analisa perhitungan dengan memanipulasi
simbol matematik tanpa menggunakan bilangan. Dalam matlab fasilitas ini
mencakup sebagian besar operasi matematik diantaranya:
• syms⇒ mendefenisikan variable simbolik
• int⇒ operasi intergral
• diff⇒ operasi diffrensial
• simple⇒ menyederhanakan ekspresi matematis
• solve⇒ solusi persamaan aljabar
• pretty⇒ membuat ekspresi matematis mudah dilihat
contoh
membuat matriks A dengan anggotanya a, b, c, dan d. Kemudian menghitung
determinan A, invers A, dan membuktikan bahwa A dikali invers A adalah matriks
identitas.
Perintahnya adalah:
Syms a b c d
A =[ a b; c d]
dA=det (A)
iA= inv (A)
I = A*iA
Is=simple (I)
Hasilnya adalah :
dA =
a*d-b*c
iA=
[ d/(a*d-b*c), -b/a(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c), a /(a*d-b*c)]
I=
[ a*d/(a*d-b*c)-b*c/(a*d-b*c0, 0]
[0, a*d/(a*d-b*c)-b*c?(a*d-b*c)]
Is=
[ 1, 0]
[ 0, 1]
untuk mencetak hasil program dengan formatnya adalah sebagai berikut:
%printf⇒ mencetak output dengan format tertentu
% i⇒ format integer
% f⇒ format decimal
% e⇒ format eksponen
% c⇒ format karakter
% s ⇒ format string ( yaitu rangkaian karakter )
%\n⇒ format ganti baris
3.4. Interupting dan Terminating dalam Matlab
Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada Matlab dapat
dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari Matlab
dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window
atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar
3.5. Variabel Pada Matlab
Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam
Matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung
menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada
command window
Contoh pembuatan variabel pada Matlab:
>> varA = 1000
varA =
1000
>> varB = [45 2 35 45]
varB =
45 2 35 45
>> varC = 'test variabel'
varC =
test variabel
Penamaan variabel pada Matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu
diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila
terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan
me-replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user.
3.6. Penulisan Matriks
Suatu matriks n x k adalah suatu array segi empat bilangan yang mempunyai n baris
dan k kolom. Cara menyatakan suatu matriks dalam Matlab sama seperti menyatakan
suatu vector. Dalam membuat suatu data matriks pada Matlab, setiap isi data harus
dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’ Umumnya
secara langsung, apabila anda melihat bahwa suatu matriks terdiri dari vector baris
atau vector kolom. Tanda koma atau spasi untuk memisahkan elemen dalam satu
baris, dan titil koma digunakan sebagai pemisah baris, misalnya;
Matriks A dan Vektor B dengan nilai:
=
1253
A dan B [ 1 2 3 4 5 ]
Cara penulisan dalam Matlab adalah:
A = [ 3 5
2 1 atau A= [ 3 5 ; 2 1]
B = [1 2 3 4 5 ] atau B= [ 1 2 …
3 4 5 ]
Matiks
=
987654321
A maka dalam Matlab dinyatakan sebagai berikut:
>> A= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A=
123
45 6
789
Atau
>> A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
A=
123
45 6
789
Atau
>> A =[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9 ]
A=
123
45 6
789
Jika elemen matriks berurut, dapat digunakan notasi titik dua ( : ) sebagai berikut:
>> A = [ 1 : 3; 4 : 6; 7 : 9 ] atau
>> A = [ 1 : 1 : 3 ; 4 : 1 : 6 ; 7 : 1 : 9 ]
A=
123
45 6
789
Dari contoh diatas dapat diketahui notasi titik dua didalam Matlab dapat digunakan
untuk memanipulasi matriks secara efisien. Tanda tersebut dapat digunakan untuk
menghasilkan vector yang elemen-elemennya berjarak satu dengan berikutnya, selain
itu juga notasi titik dua juga dapat digunalkan untuk merujuk sekumpulan elemen
dalam suatu matriks, misalnya untuk merujuk beberapa kolom atau baris suatu
matriks.contoh dengan ekspresi 1 : 5 pada matlab akan menghasilkan vetor [ 1 2 3 4
5], ekspresi 0.2 : 0.2 : 1.2 akan menghasilkan vector [0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2] dan
ekspresi 5: -1 :1 akan menghasilkan [ 5 4 3 2 1].
Notasi titik dua ( : ) dapat digunakan untuk merujuk beberapa elemen (submatriks)
dari suatu matriks, Jika A adalah matriks berukuran m x n, maka :
A(1:k,m)adalah submatriks A yang terdiri atas elemen-elemen pada kolom ke-m
baris ke -1sampai ke-k.
A(:,[2 4])adalah submatriks A yang terdiri atas kolom ke-2 dan ke-4
A(:,k) adalah submatriks A yang memuat semua eleme pada kolom ke-k.
A(k,:)adalah baris ke-k matriks A.
A(2:5,:)adalah submatriks A yang terdiriatas baris atas baris ke-2 sampai ke-5
pada matriks A.
A(:,:) sama dengan Matriks A itu sendiri.
A(:) mengubah matriks menjadi sebuah vector kolom berukuran mn x 1
Sebagai tambahan, apabila B adalah suatu matriks, maka perintah
A (:,[2 4 5]) =B(:,2:3) akan mengganti kolom ke-2, 4, dan 5 matriks A
dengan kolom ke-1, 2, 3 matriks B
Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, gunakan tanda kurung ‘()’ dengan isi
indeks dari data yang akan dipanggil.
Contoh penggunaan :
>> c(2,2)
ans =
0.4860
Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan
menggunakan tanda titik dua ‘:’ sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua
‘:’ juga dapat digunakan untukmemanggil data matriks perbaris atau perkolom.
Contoh penggunaan:
c(2:5) = memanggil data matrik baris 2 sampai baris 5
a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama
b(:,3) = memanggil data matris pada kolom ketiga
3.6.1.Matriks Khusus
Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk
menghasilkan bentuk-bentuk matriks khusus yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut
antara lain:
• E: matriks elemen kosong
• zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0
• ones : matriks yang semua datanya bernilai 1
• rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform
• randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal
• eye : untuk menghasilkan matriks identitas
• Magic : matriks bujur sangkar ajaib
• Pascal : matriks simetris segitiga pascal
Contoh penggunaan fungsi-fungsi diatas:
• Matriks elemen kosong
>> E = [ ]
E =
[ ]
• Matriks nol 2 x 3
>> a = zeros(2,3)
a =
0 0 0
0 0 0
• Matriks satuan
>> b = ones(1,3)
b =
1 1 1
• Matriks random 2 x 2
>> c = rand(2,2)
c =
0.9501 0.6068
0.2311 0.4860
>> d = rand (1,4)
d =
0.8214 0.4447 0.6154 0.7919
• Matrik Identitas
>> I = eye(3,3)
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
• Matriks pascal
>> A= pascal (3)
A=
1 1 1
1 2 2
1 3 6
• Matriks magic
>>B=magic (3)
B=
8 1 6
3 5 7
4 9 2
• Perkalian matriks dengan matriks identitas
>> x= [ 2; -1; 7 ]
x =
2
-1
7
>> I*x
ans =
2
-1
7
• Membuat matriks diagonal
>> r = [ 1 3 -2]
r =
1 3 2
>>R = diag (r )
R =
1 0 0
0 3 0
0 0 -2
• Mengekstrak diagonal matriks
>> D [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]
D =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>>diag (D)
ans=
1
5
9
• Penggabungan matriks
>>A = [4; -1]
A =
4
-1
>> B = [ -1 3 ]
B =
-1 3
>> C = [ A B’]
C =
4 -1
-1 3
>> size (C)
ans =
2 2
Bebagai bentuk operator matematis dan array yang berlakut pada Matlab dalam
operasi dan fungsi pada matriks, sebagai berikut:
• A : b : c ⇒ pembentukan matriks vector dari a ke c dengan selisih b
• + ⇒ perjumlahan matriks
• - ⇒ pegurangan matriks
• * ⇒ perkalian matriks
• .* ⇒ perkalian perbaris /elemen yang sama
• ^ ⇒ perpangkatan matriks
• .^ ⇒ perpangkatan perbaris/elemen yang sama
• / ⇒ pembagian matriks
• ./ ⇒ pembagian perbaris/elemen yang sama
• A‘ ⇒ Transpose matriks A
• det (A) ⇒ determinan matriks A
• inv (A) ⇒ invers matriks A
• size (A) ⇒ ukuran baris dan kolom matriks A
• trace (A) ⇒ trace/jumlah elemen diagonal matriks A
• max (A) ⇒ nilaii maksimun matriks A per kolom
• length (A) ⇒ panjang matriks A
• find (A==0) ⇒ mencari isi matriks A bernilai 0
• ismember (A,B) ⇒ membandingkan matriks A dan B
• reshape (A,rm,rn)⇒ mengubah dimensi matriks A ke Arm x rrn
• sort (A,dim)⇒ mensortir isi matriks A dari kecil ke besar dimana
dim = 1 disortis dalam kolom, dim =2 disortir dalam baris
• sortrows (A,COL)⇒mensortir baris dari matriks A dari kecil ke besar dimana
COL = kolom acuan
3.7. Operator
Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B)
ditunjukkan berikut ini
3.7.1.Operasi Bentuk Aljabar Bentuk Matlab
Perkalian A x B A * B 5*3
Pembagian A ÷ B A ¥ B 2¥3
Penambahan A + B A + B 1+2
Pengurangan A – B A – B 4-3
Eksponensial B A A ^ B 4^3
3.7.2.Operator Keterangan
A < B A lebih kecil dari B
A > B A lebih besar dari B
A < = B A lebih kecil atau sama dengan B
A > = B A lebih besar atau sama dengan B
A = = B A sama dengan B
A ~ = B A tidak sama dengan B
Sebenarnya masih banyak fasilitas-fasilitas lain yang dimiliki oleh matlab.
Tugas-tugas matematika yang membutuhkan analisis ataupun perhitungan yang
kompleks dan rumit dapat kita implementasikan dengan mudah dengan
memanfaatkan fasilitas yang tedapat di matlab.
3.8 Grafik 2D (dua dimensi) dan 3D (tiga dimensi)
Matlab mempunyai fasilitas untuk mencetak analisa dalam grafik 2D atau 3D,
perintah-perintahnya,antara lain:
• figure⇒ membuat bingkai gambar
• gcf⇒ mengethui penyimpan gambar
• refresh⇒ memperbaharuigambar
• close all⇒ menutup bingkai gambar
• plot⇒ menggambar grafik 2D pada bingkai gambar
• plot3⇒ menggambar grafik 3D pada bingkai gambar
• mesh⇒ menggambar permukaan 3D
• axis on ⇒ memperlihatkan garis sumbu pada gambar
• axis equal⇒ mengatur faktor skala sumbu menjadi sama
• xlim⇒ menentukan batas-batas sumbu x
• ylim⇒ menentukan batas-batas sumbu y
• zlim⇒ menentukan batas-batas sumbu z
• grid on⇒ memperlihatkan garis Bantu pada gambar
• hold on⇒ mempertahankan grafik yang berlaku pada bingkai gambar
contoh.
Plot matriks Ax dan Ay yang merupakan koordinat dari geometri berbentuk kuda-
kuda atap.
Perintahnya adalah:
clear all
close all
clc
xj=[0 5 10 5 5 2.5 2.5 7.5 7.5 5 2.5 5 7.5]
xk=[2.5 7.5 7.5 2.5 5 5 0 10 5 2.5 2.5 7.5 7.5]
yj=[0 3 0 0 0 1.5 0 1.5 0 0 0 0 0]
yk=[1.5 1.5 0 0 3 3 0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5]
AX=[xj' xk']
AY=[yj' yk']
grid off
axis off
axis ([min(xj) max(xj)min(yj) max(yj)])
figure(3)
for i =1:size(xj,2)
hold on
plot(AX(i,:),AY(i,:))
end
axis equal
title('underformed structure')
3.9. Kendali program
Dalam bahasa pemrograman, kontrol program adalah perintah yang mengatur
jalannya program berdasarkan kondisi tertentu. Matlab memiliki beberapa jenis
statement yang dapat digunakan untuk mengatur aliran data pada fungsi yang akan
dibuat, diantaranya:
1. If, Else, End
Perintah if-else-end digunakan untuk mengambil keputusan yang harus dikerjakan
berdasarkan hasil tes rasional, apakah ekspresi tersebut benar maupun salah.
Bentuk dasar penggunaan statement jenis ini adalah sebagai berikut:
Bentuk I:
if ekspresi1
instruksi1
instruksi2
...
end
contoh penggunaan:
>>a = 10;
>> if ( a > 10 )
Disp(‘a bilangan positif ‘);
end
a bilangan positif
bentuk II:
if ekspresi1
blok stetament 1
else
blok stetament2
end
contoh penggunaan:
>> suhu = 50;
>> if ( suhu > 100 )
disp (‘sudah mendidih’);
else
disp(‘temperatur Ok.’);
end;
Temperatur OK
bentuk III:
if ekspresi1
blok stetament 1
elseif ekspresi2
blok stetament2
...
elseif ekspresiN
blok stetamentN
end
contoh penggunaan:
>>tinggi = 165;
>>if (tinggi > 190)
disp(‘sangat tinggi’);
elseif ( tinggi >170)
disp (‘tinggi’);
elseif ( tinggi < 150)
disp (‘pendek’);
else
disp(‘rata-rata’);
end
rata-rata
2. Switch - case
Perintah Switch – case mememungkin sederetan perintah yang harus dikerjakan
dengan argument yang sama.
Bentuk umumnya:
switch ekspresi1
case pilihan1
blok statement1
case pilihan2
blok statement2
…
case pilihan-N
blok statement-N
otherwise
blok statement lainnya
end
3. for-end
Perintah for –end memungkinkan mengulang blok instruksi sebanyak jumlah yang
diinginkan.
Bentuk umumnya:
for i = array (awal : langkah: akhir)
blok instruksi
end
4. while
Perintah while pada prinsipnya sama dengan perintah for, yang digunakan untuk
mengulang blok perintah sepanjang ekspresi bernilai TRUE.
Bentuk umumnya:
While ekspresi
Blok instruksi
end
5. continue
Perintah continue dapat digunakan untuk mengulang kembali dari awal
loop/perulangan sebelum kondisi yang menyebabkan mengulang kembali dari
perulangan ditemukan.
Bentuk umumnya: continue
6. break
Perintah break dapat digunakan untuk mengakhiri loop/perulangqn sebelum kondisi
yang menyebabkan keluar perulangan ditemukan
Bentuk umumya: break
3.10. Langkah-langkah penyelesaian metode elemen hingga pada Truss elemen
dengan Matlab.
1. Membuat File fungsi assembly (assembly.m)
File ini berfungsi untuk merangkai berdasarkan informasi baris dan kolom pada
bahasa mesin (assembly) sehingga dapat mempercepat prose analisis matriks.
2. Membuat File fungsi extract (extract.m)
File ini berfungsi untuk mengekstrak matriks (mxm) ke vektor matriks (mxm) x 1
dengan indeks informasi baris dan kolom.
3. Membuat File fungsi ldata (ldata.m)
File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa beban terpusat dan beban
batang, kekangan dari perletakan, dof /derajat kebebasan setiap simpul.
4. Membuat File fungsi sdata (sdata.m)
File ini berfungsi untuk membaca masukan data untuk jenis struktur ( dalam hal ini
truss 2D ), koordinat, batang elastisitas, luas penampang dan inersia penampang)
5. Membuat fungsi Input Data Elemen truss 2D
File ini berisi data-data umum yang diberikan mengenai Element truss, seperti
Property batang, titik koordinat, element, dan gaya-gaya yang bekerja.
6. Membuat File fungsi t2d_stiff (t2d_stiff.m)
File ini berfungsi untuk membentuk matriks kekakuan sumbu lokal, matriks
transformasi dan matriks kekakuan sumbu global, serta matriks struktur.
7. Membuat File fungsi analysis_result (analysis_result..m)
File ini berfungsi untuk menganalisa matriks kekakuan sumbu kekakuan sumbu
global dan matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung reaksi perletakan
dari struktur serta perpindahan nodal serta gaya-gaya dalam pada setiap elemen.
8. Membuat File fungsi print_result (print_result..m)
File ini berfungsi untuk menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan
nodal, gaya momen, gaya geser dan gaya normal pada monitor dalam bentuk text.
Setelah Program tersebut diatas selesai dibuat pada M-File, maka File
fungsi Input Data Elemen truss 2D, dieksekusi (run ) untuk menampilkan hasil
pemograman.
BAB IV
APLIKASI PADA TRUSS ELEMENT
Dalam bab ini akan diberikan suatu contoh perhitungan rangka (truss) 2 dimensi
seperti pada Gambar 4.1, dengan 8 titik simpul dan 13 elemen, hasil yang diperoleh
dari program dengan menggunakan matlab dibandingkan dengan perhitungan dengan
mikrosoft excel 2003
Adapun data-data yang akan dipergunakan dalam analisa tersebut adalah :
4.1 Contoh Rangka ( Gambar 4.1) :
1. Panjang bentangL = 3 m = 300 cm
2. Tinggi bangunan (kolom)H= 5 m = 500 cm
3. Beban Vertikal P1= 5000 kg
P2=7500 kg
4. Ukuran penampang A1 ; B x H = 20x30 cm2
A2 ; B x H = 20x15 cm2
A3; B x H = 20x40 cm2
7. Modulus Elastisitas beton E = 2.09 x 106kg/cm2
8. Perletakan sendi-roll
Gambar 4.1. Struktur rangka
4. 2. Pemrograman Matlab
Sebagai data masukan pada Matlab, dibuat M-file baru kemudian ketik material
properti, informasi koordinat, informasi element, dan kondisi tumpuan.
Untuk model soal pada gambar 4.1 diatas, data masukan untuk elemen truss 8 titik
buhul dengan 13 elemen adalah sebagai berikut :
1. Fungsi Assembly, dengan program sebagai berikut :
function[A]=assembly;
load scratch_file.txt;
tA=scratch_file; clear scratch_file;
m=max(tA(:,2));
A=zeros(m,m); %B=zeros(size(tA))
B=A;C=A;
for i=1:length(tA);
C=A;
B(tA(i,2),tA(i,3))=tA(i,1);
A(tA(i,2),tA(i,3))=B(tA(i,2),tA(i,3))+C(tA(i,2),tA(i,3));
end;
delete scratch_file.txt;
2. Fungsi Exact, dengan program sebagai berikut :
function[Aex,Bex,Cex]=extract(K,index)
m=size(K,1);
ind=zeros(m,m);Aex=zeros(m*m,1);Bex=Aex;Cex=Aex;
for i=1:m;
ind(i,:)=index;
end;
for i=1:m;
for j=1:m;
im=j+m*(i-1);
Aex(im)=K(i,j);
Bex(im)=ind(j,i);
Cex(im)=ind(i,j);
end;
end;
y=[Aex Bex Cex];
fid=fopen('scratch_file.txt','a+');
for i=1:m*m;
fprintf(fid,'%12.8f %6.2f %6.2f\n',y(i,:));
end;
clear K index;
fclose(fid);
3. Fungsi ldata, dengan program sebagai berikut :
function[IR,IF,Support]=ldata(Support,dof);
% Menentukan besar ukuran matriks
[id,jd]=size(dof);
Support=sortrows(Support,1);
Restraint=zeros(id,jd);
Restraint(:,1)=dof(:,1);
% Check titik sebagai tumpuan atau tidak
i=ismember(Restraint(:,1),Support(:,1));
% Menentukan indeks jika titik adalah suatu tumpuan
ii=find(i==1);
% Pakai dof dari titik sebagai perletakan
Restraint(ii,2:jd)=Support(:,2:jd);
% ubah ke vektor
iR=reshape(Restraint(:,2:jd),1,(jd-1)*id);
iD=reshape(dof(:,2:jd),1,(jd-1)*id);
% Bentuk matriks vektor IF dan IR
iR0=find(iR==0);
iR1=find(iR==1);
IF=sort(iD(iR0));
IR=sort(iD(iR1));
4. Fungsi Sdata, dengan program sebagai berikut :
function[dof,index,coord,element]=...
sdata(prop,element,coord,type)
% Menyiapkan data untuk masukan
coord=sortrows(coord,1);
element=sortrows(element,1);
m=size(element,1);
n=size(coord,1);
switch type;
case{'t2d','T2D'};
nd=2; % untuk rangka 2D
end;
dof=zeros(n,nd+1);
index=zeros(m,nd*2);
switch type;
case{'t2d','T2D'};
for ii=1:n;
i=coord(ii,1);
% J J1 J2 J3
dof(ii,:)=[i 2*i-1 2*i];
end;
for ii=1:m;
% J J1 J2 J3 K K1 K2 K3
index(ii,:)=[dof(element(ii,2),2:3)...
dof(element(ii,3),2:3)];
end;
end
5. Fungsi Input Data Elemen truss 2D, dengan program sebagi berikut :
clear all,clc
%Data Umum
type='t2d'
%property i E A
prop=[1 2.09e6 600
2 2.09e6 300
3 2.09e6 800
%Koordinat x y
coord =[ 1 0 0
2 600 0
3 600 500
4 1200 0
5 1200 500
6 1800 0
7 1800 500
8 2400 0]
% EL J1 J2 Prop
element=[ 1 1 2 3
2 1 3 2
3 2 3 2
4 2 4 3
5 3 4 2
6 3 5 1
7 4 5 2
8 4 6 3
9 4 7 2
10 5 7 1
11 6 7 2
12 6 8 3
13 7 8 2]
% Perletakan
Support=[1 1 1
8 0 1];
% Gaya P yang bekerja
% J X Y
JL= [2 0 10000
3 0 5000
4 0 10000
5 0 7500
6 0 10000
7 0 5000]
% Beban Merata
AML=[0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0;
0 0 0 0]
%Memanggil Fungsi
[dof,index,coord,element]=sdata(prop,element,coord,type);
[S,Sm,SmS,Cx,Cy,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk]=...
t2d_stiff(prop,element,coord,index);
[IR,IF,Support]=ldata(Support,dof);
[DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,IF,IR,...
S,SmS,JL,AML,RT,Support,type)
[joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=...
print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type);
6. Fungsi t2f_stiff, dengan program sebagi berikut :
function[S,Sm,SmS,Cx,Cy,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk]=...
t2d_stiff(prop,element,coord,index);
E=prop(element(:,4),2); % Modulus elastisitas
A=prop(element(:,4),2); % Luas penampang
Joint=coord(:,1);
m=size(element,1);
% Bentuk matriks Xi Xj dan Yi Yj
Xj=zeros(1,m);
Xk=Xj;
Yj=Xj;
Yk=Xj;
for i=1:m;
ij=find(Joint==element(i,2));
ik=find(Joint==element(i,3));
Xj(i)=coord(ij,2);
Xk(i)=coord(ik,2);
Yj(i)=coord(ij,3);
Yk(i)=coord(ik,3);
end;
% Menghitung panjang elemen
L=sqrt((Xk-Xj).^2+(Yk-Yj).^2);
Cx=(Xk-Xj)./L;
Cy=(Yk-Yj)./L;
% Bentuk matriks kekakuan 16x16
SmS=zeros(4,4,m);
Sm=SmS;
RT=SmS;
for i=1:m;
R=[Cx(i) Cy(i);
-Cy(i) Cx(i) ];
RT(:,:,i)=[R zeros(2,2);
zeros(2,2) R]; % Matriks rotasi
SmS(:,:,i)=E(i)*A(i)/L(i)*[1 0 -1 0;0 0 0 0;...
-1 0 1 0;0 0 0 0]
Sm(:,:,i)=RT(:,:,i).'*SmS(:,:,i)*RT(:,:,i);
[Aex,Bex,Cex]=extract(Sm(:,:,i),index(i,:));
end;
disp('Bentuk matriks kekakuan');
S=assembly;
7. Fungsi Analisa Struktur (analysis_result) , dengan program sebagai berikut :
function[DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,...
IF,IR,S,SmS,JL,AML,RT,Support,type)
clear Sff Srf;
ndof=length([IF IR]); % mencari jumlah derajat kebebasan
% Membentuk matriks Sff
Sff=S(IF,IF);
% Membentuk matriks Srf
Srf=S(IR,IF);
% Membentuk matriks beban titik (AJ)
i=1:size(JL,1);
AJ=zeros(1,ndof);
switch type;
case{'t2d','T2D'};
AJ(dof(JL(i),2))=JL(i,2);
AJ(dof(JL(i),3))=JL(i,3);
end;
% Membentuk matriks beban titik ekivalen AE
[mi,ni]=size(index);
% transpose ke..xm matriks (m=jumlah elemen)
AMLT=AML';
AE=zeros(ndof,1);
for i=1:size(element,1);
Ji=index(i,:);
switch type;
case {'t2d','T2D'};
AMLi=[AMLT(1,i);AMLT(2,i);AMLT(3,i);AMLT(4,i)];
end;
AE(Ji)=AE(Ji)-RT(:,:,i)'*AMLi;
end;
AE=AE';
% Menghitung Reaksi perletakan (AR) dan perpindahan titik (DF)
AC=AJ+AE;
AFC=AC(IF)';
ARC=AC(IR)';
DF=Sff\AFC;
AR=-ARC+Srf*DF;
% Menghitung Gaya batang
Dj=zeros(1,ndof);
AM=zeros(ni,mi);
Dj(IF)=DF;
for i=1:size(element,1);
DM=RT(:,:,i)*Dj(index(i,:))';
AM(:,i)=AML(i,:)'+SmS(:,:,i)*DM;
end;
AM=AM.';
8. Fungsi Menampilkan Hasil Analisa (print_result), dengan program sebagai berikut:
function[joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=... print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type) % Print hail keluaran % Print Reaksi Perletakan [id,jd]=size(dof); [iS,jS]=size(Support); reaction=zeros(id,jd); support_reaction=zeros(iS,jd); reaction(:,1)=dof(:,1); for i=1:size(AR,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IR(i)); reaction(ii,jj+1)=AR(i); end; for i=1:size(Support,1); ii=find(reaction(:,1)==Support(i,1)); support_reaction(i,:)=reaction(ii,:); end; % Print perpindahan titik untuk semua dof joint_disp=zeros(size(dof)); joint_disp(:,1)=dof(:,1); bb=ismember (dof,IF); ii=find(bb==1); for i=1:size(DF,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IF(i)); joint_disp(ii,jj+1)=DF(i); end;
switch type; case {'t2d','T2D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry '); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 '); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'p2d','P2D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Mz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Mz1 Fx2 Fy2 Mz2'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'t3d','T3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Dz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan
disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fz1 Fx2 Fy2 Fz2'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'p3d','P3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Dz Rx Ry Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Rz Mx My Mz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fz1 Mx1 My1 Mz1 Fx2 Fy2 Fz2 Mx2 My2 Mz2') fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); end;
Setelah semua fungsi-fungsi diatas dibuat pada M-File dan di simpan, sesuai dengan
eksistensinya, maka Program dapat dijalankan, dengan membuka File Input Data
Elemen truss 2D, dan dieksekusi (run ) maka akan tampil hasil keluaran Matlab
sebagai Out put program.
Tampilan Output program pada command window sebagai berikut :
type =
t2d
prop =
1 2100000 600
2 2100000 300
3 2100000 800
coord =
1 0 0
2 600 500
3 600 0
4 1200 500
5 1200 0
6 1800 0
7 1800 500
8 2400 0
element =
1 1 2 3
2 1 3 2
3 2 3 2
4 2 4 3
5 3 4 2
6 3 5 1
7 4 5 2
8 4 6 3
9 4 7 2
10 5 7 1
11 6 7 2
12 6 8 3
13 7 8 2
JL =
2 0 10000
3 0 5000
4 0 10000
5 0 7500
6 0 10000
7 0 5000
AML =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,1) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,2) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,3) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,4) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,5) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,6) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,7) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,8) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,9) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
SmS(:,:,10) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
SmS(:,:,11) =
1.0e+009 *
8.8200 0 -8.8200 0
0 0 0 0
-8.8200 0 8.8200 0
0 0 0 0
SmS(:,:,12) =
1.0e+009 *
7.3500 0 -7.3500 0
0 0 0 0
-7.3500 0 7.3500 0
0 0 0 0
0 0 0 0
SmS(:,:,13) =
1.0e+009 *
5.6464 0 -5.6464 0
0 0 0 0
-5.6464 0 5.6464 0
0 0 0 0
Bentuk matriks kekakuan
DF =
1.0e-004 *
-0.2471
0.3991
-0.0388
0.4147
-0.2083
0.6560
-0.0918
0.6277
-0.4228
0.5012
-0.1165
0.5168
-0.4616
AR =
1.0e+004 *
-0.0000
-2.3750
-2.3750
AM =
1.0e+004 *
-3.7099 0 3.7099 0
2.8500 0 -2.8500 0
1.3750 0 -1.3750 0
-2.8500 0 2.8500 0
-1.3668 0 1.3668 0
3.9000 0 -3.9000 0
-2.5000 0 2.5000 0
3.7099 0 -3.7099 0
-6.7500 0 6.7500 0
5.0767 0 -5.0767 0
-1.3750 0 1.3750 0
2.8500 0 -2.8500 0
-3.7099 0 3.7099 0
TABEL PERPINDAHAN TITIK
Titik Dx Dy
1 0.0000 0.0000
2 -0.0000 0.0000
3 -0.0000 0.0000
4 -0.0000 0.0001
5 -0.0000 0.0001
6 -0.0000 0.0001
7 -0.0000 0.0001
8 -0.0000 0.0000
TABEL REAKSI PERLETAKAN
Titik Rx Ry
1 -0.0000 -23750.0000
8 0.0000 -23750.0000
TABEL GAYA BATANG
Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2
1 -37098.6860 0.0000 37098.6860 0.0000
2 28500.0000 0.0000 -28500.0000 0.0000
3 13750.0000 0.0000 -13750.0000 0.0000
4 -28500.0000 0.0000 28500.0000 0.0000
5 -13667.9369 0.0000 13667.9369 0.0000
6 39000.0000 0.0000 -39000.0000 0.0000
7 -25000.0000 0.0000 25000.0000 0.0000
8 37098.6860 0.0000 -37098.6860 0.0000
9 -67500.0000 0.0000 67500.0000 0.0000
10 50766.6229 0.0000 -50766.6229 0.0000
11 -13750.0000 0.0000 13750.0000 0.0000
12 28500.0000 0.0000 -28500.0000 0.0000
13 -37098.6860 0.0000 37098.6860 0.0000
>>
4.3. Verifikasi Program
Untuk verifikasi program digunakan perhitungan dengan menggunakan mikrosoft
excel 2003
Formula yang digunakan adalah:
∆ =Outputprogram – Output Mikrosoft excel 2003
4.3.1. Output Program Matlab
Tabel 4.1 Perpindahan Titik Titik Dx Dy
1 2 3 4 5 6 7 8
0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000
Tabel 4.2. Reaksi Perletakan
Titik Rx Ry 1 8
-0.0000 0.000
-23750.0000 -23750.0000`
Tabel 4.3. Gaya Batang
Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-37098.6860 28500.0000 13750.0000
-28500.0000 -13667.9369 39000.0000
-25000.0000 37098.6860 -67500.0000 50766.6229 -13750.0000 28500.0000 -37098.6860
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
37098.6860 -28500.0000 -13750.0000 28500.0000 13667.9369 -39000.0000 25000.0000 -37098.6860 -67500.0000 50766.6229
-13750.0000 28500.0000
-37098.6860
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
4.3.2.Perhitungan Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan
menggunakan Mikrosoft Excel2003.
Langkah-langkah menghitung Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan
menggunakan Mikrosoft Excel2003 adalah sebagai berikut :
1. Deskritisasi Model
2. Menentukan matriks kekakuan lokal masing-masing elemen.
Untuk elemen X digunakan [ ]
−
−=
1111
LEAK , sesuai dengan propertis EA/L
maka, ditentukan untuk K1 → EA1/L, K2 Tegak → EA2/Ltegak, K2Miring →
EA2/Lmiring, K3→EA3/L
3. Menentukan matrik kekakuan Global
Sesuai dengan persamaan (2.23) untuk setiap elemen,
[ ]
−−−−
−−−−
=
22
22
22
22
SSCSSCSCCSCCSSCSSCSCCSCC
LEAke
dengan [ Ka] = [ kd] = [kh] = [kl] = [Kf], [Kb] = [Ki], [kc] = [Kg] = [Kk], [Ke] =
[Km], dan [Kf] = [ Kj]
4. Menentukan Matriks kekakuan struktur
sesuai dengan persamaan :
++++
+++++
+++++++
+++
=
8
7
6
5
4
3
2
1
22212221
1211222222212121
121211112221
121122222121
12121211111122222121
1212111122222121
121211112221
12121111
8
7
6
5
4
3
2
1
00000000
00000000000000000000000
dddddddd
mKmKlKKlmKmKkKjKiKKkjKiK
lKkKlKkKhKhKjKjKgKfKgKfKiKhKgKiKhKgKeKdKeKKd
fKeKfKeKcKbKKcbKdKcKdKcKaKaK
bKaKbKaK
ffffffff
5. menetapkan Boundary Condition
088111 ===== vuxvu
6. Mencari reaksi
7. Mencari gaya batang masing-masing elemen
4.3.3. Output Mikrosoft Excel2003
Tabel 4.4 Perpindahan Titik Titik Dx Dy
1 2 3 4 5 6 7 8
0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000
Tabel 4.5. Reaksi Perletakan
Titik Rx Ry 1 8
-0.0000 0.000
-23750.0000 -23750.0000`
Tabel 4.6 Perhitungan Gaya batang berdasarkan Perhitungan matematis
Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 1(Elemen a) 2(Elemen b) 3(Elemen c) 4(Elemen d) 5(Elemen e) 6(Elemen f) 7(Elemen g) 8(Elemen h) 9(Elemen i) 10(Elemen j) 11(Elemen k) 12(Elemen l)
13(Elemen m)
-37098.6860 28500.0000 13750.0000
-28500.0000 -13667.9369 39000.0000
-25000.0000 37098.6860 -67500.0000 50766.6229 -13750.0000 28500.0000 -37098.6860
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
37098.6860 -28500.0000 -13750.0000 28500.0000 13667.9369 -39000.0000 25000.0000 -37098.6860 -67500.0000 50766.6229
-13750.0000 28500.0000
-37098.6860
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Berdasarkan hasil perbandingan output Matlab dapat dilihat dengan perhitungan
menggunakan Mikrosoft Excel 2003, hasilnya sama
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Pada pemograman finite elemen method dengan matlab pada elemen truss yang
dilakukan pada tugas akhir ini dapat berjalan dengan baik ( berhasil ), dengan
hasil yang diperolah untuk perhitungan Diplacement, Perpindahan titik dan gaya-
gaya batang sama dengan perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel2003
hasil.
2.Pemograman Metode Elemen Hingga menggunakan Matlab ini dapat diterapkan
pada elemen truss yang berbeda, hanya mengganti data masukan berupa propertis
batang, titik simpul dan gaya-gaya yang bekerja pada File Input data 2D.
5.2 Saran
1.Pemograman dengan Matlab dibangan atas fungsi-fungsi berupa analisa simbolik,
sehingga diperlukan ketelitian dalam memasukkan data, supaya program dapat
dijalankan.
2. Dikarenakan Matlab merupakan pemograman yang disusun melalui analisa
simbolik, mengakibatkan dalam memasukkan data (input data) mudah terjadi
kesalahan ataupun eror, sehingga perlu ada suatu program komputer yang lebih
sederhana tanpa membangun banyak fungsi
DAFTAR PUSTAKA
Akin, J.ED, 1986, Finite Elemen Analysis For undergraduates, Acdemic Press
INC, London
Agarwal. R.B, FEA Lectures Notes.
Etter, Delores, dkk, 2003 , Pengantar Matlab 6, PT. INDEX Group Gramadia,
Jakarta
Hibbeller, R.C, 2002, Analisa Struktur, PT. Prenhalindo, Jakarta
M. Firdaus, Alkaf, 2004, Matlab 6 untuk teknik sipil, Maxicom, Palembang
Perangin-angin, Kasiman, ST, 2006, Pengenalan Matlab, ANDI, Yogyakarta.
Pujiriyanto , Andry, 2000, Matlab Bahasa Komputansi Teknis, ANDI,
Yogyakarta.
Reddy, C.S,1981, Basic Structural Analysis, Tata Mc Graw-Hill, New Delhi.
Sahid, Drs, M.Sc, 2006, Panduan Prkatis Matlab , ANDI, Yogyakarta.
Susatio, Yerri, Ir, MT,2004, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga, ANDI,
Yogyakarta.
Tarigan, Johannes,Dr.Ing, Prof.,Bahan Kuliah Finite Element Methode, USU,
Medan
Weaver, William, J.R, 1980, Matrix Analisis of Frame Struktures 2nd Edition,
D.Van Nostrand Campany, New York
The MathWorks.Inc, 2002,Getting Started With MATLAB, Version 6.
top related