pemograman finite element method pada...

Jubel Nainggolan : Pemograman Finite Element Method Pada Element Truss Dengan Menggunakan Matlab, 2009.

PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHOD

PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN

MATLAB

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi

Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh :

03 0404 037

JUBEL NAINGGOLAN

SUB JURUSAN STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009




MATLAB

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi

Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh :

03 0404 037

JUBEL NAINGGOLAN

Pembimbing

Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan

NIP. 130905362

BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009


ABSTRAK

Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur pada elemen truss jika dilakukan secara analitis memerlukan waktu yang lama, dikarenakan banyaknya persamaan dari setiap elemen yang harus diselesaikan da juga hasil yang diperoleh kurang akurat karena itu diperlukan komputer untuk menyusun suatu bahasa pemrograman dalam menyelesaikan perhitungan struktur tersebut.

Pada tugas akhir ini akan dibuat suatu aplikasi pemograman finite elemen methode pada elemen truss dengan menggunakan Mtalab. Matlab adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Bentuk bangunan sipil yang dianalisis dimodelkan sebagai elemen truss dimana pada tahap awal dimasukkan data-data struktur kemudian dibentuk kekakuan lokal masing-masing batang. Kekakuan lokal tersebut kemudian ditransformasikan sehingga diperoleh matriks kekakuan struktur dan nilai deformasi, dari hasil tersebut diperoleh gaya-gaya dalam dari struktur. Sebagai verifikasi program hasil perhitungan dengan pemograman Matlab (data keluaran Matlab) dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel2003.

Pemograman Finite Elmement Method yang dibuat pada tugas akhir ini dapat digunakan untuk menghitung Displacement, gaya-gaya batabg dan deformasi pada element truss, hasil perhitungan ( data keluaran program )dapat dinyatakan akurat, dikarenakan hasil tersebut sama dengan hasil perhitungan dengan Mikrosoft excel2003.


KATA PENGANTAR

Segala Pujian hormat dan kemulian hanya bagi Allah di tempat yang maha

tinggi, yang telah memberikan berkat, kasih dan karunia-Nya sehingga penulis

dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul:


PADA ELEMENT TRUSS DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB

Penulisan Tugas Akhir ini merup$akan salah satu syarat dalam menempuh

ujian sarjana pada Fakultas Teknik, Departemen Teknik Sipil Universitas

Sumatera Utara.

Penulis menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari

berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik,

sehingga dalam kesempatan ini dengan hati yang tulus penulis mengucapkan

terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku dosen pembimbing yang telah

banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan

dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini

2. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Jurusan Departemen

Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Ir. Teruna Jaya, Msc, selaku Sekretaris Jurusan Departemen Teknik

Sipil Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Ir. Syahrir Arbeyn Siregar, Ir. Mawardi S, Ibu Nursyamsi, ST.MT,

selaku dosen Pembanding

5. Bapak/Ibu dosen pengajar dan seluruh pegawai administrasi Departemen

Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.


6. Ibunda tercinta Op.Dela Siringo-ringo atas kasih sayang, doa restu, dorongan

yang diberikan, dan abang-abangku Ir. H. Leonardo N, M.Si, Taruli N, ST,

Sutrisno N, SH, Blider L N, S,Pd, adik-adikku Sanggul N, Sapta Putra N.

7. Untuk Pemimpin Rohani, PKKku: B’Antonius, B’Mue, K’Vera, dan B’Edward

serta Ev. Manat Simbolon, terimaksih untuk dukungannya.

8. Rekan-rekan dalam UKM KMK USU UP FT yang tak tersebut satu persatu,

KTB Adelphos( Ganda, Tomie, Rodo) KTB Samuel (B’Herderd, B’Jimmi,

B’Volma, B’Rendra) adik-adik KK (Adrianto, Jhonra, Meiman, Marni K S)

9. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara

khususnya angkatan’03, Imran, Tohank, Himsar, Dona, Ronal, Yunus,

Mianto,Genk Irigari (Ricard, Tony, Gaplex, B’Ryan02), serta penghargaan

khusus kepada Senina Masana, Donny, Estomihie, Sarman, terimakasih untuk

bantuannya dan semua pihak yang yang tidak disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak

kekurangannya dan jauh dari sempurna. Hal ini penulis akui karena keterbatasan

pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis, penulis memohon maaf yang

sebesar-besarnya apabila terdapat kesalahan penulisan dan penyusunan tugas

akhir ini. untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen

serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan. Akhir kata penulis berharap

tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan.

Medan, Mei 2009

030404037 Jubel Nainggolan


DAFTAR ISI

Abstrak .......................................................................................................... i

Kata pengantar................................................................................................. iii

Daftar isi .......................................................................................................... iv

Daftar notasi .................................................................................................... vii

Daftar tabel ...................................................................................................... viii

Daftar gambar ................................................................................................. ix

BAB I

Latar Belakang Masalah ...……………………………………………..... 1

Maksud dan Tujuan ................................................................................... 4

Pembatasan Masalah .....………………………………………………..... 4

Metodologi …………………..........……………………………………... 5

Sistematika Penulisan ................................................................................. 5

BAB II Teori Dasar

2.1 Pendahuluan ……………………..........……………………………….... 8

2.1 Jenis-jenis Struktur ……………………………………………………... 9

2.1.1 Truss (Rangka) …………........………………………………........... 9

2.1.2 Beam elemen …………………............…………………………...... 9

2.1.3 Frame (Portal) ……....………………………………………............ 10

2.1.4 Grid/Grillage (Balok Silang ...…………………………………….... 10

2.1.5. Spring Element...…………………………....................………….... 10

2.2 Konsep Elemen Hingga ………………………………………………... 12


2.3 Dasar-dasar dari Finite Element Method …………………………….... 15

2.3.1 Finite Element Method and Metode Ritz ………………………...... 15

2.4 Truss Element ………………………………………………………...... 20

2.4.1 Matriks Kekakuan ....................... …………………………………. 21

2.4.1.1 Menentukan Matriks Kekakuan terhadap Sumbu Lokal ........... 22

2.4.1.2 Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global............ 25

2.4.1.3 Matriks Kekakuan Struktur ……….....……………………....... 26

2.4.2 Syarat Keseimbangan ......................................................................... 30

BAB III METODE ANALISA

3.1 Pendahuluan …………………………………………………………… 31

3.2 Lingkungan Kerja Matlab ……………………………........................... 32

3.2.1 Beberapa Bagian Dekstop tolls Matlab………….…...…………...... 32

3.2.2 Dasar mengoperasikan Matlab ………………….……...………….. 33

3.2.3 M- File ................................................ .............................................. 34

3.2.3.1 Membuat fungsi Independent M-File …………………………. 38

3.2.4 Debugging M-File ………………………………………………….. 38

3.3 Fungsi Matlab ………………..................................................................... 40

3.3.1 Fungsi Matematika lainnya ................................................................ 42

3.3.2 Analisa Simbolik ............................................................................... 43

3.4 Interupting dan Terminating dalam Matlab ….………………………... 45

3.5 Variabel pada Matlab……………………………………………………. 45

3.6 Penulisan Matriks ...................................................................................... 46

3.6.1 Matriks Khusus …....……………………………………………….. 49

3.7 Operator ..................................................................................................... 54

3.7.1 Operasi bentuk Aljabar dalam Matlab .............................................. 54

3.7.2 Operator Keterangan .......................................................................... 54

3.8 Grafik 2D (dua dimensi ) dan 3D (tiga dimensi ) ...................................... 55

3.9 Kendali Program ........................................................................................ 56

3.10 Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga pada truss elemen

dengan Matlab ...............……………………………………………………... 61


BAB IV Aplikasi pada Truss Element

4.1 Contoh Rangka ………...………………………………………………. 63

4.2 Pemograman Matlab ………………………………………………….. 64

4.3 Verifikasi Program .................................................................................. 125

4.3.1 Output Program Matlab ........................................................................ 125

4.3.2.Perhitungan Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan

menggunakan Mikrosoft Excel2003 ..................................................... 126

4.3.3. Output Mikrosoft Excel2003 .............................................................. 127

BAB V Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………. 128

5.2 Saran ………………………………………………………………….. 128

Daftar Pustaka ………………………………………………………….…. 129

Lampiran Perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel 2003............... 130


DAFTAR NOTASI

Te = Energi Potensial Total

V = Potensial dari gaya luar

U = Energi regangan (disebut juga reaksi)

φi = suatu fungsi

V = lendutan

σ = tegangan

ε = regangan

P = Gaya Aksial (kg)

A = Luas Penampang (cm2)

L = Panjang bentang (m)

E = modulus elastisitas (kg/cm2)

{ }f = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul

{ }d = vektor dari perpindahan (displacement)

[ ]K = matrix kekakuan simetri

[ ]ek = matrix kekakuan global


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 : Diskritisasi Elemen a dan b ...................................................... 24

Tabel 2.2 : Menentukan Matriks Kekakuan Global .................................... 27

Tabel 4.1 : Perpindahan Titik .....................................……………........... 125

Tabel 4.2 : Reaksi perletakan .......................................………… ........... 125

Tabel 4.3 : Gaya batang……………......................................................... 125

Tabel 4.4 : Perpindahan Titik berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel..... 127

Tabel 4.5 : Reaksi perletakan berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel.... 127

Tabel 4.6 : Gaya batang berdasarkan Perhitungan Mikrosoft excel............. 127


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 : Element truss.........................................……………............... 3

Gambar 2.1 : Jenis Struktur dalam sipil ....................……………................ 11

Gambar 2.2 : Bentuk mesh pada metode elemen hingga……………........... 14

Gambar 2.3a : Pemodelan Ritz........................................................................ 17

Gambar 2.3b : Pemodelan FEM ....................................................................... 17

Gambar 2.4 : Sebuah Element truss ....................……………..................... 18

Gambar 2.5. : Diskritisasi Element Truss ...................................................... 20

Gambar 2.6. : Elemen truss dengan 8 titik simpul dan 13 elemen ................ 21

Gambar 2.7. : Matriks kekakuan pada sumbu lokal ....................................... 22

Gambar 2.8. :Gaya bekerja pada elemen ....................................................... 23

Gambar 2.9. : Matriks kekakuan pada sumbu global ..................................... 25

Gambar 2.10. : Titik simpul setiap elemen setelah didiskritisasi .................... 27

Gambar 2.11. : Tanda dan defenisi Arah Gaya …………………................... 28

Gambar 3.1 : Matlab Intervace ……………………….……..............…..... 33

Gambar 3.2. : Tampilan operasi matematik sederhana ................................. 34

Gambar 3.3. : Tampilan Set path …………………………………......….... 35

Gambar 3.4. : Tampilan Add Folder …………………………….. .........… 35

Gambar 3.5. : Tampilan Folder baru ………………………......................... 36

Gambar 3.6. : Tampilan M-File Editor …………………………....…..…... 37

Gambar 3.7. : Tampilan Hasil Run M-File ………………………..…….…. 37

Gambar 4.1. : Struktur rangka ........................................................................ 64


PEMOGRAMAN FINITE ELEMENT METHODE


MATLAB

1.1. Latar Belakang Masalah

Perkembangan teknologi informasi yang terjadi pada saat ini sudah sangat

pesat, hal ini terjadi baik di negara berkembang maupun negara maju. Indonesia

termasuk salah satu negara berkembang yang berusaha untuk mengikuti

perkembangan teknologi informasi tersebut. Perkembangan teknologi informasi

dalam hal ini juga diikuti oleh perkembangan teknologi komputer termasuk di

dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) yang sangat membantu guna

memudahkan pekerjaan dalam berbagai disiplin ilmu. Bidang ilmu teknik sipil

merupakan salah satu bidang ilmu yang menuntut pekerjaan yang cepat, tepat,

akurat serta efisien di dalam waktu dan saat ini telah banyak berkembang

perangkat lunak yang profesional untuk membantu perhitungan dan perencanaan

di bidang teknik sipil seperti SAP 2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak

lagi perangkat lunak yang sejenis. Pada umumnya perangkat lunak yang

dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga (Finite Element

Methode ) untuk memecahkan masalah statika dan mekanikanya.

Metode Elemen Hingga (Finite Element Methode ) adalah salah satu

metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang

engineering, seperti analisa gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu kompenen

struktur, heat transfer, fluida, transportasi massa dan elektromagnetik potensial.


Metode Elemen Hingga (Finite Element Methode ) juga dikenal sebagai metode

kekakuan ataupun displasment methode, dikarenakan dalam perhitungan terlebih

dahulu menghitung perpindahan kemudian mengitung gaya batang. Setelah

dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat karena pada saat

itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian

masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan komputer, metode elemen hingga

ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis,

karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang

baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju

sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk

menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa

struktur, pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low

level language dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language

seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga akhir-akhir ini semakin

berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena

kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah

Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk

analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemograman

matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat

dan bentuk matriks. Sesuai dengan perkembangan struktur, dalam perencanaan

berbagai program telah digunakan untuk membantu dalam perhitungan struktur,

Matlab masih jarang digunakan dalam perencaan struktur. Matlab merupakan

integrasi dari komputansi, visualisasi dan pemograman dalam suatu lingkungan


yang mudah digunakan, karena permasalahan dan pemecahannya dinyatakan

dalam notasi matematika biasa.

Matlab adalah sistem interaktif dengan elemen dasar array yang merupakan basis

datanya. Array tersebut tidak perlu dinyatakan khusus seperti di bahasa

pemograman yang ada sekarang. Hal ini memungkinkan untuk memecahkan

banyak masalah perhitungan teknik, khususnya yang melibatkan matriks dan

vektor dengan waktu yang lebih singkat dari waktu yang dibutuhkan untuk

menulis program yang lain.

Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai frame (portal) dan truss

(rangka). Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah truss

(rangka), dimana definisi dari portal adalah kerangka yang terdiri dari dua atau

lebih bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas sedangkan definisi

truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan

batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna

mendukung atap atau jembatan.

Gambar.1.1 Element Truss 1


Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur pada

plane - truss element memerlukan waktu lama serta ketelitian yang cukup besar

jika dilakukan secara manual oleh karena itu diperlukan suatu alat bantu yang

dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut dan

oleh karena itu disusunlah suatu bahasa pemrograman yang cocok untuk itu yaitu

dengan suatu bahasa script programming sehingga kecepatan dalam pembuatan

program dengan source code yang dibentuk lebih singkat dan cepat dibandingkan

jika menggunakan bahasa pemrograman yang high level, sehingga dapat

menciptakan suatu efisiensi dalam pekerjaan pembuatan program serta tingkat

keakuratan yang cukup baik jika digunakan dalam perhitungan struktur.

1.2 Maksud dan Tujuan

Untuk mengembangkan suatu pemograman komputer untuk element truss yang

berbasis metode elemen hingga ( Finite Element Methode) dengan menggunakan

bahasa script programming yaitu Matlab v6.0.

1.3 Pembatasan Masalah

Dalam analisa ini penulis membatasi permasalahan untuk penyederhanaan

perhitungan sehingga tujuan dari penulisan tugas akhir ini dapat dicapai yaitu :

1. Perhitungan dilakukan dalam batas elastis

2. Hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk ditentukan dengan

hubungan gaya dan perubahan bentuk yang linier dan berlaku hukum HOOKE


3. Rangka yang ditinjau 2 dimensi, dengan beban terpusat P arah y (beban

vertikal) dan x (beban horizontal) dengan panjang bentang L, tinggi bentang h,

dengan 8 (delapan) titik simpul dan 13 (tiga belas) elemen

4. Perletakan sendi –roll

5. Perencanaan pada rangka (truss) tidak diikutsertakan, hanya untuk perhitungan

gaya-gaya dalam struktur saja.

1.4 Metodologi

Metode yang dipakai dalam pembuatan program ini adalah berdasarkan

Metode Elemen Hingga ( Finite Element Methode) dengan menggunakan bahasa

script programming dalam hal ini Matlab kemudian membandingkan hasil yang

diperoleh dari program dengan hasil perhitungan menggunakan Mikrosoft

excel2003.

1.5 Sistematika Penulisan

BAB I. Pendahuluan.

Berisi tentang pembahasan perkembangan teknologi komputer termasuk di

dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) untuk teknik sipil. Umumnya

perangkat lunak yang dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga

(Finite Element Methode) untuk memecahkan masalah statika dan mekanikanya,

pada awalnya dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language

dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language seperti

Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga semakin berkembang bahasa

script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam


membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix

Laboratory), untuk itu di sini dicoba membuat program analisa struktur dalam hal

ini untuk struktur rangka (truss) dengan Matlab

Bab II. Teori dasar.

Memuat berbagai jenis struktur pada bangunan teknik sipil, dasar dari Metode

Elemen Hingga (Finite Element Methode) dimana metode elemen hingga adalah

modifikasi dari metode Ritz. Dalam hal ini metode Ritz sudah lama dikenal,

namun setelah lama baru diketahui bahwa metode elemen hingga adalah

modifikasi dari metode Ritz. Pada metode elemen hingga di sini akan dibuat suatu

pemrograman plane truss untuk struktur dua dimensi dengan metode elemen

hingga dimana langkah-langkah untuk pembuatan program plane truss terdapat

pada bab ini.

BAB III. Metode analisa.

Memuat entang Matlab yang akan digunakan untuk pemrograman plane truss

tersebut. Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan

karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih

dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa

pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis,

visualisasi dan pemrograman banyak fungsi Matlab yang sudah tersedia sehingga

untuk pemrograman teknik sipil seperti dalam anlisa struktur perintah yang dibuat

lebih sederhana dari bahasa pemrograman high level language seperti Fortran,

C++, Basic, Pascal dan lain-lain.


BAB IV. Aplikasi.

Berisi contoh aplikasi penerapan dengan Matlab, dan hasil yang diperoleh

akan dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan Mikrosoft excel2003.

BAB V. Kesimpulan dan saran.

Menyimpulkan pemograman finite element methode untuk element truss

yang dibuat dengan Matlab.


BAB II

TEORI DASAR

2.1. Pendahuluan

Finite element methode merupakan salah satu metode yang digunakan untuk

menghitung gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Finite

element mothode juga dapat dipakai untuk perhitugan nonstruktur, fluida, elektrik,

statik, dinamik,dan lain-lain. Finite element methode juga dikenal sebagai metode

kekakuan ataupun displacement methode, karena yang didapat terlebih dahulu dari

perhitungan adalah perpindahan kemudian menghitung gaya batang.

Dalam analisa Metode kekakuan ataupun metode elemen hingga didasarkan pada

3 pemikiran:

1. Syarat Keseimbangan,

2. Syarat Kompetibilitas,

3. Syarat bahan,

Dalam Struktur sipil Kekakuan dapat dibagi atas 2 :

1. Linier elastis


2. Non linier elastis

3. Linier inelastic

4. Non linier inelastic

2.1 Jenis-jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil

Beberapa contoh struktur pada Bangunan Teknik Sipil yang dapat

diselesaikan dengan finite element methode adalah sebagai berikut :

2.1.1 Truss (rangka)

Definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang

tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan

guna mendukung atap atau jembatan, umumnya dapat menahan gaya aksial saja.,

Truss memiliki dua (2) buah DOF (degree of freedom ) yaitu memiliki dua derajat

kebebasan. Truss dapat dikategorikan atas 2 bagian, yaitu :

a. Plane- Element truss, atau Rangka bidang, yaitu Truss 2 dimensi.

Truss yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban

yang bekerja adalah beban terpusat nodal.

b. Space-Truss, atau rangka ruang, yaitu Truss 3 dimensi.

Truss yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya

beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.

2.1.2. Beam element

Definisi Beam (balok) adalah struktur yang terdiri dari dua atau lebih bagian

konstruksi, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser dan gaya lintang,

namun tidak ada gaya Normal yang bekerja. Beam memiliki empat (4) buah DOF

(degree of freedom ).

2.1.3. Grid /Grillage (Balok Silang)

Definisi grid (balok silang) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih

bagian konstruksi yang disambungkan secara kaku (guna stabilitas) pada arah

mendatar, umumnya dapat menahan gaya yang bekerja tegak lurus (sumbu y)

terhadap bidang datarnya (sumbu x), struktur seperti sistem lantai, sistem atap dan

lantai jembatan dapat dianalisis sebagai grid atau balok silang. Grid memiliki enam

(6) buah DOF (degree of freedom ).

2.1.4. Frame (Portal)

Definisi frame (portal) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih

bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas, umumnya dapat menahan

gaya momen, gaya geser dan aksial, dapat dikategorikan atas 2 bagian, yaitu :

a. Plane- Frame Element, yaitu Frame 2 dimensi.

Frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya

beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Plane Frame

memiliki enam (6) buah DOF (degree of freedom ).

b. Space- Frame Element, yaitu Frame 3 dimensi.

Frame yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya

beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Space Frame

memiliki delapan (8) buah DOF (degree of freedom ).

2.1.5. Spring Element

Umumnya dapat menahan gaya aksial saja. Spring Element memiliki dua (2) buah

DOF (degree of freedom ).

Plane-Truss Element

2 DOF

Space-Truss

Element

2 DOF

Beam Element 4 DOF

Grid Element

6 DOF

Plane-Frame

Element

6 DOF

Space-Frame

Element

8 DOF

Spring Element

2 DOF

Gambar 2.1. Jenis Struktur dalam Sipil 3

3 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan

2.2 Konsep Elemen Hingga

Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang

sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai

bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung

kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun

elemen tersebut akan menyebutkan totalitas element tersebut. Totalitas sifat elemen

inilah disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur

mempunyai Modulus elastis (E), Modulus geser (G), Luas penampang (A), Panjang

(L) dan Inersia (I). Hal inilah yang salah satu yang perlu dipahami didalam

pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari

E,G,A,L,I.

Sebagaimana telah didefinisikan para pendahulu-pendahulu, bahwa energi

itu adalah kekal dan jika aksi (energi) dilakukan terhadap suatu materi, maka materi

akan melakukan suatu reaksi sebesar aksi tersebut. Reaksi dari materi ini akan

disebut dengan gaya dalam.”GAYA DALAM “ yang ada dalam struktur

didefinisikan yaitu, Gaya Normal, Gaya Lintang, dan Gaya Momen yang akan

mempengaruhi bentuk fisik materi tersebut. Perubahan bentuk fisik materi ini disebut

dengan peralihan (displacement). Metode elemen hingga adalah suatu metode

pemaparan bagaimana perjalanan aksi hingga timbul reaksi dalam materi, atau

metode untuk meramal besar reaksi dan reaksi apa yang timbul dari materi tersebut.

Batang bengkok menjadi batang-batangpendek yang lurus

Elemen HinggaKontinum

Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka

elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi

elemen-elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan

elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding

dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu

masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya

akan lebih sedehana. Misalnya suatu batang yang panjang, seperti pada Gambar 2.2

bentuk fisiknya tidak lurus dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk

batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi

disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga.

Suatu bidang yang luas seperti Gambar 2.2 dengan dimensi yang tidak

teratur dipotong-potong berbentuk segitiga atau bentuk segi empat yang beraturan.

Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga

atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. dan banyak lagi persoalan yang

identik dengan hal diatas. Berdasarkan pengertian di atas, kontinum dapat

didefinisikan sebagai suatu bidang ataupun luasan yang terdiri dari bagian-bagian

yang kecil yang berbentuk persegi, segitiga ataupun trapesium yang terangkai satu

sama lain sehingga merupakan satu kesatuan yang membentuk bidang tersebut.

Bidang tidak beraturan menjadi bidang-bidang segitiga beraturan

Kontinum

Elemen Hingga

Bidang tidak beraturan menjadi bidang-bidang segiempat beraturan

Kontinum

Elemen Hingga

Gambar 2.2 Bentuk mesh pada metode elemen hingga 4

Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang

berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya. karena

pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali

dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila

menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :

1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan

geometri yang sederhana (segitiga, segi empat. dan lain sebagainya).

2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat

keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.

3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga

peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik

nodalnya.

4. Pada setiap 4 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan

elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan

peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.

5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan

menggunakan prinsip usaha atau energi.

6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.

7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.

8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.

9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

2.3 Dasar-dasar dari Finite Element Method

2.3.1 Finite Element Method dan Methode Ritz

Sebenarnya metode Finite Element adalah modifikasi dari metode Ritz seperti

pada Gambar 2.3. Metode Ritz sudah lama dikenal, namun setelah lama baru

diketahui bahwa metode Finite Element adalah modifikasi dari methode Ritz 5.

Energi Potensial

Te = U (v) + V (v) minimum …………........................................... (2.1)

dimana:

Te = Energi potensial total

V = Potensial dari gaya luar ( terjadi bila gaya luar benda mempunyai arah )

U = Energi regangan (disebut juga reaksi)

Dengan metode Ritz diperoleh 6

V(x) = ∑ ai . φi (x) = {φ}T {a} ....…................................................... (2.2)

n

i=1

5, Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan 6 O. Axelson, Finite Element Solution of Bondary value problems, pg 146-147

dimana :

V = lendutan

φi = suatu fungsi

π = minimum jika,

............................................ (2.3)

Pada suatu balok yang harus berlaku adalah 7

μ = ½ ∫ E.I ........................................ (2.4)

V = - { ∫ q.v.dx + ∑ [Fj.vj + Mj .

............................................ (2.5)

π = ½ ∫ (Eэv”2 – 2qv) dx - ∑ (Fj vj + Mj v’j) minimum ..….............. (2.6)

Dari Persamaan (2.6) dan (2.2) diperoleh 8 :

π = ½ ∫ Eэ(∑ ai . φi”)2 dx - ∫ q ((∑ ai . φi) dx - ∑[Fj ∑ai.φi (xj)

+ μj . ∑ ai . φi (xj)]

= ½ ∫ Eэ{a}T {φ”}{φ”}T {a} dx - ∫ q{φ}T {a} dx - ∑(Fj{φj}T{a}+Mj{φj}T{a})

= ½ {a}T ∫Eэ{φ”}{φ”}T dx {a}- [∫q{φ} dx + ∑(Fj {φi}T + Mj {φj}T)]{a}

π = ½ {a}T [K] {a} – {f}T {a}

...................….............…….. (2.7)

∂π ∂ai

= 0 (i = 1, 2, 3, …..,n) atau ∂π ∂{a} = 0

(ℓ)

d2V dx

( )2 . dx

(ℓ)

dV dx ( ) j]}

(ℓ) (j)

(ℓ)

n

i=1 i=1 i=1

i=1

(j)

n n

n

(ℓ) (ℓ) (j)

(ℓ) (ℓ) (j)

∂π ∂{a} = [K] {a} – {f} = 0

7, 8 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan

Pada FEM balok akan dibagi dalam beberapa elemen untuk setiap elemen berlaku

Persamaan (2.2) seperti Gambar 2.3.

Ritz

:

Gambar 2.3a. Pemodelan Ritz 9

FEM

:

Gambar 2.3b. Pemodelan FEM 10

[K] {a} f

X

V V(x) = {φ}T {a}

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

.

.

.

.

=

.

.

.

.

X

V

V(x) = {q(x)}T {d}

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

.

.

.

.

=

.

.

.

.

. . . . . . . . .

9, 10 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan

Pada metode elemen hingga, energi potensial dapat dijumlahkan dari sebuah elemen

yang ada, sehingga menjadi bentuk persamaan 11

[K] {d} – {f} = 0 ............................................................................................ (2.8)

Dalam menggunakan finite element methode, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap

element / batang akan terdapat 2 buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi

tanda ( 1 ) dan simpul akhir yang diberi tanda ( 2 ) dan sebuah element yang diberi

tanda ( a ) seperti tampak pada gambar di bawah ini :

Gambar. 2.4. sebuah Element truss 12

Dalam menyelesaikan persoalan dengan finite element methode yaitu menentukan

matriks kekakuan lokal yang berbeda -beda untuk masing-masing jenis struktur

seperti truss element, beam element, grid element, dan lain-lain, masing-masing

batang memiliki kekakuan lokal tersendiri. Jika jenis struktur terdiri dari beberapa

element yang mempunyai sistem koordinat lokal yang berbeda, maka perlu

dikonversikan ke koordinat global yang dapat mewakili semua koordinat lokal

element yang ada..

Maka gaya-gaya yang terjadi pada koordinat global adalah :

}]{[}{ dkf = ………………………………………(2.10)

dimana : f = gaya-gaya batang dalam arah global ( kg )

k = kekakuan global (N/m2)

d = perpindahan global( m ataupun rad )

10 Susatio, Yerri, Ir, MT, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga, hal 7 12 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-3

Kemudian rumus untuk menentukan kekakuan global dapat diturunkan sebagai

berikut 13:

}]{[}{}]{[}{

dTdfTf

=

=

}]{[}{ dkf =

}{]][][[}{}{]][[}{][

1

11

dTkTfdTkfT

−

−−

=

=

Maka ditentukan matriks kekakuan global adalah 14:

1]][][[}{ −= TkTk ………………………………………(2.11)

Dengan [T] adalah suatu faktor konversi gaya - gaya ke arah sumbu global yang

berbeda-beda untuk tiap jenis struktur. Setelah diperoleh matriks kekakuan global,

maka dapat disusun suatu matriks kekakuan struktur yang memasukkan semua

komponen -komponen elemen yang ada 15.

=

2

1

2

1

2

1

00

dd

kk

ff

………………………………………(2.12)

Langkah berikutnya yaitu menentukan syarat- syarat-syarat batas yang ada dan

kemudian nilai perpindahan dapat diperoleh.

13, 14, 15 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan

Dengan nilai perpindahan global yang diperoleh,gaya-gaya batang untuk tiap

element dapat ditentukan dengan 16:

}]{[}{ dkf =

Dimana 17:

}{][}{ 1 dTd −= ………………………………………(2.13)

2.4.Truss Element

Gambar.2.5 Diskritisasi Element Truss 18

Rangka bidang disebut juga Plane Truss. Secara konvensional dalam mencari gaya -

gaya batang di dalam rangka dapat diselesaikan dengan metode Ritter maupun teori

keseimbangan titik buhul. Tetapi penyelesaian disini dilakukan dengan stiffness

methode ( metode kekakuan ) yang disebut juga displacement methode ( metode

perpindahan ).

Dalam hal penyelesaian dengan metode ritter ataupun keseimbangan titik buhul

disebut juga force methode, karena yang pertama didapat adalah gaya / force.

Sedangkan pada metode kekakuan atau finite element methode, yang diperoleh

terlebih dahulu adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dapat dihitung.

16, 17 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Elemen Methode, USU, Medan 18 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-1

Truss element memiliki derajat kebebasan sebanyak 2 buah ( 2degree of freedom /

DOF ) yaitu hanya ada gaya lateral yang sejajar dengan batang ( Sx) . Disebut

demikian karena dalam suatu rangka batang akan bekerja dua buah gaya ( Sx1 dan

Sx2) masing-masing pada titik simpul awal dan akhir. Oleh karena itu akan secara

linear menimbulkan 2 perpindahan (u1 dan u2 ).

2.4.1. Matriks Kekakuan

Matriks kekakuan adalah matriks yang memenuhi hubungan antara gaya yang

diberikan ( )f dengan perpindahan/displacement yang dihasilkan (d ) melalui

persamaan 19 : }]{[}{ dkf = …………………………………………(2.14),

Dalam menghitung matriks kekakuan suatu rangka bidang, maka perlu ditentukan

matriks kekakuan terhadap sumbu lokal, matriks kekakuan terhadap sumbu global ,

sehingga kekakuan struktur dapat dihitung. Untuk menghitung matriks kekakuan

suatu struktur, berikut ini akan ditinjau sebuah Stuktur rangka dengan 8 nodes / titik

simpul, yaitu Titik 1, 2, 3, … 10, dan 13 elemen yaitu elemen a, b, c,... m.

Gambar 2.6. Elemen truss dengan 8 titik simpul dan 13 elemen 20

2.4.1.1.Menentu19 Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elmen hingga, hal 7 20 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Methode, USU, Medan

kan Matriks Kekakuan terhadap sumbu lokal

Setiap elemen mempunyai sumbu lokal masing-masing, sebagai contoh adalah

elemen a seperti gambar 2.8. Pada elemen ini ada 2 gaya yaitu Sx1 dan Sx2.

Titik simpul 1 pada gambar disebut juga pangkal/awal, sedangkan untuk Simpul 2

disebut ujung/akhir.

Gambar 2.7. Matriks kekakuan pada sumbu lokal 21

Menurut hokum Hooke , maka berlaku 22 : σ = E ε ; Sedangkan AP

=σ

llAEPAP ∆=⇒=⇒= εεσ ...

dimana : σ = tegangan, ε = regangan, P = Gaya Aksial, A = Luas Penampang,

L = Panjag bentang, E = modulus elastisitas

Untuk titik pangkal/awal 1, jika 1SxP = ;

LLE

ASxE

AP ∆

=⇒= .. 1ε , sedangkan 21 uuL −=∆

Dengan demikian, maka 23:

( )211. uuLAESx −= ……………………………………(2.15)

Syarat kesetimbangan ∑ H = 0, maka Sx1 + Sx2 = 0, dengan demikian

( )212. uuLAESx +−= ……………………………………(2.16)

21, 23, Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elemen hingga, hal 44-45 22 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-3

Dengan menulis dalam bentuk matriks maka didapat 24

−

−=

2

1

2

1

1111

uu

EASxSx

………………………………(2.17)

Persamaan (II.8) dapat ditulis menjadi 25:

]]{[}{ dKfe = ……...........…………………………(2.18)

Dimana;

=2

1}{SxSx

f adalah gaya, [ ]

−

−=

1111

LEAK adalah matriks kekakuan, { }

=2

1

uu

d

adalah perpindahan.

Jika suatu batang terdiri atas dua elemen seperti tergambar ,yang dibebani dengan P

(N) , dengan dimensi batang A( mm2) , dengan panjang batang L (cm), dengan

Elastisitas E (N/mm2), maka gaya batang pada elemen a dan b dapat ditentukan

dengan cara:

Gambar 2.8. Gaya bekerja pada elemen 26

Mencari kekakuan elemen 27 :

Elemen a: [ ]

=

−

−=

mmNA

LaEAKa

1111

,

a P 3 1

2

b

Elemen b:

[ ]

=

−

−=

mmNB

LaEAKb

1111

Mencari kekakuan struktur 28:

Elemen a { } [ ]{ }

==

2

1

2221

1211

dd

KaKaKaKa

daKafa

Elemen b { } [ ]{ }

==

2

1

2221

1211

dd

KbKbKbKb

dbKbfb

Tabel 2.1. Diskritisasi Elemen a dan b 29

Elemen Pangkal/awal (1) Ujung/Akhir (2) a simpul 1 simpul 2 b simpul 2 simpul 3

Pada simpul 1 (elemen a pangkal ) gaya yang terjadi adalah

2121.111 .. dKadKaf += ………………………………………..a

Pada simpul 2 (elemen a ujung dan b awal ) gaya yang terjadi adalah

2221.212 .. dKadKaf += ……………………………………….b

2121.112 .. dKbdKbf += ………………………………………..c

Pada simpul 3 (elemen b ujung ) gaya yang terjadi adalah

2221.213 .. dKbdKbf += ……………………………………….d

Dari a, b, c,d dapat ditulis dengan cara :

Titik simpul 1 32121.111 .0................ ddKadKaf ++=

Titik simpul 2 ( ) 312211221.212 ... dKbdKbKadKaf +++=

Titik simpul 3 3222213 ....................0 dKbdKbf ++=

24, 25 Susatio, Yerri, Dasar-dasar Metode Elemen hingga, hal 45-46 26, 27 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan

Dengan matriks dapat ditulis :

+=

3

2

1

2221

12112221

1211

3

2

1

0

0

ddd

KbKbKbKbKaKa

KaKa

fff

………………………………(2.19)

Matriks

kekakuan

struktur adalah [ ] 1=Ka

−−+−

−=

3

2

1

3

2

1

0

0

ddd

BBBBAA

AA

fff

………………………………………(2.20)

untuk mencari nilai f1 dan f3 dengan f2 adalah P, maka dapat dihitung dengan

menetapkan boundary coundition ( syarat batas ) d1 = d3= 0.

2.4.1.2.Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global

Dalam Syarat keseimbangan sumbu yang digunakan bukanlah sumbu lokal,

melainkan sumbu global, sehingga diperlukan matriks kekakuan terhadap sumbu

global.

Dengan cara transformasi koordinat maka akan didapat matriks kekakuan terhadap

sumbu global seperti gambar 2.10

28 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan

Gambar 2.9. Matriks kekakuan pada sumbu global 30

Untuk simpul 1 pada gambar 2.10 dapat dituliskan 31:

}]{[0cossin

sincos}{ 1

1

1

11 fT

SxySxS

f =

=

=

=αααα

……………(2.21)

Pada titik simpul 2

berlaku juga seperti

titik simpul 1 yang terlihat pada gambar 2.10 , untuk satu element berlaku 32 :

=→=

TT

TfTf eeee 00

}]{[}{ …………….…..………….(2.22)

Maka matriks kekakuan global adalah 33 :

[ ] 1]][][[ −= eeee TkTk

karena [Te] merupkan matriks orthogonal, maka dapat dituliskan sebagai 34:

[ ] Teeee TkTk ]][][[=

[ ]

−−−−

−−−−

=

0000sincos00

000000sincos

1111111111111111

0sin000cos00000sin000cos

αα

αα

αα

αα

LEAke

30 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-5 31 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan

Dengan menganggap Cos α = C, dan sin α = S, maka matriks kekakuan terhadap

sumbu global adalah 35:

[ ]

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

SSCSSCSCCSCCSSCSSCSCCSCC

LEAke ……..…..…………….(2.23)

2.4.1.3.Matriks Kekakuan Struktur

Setelah kekakuan Lokal dan Global ditentukan, maka selanjutnya adalah

menentukan kekakuan struktur. dari gambar 2.5 Setelah di diskritisasi dihasilkan

gambar 2. berikut

Gambar 2.10. Titik simpul setiap elemen setelah didiskritisasi 36

Dari gambar 2.11. diatas, dapat dilihat Titik simpul setiap elemen, secara tabel

digambarkan pada tabel 2.2 berikut ini.

Tabel 2.2. Menentukan Matriks Kekakuan terhadap sumbu Global 37

Element Simpul 1 (awal)

Simpul 2 (akhir)

a 1 2 b 1 3 c 2 3 d 2 4 e 3 4 f 3 5

g 4 5 h 4 6 i 4 7 j 5 7 k 6 7 l 6 8

m 7 8

[Ka], [Kd], [Kf], [Kh], [Kj], [Kl] sesuai dengan persamaan (2.12) adalah kekakuan

pada elemen a, d, f, h, j, dan l dengan αa = αd = αf = αh =αj =αl = 0, untuk elemen

c, g, dan k adalah [Kc], [Kg], [Kk] dengan αc =αg=αk = 270°, untuk elemen b, dan i

adalah [Kb], [Ki] dengan αb = αi = α1, sedangkan untuk elemen e, dan m adalah

[Ke], [Km] dengan αe = αm = α2.

Untuk system

koordinat

YX − berlaku 38 :

{ } [ ]{ }edeKeded

eKeKeKeK

efef

fe =

=

=

=2

1

2221

1211

2

1 ……..…..…………….(2.24)

Sebagai syarat kompatibilitas dimana perpindahan antara dua titik harus sama, maka

ditetapkan 39 :

{ } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { }822

71222

6112

5122

411122

31122

2112

111

ddd

ddddddddd

dddd

dddddd

ddddddddd

ddd

ml

mkji

lkh

jgf

ihged

fecb

dca

ba

==

====

===

===

=====

====

===

==

..…….(2.24)

36 R. B. Agarwal, FEA Lecture Notes , pg 3-18/3-19 37 Tarigan, Johannes, DR.-Ing, Prof, Bahan Kuliah Finite Element Method, USU, Medan

− +

Dimana dalam setiap titik simpul ( i ) harus memenuhi syarat keseimbangan. Pada

titik simpul ( i ) berlaku 40 :

{ }

=iy

ixi f

ff ....................................................……….(2.25)

Untuk keseragaman maka perlu dibuat definisi tanda dan arah gaya, seperti

tergambar :

Gambar 2.11. Tanda dan defenisi Arah Gaya 41

Untuk masing-masing titik simpul, maka berlaku 42 :

{ } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { } { }{ } { } { }228

12227

1126

1225

111224

11223

1122

111

ml

mkji

lkh

jgf

ihged

fecb

dca

ba

fff

fffffffff

ffff

ffffff

fffffffff

fff

+=

+++=

++=

++=

++++=

+++=

++=

+=

…..…………….(2.26)

Dengan demikian didapat 43:

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ] { }

[ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }8227217226218

812711

72262172251217224217

7126117126116224216

7125115224215223215

712411612411

5124114223214222214

512311

4123113222213221213

4122113122112221212

3121112121111

........

........

........

dKmdKmdKldKlf

dKmdKm

dKkdKkdKjdKjdKidKif

dKldKldKkdKkdKhdKhf

dKjdKjdKgdKgdKfdKff

dKidKidKhdKh

dKgdKgdKedKedKddKdf

dKfdKf

dKedKedKcdKcdKbdKbf

dKddKddKcdKcdKadKaf

dKbdKbdKadKaf

++++=

++

++++++=

++++++=

++++++=

+++++

++++++=

+++

+++++++=

+++++++=

++++=

Maka Matriks kekakuan Struktur menjadi 44:

++++

+++++

+++++++

+++

=

8

7

6

5

4

3

2

1

22212221

1211222222212121

121211112221

121122222121

12121211111122222121

1212111122222121

121211112221

12121111

8

7

6

5

4

3

2

1

00000000

00000000000000000000000

dddddddd

mKmKlKKlmKmKkKjKiKKkjKiK

lKkKlKkKhKhKjKjKgKfKgKfKiKhKgKiKhKgKeKdKeKKd

fKeKfKeKcKbKKcbKdKcKdKcKaKaK

bKaKbKaK

ffffffff

{ } [ ]{ }dKf = …………………………………………….…………………….(2.27)

Dimana: { }f = vector dari gaya-gaya luar pada titik simpul

{ }d = vector dari perpindahan ( displacement )

[ ]K = matriks kekakuan →Simetri.

2.4.2 Syarat keseimbangan

Pada persamaan (2.27) banyakanya persamaan sesuai dengan banyaknya

displacement yang tidak diketahui. Untuk contoh gambar 2.1, maka perpindahan

(displacement ) adalah:

088111 ===== vuxvu ………………………………………..……….….(2.28)

diketahui:

{ }

=

000

1d ; { }

=

000

8 xd

BAB III

METODE ANALISA

3.1. Pendahuluan

Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan

karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih

dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman

level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan

pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma,

simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik perhitungan.

Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena Matlab

membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik, dan

visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk

memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan

EISPACK. Saat ini Matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai

problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah yang kompleks dari

berbagai disiplin ilmu.

Adapun kelebihan Matlab dari bahasa pemograman yang lainnya adalah

kemudahan dalam mendefenisikan matriks, penurunan persamaan ( dengan fasilitas

simbolik), dan fungsi –fungsi dengan jumlah yang cukup banyak. Dengan

memamfaatkan kelebihan programMatlab, maka efisiensi dalam pembuatan program

akan meningkat.

3.2. Lingkungan Kerja Matlab

3.2.1 Beberapa Bagian dari Dekstop tools Matlab

• Current Directory

Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan Matlab

seperti pada Gambar 3.1 Tampilan Layar dari Matlab, kita dapat mengganti direktori

ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat

direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.

• Command History

Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang

sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap matlab, dimana statemen itu dapat di

copy dan dieksekusi.

• Command Window

Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk

menjalankan fungsi, mendeklarasikan variable, menjalankan proses-proses , serta

melihat isi variable. Setiap variable yang dimasukkan dalam command window

langsung ditampilkan, bila terjadi kesalahan perintah maka akan muncul pesan error.

• Workspace

Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang

sedang aktif pada saat pemakaian Matlab. Apabila variabel berupa data matriks

berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan

double klik pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan

window “array editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user

Gambar berikut menampilkan tampilan antar muka dari Matlab.

3.2.2. Dasar Mengoperasikan Matlab

Setelah Matlab dijalankan, maka akan tampil interface matlab, seperti gambar 3.1

Gambar 3.1. Matlab Intervace 45

Kemudian dicoba operasi matematik sederhana, persamaannya adalah :

C = a + b, dimana a= 2 dan b = 3.

Langkah penerjaannya adalah sebagai berikut:

1. pada Commond area ketik perintah a =2 lalu <enter>, kemudian ketik b = 3

lalu <enter >

2. kemudian ketik c = a + b lalu <enter>

3. Hasilnya akan seperti gambar 1.2 dibawah ini:

Gambar 3.2. Tampilan operasi matematik sederhana 46

3.2.3.M-File

M-File adalah deretan perintah Matlab yang disimpan dalam bentuk file. Karena itu

Matlab menyediakan fasilitas editor dimana command yang dibuat dapat disimpan

dan di eksekusi dalam bentuk script file dengan eksitensi *.m.

M-File diperlukan agar pembuatan program lebih efektif, sebagai contoh

metode kalkulasi langsung seperti gambar 1.2 berlaku efektif command, input, dan

variable yang digunakan sedikit, jika mau menghitung kembali harus mengetik ulang

dengan command , input dan variable yang sama, namun dengan menggunakan M-

file cukup dengan memanggil nama M-File twersebut untuk menjalankan perintah

yang telah didefenisikan.

Agar Matlab mengenali M-File yang dibuat, maka harus didefenisikan

direktori dimana program tersebut berada, dengan cara :

1. Pada menu pulldonw klik File > Set Path

Gambar 3.3. Tampilan Set path 47

2. Akan muncul kotak dialog Set Path. Kemudian klik tombol Add Folder

Gambar 3.4. Tampilan Add Folder 48

3. Kotak dioalog browse for Folder akan muncul. Kemudian pilih folder dimana

akan menyimpan M- File, lalu klik OK 47, 48 hasil print screen saat matlab dioperasikan

4. Maka akan kembali kekotak dialog Set path. Dapat dilihat folder yang sudah

disimpan dalm Matlab Search path window. Klik save untuk menyimpan

informasi path lalu close

Gambar 3.5. Tampilan Folder baru 49

Kemudian dibuat M-File baru, dengan cara:

1. Pada menu pulldown klik file > New >M-File.

2. Maka akan keluar M-File Editor. Pada Editor tersebut diketik kembali

command seperti gambar 3.6

49 hasil print screen saat matlab dioperasikan

Gambar 3.6. Tampilan M-File Editor 50

3. Lalu simpan M-File tersebut dari menu pulldown klik File > Save As...

4. kotak dialog Save file as akan muncul,diberi nama contoh1.m. lalu klik save

untuk kembali ke M- File Edotor

5. kemudian ditutup dari menu pulldown klik window > Close All untuk kembali

ke command area

6. untuk mengeksekusi M-File tersebut, cukup dengan mengetik contoh1 pada

Matlab command area lalu <enter>, hasilnya sebagai berikut :

Gambar 3.7. Tampilan Hasil Run M-File 51

3.2.3.1. Membuat Fungsi Independent M-File.

Fungsi independent dalam Matlab adalah M-File yang berisi sederetan perintah

dengan variable input dan output yang telah didefenisikan, dengan tujuan agar

program yang dibuat lebih fleksibel.

Untuk jelasnya , contoh1.m yang baru dibuat merupakan program script yang dapat

dieksekusi sewaktu-waktu. Namun sifat program tersebut tidak fleksibel karena

50, 51 hasil print screen saat matlab dioperasikan

variabel yang telah ditentukan yaitu a = 2 dan b= 3, maka membuat fungsi yang

fleksibel dengan cara :

1. Buat M-File baru dari menu pulldown klik file > New > M-File.

2. Pada Matlab Editor diketik perintah seperti dibawah ini:

Function c = contoh2 (a,b);

c = a + b;

3. Simpan M- File dengan cara dari menu pulldown kill File > Save as… lalu diberi

contoh2.m.

4. Jalankan program dengan mengetik perintah

a = 5, b = 3, c = contoh2 (a, b); lalu <enter>

Maka hasilnya sebagai berikut:

3.2.4.Debugging M-File

Debugging adalah proses memeriksa kesalahan dari algoritma program yang dibuat.

Proses tersebut dilakukan perlangkah dari program yang telah dibuat, untuk

mengetahui kesalahan syntax atau run-time. Contoh:

1. Buat M-File dengan cara dari menu pulldown kill File > New > M-File,

kemudian pada Matlab M-File Editor, diketik program dibawah ini;

function c = contoh3 (a,b);

c = a + b

d = a * b

e = a / b

f = c / ( a - b )

2. M- File disimpan dengan cara dari menu pulldown kill File > save As…

Kemudian diberi nama contoh3.m

3. Kemudian baris pertama pada program dipilih, lalu menu pulldown pilih Debug

> set/clear Break Point, maka tanda lingkaran merah akan muncul di sebelah

kiri perintah

4. kemudian editor ditutup dari menu pulldown klilk File > Exit Matlab untuk

kembali ke command area.

5. dari Command area diketik :

a = 5, b= 3, c = contoh3(a,b) kemudian < enter >

6. maka command prompt secara otomatis akan ditempatkan di file contoh3.m.

Tanda panah berwarna hijau akan muncul yang berarti debugging siap dilakukan.

7. kemudian dari menu pulldown klik Debug >Step atau tekan F10. maka pada

matlab akan menjalankan perintah pada baris tersebut dan hasilnya langsung

ditampilkan pada layer, dan tanda anak panah secara otomatis akan langsung

berpindah ke baris berikutnya.

8. untuk medebugging baris berikutnya, cukup menekan F10 sampai baris terkhir

dari program.

Namun dikarenakan tahapan debugging ini cukup panjang, maka ada cara lain

yang dengan memilih langsung command yang akan dieksekusi, kemudian tekan

F10. sebagai contoh sebagai berikut:

1. Pilih baris ketiga dan keempat dari fungsi contoh3.m.

2. Kemudian untuk mengevaluasi ekspresi matematis tersebut, dari menu pulldown

klik Text >Evaluate Selection atau trkan F10.

Fungsi Matlab

Di dalam M File, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi yang berisikan

berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan.

Bentuk penulisan nama fungsi

Function [Nilai keluaran ] = namaFungsi (nilai masukan)

% operasi dari fungsi

% …

% …

Contoh penggunaan:

fungsi yang akan dibuat bernama ‘testfungsi’ memiliki tiga nilai masukan ‘c,d,e’ dan

dua nilai

keluaran ‘a,b’:

function [a,b] = testFungsi(c,d,e)

%operasi yang dijalankan

a = c + d +e;

b = c * d *e;

Selanjutnya Fungsi tersebut akan dijalankan melalui command window dengan nilai

masukan ’10,2,4’. Perhatikan penulisan kurung siku ‘[ ]’ pada nilai keluaran dan

kurung biasa

‘( )’ pada nilai masukan.

>> [a,b] = testFungsi(10,2,3)

a =

15

b =

60

Fungsi Matlab yang sifatnya built-in atau dalam bentuk M- File sangat banyak

jumlahnya. Dikarenaka fungsi ini sangat banyak untuk mengetahui berbagai fungsi

dasar; seperti matetmatika dasar, trigonometri, dan lain sebagainya dapat

menggunakan bantuan, dengan mengetik help pada command area, sebagai petunjuk

pemakaian perintah Matlab

Daftar Help topic, topik bantuan akan muncul, seperti:

Matlab\general= perintah serba guna

Matlab\ops=operator dan karakter khusus

Matlab\lang=pembuatan bahasa program

Matlab\elmet=Matriks dasar dan manipulasi matriks

Matlab\elfun=fungsi matematika dasar

Matlab\spefun=Fungsi matematika khusus

Sebagai contoh untuk mengetahui fungsi sinus dalam matrik ketik help sin:

Help sin

Maka hasilnya adalah:

SIN Sind

SIN (x) is the sine of the element of x.

Overloaded methods

Help sym/sin.

Untuk mengetahui informasi yang lebih luas tentang sebuah fungsi pada matlab

dapat menggunakan perintah lookfor.

Beberapa fungsi umum yang berhubungan dengan script file adalah:

clear all= Menghapus semua Variabel di memori

clear var= Menghapus variable var di memori

clc= Membersihkan layer

%= Symbol untuk menyisipkan komentar

;= Menonaktifkan mode display output

load file name= Mengalokasikan dari file name yang berisi matriks (mxn) ke

memori

disp (‘string’)= Menampilkan string pada layar

3.3. 1. Fungsi Matematika lainnya

Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi

matematika antara

lain sebagai berikut:

• abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x

• sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1

• exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, x e

• log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x

• log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log

• sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x

• rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y

3.3.2.Analisa simbolik

Analisa simbolik adalah suatu proses analisa perhitungan dengan memanipulasi

simbol matematik tanpa menggunakan bilangan. Dalam matlab fasilitas ini

mencakup sebagian besar operasi matematik diantaranya:

• syms⇒ mendefenisikan variable simbolik

• int⇒ operasi intergral

• diff⇒ operasi diffrensial

• simple⇒ menyederhanakan ekspresi matematis

• solve⇒ solusi persamaan aljabar

• pretty⇒ membuat ekspresi matematis mudah dilihat

contoh

membuat matriks A dengan anggotanya a, b, c, dan d. Kemudian menghitung

determinan A, invers A, dan membuktikan bahwa A dikali invers A adalah matriks

identitas.

Perintahnya adalah:

Syms a b c d

A =[ a b; c d]

dA=det (A)

iA= inv (A)

I = A*iA

Is=simple (I)

Hasilnya adalah :

dA =

a*d-b*c

iA=

[ d/(a*d-b*c), -b/a(a*d-b*c)]

[ -c/(a*d-b*c), a /(a*d-b*c)]

I=

[ a*d/(a*d-b*c)-b*c/(a*d-b*c0, 0]

[0, a*d/(a*d-b*c)-b*c?(a*d-b*c)]

Is=

[ 1, 0]

[ 0, 1]

untuk mencetak hasil program dengan formatnya adalah sebagai berikut:

%printf⇒ mencetak output dengan format tertentu

% i⇒ format integer

% f⇒ format decimal

% e⇒ format eksponen

% c⇒ format karakter

% s ⇒ format string ( yaitu rangkaian karakter )

%\n⇒ format ganti baris

3.4. Interupting dan Terminating dalam Matlab

Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada Matlab dapat

dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari Matlab

dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window

atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar

3.5. Variabel Pada Matlab

Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam

Matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung

menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada

command window

Contoh pembuatan variabel pada Matlab:

>> varA = 1000

varA =

1000

>> varB = [45 2 35 45]

varB =

45 2 35 45

>> varC = 'test variabel'

varC =

test variabel

Penamaan variabel pada Matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu

diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila

terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan

me-replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user.

3.6. Penulisan Matriks

Suatu matriks n x k adalah suatu array segi empat bilangan yang mempunyai n baris

dan k kolom. Cara menyatakan suatu matriks dalam Matlab sama seperti menyatakan

suatu vector. Dalam membuat suatu data matriks pada Matlab, setiap isi data harus

dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’ Umumnya

secara langsung, apabila anda melihat bahwa suatu matriks terdiri dari vector baris

atau vector kolom. Tanda koma atau spasi untuk memisahkan elemen dalam satu

baris, dan titil koma digunakan sebagai pemisah baris, misalnya;

Matriks A dan Vektor B dengan nilai:

=

1253

A dan B [ 1 2 3 4 5 ]

Cara penulisan dalam Matlab adalah:

A = [ 3 5

2 1 atau A= [ 3 5 ; 2 1]

B = [1 2 3 4 5 ] atau B= [ 1 2 …

3 4 5 ]

Matiks

=

987654321

A maka dalam Matlab dinyatakan sebagai berikut:

>> A= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A=

123

45 6

789

Atau

>> A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]

A=

123

45 6

789

Atau

>> A =[ 1 2 3

4 5 6

7 8 9 ]

A=

123

45 6

789

Jika elemen matriks berurut, dapat digunakan notasi titik dua ( : ) sebagai berikut:

>> A = [ 1 : 3; 4 : 6; 7 : 9 ] atau

>> A = [ 1 : 1 : 3 ; 4 : 1 : 6 ; 7 : 1 : 9 ]

A=

123

45 6

789

Dari contoh diatas dapat diketahui notasi titik dua didalam Matlab dapat digunakan

untuk memanipulasi matriks secara efisien. Tanda tersebut dapat digunakan untuk

menghasilkan vector yang elemen-elemennya berjarak satu dengan berikutnya, selain

itu juga notasi titik dua juga dapat digunalkan untuk merujuk sekumpulan elemen

dalam suatu matriks, misalnya untuk merujuk beberapa kolom atau baris suatu

matriks.contoh dengan ekspresi 1 : 5 pada matlab akan menghasilkan vetor [ 1 2 3 4

5], ekspresi 0.2 : 0.2 : 1.2 akan menghasilkan vector [0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2] dan

ekspresi 5: -1 :1 akan menghasilkan [ 5 4 3 2 1].

Notasi titik dua ( : ) dapat digunakan untuk merujuk beberapa elemen (submatriks)

dari suatu matriks, Jika A adalah matriks berukuran m x n, maka :

A(1:k,m)adalah submatriks A yang terdiri atas elemen-elemen pada kolom ke-m

baris ke -1sampai ke-k.

A(:,[2 4])adalah submatriks A yang terdiri atas kolom ke-2 dan ke-4

A(:,k) adalah submatriks A yang memuat semua eleme pada kolom ke-k.

A(k,:)adalah baris ke-k matriks A.

A(2:5,:)adalah submatriks A yang terdiriatas baris atas baris ke-2 sampai ke-5

pada matriks A.

A(:,:) sama dengan Matriks A itu sendiri.

A(:) mengubah matriks menjadi sebuah vector kolom berukuran mn x 1

Sebagai tambahan, apabila B adalah suatu matriks, maka perintah

A (:,[2 4 5]) =B(:,2:3) akan mengganti kolom ke-2, 4, dan 5 matriks A

dengan kolom ke-1, 2, 3 matriks B

Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, gunakan tanda kurung ‘()’ dengan isi

indeks dari data yang akan dipanggil.

Contoh penggunaan :

>> c(2,2)

ans =

0.4860

Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan

menggunakan tanda titik dua ‘:’ sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua

‘:’ juga dapat digunakan untukmemanggil data matriks perbaris atau perkolom.

Contoh penggunaan:

c(2:5) = memanggil data matrik baris 2 sampai baris 5

a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama

b(:,3) = memanggil data matris pada kolom ketiga

3.6.1.Matriks Khusus

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk

menghasilkan bentuk-bentuk matriks khusus yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut

antara lain:

• E: matriks elemen kosong

• zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0

• ones : matriks yang semua datanya bernilai 1

• rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform

• randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal

• eye : untuk menghasilkan matriks identitas

• Magic : matriks bujur sangkar ajaib

• Pascal : matriks simetris segitiga pascal

Contoh penggunaan fungsi-fungsi diatas:

• Matriks elemen kosong

>> E = [ ]

E =

[ ]

• Matriks nol 2 x 3

>> a = zeros(2,3)

a =

0 0 0

0 0 0

• Matriks satuan

>> b = ones(1,3)

b =

1 1 1

• Matriks random 2 x 2

>> c = rand(2,2)

c =

0.9501 0.6068

0.2311 0.4860

>> d = rand (1,4)

d =

0.8214 0.4447 0.6154 0.7919

• Matrik Identitas

>> I = eye(3,3)

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

• Matriks pascal

>> A= pascal (3)

A=

1 1 1

1 2 2

1 3 6

• Matriks magic

>>B=magic (3)

B=

8 1 6

3 5 7

4 9 2

• Perkalian matriks dengan matriks identitas

>> x= [ 2; -1; 7 ]

x =

2

-1

7

>> I*x

ans =

2

-1

7

• Membuat matriks diagonal

>> r = [ 1 3 -2]

r =

1 3 2

>>R = diag (r )

R =

1 0 0

0 3 0

0 0 -2

• Mengekstrak diagonal matriks

>> D [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

D =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>>diag (D)

ans=

1

5

9

• Penggabungan matriks

>>A = [4; -1]

A =

4

-1

>> B = [ -1 3 ]

B =

-1 3

>> C = [ A B’]

C =

4 -1

-1 3

>> size (C)

ans =

2 2

Bebagai bentuk operator matematis dan array yang berlakut pada Matlab dalam

operasi dan fungsi pada matriks, sebagai berikut:

• A : b : c ⇒ pembentukan matriks vector dari a ke c dengan selisih b

• + ⇒ perjumlahan matriks

• - ⇒ pegurangan matriks

• * ⇒ perkalian matriks

• .* ⇒ perkalian perbaris /elemen yang sama

• ^ ⇒ perpangkatan matriks

• .^ ⇒ perpangkatan perbaris/elemen yang sama

• / ⇒ pembagian matriks

• ./ ⇒ pembagian perbaris/elemen yang sama

• A‘ ⇒ Transpose matriks A

• det (A) ⇒ determinan matriks A

• inv (A) ⇒ invers matriks A

• size (A) ⇒ ukuran baris dan kolom matriks A

• trace (A) ⇒ trace/jumlah elemen diagonal matriks A

• max (A) ⇒ nilaii maksimun matriks A per kolom

• length (A) ⇒ panjang matriks A

• find (A==0) ⇒ mencari isi matriks A bernilai 0

• ismember (A,B) ⇒ membandingkan matriks A dan B

• reshape (A,rm,rn)⇒ mengubah dimensi matriks A ke Arm x rrn

• sort (A,dim)⇒ mensortir isi matriks A dari kecil ke besar dimana

dim = 1 disortis dalam kolom, dim =2 disortir dalam baris

• sortrows (A,COL)⇒mensortir baris dari matriks A dari kecil ke besar dimana

COL = kolom acuan

3.7. Operator

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B)

ditunjukkan berikut ini

3.7.1.Operasi Bentuk Aljabar Bentuk Matlab

Perkalian A x B A * B 5*3

Pembagian A ÷ B A ¥ B 2¥3

Penambahan A + B A + B 1+2

Pengurangan A – B A – B 4-3

Eksponensial B A A ^ B 4^3

3.7.2.Operator Keterangan

A < B A lebih kecil dari B

A > B A lebih besar dari B

A < = B A lebih kecil atau sama dengan B

A > = B A lebih besar atau sama dengan B

A = = B A sama dengan B

A ~ = B A tidak sama dengan B

Sebenarnya masih banyak fasilitas-fasilitas lain yang dimiliki oleh matlab.

Tugas-tugas matematika yang membutuhkan analisis ataupun perhitungan yang

kompleks dan rumit dapat kita implementasikan dengan mudah dengan

memanfaatkan fasilitas yang tedapat di matlab.

3.8 Grafik 2D (dua dimensi) dan 3D (tiga dimensi)

Matlab mempunyai fasilitas untuk mencetak analisa dalam grafik 2D atau 3D,

perintah-perintahnya,antara lain:

• figure⇒ membuat bingkai gambar

• gcf⇒ mengethui penyimpan gambar

• refresh⇒ memperbaharuigambar

• close all⇒ menutup bingkai gambar

• plot⇒ menggambar grafik 2D pada bingkai gambar

• plot3⇒ menggambar grafik 3D pada bingkai gambar

• mesh⇒ menggambar permukaan 3D

• axis on ⇒ memperlihatkan garis sumbu pada gambar

• axis equal⇒ mengatur faktor skala sumbu menjadi sama

• xlim⇒ menentukan batas-batas sumbu x

• ylim⇒ menentukan batas-batas sumbu y

• zlim⇒ menentukan batas-batas sumbu z

• grid on⇒ memperlihatkan garis Bantu pada gambar

• hold on⇒ mempertahankan grafik yang berlaku pada bingkai gambar

contoh.

Plot matriks Ax dan Ay yang merupakan koordinat dari geometri berbentuk kuda-

kuda atap.

Perintahnya adalah:

clear all

close all

clc

xj=[0 5 10 5 5 2.5 2.5 7.5 7.5 5 2.5 5 7.5]

xk=[2.5 7.5 7.5 2.5 5 5 0 10 5 2.5 2.5 7.5 7.5]

yj=[0 3 0 0 0 1.5 0 1.5 0 0 0 0 0]

yk=[1.5 1.5 0 0 3 3 0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5]

AX=[xj' xk']

AY=[yj' yk']

grid off

axis off

axis ([min(xj) max(xj)min(yj) max(yj)])

figure(3)

for i =1:size(xj,2)

hold on

plot(AX(i,:),AY(i,:))

end

axis equal

title('underformed structure')

3.9. Kendali program

Dalam bahasa pemrograman, kontrol program adalah perintah yang mengatur

jalannya program berdasarkan kondisi tertentu. Matlab memiliki beberapa jenis

statement yang dapat digunakan untuk mengatur aliran data pada fungsi yang akan

dibuat, diantaranya:

1. If, Else, End

Perintah if-else-end digunakan untuk mengambil keputusan yang harus dikerjakan

berdasarkan hasil tes rasional, apakah ekspresi tersebut benar maupun salah.

Bentuk dasar penggunaan statement jenis ini adalah sebagai berikut:

Bentuk I:

if ekspresi1

instruksi1

instruksi2

...

end

contoh penggunaan:

>>a = 10;

>> if ( a > 10 )

Disp(‘a bilangan positif ‘);

end

a bilangan positif

bentuk II:

if ekspresi1

blok stetament 1

else

blok stetament2

end

contoh penggunaan:

>> suhu = 50;

>> if ( suhu > 100 )

disp (‘sudah mendidih’);

else

disp(‘temperatur Ok.’);

end;

Temperatur OK

bentuk III:

if ekspresi1

blok stetament 1

elseif ekspresi2

blok stetament2

...

elseif ekspresiN

blok stetamentN

end

contoh penggunaan:

>>tinggi = 165;

>>if (tinggi > 190)

disp(‘sangat tinggi’);

elseif ( tinggi >170)

disp (‘tinggi’);

elseif ( tinggi < 150)

disp (‘pendek’);

else

disp(‘rata-rata’);

end

rata-rata

2. Switch - case

Perintah Switch – case mememungkin sederetan perintah yang harus dikerjakan

dengan argument yang sama.

Bentuk umumnya:

switch ekspresi1

case pilihan1

blok statement1

case pilihan2

blok statement2

…

case pilihan-N

blok statement-N

otherwise

blok statement lainnya

end

3. for-end

Perintah for –end memungkinkan mengulang blok instruksi sebanyak jumlah yang

diinginkan.

Bentuk umumnya:

for i = array (awal : langkah: akhir)

blok instruksi

end

4. while

Perintah while pada prinsipnya sama dengan perintah for, yang digunakan untuk

mengulang blok perintah sepanjang ekspresi bernilai TRUE.

Bentuk umumnya:

While ekspresi

Blok instruksi

end

5. continue

Perintah continue dapat digunakan untuk mengulang kembali dari awal

loop/perulangan sebelum kondisi yang menyebabkan mengulang kembali dari

perulangan ditemukan.

Bentuk umumnya: continue

6. break

Perintah break dapat digunakan untuk mengakhiri loop/perulangqn sebelum kondisi

yang menyebabkan keluar perulangan ditemukan

Bentuk umumya: break

3.10. Langkah-langkah penyelesaian metode elemen hingga pada Truss elemen

dengan Matlab.

1. Membuat File fungsi assembly (assembly.m)

File ini berfungsi untuk merangkai berdasarkan informasi baris dan kolom pada

bahasa mesin (assembly) sehingga dapat mempercepat prose analisis matriks.

2. Membuat File fungsi extract (extract.m)

File ini berfungsi untuk mengekstrak matriks (mxm) ke vektor matriks (mxm) x 1

dengan indeks informasi baris dan kolom.

3. Membuat File fungsi ldata (ldata.m)

File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa beban terpusat dan beban

batang, kekangan dari perletakan, dof /derajat kebebasan setiap simpul.

4. Membuat File fungsi sdata (sdata.m)

File ini berfungsi untuk membaca masukan data untuk jenis struktur ( dalam hal ini

truss 2D ), koordinat, batang elastisitas, luas penampang dan inersia penampang)

5. Membuat fungsi Input Data Elemen truss 2D

File ini berisi data-data umum yang diberikan mengenai Element truss, seperti

Property batang, titik koordinat, element, dan gaya-gaya yang bekerja.

6. Membuat File fungsi t2d_stiff (t2d_stiff.m)

File ini berfungsi untuk membentuk matriks kekakuan sumbu lokal, matriks

transformasi dan matriks kekakuan sumbu global, serta matriks struktur.

7. Membuat File fungsi analysis_result (analysis_result..m)

File ini berfungsi untuk menganalisa matriks kekakuan sumbu kekakuan sumbu

global dan matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung reaksi perletakan

dari struktur serta perpindahan nodal serta gaya-gaya dalam pada setiap elemen.

8. Membuat File fungsi print_result (print_result..m)

File ini berfungsi untuk menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan

nodal, gaya momen, gaya geser dan gaya normal pada monitor dalam bentuk text.

Setelah Program tersebut diatas selesai dibuat pada M-File, maka File

fungsi Input Data Elemen truss 2D, dieksekusi (run ) untuk menampilkan hasil

pemograman.

BAB IV

APLIKASI PADA TRUSS ELEMENT

Dalam bab ini akan diberikan suatu contoh perhitungan rangka (truss) 2 dimensi

seperti pada Gambar 4.1, dengan 8 titik simpul dan 13 elemen, hasil yang diperoleh

dari program dengan menggunakan matlab dibandingkan dengan perhitungan dengan

mikrosoft excel 2003

Adapun data-data yang akan dipergunakan dalam analisa tersebut adalah :

4.1 Contoh Rangka ( Gambar 4.1) :

1. Panjang bentangL = 3 m = 300 cm

2. Tinggi bangunan (kolom)H= 5 m = 500 cm

3. Beban Vertikal P1= 5000 kg

P2=7500 kg

4. Ukuran penampang A1 ; B x H = 20x30 cm2

A2 ; B x H = 20x15 cm2

A3; B x H = 20x40 cm2

7. Modulus Elastisitas beton E = 2.09 x 106kg/cm2

8. Perletakan sendi-roll

Gambar 4.1. Struktur rangka

4. 2. Pemrograman Matlab

Sebagai data masukan pada Matlab, dibuat M-file baru kemudian ketik material

properti, informasi koordinat, informasi element, dan kondisi tumpuan.

Untuk model soal pada gambar 4.1 diatas, data masukan untuk elemen truss 8 titik

buhul dengan 13 elemen adalah sebagai berikut :

1. Fungsi Assembly, dengan program sebagai berikut :

function[A]=assembly;

load scratch_file.txt;

tA=scratch_file; clear scratch_file;

m=max(tA(:,2));

A=zeros(m,m); %B=zeros(size(tA))

B=A;C=A;

for i=1:length(tA);

C=A;

B(tA(i,2),tA(i,3))=tA(i,1);

A(tA(i,2),tA(i,3))=B(tA(i,2),tA(i,3))+C(tA(i,2),tA(i,3));

end;

delete scratch_file.txt;

2. Fungsi Exact, dengan program sebagai berikut :

function[Aex,Bex,Cex]=extract(K,index)

m=size(K,1);

ind=zeros(m,m);Aex=zeros(m*m,1);Bex=Aex;Cex=Aex;

for i=1:m;

ind(i,:)=index;

end;

for i=1:m;

for j=1:m;

im=j+m*(i-1);

Aex(im)=K(i,j);

Bex(im)=ind(j,i);

Cex(im)=ind(i,j);

end;

end;

y=[Aex Bex Cex];

fid=fopen('scratch_file.txt','a+');

for i=1:m*m;

fprintf(fid,'%12.8f %6.2f %6.2f\n',y(i,:));

end;

clear K index;

fclose(fid);

3. Fungsi ldata, dengan program sebagai berikut :

function[IR,IF,Support]=ldata(Support,dof);

% Menentukan besar ukuran matriks

[id,jd]=size(dof);

Support=sortrows(Support,1);

Restraint=zeros(id,jd);

Restraint(:,1)=dof(:,1);

% Check titik sebagai tumpuan atau tidak

i=ismember(Restraint(:,1),Support(:,1));

% Menentukan indeks jika titik adalah suatu tumpuan

ii=find(i==1);

% Pakai dof dari titik sebagai perletakan

Restraint(ii,2:jd)=Support(:,2:jd);

% ubah ke vektor

iR=reshape(Restraint(:,2:jd),1,(jd-1)*id);

iD=reshape(dof(:,2:jd),1,(jd-1)*id);

% Bentuk matriks vektor IF dan IR

iR0=find(iR==0);

iR1=find(iR==1);

IF=sort(iD(iR0));

IR=sort(iD(iR1));

4. Fungsi Sdata, dengan program sebagai berikut :

function[dof,index,coord,element]=...

sdata(prop,element,coord,type)

% Menyiapkan data untuk masukan

coord=sortrows(coord,1);

element=sortrows(element,1);

m=size(element,1);

n=size(coord,1);

switch type;

case{'t2d','T2D'};

nd=2; % untuk rangka 2D

end;

dof=zeros(n,nd+1);

index=zeros(m,nd*2);

switch type;

case{'t2d','T2D'};

for ii=1:n;

i=coord(ii,1);

% J J1 J2 J3

dof(ii,:)=[i 2*i-1 2*i];

end;

for ii=1:m;

% J J1 J2 J3 K K1 K2 K3

index(ii,:)=[dof(element(ii,2),2:3)...

dof(element(ii,3),2:3)];

end;

end

5. Fungsi Input Data Elemen truss 2D, dengan program sebagi berikut :

clear all,clc

%Data Umum

type='t2d'

%property i E A

prop=[1 2.09e6 600

2 2.09e6 300

3 2.09e6 800

%Koordinat x y

coord =[ 1 0 0

2 600 0

3 600 500

4 1200 0

5 1200 500

6 1800 0

7 1800 500

8 2400 0]

% EL J1 J2 Prop

element=[ 1 1 2 3

2 1 3 2

3 2 3 2

4 2 4 3

5 3 4 2

6 3 5 1

7 4 5 2

8 4 6 3

9 4 7 2

10 5 7 1

11 6 7 2

12 6 8 3

13 7 8 2]

% Perletakan

Support=[1 1 1

8 0 1];

% Gaya P yang bekerja

% J X Y

JL= [2 0 10000

3 0 5000

4 0 10000

5 0 7500

6 0 10000

7 0 5000]

% Beban Merata

AML=[0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0]

%Memanggil Fungsi

[dof,index,coord,element]=sdata(prop,element,coord,type);

[S,Sm,SmS,Cx,Cy,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk]=...

t2d_stiff(prop,element,coord,index);

[IR,IF,Support]=ldata(Support,dof);

[DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,IF,IR,...

S,SmS,JL,AML,RT,Support,type)

[joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=...

print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type);

6. Fungsi t2f_stiff, dengan program sebagi berikut :

function[S,Sm,SmS,Cx,Cy,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk]=...

t2d_stiff(prop,element,coord,index);

E=prop(element(:,4),2); % Modulus elastisitas

A=prop(element(:,4),2); % Luas penampang

Joint=coord(:,1);

m=size(element,1);

% Bentuk matriks Xi Xj dan Yi Yj

Xj=zeros(1,m);

Xk=Xj;

Yj=Xj;

Yk=Xj;

for i=1:m;

ij=find(Joint==element(i,2));

ik=find(Joint==element(i,3));

Xj(i)=coord(ij,2);

Xk(i)=coord(ik,2);

Yj(i)=coord(ij,3);

Yk(i)=coord(ik,3);

end;

% Menghitung panjang elemen

L=sqrt((Xk-Xj).^2+(Yk-Yj).^2);

Cx=(Xk-Xj)./L;

Cy=(Yk-Yj)./L;

% Bentuk matriks kekakuan 16x16

SmS=zeros(4,4,m);

Sm=SmS;

RT=SmS;

for i=1:m;

R=[Cx(i) Cy(i);

-Cy(i) Cx(i) ];

RT(:,:,i)=[R zeros(2,2);

zeros(2,2) R]; % Matriks rotasi

SmS(:,:,i)=E(i)*A(i)/L(i)*[1 0 -1 0;0 0 0 0;...

-1 0 1 0;0 0 0 0]

Sm(:,:,i)=RT(:,:,i).'*SmS(:,:,i)*RT(:,:,i);

[Aex,Bex,Cex]=extract(Sm(:,:,i),index(i,:));

end;

disp('Bentuk matriks kekakuan');

S=assembly;

7. Fungsi Analisa Struktur (analysis_result) , dengan program sebagai berikut :

function[DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,...

IF,IR,S,SmS,JL,AML,RT,Support,type)

clear Sff Srf;

ndof=length([IF IR]); % mencari jumlah derajat kebebasan

% Membentuk matriks Sff

Sff=S(IF,IF);

% Membentuk matriks Srf

Srf=S(IR,IF);

% Membentuk matriks beban titik (AJ)

i=1:size(JL,1);

AJ=zeros(1,ndof);

switch type;

case{'t2d','T2D'};

AJ(dof(JL(i),2))=JL(i,2);

AJ(dof(JL(i),3))=JL(i,3);

end;

% Membentuk matriks beban titik ekivalen AE

[mi,ni]=size(index);

% transpose ke..xm matriks (m=jumlah elemen)

AMLT=AML';

AE=zeros(ndof,1);

for i=1:size(element,1);

Ji=index(i,:);

switch type;

case {'t2d','T2D'};

AMLi=[AMLT(1,i);AMLT(2,i);AMLT(3,i);AMLT(4,i)];

end;

AE(Ji)=AE(Ji)-RT(:,:,i)'*AMLi;

end;

AE=AE';

% Menghitung Reaksi perletakan (AR) dan perpindahan titik (DF)

AC=AJ+AE;

AFC=AC(IF)';

ARC=AC(IR)';

DF=Sff\AFC;

AR=-ARC+Srf*DF;

% Menghitung Gaya batang

Dj=zeros(1,ndof);

AM=zeros(ni,mi);

Dj(IF)=DF;

for i=1:size(element,1);

DM=RT(:,:,i)*Dj(index(i,:))';

AM(:,i)=AML(i,:)'+SmS(:,:,i)*DM;

end;

AM=AM.';

8. Fungsi Menampilkan Hasil Analisa (print_result), dengan program sebagai berikut:

function[joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=... print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type) % Print hail keluaran % Print Reaksi Perletakan [id,jd]=size(dof); [iS,jS]=size(Support); reaction=zeros(id,jd); support_reaction=zeros(iS,jd); reaction(:,1)=dof(:,1); for i=1:size(AR,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IR(i)); reaction(ii,jj+1)=AR(i); end; for i=1:size(Support,1); ii=find(reaction(:,1)==Support(i,1)); support_reaction(i,:)=reaction(ii,:); end; % Print perpindahan titik untuk semua dof joint_disp=zeros(size(dof)); joint_disp(:,1)=dof(:,1); bb=ismember (dof,IF); ii=find(bb==1); for i=1:size(DF,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IF(i)); joint_disp(ii,jj+1)=DF(i); end;

switch type; case {'t2d','T2D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry '); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 '); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'p2d','P2D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Mz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Mz1 Fx2 Fy2 Mz2'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'t3d','T3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Dz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan

disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fz1 Fx2 Fy2 Fz2'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'p3d','P3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik Dx Dy Dz Rx Ry Rz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.'); % Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik Rx Ry Rz Mx My Mz'); fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.'); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fx1 Fy1 Fz1 Mx1 My1 Mz1 Fx2 Fy2 Fz2 Mx2 My2 Mz2') fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); end;

Setelah semua fungsi-fungsi diatas dibuat pada M-File dan di simpan, sesuai dengan

eksistensinya, maka Program dapat dijalankan, dengan membuka File Input Data

Elemen truss 2D, dan dieksekusi (run ) maka akan tampil hasil keluaran Matlab

sebagai Out put program.

Tampilan Output program pada command window sebagai berikut :

type =

t2d

prop =

1 2100000 600

2 2100000 300

3 2100000 800

coord =

1 0 0

2 600 500

3 600 0

4 1200 500

5 1200 0

6 1800 0

7 1800 500

8 2400 0

element =

1 1 2 3

2 1 3 2

3 2 3 2

4 2 4 3

5 3 4 2

6 3 5 1

7 4 5 2

8 4 6 3

9 4 7 2

10 5 7 1

11 6 7 2

12 6 8 3

13 7 8 2

JL =

2 0 10000

3 0 5000

4 0 10000

5 0 7500

6 0 10000

7 0 5000

AML =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,1) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,2) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,3) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,4) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,5) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,6) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,7) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,8) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,9) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

SmS(:,:,10) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

SmS(:,:,11) =

1.0e+009 *

8.8200 0 -8.8200 0

0 0 0 0

-8.8200 0 8.8200 0

0 0 0 0

SmS(:,:,12) =

1.0e+009 *

7.3500 0 -7.3500 0

0 0 0 0

-7.3500 0 7.3500 0

0 0 0 0

0 0 0 0

SmS(:,:,13) =

1.0e+009 *

5.6464 0 -5.6464 0

0 0 0 0

-5.6464 0 5.6464 0

0 0 0 0

Bentuk matriks kekakuan

DF =

1.0e-004 *

-0.2471

0.3991

-0.0388

0.4147

-0.2083

0.6560

-0.0918

0.6277

-0.4228

0.5012

-0.1165

0.5168

-0.4616

AR =

1.0e+004 *

-0.0000

-2.3750

-2.3750

AM =

1.0e+004 *

-3.7099 0 3.7099 0

2.8500 0 -2.8500 0

1.3750 0 -1.3750 0

-2.8500 0 2.8500 0

-1.3668 0 1.3668 0

3.9000 0 -3.9000 0

-2.5000 0 2.5000 0

3.7099 0 -3.7099 0

-6.7500 0 6.7500 0

5.0767 0 -5.0767 0

-1.3750 0 1.3750 0

2.8500 0 -2.8500 0

-3.7099 0 3.7099 0

TABEL PERPINDAHAN TITIK

Titik Dx Dy

1 0.0000 0.0000

2 -0.0000 0.0000

3 -0.0000 0.0000

4 -0.0000 0.0001

5 -0.0000 0.0001

6 -0.0000 0.0001

7 -0.0000 0.0001

8 -0.0000 0.0000

TABEL REAKSI PERLETAKAN

Titik Rx Ry

1 -0.0000 -23750.0000

8 0.0000 -23750.0000

TABEL GAYA BATANG

Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2

1 -37098.6860 0.0000 37098.6860 0.0000

2 28500.0000 0.0000 -28500.0000 0.0000

3 13750.0000 0.0000 -13750.0000 0.0000

4 -28500.0000 0.0000 28500.0000 0.0000

5 -13667.9369 0.0000 13667.9369 0.0000

6 39000.0000 0.0000 -39000.0000 0.0000

7 -25000.0000 0.0000 25000.0000 0.0000

8 37098.6860 0.0000 -37098.6860 0.0000

9 -67500.0000 0.0000 67500.0000 0.0000

10 50766.6229 0.0000 -50766.6229 0.0000

11 -13750.0000 0.0000 13750.0000 0.0000

12 28500.0000 0.0000 -28500.0000 0.0000

13 -37098.6860 0.0000 37098.6860 0.0000

>>

4.3. Verifikasi Program

Untuk verifikasi program digunakan perhitungan dengan menggunakan mikrosoft

excel 2003

Formula yang digunakan adalah:

∆ =Outputprogram – Output Mikrosoft excel 2003

4.3.1. Output Program Matlab

Tabel 4.1 Perpindahan Titik Titik Dx Dy

1 2 3 4 5 6 7 8

0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000

Tabel 4.2. Reaksi Perletakan

Titik Rx Ry 1 8

-0.0000 0.000

-23750.0000 -23750.0000`

Tabel 4.3. Gaya Batang

Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-37098.6860 28500.0000 13750.0000

-28500.0000 -13667.9369 39000.0000

-25000.0000 37098.6860 -67500.0000 50766.6229 -13750.0000 28500.0000 -37098.6860

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

37098.6860 -28500.0000 -13750.0000 28500.0000 13667.9369 -39000.0000 25000.0000 -37098.6860 -67500.0000 50766.6229

-13750.0000 28500.0000

-37098.6860

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

4.3.2.Perhitungan Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan

menggunakan Mikrosoft Excel2003.

Langkah-langkah menghitung Finite Elemen Method pada Elemen Truss dengan

menggunakan Mikrosoft Excel2003 adalah sebagai berikut :

1. Deskritisasi Model

2. Menentukan matriks kekakuan lokal masing-masing elemen.

Untuk elemen X digunakan [ ]

−

−=

1111

LEAK , sesuai dengan propertis EA/L

maka, ditentukan untuk K1 → EA1/L, K2 Tegak → EA2/Ltegak, K2Miring →

EA2/Lmiring, K3→EA3/L

3. Menentukan matrik kekakuan Global

Sesuai dengan persamaan (2.23) untuk setiap elemen,

[ ]

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

SSCSSCSCCSCCSSCSSCSCCSCC

LEAke

dengan [ Ka] = [ kd] = [kh] = [kl] = [Kf], [Kb] = [Ki], [kc] = [Kg] = [Kk], [Ke] =

[Km], dan [Kf] = [ Kj]

4. Menentukan Matriks kekakuan struktur

sesuai dengan persamaan :

++++

+++++

+++++++

+++

=

8

7

6

5

4

3

2

1

22212221

1211222222212121

121211112221

121122222121

12121211111122222121

1212111122222121

121211112221

12121111

8

7

6

5

4

3

2

1

00000000

00000000000000000000000

dddddddd

mKmKlKKlmKmKkKjKiKKkjKiK

lKkKlKkKhKhKjKjKgKfKgKfKiKhKgKiKhKgKeKdKeKKd

fKeKfKeKcKbKKcbKdKcKdKcKaKaK

bKaKbKaK

ffffffff

5. menetapkan Boundary Condition

088111 ===== vuxvu

6. Mencari reaksi

7. Mencari gaya batang masing-masing elemen

4.3.3. Output Mikrosoft Excel2003

Tabel 4.4 Perpindahan Titik Titik Dx Dy

1 2 3 4 5 6 7 8

0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000

Tabel 4.5. Reaksi Perletakan

Titik Rx Ry 1 8

-0.0000 0.000

-23750.0000 -23750.0000`

Tabel 4.6 Perhitungan Gaya batang berdasarkan Perhitungan matematis

Batang Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 1(Elemen a) 2(Elemen b) 3(Elemen c) 4(Elemen d) 5(Elemen e) 6(Elemen f) 7(Elemen g) 8(Elemen h) 9(Elemen i) 10(Elemen j) 11(Elemen k) 12(Elemen l)

13(Elemen m)

-37098.6860 28500.0000 13750.0000

-28500.0000 -13667.9369 39000.0000

-25000.0000 37098.6860 -67500.0000 50766.6229 -13750.0000 28500.0000 -37098.6860

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

37098.6860 -28500.0000 -13750.0000 28500.0000 13667.9369 -39000.0000 25000.0000 -37098.6860 -67500.0000 50766.6229

-13750.0000 28500.0000

-37098.6860

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Berdasarkan hasil perbandingan output Matlab dapat dilihat dengan perhitungan

menggunakan Mikrosoft Excel 2003, hasilnya sama

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Pada pemograman finite elemen method dengan matlab pada elemen truss yang

dilakukan pada tugas akhir ini dapat berjalan dengan baik ( berhasil ), dengan

hasil yang diperolah untuk perhitungan Diplacement, Perpindahan titik dan gaya-

gaya batang sama dengan perhitungan dengan menggunakan Mikrosoft Excel2003

hasil.

2.Pemograman Metode Elemen Hingga menggunakan Matlab ini dapat diterapkan

pada elemen truss yang berbeda, hanya mengganti data masukan berupa propertis

batang, titik simpul dan gaya-gaya yang bekerja pada File Input data 2D.

5.2 Saran

1.Pemograman dengan Matlab dibangan atas fungsi-fungsi berupa analisa simbolik,

sehingga diperlukan ketelitian dalam memasukkan data, supaya program dapat

dijalankan.

2. Dikarenakan Matlab merupakan pemograman yang disusun melalui analisa

simbolik, mengakibatkan dalam memasukkan data (input data) mudah terjadi

kesalahan ataupun eror, sehingga perlu ada suatu program komputer yang lebih

sederhana tanpa membangun banyak fungsi

DAFTAR PUSTAKA

Akin, J.ED, 1986, Finite Elemen Analysis For undergraduates, Acdemic Press

INC, London

Agarwal. R.B, FEA Lectures Notes.

Etter, Delores, dkk, 2003 , Pengantar Matlab 6, PT. INDEX Group Gramadia,

Jakarta

Hibbeller, R.C, 2002, Analisa Struktur, PT. Prenhalindo, Jakarta

M. Firdaus, Alkaf, 2004, Matlab 6 untuk teknik sipil, Maxicom, Palembang

Perangin-angin, Kasiman, ST, 2006, Pengenalan Matlab, ANDI, Yogyakarta.

Pujiriyanto , Andry, 2000, Matlab Bahasa Komputansi Teknis, ANDI,

Yogyakarta.

Reddy, C.S,1981, Basic Structural Analysis, Tata Mc Graw-Hill, New Delhi.

Sahid, Drs, M.Sc, 2006, Panduan Prkatis Matlab , ANDI, Yogyakarta.

Susatio, Yerri, Ir, MT,2004, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga, ANDI,

Yogyakarta.

Tarigan, Johannes,Dr.Ing, Prof.,Bahan Kuliah Finite Element Methode, USU,

Medan

Weaver, William, J.R, 1980, Matrix Analisis of Frame Struktures 2nd Edition,

D.Van Nostrand Campany, New York

The MathWorks.Inc, 2002,Getting Started With MATLAB, Version 6.

pemograman finite element method pada...

Documents