ortogonal_1
Post on 11-Jul-2015
532 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 1/42
Ortogonal
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 2/42
Yang dibahas :
• Ortogonal• Basis ortogonal
• Ortonormal
• Matrik ortogonal
• Komplemen ortogonal
• Proyeksi ortogonal
• Faktorisasi QR
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 3/42
Ortogonal
• Himpunan vektor {v 1 , v 2 , ….., v k } dalam Rn disebut
himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam
himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika :
• Basis standar {e1 , e2 , ….., en} dalam Rn adalah
himpunan ortogonal.
v i . v j = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 4/42
Contoh :
Tunjukkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3} adalah himpunan ortogonal
dalam R3
jika :
Jawab :
Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal
v 1
. v 2
= 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0
v 2 . v 3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0
v 1 . v 2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0
Kesimpulan : {v 1 , v 2 , v 3} adalah himpunan ortogonal
1 2 3
2 0 1
1 , 1 , -1
-1 1 1
v v v
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 5/42
Teori 1. Jika {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah himpunan vektor
bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor
tersebut adalah bebas linier.
Bukti :
Jika c1 , c2 , …., ck adalah skalar sehingga : c1v 1+ …+ ck v k =0
kemudian (c1v 1+ …+ ck v k ) . v i = 0 . v i = 0
Atau hal yang sama :
c1(v 1. v i )+ ….. +ci (v i . v i )+ ……+ ck (v k . v i ) = 0
Karena {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah himpunan ortogonal,
semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol
kecuali (v i . v i ), sehingga persamaan dapat diringkas
menjadi : ci (v i . v i ) = 0
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 6/42
Dengan hipotesa : v i ≠ 0 sehingga v i . v i ≠ 0, oleh karena
itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci . Hal ini juga
berlaku untuk semua i = 1, ….. k , sehingga disimpulkan
bahwa {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah bebas linier.
Basis Ortogonal
Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn
adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal.
Contoh soal :
Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :
: 2 0
x
W y x y z
z
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 7/42
Jawab :
Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari
persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri
dari vektor dengan bentuk :
Jadi vektor u =
ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan
vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah
satu vektor tersebut.
2 1 -2
1 0
0 1
y z
y y z
z
1
1
0
dan v =
-2
0
1
adalah basis W, namun tidak
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 8/42
Anggap
dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka
u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0.
Dengan menyelesaikan SPL :
x-y+2z = 0 x+y = 0
Didapatkan : x = -z dan y = z
Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :
x
w y
z
adalah vektor dalam W yang ortogonal
-
z
w z
z
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 9/42
Jika diambil
bahwa [u,w ] adalah himpunan ortogonal dalam W ,
sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W =2.
Teori 2. Jika {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah basis ortogonal dari
subruang W dari Rn dan w merupakan vektor
dalam W , maka skalar unik c1 ,…., ck dapat
ditulis : w = c1v 1+ …+ ck v k
Menghasilkan :
-1
1
1
w dengan mudah dapat dibuktikan
.
.
ii
i i
w vc
v vuntuk i = 1, ……, k
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 10/42
Contoh soal :
Carilah koordinat
dari B = {v 1 , v 2 , v 3} dengan
Jawab :
1
2
3
w yang menjadi basis ortogonal
1 2 3
2 0 1
1 , 1 , -1
-1 1 1
v v v
11
1 1
. 2 2 3 1
. 4 1 1 6w vcv v
22
2 2
. 0 2 3 5
. 0 1 1 2
w vc
v v
33
3 3
. 1 2 3 2
. 1 1 1 3
w vc
v v
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 11/42
Jadi : w = c1v 1+ c2v 2 + c3v 3 = 1/6 v 1 + 5/2 v 2+ 2/3 v 3
Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B
adalah :16
52
32
Bw
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 12/42
Ortonormal
Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan
ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari
Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan
ortonormal.
Catatan : Jika S= {q1 ,….., qk } adalah himpunan vektor
ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan
Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan
dengan kata lain : qi . qi = 1.Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :
1iq
0 jika.
1 jika
i j
i jq q
i j
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 13/42
Contoh soal :
1. Tunjukkan bahwa S = {q1 ,q2} adalah himpunan
ortonormal dalam R3 jika :
Jawab :
Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah
ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap
vektor himpunan ortogonal tersebut.
1 13 6
1 21 23 6
1 1
3 6
- danq q
1 2 11 2 18 18 18. 0q q
1 1 13 3 31 1. 1q q
1 4 16 6 62 2. 1q q
ortonormal
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 14/42
2. Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor :
Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v 1 ,
v 2 , dan v 3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi
setiap vektor diperoleh :
Jadi {q1 , q2 , q3} merupakan basis ortonormal untuk R3
1 2 3
2 0 1
1 , 1 , -1
-1 1 1
v v v
26
11 1 6
11
6
21 1
16
-1 -
q vv
12 2 2
21
2
0 01 1
12
1
q vv
,
13
13 3 3
31
3
11 1
-1 -3
1
q vv
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 15/42
Teori 3. Jika {q1 , q2 .….., qk } basis ortonormal dari subruang
W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka :
w = (w . q1 )q1 + (w . q2 )q2 +………+ (w . qk ) qk
Matrik ortogonal
Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom
berbentuk himpunan ortonormal disebut:
matrik ortogonal .
Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentukhimpunan ortonormal jika dan hanya jika QT Q = In
Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan
hanya jika Q
-1
= Q
T
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 16/42
Contoh soal :
Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah
ortogonal dan carilah matrik inversnya !
Jawab :
Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar
dari R3 jelas merupakan ortonormal , sehingga A adalah
ortogonal dan
0 1 0cos sin
0 0 1 dansin cos
1 0 0
A B
1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
T A A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 17/42
Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut :
Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan
cos sin cos sin
sin cos sin cosT B B
2 2
2 2
cos sin cos sin sin cos
sin cos cos sin sin cos
1 01
0 1
1cos sin
sin cos
T B B
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 18/42
Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut
ini memiliki arti yang sama :
a. Q adalah ortogonal.
b.
c.
Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen
baris merupakan himpunan ortonormal.
Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal.
a. Q -1 adalah ortogonal
b. det Q =
c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka
d. Jika Q 1 dan Q 2 adalah matrik ortogonal nxn,
maka demikian juga untuk Q 1Q 2
. . untuk setiap dan dalam nQx Qy x y x y R
11
untuk setiap dalam nQx x x R
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 19/42
Komplemen ortogonal
Definisi :Ambil
W subruang dari
Rn
. Sebuah vektorv
dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan
setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang
ortogonal dengan W d isebut komplemen ortogonal dari
W ditulis sebagai:
W
v
w
W
= {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W }W
dan W = W l
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 20/42
Teori 9. Ambil W subruang dari Rn.
a.
b.c.
d. Jika W = span (w 1 , ……, w k ), maka v berada dalam
jika dan hanya jika v. w i = 0 untuk semua i = 1, …….,k
Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang
baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal
dari ruang kolom A adalah ruang null AT
W
W adalah subruang dari Rn.
( )W W
( ( )) ( ) dan ( ( )) ( )T baris A null A kolom A null A
= {0}W W
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 21/42
Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :
baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn
kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm
Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n
baris (A)kolom (A)
null (A) null (AT)
0 0
R m R n
T A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 22/42
Contoh soal :
1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :
dan buktikan bahwa :
Jawab :
Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :
1 1 3 1 6
2 -1 0 1 -1
-3 2 1 -2 1
4 1 6 1 3
A
( ( )) ( ) dan ( ( )) ( )T baris A null A kolom A null A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 23/42
Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan :
r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4}
Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0
diperoleh :
1 0 1 0 -1
0 1 2 0 3
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
R
baris (A) = baris (R)
1
2
3
4
5
- s t -1 1
-2s-3t -2 -3
s 1 0
-4t 0 -4
t 0 1
x
x
x x s t su tv
x
x
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 24/42
Null (A) = span (u, v) dengan :
Untuk menunjukkan
menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan
u dan v .
Selanjutnya, dapat dilihat bahwa :
r 3 = r 1 + 2r 2 dan r 5 = -r 1 + 3r 2 + 4r 4
dan v =
-1
-2
1
0
0
u =
1
-3
0
-4
1
( ( )) ( )baris A null A cukup dengan
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 25/42
Dengan demikian r 3 dan r 5 tidak memberikan kontribusi
apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r 1 , r 2
dan r 4 adalah bebas linier dan merupakan vektorsatuan. Jadi basis kolom A = span{a1 , a2 , a3} dengan :
Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :
1 2 4
1 1 1
2 -1 1, ,
-3 2 -24 1 1
a a a
1 2 -3 4 0 1 0 0 1 0
1 -1 2 1 0 0 1 0 6 0
0 3 0 1 6 0 0 0 1 3 0
1 1 -2 1 0 0 0 0 0 0
6 -1 1 3 0 0 0 0 0 0
T A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 26/42
Jika y didalam null(AT) dengan y 1 = - y 4, y 2 = -6 y 4 dan
y 3 = -3y 4 , maka dapat diperoleh hasil :
null(AT) =
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut
ortogonal dengan a1 , a2 , a3 sehingga terbukti bahwa :
4
4
4
4
- y 1
-6y 6
-3y 3
1y
span
( ( )) ( )T kolom A null A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 27/42
2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :
Tentukan basis dari
Jawab : subruang W dibangun oleh w 1 ,w 2 dan w 3 sama dengan
ruang kolom dari :
1 2 3
1 -1 0
-3 1 -1
5 , 2 , 4
0 -2 -1
5 3 5
w w w
W
1 -1 0-3 1 -1
5 2 4
0 -2 -1
5 3 5
A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 28/42
Teori 10 menyatakan
Sehingga dapat dihitung :
y didalamy 1= –3 y 4 – 4 y 5, y 2= – y 4 – 3 y 5 dan y 3= –2 y 5
Sehingga diperoleh :
Ada 2 vektor basis untuk
( ( )) ( )T W kolom A null A
1 -3 5 0 5 0 1 0 0 3 4 0
0 -1 1 2 -2 3 0 0 1 0 1 3 0
0 -1 4 -1 5 0 0 0 1 0 2 0
T A
W jika dan hanya jika :
4 5
4 5
5
4
5
-3 - 4 -3 -4
- - 3 -1 -3
-2 0 -2
1 0
0 1
y y
y y
W y span
y
y
W
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 29/42
Proyeksi ortogonal
Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1 , u2 .….., uk }
merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v
dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefini-
sikan sebagai :
Komponen v ortogonal ke W adalah vektor :
11
1 1
..( ) .....
. .
k w k
k k
u vu v proy v u u
u u u u
( ) ( )w w perp v v proy vv
u
proyu (v )
perpu (v
)
W
v
pp1
p2
u1
u2
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 30/42
Contoh soal :
Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0
dan
komponen v yang ortogonal ke W !
Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk :
3
-1
2
v Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan
2 1 -2
1 0
0 1
y z
y y z
z
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 31/42
Diperoleh vektor basis W :
u1=
Proyeksi ortogonal v pada W adalah :
1
1
0dan u2 =
-1
11
1 21 2
1 1 2 2
5
313
23
. .( )
. .
1 -12 2
1 12 3
0 1 -
w
u v u v proy v u u
u u u u
v
W
proyw
(v )
perpw (v )
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 32/42
Dan komponen v ortogonal pada W adalah :
perpw(v) = v – projw(v)=
Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v)
berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan
bidang.
Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalahortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari
vektor normal
5 4
3 3
1 43 3
2 83 3
3-1 -
2 -
1
-1
2
terhadap W.
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 33/42
Dekomposisi ortogonal
Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v
adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w
dalam W dan
Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka :
dim W + dim
w W dalam dapat dituliskan :
wv = w +
W = n
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 34/42
Faktorisasi QR
Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki
kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagaiQR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom
ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang
invertible.
Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1 ,… ,an adalah
kolom bebas linier dari matrik A dan q1 ,… ,qn adalah vektor
ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan
menggunakan metode Gramm-Schmidt.
Untuk setiap i = 1,…..,n : W i = span (a1 ,… ,ai ) = span (q1 ,… ,qi )
Sehingga jika terdapat skalar r 1i ,r 2i … ,r ii dapat dituliskan :
ai = r
1i q
1+ r
2i q
2+ …..+r
ii q
i untuk i = 1, ……, n
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 35/42
Diperoleh hasil :
a1 = r 11q1
a2
= r 12
q1
+ r 22
q2
an = r 1nq1 + r 2nq2 + …..+r nnqn
Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :
11 12 1
22 2
1 2 1 2
...
0 ....... ....
0 0 ...
n
n
n n
nn
r r r
r r A a a a q q q QR
r
1 2 2
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 36/42
Contoh soal :
Cari faktorisasi QR dari :
Jawab :
Subruang W dibangun oleh x 1 ,x 2 dan x 3 sama dengan ruang
kolom dari matrik A. { x 1 ,x 2, x 3} adalah himpuan bebas linier,
sehingga merupakan basis dari W .Ambil v 1 = x 1 , selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt
dihitung komponen x 2 yang ortogonal pada W 1= span (v 1)
1 2 2
-1 1 2
-1 0 1
1 1 2
A
1
32
321 2
2 2 2 1 11 1 2
12
2 1
1 -1. 2( )
0 -1. 4
1 1
w
v xv perp x x v
v v
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 37/42
Untuk menghilangkan pecahan pada v 2 dilakukan perkali-
an skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian
v 2 dirubah menjadi :
Selanjutnya dihitung komponen x 3 ortogonal pada W 2
= span ( x 1 ,x 2) = span (v 1 ,v 2)= span
basis ortogonal
2 2
3
32
1
1
v v
1 2( , )v v menggunakan
1 2( , )v v
2
12
1 3 2 3
3 3 3 1 2 11 1 2 2 2
-2 1 3
2 -1 3 0. . 1 15( )
1 -1 1. . 4 20
2 1 1 1
w
v x v xv perp x x v v
v v v v
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 38/42
Kembali dilakukan penskalaan ulang :
Akhirnya diperoleh basis ortogonal
Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan
normalisasi setiap vektor
3 3
-1
0
2 1
2
v v
1 2 3, ,v v v untuk W
1
2
12
1 1 11 2
1
2
1
--11 1
-12 -
1
q vv
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 39/42
2 2
2
3 3
3
3 510
33 5
31 1 1012 5 5
1015
10
- 66-1
001 1
616 62
63
q vv
q v
v
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 40/42
3 5 612 10 6
3 512 10
1 2 35 6
12 10 6
5 612 10 6
-
- 0Jadi
-
Q q q q
A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan
kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QT Q = I.
Oleh karena itu : QT A=QT QR = IR=R
Diperoleh hasil akhir :
11 1 1 12
2 2 2 23 5 3 5 5 5 3 5
10 10 10 10 2
6 6 6 66 6 3 2
1 2 22 1- -
-1 1 20 5
-1 0 1- 0 0 0
1 1 2
T R Q A
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 41/42
Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri
Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai
ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrikdiagonal D sehingga diperoleh : QT AQ = D
Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A
adalah matrik simetri
Bukti :
Karena Q -1 = Q T diperoleh Q TQ = I = QQ T sehingga :
QDQ T = QQ TAQQ T = IAI = A
Tetapi juga : AT= (QDQ T)T = (Q T)T DTQ T = QDQ T = A
Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .
5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 42/42
Latihan soal :
1. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3
Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1)
2. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3
W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)}
dan v = (1,2,3)
Tentukan proyeksi ortogonal v pada W
top related