modul dan lembar kerja mahasiswa - …erepo.unud.ac.id/6229/1/id5... · analisis real i mahasiswa...
Post on 30-Jul-2018
242 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA
ANALISIS REAL I
Disusun Oleh :
Luh Putu Ida Harini
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA 2012
ii
IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH ANALISIS REAL I Tahun Ajaran 2012/2013
Nama :______________________________
NIM :______________________________
iii
LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM
BAB NILAI KETUNTASAN
MATERI KETERANGAN TANDA
TANGAN I
II
III
IV
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena
atas berkat rahmat-Nya ringkasan modul yang berjudul “Modul dan Lembar Kerja
Mahasiswa Analisis Real i” dapat diselesaikan dengan baik. Modul ini digunakan
sebagai bahan ajar sekaligus bahan penugasan bagi mahasiswa Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Udayana yang sedang mengambil mata kuliah
Analisis Real I.
Modul ini terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam
pembuktian, Bab 1 Sistem Bilangan Real, Bab 2 Barisan Bilangan Real, Bab 3
Limit Fungsi dan Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab akan disajikan
beberapa definisi dan materi, sedangkan bagian selanjutnya diteruskan dengan
contoh-contoh soal dan soal latihan yang wajib diselesaikan oleh setiap
mahasiswa. Dengan modul ini diharapkan proses pembelajaran menjadi lebih
terarah dan menumbuhkan keaktifan serta kemandirian siswa dalam belajar baik
didalam kelas maupun di luar kelas.
Penulis menyadari tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis
menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan tulisan ini.
v
September, 2012
Penulis
vi
DAFTAR ISI
COVER ................................................................................................. i
IDENTITAS MAHASISWA ii
LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA iii
KATA PENGANTAR .............................................................................. iv
DAFTAR ISI ........................................................................................... v
PENDAHULUAN 1
BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN …………………… 5
BAB I. SISTEM BILANGAN REAL ........................................................ 16
BAB II. BARISAN BILANGAN REAL ..................................................... 52
BAB III. LIMIT FUNGSI .......................................................................... 78
BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI ......................................................... 93
DAFTAR PUSTAKA............................................................................... 129
Analisis Real I 2012
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
PENDAHULUAN
A. MANFAAT MATA KULIAH
Mata kuliah Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib yang harus
diambil oleh semua mahasiswa jurusan matematika. Mata kuliah ini
tergolong mata kuliah lanjut yang diperuntukan bagi mahasiswa yang
telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Secara umum materi
pada mata kuliah Analisis Real I sebenarnya sudah dikenal oleh
mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut.
Hanya saja, materi pada Analisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis,
dan mendalam. Analisis real merupakan alat yang esensial untuk
membentuk pola pikir kritis dan analitis sehingga nantinya dapat
digunakan, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun
bidang ilmu-ilmu lain. Apabila mata kuliah ini dapat dipahami dengan
baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk
memahami mata kuliah di bidang lain. Setelah mempelajari mata ajar
Analisis Real I mahasiswa diharapkan mempunyai kedewasaan dalam
bermatematika, yang meliputi:
1. Kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut.
2. Kemampuan menganalisis masalah
3. Kemampuan mensintesis suatu hal yang bersifat khusus ke suatu hal
yang bersifat umum (kemampuan mengeneralisasi masalah) sehingga
dapat menyelesaikan suatu masalah yang lebih kompleks.
4. Kemampuan mengkomunikasikan penyelesaian suatu masalah secara
akurat dan rigorous.
B. DESKRIPSI PERKULIAHAN
Sebelumnya mari kita simak kata-kata bijak berikut :
“Imajinasi lebih penting daripada pengetahuan (Albert Einstein).”
Mata Kuliah Analisis Real I mempelajari pendekatan deduktif konsep
fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan sifat-
sifatnya, limit dan kekontinuan serta teori-teori fungsi yang
Analisis Real I 2012
2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
dikembangkan melalui konsep limit. Mata kuliah ini menetapkan tujuan
akhir agar mahasiswa memiliki kemampuan untuk dapat memahami
aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori
matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Selain itu
diharapkan, setelah mempelajari materi Analisis Real I, mahasiswa
mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain
kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki
kemampuan menganalisis masalah dan mengomunikasikan
penyelesaiannya secara akurat dan rigorous sehingga dapat
membangkitkan kemampuan imajinasi yang lebih abstrak.
C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
Standar Kompetensi: Mahasiswa mampu dalam memahami aturan-
aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang
berkaitan dengan bilangan real dan fungsi.
Kompetensi Dasar :
• Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di
dalamnya.
• Memahami sifat kelengkapan bilangan real dan dapat
menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional
dan bilangan rsional.
• Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifat-
sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit
barisan.
• Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk
menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.
• Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat
menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi
kontinu.
D. STRATEGI PERKULIAHAN
Selama masa pembelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan
untuk aktif melakukan perkuliahan. Diskusi di luar sesi tatap muka
Analisis Real I 2012
3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
dapat dilakukan dengan membuat perjanjian terlebih dahulu. Pada setiap
topik disiapkan lembar kerja mahasiswa untuk digunakan pada sesi
tatap muka. Pengerjaan lembar kerja selama proses pembelajaran bukan
dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih penting
lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of
knowledge) dan pendalaman (internalisasi) sehingga diharapkan
mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas.
Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk
menunjang proses pembelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami
tanpa perlu mengerjakan lembar kerja lebih lanjut dapat meneruskan
proses pembelajaran tanpa harus mengerjakan keseluruhan pertanyaan
satu demi satu. Secara singkat, selama pembelajaran mahasiswa
diharapkan ready to think, dan ready to work, tidak sekedar menjadi
pembaca atau pendengar untuk menjamin terjadinya proses
pembelajaran yang efektif.
Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari LKM ini,
ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini.
1. Bacalah dengan baik pendahuluan LKM ini sehingga Anda
memahami tujuan dalam mempelajari LKM ini dan bagaimana
menggunakannya.
2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam LKM ini, kalau
perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting.
3. Pahami pengertian demi pengertian dari isi LKM ini dengan
mempelajari contoh-contohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar
pikiran (diskusi) dengan rekan atau orang lain.
4. Kerjakan soal-soal latihan dalam LKM ini secara individu terlebih
dahulu, apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat
pekerjaan rekanan lain atau bertanya kepada pengampu mata
kuliah ini. Perlu ditekankan bahwa jawaban Anda tidak perlu sama
dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak
cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu
permasalahan terutama untuk kasus-kasus diskret.
Analisis Real I 2012
4 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Beberapa kata mutiara dari ajaran KONFUSIUS (551 – 479 SM.) disajikan
disini: “Hidup miskin bukanlah hal yang memalukan, yang memalukan
adalah hidup miskin dan tidak mempunyai semangat yang tinggi.
Memegang posisi yang rendah tidaklah mengerikan, yang mengerikan
adalah memiliki posisi rendah dan tidak meningkatkan kemampuan
diri. Menjadi tua tidaklah menyedihkan, yang menyedihkan adalah
menjadi tua dan telah menyia-nyiakan hidupmu.”
Selamat Nguli, Semangat !!!!! ☺
Analisis Real I 2012
5 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
BAB O
METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN
Secara kasat mata apabila dibandingkan dengan ilmu lain
matematika adalah ilmu yang terdiri atas banyak sekali simbol-simbol
yang dirangkai dengan sedikit kata sehingga katanya ”bisa membuat
rambut yang lurus jadi keriting”. Namun apa yang sebenarnya terjadi.
Matematika merupakan cabang utama dari ilmu filsafat. Yang menjadi
ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikatakan sebagai bahasa yang
sangat universal.
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif
mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu
pernyataan. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan
pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika
lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara
individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu
konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau
ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema.
Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan
pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, Jadi
membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan
kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di
bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih
menganggap logika sebagai materi HAPALAN. Tanpa menguasai logika
maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically
thinking.
Pola pikIr yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan
dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir
secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini
lebih ditekankan pada memahami langkah-langkah dalam
menyelesaikan suatu soal, tanpa melihat lebih dalam mengapa langkah-
Analisis Real I 2012
6 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
langkah tersebut dapat dilakukan. Apabila algorithm thinking lebih
mendominasi maka kita akan menjadi ”robot matematika”.
Pada awalnya pekerjaan membuktikan dan memahami bukti
bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut
dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan
angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.
Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk
memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan
membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat
yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya
adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.
Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan
secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is
proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut
artikel tersebut, terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan,
1. to establish a fact with certainty, untuk meyakinkan bahwa apa yang
selama ini dianggap benar adalah memang benar.
2. to gain understanding, untuk mendapatkan pemahaman.
3. to communicate an idea to others, untuk menyempaikan ide kepada
orang lain.
4. for the challenge, untuk tantangan baru
5. to create something beautiful, untuk membuat sesuatu yang bersifat
indah.
6. to construct a large mathematical theory, untuk membangun teori
matematika yang lebih luas.
Metoda Pembuktian
Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-
topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru.
Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-
akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Selanjutnya,
untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan
logika matematika.
Analisis Real I 2012
7 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
1. Bukti langsung
Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema
yang berbentuk implikasi p⇒q. Dalam hal ini p sebagai hipotesis
digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi, dan
dengan menggunakan p kita harus menunjukkan q berlaku. Secara
logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa
pernyataan p⇒q benar dimana diketahui p benar.
Contoh A Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil.
Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk
suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,
x2 = (2n - 1)2 = .......................................... = 2 (2n2 + 2) +1 = 2m + 1:
m
Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.
2. Bukti taklangsung
Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p⇒q ekuivalen dengan
nilai kebenaran kontraposisinya ¬q⇒ ¬p. Jadi pekerjaan membuktikan
kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
Contoh B Buktikan, jika x2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.
Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita
coba saja. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x = ....................... untuk
suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = 12 +m tidak dapat disimpulkan
apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat
digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah
”....................................................................................”.
Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui
x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n.
Selanjutnya,
x2 = ................................. = 2 (2n2) = 2m
m
yang merupakan bilangan genap.
Analisis Real I 2012
8 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
3. Bukti kosong Bila hipotesis p pada implikasi p⇒q sudah bernilai salah maka implikasi
p⇒q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat
menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan
kebenaran p⇒q.
Contoh C Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut :
”Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari B, ditulis A⊂B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x∈ A
maka x∈B”.
Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai
anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari
himpunan apapun.
Bukti. Tanpa mengurangi keumuman bukti dimisalkan A =....................
suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Akan dibuktikan
bahwa pernyataan ”jika x∈ A maka x∈B” bernilai benar. Karena A
himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah
karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong.
Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x∈A maka
x∈B”, yaitu A⊂B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai.
4. Bukti trivial Bila pada implikasi p⇒q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka
implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi
jika kita dapat menunjukkan bahwaq benar maka kita telah berhasil
membuktikan kebenaran p⇒q.
Contoh D. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 <1+x
x
Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 <1+x
x selalu benar untuk setiap x
bilangan real termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis
kebenaran pernyataan ini terbukti.
Analisis Real I 2012
9 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
5. Bukti dengan kontradiksi (Reductio ad Absurdum)
Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima
oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p⇒q kita
berangkat dari diketahui p dan ¬q. Berangkat dari dua asumsi ini kita
akan sampai pada suatu kontradiksi.
Contoh E Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah
terbuka yang dituliskan dengan A := [0,1). Buktikan maksimum A tidak
ada.
Bukti. Diketahui A := [0,1)
Akan ditunjukkan bahwa maksimum A tidak ada.
Andaikan maksimum A ada, katakan p. Maka haruslah 0 < p < 1, dan
akibatnya p21 <
21 dan
21 (p + 1) < 1.
Diperoleh p = p21 + p
21
< p
21 +
21
=
21 (p + 1) < 1
Diperoleh dua pernyataan berikut :
• p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A.
• ada q∈A (yaitu q := 21 (p + 1)) yang lebih besar dari p.
Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai
maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum.
Latihan Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi
persamaan Diophantine x2- y2 = 1.
Bukti:
Diketahui: ………………………………………………………………………….
Akan dibuktikan: …………………………………………………………………
Andaikan…………………………………………………………………………...
Maka pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh
...........................................................................................................
Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi
bilamana …………………. dan …………………. atau ……………….. dan
………………………………………….
Analisis Real I 2012
10 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Pada kasus pertama akan dihasilkan x = -1 dan y = 0, sedangkan pada
kasus kedua dihasilkan x = 1 dan y = 0. Hasil pada kedua kasus ini
bertentangan dengan hipotesis bahwa ………………………….
Jadi pengandaian diingkar sehingga
diperoleh……………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
Apabila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti
dengan kontraposisi. Namun pada dasarnya adalah berbeda dan
perbedaan pada keduanya dapat dijelaskan sebagai berikut :
• Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ¬q, kemudian
membuktikan adanya kontradiksi.
• Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan ¬q, lalu
membuktikan ¬p.
Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan
akhirnya sudah jelas yaitu membuktikan kebenaran p, sedangkan pada
metoda kontradiksi tujuan akhirnya tidak pasti pokoknya sampai
bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada pernyataan :p
maka kontradiksi sudah ditemukan. Jadi metoda kontraposisi
merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi.
6. Bukti eksistensial
Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif.
Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit.
Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak
diperlihatkan secara eksplisit.
Contoh F Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.
Bukti. Sudah diketahui bahwa 2 irrasional, anggaplah kita sudah
dapat membuktikannya. Sekarang perhatikan ( ) 22 Bila ternyata
( ) 22 rasional maka bukti selesai, dalam hal ini diambil x = y = 2 . Bila
Analisis Real I 2012
11 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
( ) 22 bukan rasional (yaitu irrasional), diperhatikan bahwa
22
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
( ) 22 = 2 merupakan bilangan rasional.
Jadi salah satu pasangan (x,y), dengan x = y = 2 , atau x = ( ) 22 dan y
= 2 pasti memenuhi pernyataan yang dimaksud.
Pada bukti ini hanya ditunjukkan eksistensi bilangan irrasional x
dan y tanpa memberikannya secara eksplisit. Ini dikenal dengan istilah
pembuktian eksistensi non konstruktif.
Contoh G (Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real
dengan a < b maka terdapat bilangan rasional r dengan a < r < b.
Bukti. Diperhatikan bahwa ab −
1 suatu bilangan real positif. Menurut
sifat Archimedes terdapat bilangan asli n sehingga n >ab −
1 . Untuk n ini
berlaku nb - na > 1 (*)
Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari
na, dan berlaku m - 1 ≤ na < m (**)
Dari (*) dan (**) diperoleh
na < m ≤ na + 1 < nb:
Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi
semua ruas dengan n, didapat
a <nm < b
dan dengan mengambil r := nm maka bukti Teorema selesai.
Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan
langkah-langkah konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud
dapat dinyatakan secara eksplisit. Ini bukti eksistensial dengan
konstruktif.
7. Bukti ketunggalan
Analisis Real I 2012
12 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi
suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat
ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang
memenuhi, yaitu
• Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau
• Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan
adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan
metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya.
Contoh H Diberikan definisi limit barisan sebegai berikut :
Misalkan (xn : n ∈N) suatu barisan bilangan real. Bilangan real x
dikatakan limit dari (xn : n ∈N), dan ditulis lim(xn) = x jika dan hanya
jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan terdapat bilangan asli K sehingga
xxn − <ε untuk setiap n ≥ K:
Buktikan bahwa jika limit barisan (xn) ada maka ia tunggal.
Bukti. Di sini tidak diperlukan bukti eksistensi karena kita hanya akan
membahas barisan yang mempunyai limit, atau eksistensinya sudah
diasumsikan. Sekarang kita gunakan pendekatan kedua. Andaikan
barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xa dan xb
dengan xa≠ xb. Diberikan ε := ab xx −31
Karena lim(xn) = xa maka untuk ε ini terdapat Ka sehingga
an xx − <ε untuk setiap n ≥ Ka:
Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Kb sehingga
bn xx − <ε untuk setiap n ≥ Kb:
Sekarang untuk n ≥ maks { }ba KK , maka berlaku
ba xx − = bnna xxxx −+−
≤ an xx − + bn xx −
< ε + ε
= ba xx −32
Analisis Real I 2012
13 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Akhirnya diperoleh ba xx − < ba xx −32
suatu pernyataan yang
kontradikstif. Pengandaian xa≠ xb salah dan haruslah xa = xb , yaitu
limitnya mesti tunggal.
8. Bukti dengan counter example
Pembuktian ini dilakukan dengan cara menemukan satu saja kasus yang
tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya dengan
kata lain konjektur terbukti.
Contoh I Untuk setiap n bilangan asli maka n22 + 1 merupakan bilangan
prima.
Bukti. Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila
ditemukan satu bilangan asli, katakan 0n dan 022n
+ 1 tidak prima
(komposit) maka konjektur ini tidak benar. Diperhatikan beberapa kasus
berikut, untuk n = 1 diperoleh bilangan 5, n = 2 menghasilkan 17, n = 3
menghasilkan 257 dan n = 4 menghasilkan 65537. Keempat bilangan ini
prima. Coba perhatikan untuk n = 5, diperoleh
225 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417).
Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan
(counter example). Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah.
9. Bukti dengan induksi matematika
Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa
sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli.
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan )(nP .
Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah yaitu:
1. Basis Induksi.
Menunjukkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk
bilanganDengan kata lain tunjukkan bahwa )1(P benar.
2. Langkah Induksi
Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n
maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan )1( +n .
Caranya :
Analisis Real I 2012
14 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
a. Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kn = . )(kP
untuk suatu k tertentu dalam kasus ini disebut hipotesa induksi.
b. Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk kn = ,
maka pernyataan tersebut juga benar untuk )1( += kn .
c. Dengan terbukti (a) dan (b) maka dengan induksi matematika
dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk
setiap bilangan asli n.
10. Bukti dua arah Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p⇔ q. Ada dua
kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p⇔ q yaitu p benar dan q benar,
atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari
p⇒q dan q⇒p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p⇔ q berarti
membuktikan kebenaran kedua implikasi p⇒q dan q⇒p. Selanjutnya
dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan
kontradiksi.
Contoh J Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika
jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan.
Bukti. Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari
pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351,
513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per
satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam
bentuk
p = xnxn-1xn-2..... x2x1 x0
dimana xn ≠ 0; xn-1,.....,x0 bilangan bulat taknegatif.
Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut :
p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n
Jumlah angka-angka pembangunnya adalah
s = x0 + x1 + x2 + . . . + xn.
Pertama dibuktikan (⇒ ), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s
habis dibagi 9. Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk
suatu bilangan bulat k. Diperhatikan selisih p - s,
p - s = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n – (x0 + x1 + x2 + . . . + xn)
Analisis Real I 2012
15 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
= (10 - 1)x1 + (102 - 1)x2 + . . . + (10n - 1)xn
Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan,
misalnya ditulis 9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh
9k - s = 9m ⇒ s = 9(k - m)
yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan (⇐ ), yaitu diketahui s
habis dibagi 9, dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan
p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n
= x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 + . . . + xn.
= [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)]
s
Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis
dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9.
Metode-metode pembuktian tersebut nantinya yang dapat
digunakan dalam memahami mata kuliah Analisis Real I ini. Tak bisa
dipungkiri bahwa belajar matematika dengan cara memahami bukti
tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika
sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas
untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Oleh karena
itu, awalilah dengan memahami hal-hal yang bersifat dasar, terutama
pahami definisi, sehingga kebelakangnya anda dapat menyelesaikan hal-
hal yang lebih kompleks.
Analisis Real I 2012
16 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
BAB I
SISTEM BILANGAN REAL
KOMPETENSI DASAR
1. Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang
berlaku di dalamnya.
2. Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat
menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan
irrasional dan bilangan rsional
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Menyebutkan aksioma bilangan real
2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari
aksioma
3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real.
4. Memahami sifat urutan pada bilangan real
5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat
6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri
7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy.
8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak
9. Memahami pengertian himpunan terbatas.
10. Memahami pengertian supremum dan infimum dan
sifatnya.
SUB POKOK BAHASAN :
1.1. Konsep dan Struktur Bilangan
1.2. Himpunan Bilangan Real
1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa
Aturan Dasar
1.1. Konsep dan Struktur Bilangan
Analisis Real I 2012
17 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bilangan real yang biasa dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan
yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan
diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Namun
sebelum membahas bilangan real lebih lanjut, ada baiknya diingat
kembali definisi bilangan-bilangan yang lain. Pengertian macam-macam
bilangan secara umum dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Bilangan kompleks
Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika
adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan real yang
kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan
bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri
dari dua bagian: bagian real dan bagian imajener (khayal).
2. Bilangan Real (Bilangan Nyata)
Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada
garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk
geometrik. Bilangan-bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada
berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.
Bilangan Real juga dikenal sebagai suatu bilangan yang terdiri dari
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya
disajikan dengan sebuah garis bilangan.
3. Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan
merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan
merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan
tersebut dikatakan imajiner.
4. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang
dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus merupakan bilangan
Analisis Real I 2012
18 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
bulat. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat
disusun ulang dalam bentuk pecahan .
5. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu
garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa
karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan
rasional.
6. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan non pecahan yang terdiri dari
bilangan: Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …), Nol (0), dan Bulat Negatif
( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
• Bilangan bulat genap adalah bilangan yang habis dibagi dengan 2
yaitu { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
• Bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa
-1 atau 1 yaitu { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
7. Bilangan Pecahan
• Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah
kurang atau lebih dari utuh.
• Terdiri dari pembilang dan penyebut.
• Pembilangan merupakan bilangan terbagi.
• Penyebut merupakan bilangan pembagi
Macam-macam pecahan ;
a. Pecahan biasa
Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.
b. Pecahan Campuran
Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan
penyebut.
c. Pecahan Desimal
Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu
bilangan dengan 10, 100, 1.000, 10.000 dst.
Analisis Real I 2012
19 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
d. Pecahan Persen
Persen artinya perseratus. Merupakan suatu bilangan dibagi
dengan seratus.
e. Pecahan Permil
Permil artinya perseribu. Merupakan suatu bilangan dibagi seribu,
ditulis dengan tanda ‰
8. Bilangan Cacah
a. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan
cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan
dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan
cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan
cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).
b. Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot
Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) bilangan cacah dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk
menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika suatu
himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah
anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan
dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri
atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut
adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian
seterusnya sehingga kita mengenal barisan bilangan hasil
pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambing 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . sebagai bilangan cacah.
c. Menurut ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan
bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri
atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.
9. Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling
sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan
dimengerti oleh manusia. Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-
mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
10. Bilangan Prima
Analisis Real I 2012
20 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan
1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah
bilangan ganjil kecuali 2.
11. Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan
merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan
sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan
prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6,
8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang
mempunyai faktor lebih dari dua.
Beberapa hubungan antar bilangan di atas dapat digambarkan dalam
diagram berikut:
Secara umum dalam sistem bilangan, himpunan semua bilangan
asli dilambangkan dengan N. Himpunan semua bilangan cacah
Bilangan Komplek
Bilangan Real (R) Bilangan Khayal
Nol (0)
Bilangan Cacah (C) Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Irasional (I)
Bilangan Pecahan Bilangan Bulat (Z)
Bilangan Rasional (Q)
Bilangan Asli (N)
Analisis Real I 2012
21 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
dilambangkan dengan C. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan
dengan himpunan Z. Bilangan-bilangan real yang dapat ditulis dalam
bentuk qp dengan p,q∈Z disebut bilangan pecahan. Gabungan antara
himpunan bilangan bulat dengan bilangan pecahan disebut bilangan
rasional atau terukur dan himpunan semua bilangan rasional
dilambangkan dengan Q. Bilangan-bilangan real yang bukan bilangan
rasional disebut bilangan irasional atau tak terukur dan himpunan
semua bilangan dilambangkan (I). Bilangan diluar bilangan real disebut
bilangan khayal atau imajiner, dan gabungan antara bilangan real dan
imajiner inilah yang dikenal sebagai bilangan kompleks.
Lembar Kerja 1
1. Gambarkan hubungan ke sebelas jenis bilangan yang telah
dipaparkan dalam sub bab ”Konsep dan Struktur Bilangan” dalam
diagram Venn.
Jawab:
Analisis Real I 2012
22 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2. Buatlah gambar himpunan jenis bilangan tersebut dalam garis
bilangan!
Jawab:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Selain jenis bilangan di atas apakah ada jenis bilangan lain yang
pernah anda kenal?
Jawab:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
23 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
24 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
1.2. Himpunan Bilangan Real
Sub bab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan
himpunan dan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika
yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap
yaitu bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari
lapangan. Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan
ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang
lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil.
Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema
Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah,
Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas
sifat kelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit
dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R
mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real.
1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar
Definisi 1.1 (Sifat Aljabar dari Bilangan Real) Sistem bilangan R adalah
suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi
perkalian ( o ) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
A. (R, +) Grup komutatif, yaitu:
(A1). ℜ∈+ℜ∈∀ baba ,, (Tertutup)
(A2). ( ) ( ) cbacbacba ++=++ℜ∈∀ ,,, (Assosiatif)
(A.3). aaooaao =+=+ℜ∈∀ℜ∈∃ ,,! (ada elemen Netral ⊕)
(A.4). ( ) aaoaaaa +−==−+ℜ∈−∃ℜ∈∀ ,!, (Ada elemen Invers ⊕)
(A.5). abbaba +=+ℜ∈∀ ,, (Komutatif)
B. (R-{0}, o ) Grup Komutatif, yaitu
(M1). { } { }0,0, −ℜ∈−ℜ∈∀ baba o (Tertutup)
(M2). { } ( ) ( ) cbacbacba oooo =−ℜ∈∀ ,0,, (Assosiatif)
(M3). { } { } aaaa ==−ℜ∈∀−ℜ∈∃ 11,0,01! oo (Ada elemen satuan)
Analisis Real I 2012
25 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(M4). { } { } 111,01!,0 ==−ℜ∈∃−ℜ∈∀ aaa
aa
a oo (Ada el invers ditulis 1−a )
(M5). { } abbaba oo =−ℜ∈∀ 0, (komutatif)
C. ( )o,,+ℜ distributif
( ) cabacbacba ooo +=+ℜ∈∀ ,,,
Selanjutnya anggota ℜ disebut sistem bilangan Real / bilangan nyata.
Teorema 1.2
(a). Jika z dan ,, aaza =+ℜ∈ maka z = 0
(b). Jika ℜ∈bu, dengan ob ≠ dan ,bbu =o maka 1=u
Bukti:
(a). Diketahui aazaz =+ℜ∈ ,, Akan ditunjukkan bahwa z = 0
Menurut (A4) ( ) ( ) ( )aaaaz −+=−++
(A2) ( )( ) ( )aaaaz −+=−++
(A4) 00 =+z
(A3) 0=z (b). Diketahui bbubbu =⋅≠ℜ∈ ,0,,
(M4) ( ) 11 −− = bbbbu ooo
(M2) ( ) 11 −− = bbbbu ooo
(M4) 11 =ou
(M3) 1=u
Teorema 1.3.
(a). Jika 0,, =+ℜ∈ baba maka ab −=
(b). Jika 1,,0 =ℜ∈≠ baba o maka a
b 1=
Bukti :
(a). Diketahui 0,, =+ℜ∈ baba
(A4) ( ) ( ) ( ) 0+−=++− abaa
(A2) ( )( ) ( ) 0+−=++− abaa
(A4) ( ) 00 +−=+ ab
(A3) ab −=
Analisis Real I 2012
26 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(b). Latihan!
Diketahui..................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
......................................................................................
Teorema 1.4 Misal ℜ∈ba, , maka
(a). Persamaan bxa =+ mempunyai penyelesaian tunggal ( ) bax +−=
(b). Jika ,0≠a persamaan bxa =o mempunyai penyelesaian tunggal
ba
x o⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
Bukti:
(a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat
( )( ) ( )( ) bbbaabaa =+=+−+=+−+ 0
bxa =+Q mempunyai penyelesaian ( ) bax +−=
Misal 1x juga penyelesaian, maka diperoleh:
bxa =+ 1
(A4) ( ) ( ) ( ) baxaa +−=++− 1
(A2) ( ) ( ) baxaa +−=++− 1
(A4) ( ) bax +−=+ 10
(A3) ( ) bax +−=1
Analisis Real I 2012
27 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(b). Latihan
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
..............................................................
Teorema 1.5. Jika ℜ∈a sebarang, maka
(a). 00 =oa (c). ( ) aa =−−
(b). ( ) aa −=− o1 (d). ( ) ( ) 111 =−− o
Bukti:
(a). ( )
aaaM
=⇒ℜ∈ 13
o
010 ooo aaaa +=+⇒
( )
( )01+= oac
aaA
== 13o
( )
0001
=⇒=+ ooQ aaaaaTh
(b). ( )( )
( ) aaaaM
ooo 1113
−+=−+
( )
( )( ) ac
o11 −+=
( )
aA
o04=
( )
0a=
( )( )
( ) aaaaaTh
−=−⇒=−+ ooQ 1012
Analisis Real I 2012
28 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(c). Dari A4 ( ) 0=+−⇒ aa
( )aaaTh
−−=⇒2
(d). Dari ab, diganti ( ) ( ) ( )1111 −−=−−⇒− o
( )( ) ( ) 111 =−−⇒ o
c
Teorema 1.6 Diberikan ℜ∈cba ,,
(a). Jika 0≠a maka 01≠
a dan a
a
=1
1
(b). Jika ,0, ≠= acaba oo maka cb =
(c). Jika 0=ba o , maka 0=a atau 0=b
Bukti:
(a). a
a 10 ⇒≠ ada
Andaikan 01=
a, maka
( )0011
3=== aa
a
Moo Kontradiksi.
Jadi a
Thaa
a
b
1
111 2
=⇒=o
(b). 010 ≠⇒≠a
a sehingga dari yang diketahui:
caba oo =
( ) ( )caa
baa
oooo11
=
cb oo 11 =
cb =
(c). Misalkan ⇒≠ 0a harus dibuktikan 0=b .
Karena 0≠a , maka 01≠
a. Oleh karena itu ( ) 011
oooa
baa
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(diketahui)
001
==bbo
Sifat Terurut dari ℜ
Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan
ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep
Analisis Real I 2012
29 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
tersebut? Di sini, kita akan membahasnya. Terlebih dahulu kita akan
membahas konsep kepositifannya.
(Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R , yang
dinamakan himpunan bilangan real positif ℜ∈Ρ sehingga memenuhi:
(1). Ρ∈+⇒Ρ∈ baba,
(2). Ρ∈⇒Ρ∈ baba o,
(3). ℜ∈∀a , tepat satu berlaku : Ρ∈−=Ρ∈ aaa ,0, (sifat Trichotomi)
Selanjutnya P disebut himpunan bilangan real positif.
Sifat Trichotomy ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah
himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan
{ }Paa ∈− : yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan
{ }0 , dan himpunan bilangan real positif .
Kesepakatan : aa ⇒Ρ∈ disebut bilangan Real Positif, ditulis 0>a
aa ⇒Ρ∈− disebut bilangan Real Negatif, ditulis 0<a
{ } aa ⇒∪Ρ∈ 0 disebut bilangan real non negatif, ditulis 0≥a
{ } aa ⇒∪Ρ∈− 0 disebut bilangan real non positif, ditulis 0≤a
⇒Ρ∈− ba ditulis ba > atau ab <
{ } baba ≥⇒∪Ρ∈− 0 atau ab ≤
bacba <⇒<< dan cb <
bacba ≤⇒≤≤ dan cb ≤
Penjumlahan k buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k .
Himpunan bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut
sebagai himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini
merupakan himpunan bagian dari himpunan . Himpunan ini memiliki
sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari
N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat
well-ordering dari N . Selanjutnya, jika kita ambil sembarang Nk∈ maka
Nk −− ∈ . Gabungan himpunan N , { }0 , dan { }: Nk k− ∈ membentuk suatu
himpunan yang disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan
dengan Z . Himpunan bilangan asli N disebut juga sebagai himpunan
Analisis Real I 2012
30 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
bilangan bulat positif, dinotasikan dengan Z+ , sedangkan himpunan
{ }: Zk k− ∈ disebut juga himpunan bilangan bulat negatif, dinotasikan
dengan Z− . Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam
bentuk /m n , dengan 0n ≠ . Bilangan real yang dapat direpresentasikan
dalam bentuk yang demikian disebut sebagai bilangan rasional.
Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat direpresentasikan dalam
bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan
rasional dinotasikan dengan Q . Dapat dikatakan bahwa himpunan
bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan
bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0
merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan
bahwa 2 , akar dari persamaan 2 2x = , merupakan contoh bilangan
irasional. Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep
ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang
berkaitan dengan sifat terurut dari R .
Teorema 1.7 Diberikan ℜ∈cba ,,
(1). ba > dan cacb >⇒>
(2). Tepat satu berlaku : bababa <=> ,,
(3). ba ≥ dan baba =⇒≤
Bukti: (1). Karena ba > dan cb > , maka Ρ∈−ba dan Ρ∈− cb , sehingga menurut
(1) didapat ( ) ( ) Ρ∈−=−+− cacbba . D.k.l ba >
(2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :
( ) Ρ∈−−=−Ρ∈− bababa ,0,
bababa <=> ,, (3). Andaikan ba ≠ , maka ba < dan ba > , kontradiksi dengan yang
diketahui.
Teorema 1.8 Diberikan ℜ∈a
(1). 00 2 >⇒≠ aa
(2). 01 >
(3). 0, >Ν∈∀ nn
Analisis Real I 2012
31 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bukti: (1). Menurut sifat Trichotomi, untuk 0≠a , maka Ρ∈a atau Ρ∈− a
Dengan sifat urutan (2) Ρ∈= 2aaa o atau ( ) ( ) .2 Ρ∈=−− aaa o
Jadi 02 >a
(2). Dari (1) : .101 2 Ρ∈⇒≠ Jadi 01 >
111 =o
(3). Dengan induksi matematika:
i) 011 >⇒=n benar karena (2)
ii) Dianggap benar untuk kn =
Karena Ρ∈Ρ∈ k&1 maka dengan sifat urutan (1) :
Ρ∈+1k 01>+kQ . Jadi nn ∀> ,0
Teorema 1.9 Diketahui ℜ∈dcba ,,,
(1). cbcaba +>+⇒>
(2). dbcadcba +>+⇒>∧>
(3). bcaccba >⇒>∧> 0
bcaccba <⇒<∧> 0
(4). 010 >⇒> aa
010 <⇒< aa
Bukti:
(1). Dari ,ba > maka .Ρ∈− ba
( ) ( ) cbcacbcaba
+>+⇒Ρ∈=+−+−
(2). Karena dcba >∧> maka Ρ∈− ba dan Ρ∈− dc
Dengan sifat urutan (1) : ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ∈+−+=−+− dbcadcba
dbca +>+Q
(3). Dari ba > dan 0>c , maka Ρ∈− ba dan Ρ∈c
Dengan sifat urutan (2) : ( ) Ρ∈− cba o
Ρ∈− bcac
bcac >Q
(4). Latihan.
Analisis Real I 2012
32 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
..............................................................
Teorema 1.10 Jika ba < maka ( ) bbaa <+<21
Bukti :
Diketahui baaaaba +<+=⇒< 2
bbbbaba 2=+<+⇒<
( )
( )( ) bbaa
bba
baa<+<
⋅<+
+<⋅⇒>⇒>⇒Ν∈
21
221
21dan
212
210
21022
Teorema 1.11 Jika ℜ∈a dan ε<≤ a0 , untuk sebarang bilangan 0>ε maka 0=a
Bukti:
Andaikan 0,0 >≠ aa . Dengan Teorema sebelumnya, aa <<210 . Diambil
bilangan a21
0 =ε , maka a<< 00 ε . Kontradiksi dengan yang diketahui :
0,0 >∀≤≤ εεa
Q Pengandaian 0≠a salah
Teorema 1.12 (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)
ℜ∈x dan 1−>x maka ( ) Ν∈∀+≥+ nnxx n ,11
Analisis Real I 2012
33 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bukti:
Dengan induksi matematika:
i) ( ) xxn +≥+⇒= 111 benar
ii) Dianggap benar untuk ( ) kxxkn k +≥+= 11:
iii) 1+= kn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 21 1111111 kxxkxkxxxx kk +++=++≥+⋅+=+ +
( )xk 11 ++≥
( ) nxx n +≥+ 11Q .
HARGA MUTLAK
Definisi 1.13 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilangan real a ,
dinotasikan dengan a , didefinisikan dengan
, 0:
, 0.a a
aa a
≥⎧= ⎨− <⎩
Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu,
di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.
Teorema 1.14
1. 00 =⇔= aa
2. aa =−
3. ab a b= untuk setiap R∈ba, .
4. Misalkan 0c ≥ dan R∈a , a c≤ jika dan hanya jika c a c− ≤ ≤ .
5. Misalkan 0c ≥ dan R∈a , a c≥ jika dan hanya jika a c≥ atau a c≤ − .
6. ℜ∈∀<<− aaaa ,
Bukti:
1. Jelas dari definisi
2. ℜ∈a
i) aaaa =−⇒=−⇒= 00
ii) ( ) aaaaaa −=−−==⇒<−⇒> 00
iii) aaaaa =−=−⇒>−⇒< 00
Analisis Real I 2012
34 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
3. Diberikan ℜ∈ba, . Jika 0a = atau 0b = maka 0 0ab = = dan 0a b = .
Jika , 0a b > maka 0ab > , a a= , dan b b= , sehingga ab ab= dan
a b ab= . Jika 0a > dan 0b < maka 0ab < , a a= , dan b b= − ,
sehingga ab ab= − dan ( )a b a b ab= − = − . Untuk kasus 0a < dan 0b > ,
penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya.
4. Misalkan a c≤ . Untuk 0a ≥ , kita peroleh a a c= ≤ , sehingga didapat
0 a c≤ ≤ . Untuk 0a ≤ , kita peroleh a a c= − ≤ atau a c≥ − , sehingga
didapat 0c a− ≤ ≤ . Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus
tersebut, kita peroleh c a c− ≤ ≤ .
Untuk sebaliknya, misalkan c a c− ≤ ≤ . Hal tersebut mengandung arti
c a− ≤ dan a c≤ . Dengan kata lain, a c− ≤ dan a c≤ . Lebih sederhana,
yang demikian dapat dituliskan sebagai a c≤ .
5. Misalkan a c≥ . Untuk 0a ≥ , kita peroleh a a c= ≥ . Untuk 0a ≤ , kita
peroleh a a c= − ≥ atau a c≤ − . Dengan menggabungkan hasil dari
kedua kasus tersebut, kita peroleh a c≥ atau a c≤ − . Untuk
sebaliknya, jika a c≥ atau a c≤ − maka a c≥ atau a c− ≥ . Dengan kata
lain, a c≥ .
6. Jelas bahwa 0≥a dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh
aaa <<−
Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang
dinamakan dengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini
mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya
di dalam kajian analisis dan aljabar.
Teorema 1.15 (Teorema Ketaksamaan Segitiga)
Untuk bababa +≤+ℜ∈ ,,,
Bukti:
Untuk aaaba ≤≤−ℜ∈ :,
bbb ≤≤−
Analisis Real I 2012
35 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Diperoleh : bababa +≤+≤−−
( )( )
bababababa +≤+⇒+≤+≤+−4
Akibat 1.16
(1). baba −≤−
(2). baba +≤−
Bukti:
1). Untuk ℜ∈ba,
(i) bbabbaa +−≤+−=
(ii) ( ) abaabaaabaabb +−=+−−=+−≤+−−
Sehingga
baba −≤− dari (i)
baab −≤− atau baba −≤−− dari (ii)
Jadi
bababa −≤−≤−−
D.k.l
baba −≤−
2). ( ) babababa +=−+≤−+=−
Contoh 1.17
Tentukan 0>Μ sehingga ( ) [ ]4,1, ∈∀Μ≤ xxf dengan ( )15
432 2
−++
=xxxxf
Jawab:
( )15
43215
432 22
−++
=−
++=
xxx
xxxxf
432432 22 ++≤++ xxxx
432 2 ++= xx
48443162 =+⋅+⋅≤
411515 =−⋅≥−x
Analisis Real I 2012
36 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
( ) [ ]4,1,12448
115432 2
∈∀Μ==≤−++
= xxxxxf .
Lembar Kerja 2.
1. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan 2 6x x− < .
Jawaban. Perhatikan bahwa
( )( )2 26 6 0 2 3 0x x x x x x− < ⇔ − − < ⇔ + − < .
Dari sini diperoleh bahwa 2 0x + > dan 3 0x − < , atau ……………. dan
………………………. Untuk kasus yang pertama kita dapatkan 2x > −
dan 3x < , atau dengan kata lain ………………. Untuk kasus yang
kedua kita peroleh bahwa 2x < − dan 3x > . Perhatikan bahwa pada
kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang memenuhinya. Dengan
demikian, ketidaksamaan 2 6x x− < dipenuhi oleh semua
{ }32: <<−∈∈ xxx R . ■
2. Selidiki apakah ketidaksamaan
2 22 3xx−
>+
memiliki penyelesaian.
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
3. Cari himpunan penyelesaian dari 2 1 5x + < .
Analisis Real I 2012
37 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari .
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Analisis Real I 2012
38 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
5. Selidiki apakah ketidaksamaan 3 2 4x x− + + ≤ memiliki penyelesaian.
Jawaban:
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………
Analisis Real I 2012
39 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Sifat Kelengkapan ℜ Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas
terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud
dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya,
yaitu batas bawahnya.
Definisi 1.18
(i). Himpunan R⊂A dan φ≠A dikatakan terbatas ke atas (bounded
above) jika ada bilangan real k sehingga berlaku ka ≤ untuk setiap
Aa∈ . Selanjutnya k disebut batas atas (upper bound) himpunan A .
(ii). Himpunan R⊂A dan φ≠A dikatakan terbatas ke bawah (bounded
below) jika ada bilangan real l sehingga berlaku al ≤ untuk setiap
Aa∈ . Selanjutnya l disebut batas atas (lower bound) himpunan A .
(iii). Himpunan R⊂A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke
atas dan terbatas ke bawah.
Definisi 1.19
(i). Bilangan real R∈M disebut batas atas terkecil (supremum) atas
himpunan R⊂A jika memenuhi:
a. Ma ≤ untuk setiap Aa∈ .
b. Jika Ma ′′≤ untuk setiap Aa∈ maka MM ′′≤
(ii). Bilangan real R∈m disebut batas bawah terbesar (infimum) atas
himpunan R⊂A jika memenuhi:
c. am ≤ untuk setiap Aa∈ .
d. Jika am ≤′′ untuk setiap Aa∈ maka mm ≤′′
Teorema 1.20
(i). M supremum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi
a. M batas atas himpunan A
b. Untuk setiap bilangan 0>ε terdapat Aa ∈′ sehingga
MaM ≤′<− ε
(ii). m infimum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi
c. m batas bawah himpunan A
Analisis Real I 2012
40 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
d. Untuk setiap bilangan 0>ε terdapat Aa ∈′′ sehingga
ε+≤′′≤ mam .
Bukti
(i). ( )⇒ Karena M supremum (batas atas terkecil) himpunan A maka
Ma ≤ untuk setiap Aa∈ dan untuk setiap bilangan 0>ε , ε−M
bukan batas atas himpunan A . Berarti ada Aa ∈′ sehingga aM ′<− ε .
Karena M batas atas terkecil himpunan A maka untuk setiap Aa∈
khususnya Aa ∈′ berlaku Ma ≤′ .
Jadi terbukti ada Aa ∈′ sehingga MaM ≤′<− ε .
( )⇐ Diketahui bahwa Ma ≤ dan untuk setiap bilangan 0>ε terdapat
Aa ∈′ sehingga MaM ≤′<− ε . Hal ini berarti tidak ada batas atas 1M
sehingga MM <1 . Andaikan ada batas atas 1M dengan MM <1 .
Kemudian diambil 1MMo −=ε maka diperoleh kontradiksi
( ) aMMMMM o <−=−−= ε11 . Dengan kata lain terbukti bahwa M
supremum himpunan A
(ii). ( )⇒ Karena m infimum (batas bawah terbesar) himpunan A maka
ma ≥ untuk setiap Aa∈ dan untuk setiap bilangan 0>ε , ε+m bukan
batas atas himpunan A . Berarti ada Aa ∈′′ sehingga ε+<′′ ma . Karena
m batas bawah terbesar himpunan A maka untuk setiap Aa∈
khususnya Aa ∈′′ berlaku am ′′≤ .
Jadi terbukti ada Aa ∈′′ sehingga ε+<′′≤ mam .
( )⇐ Diketahui bahwa am ≤ dan untuk setiap bilangan 0>ε terdapat
Aa ∈′′ sehingga ε+<′′≤ mam . Hal ini berarti tidak ada batas bawah 1m
sehingga 1mm < . Andaikan ada batas bawah 1m dengan 1mm < .
Kemudian diambil mmo −= 1ε maka diperoleh kontradiksi
( ) 11 mmmmma o =−+=+<′′ ε .
Dengan kata lain terbukti bahwa m infimum himpunan A .
Selanjutnya jika R⊂A , φ≠A dan A terbatas maka supremum atau
infimumnya ada di R .
Analisis Real I 2012
41 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 1.21 (Aksioma Supremum) Jika R⊂A , φ≠A dan A terbatas
ke atas maka Amempunyai supremum di R , yaitu terdapat R∈M
sehingga AM sup= .
Akibat 1.22 Jika R⊂A , φ≠A dan A terbatas ke bawah
maka Amempunyai infimum di R , yaitu terdapat R∈m sehingga
Am inf= .
Sering muncul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum
(infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang
himpunan { }10: <<∈ xx R , bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal
ini. Himpunan { }10: <<∈ xx R tidaklah mempunyai minimum dan
maksimum, karena tidak ada { }10:, <<∈∈ xxMm R sedemikian sehingga
m x≤ dan M x≥ , untuk setiap { }10: <<∈∈ xxx R . Sedangkan untuk
supremum dan infimum, himpunan { }10: <<∈ xx R memilikinya, yaitu 1
dan 0, masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan
maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi
elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen
infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam
himpunan yang bersangkutan. Himpunan { }10: ≤≤∈ xx R memiliki
infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam
himpunan { }10: ≤≤∈ xx R .
Catatan :
1). Inf & sup tidak perlu jadi anggota → Contoh : { }10:3 <<= xxS
2). Suatu himpunan bisa jadi punya batas bawah tapi tidak punya batas
atas, dan sebaliknya punya batas atas, tidak punya batas bawah.
Misal:
{ }→≥ℜ∈= 0:1 xxS Punya batas bawah tapi tidak punya batas atas
{ }→<ℜ∈= 0:1 xxS Punya batas atas tapi tidak punya batas bawah
Sifat Kelengkapan ℜ
1. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di atas dalam ℜ
mempunyai supremum dalam ℜ
Analisis Real I 2012
42 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di bawah dalam ℜ
mempunyai infimum dalam ℜ
Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum
atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan
R∈vu, adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas U . Untuk
menunjukkan bahwa supremum dari U adalah tunggal, berarti kita
harus menunjukkan bahwa u v= . Untuk menunjukkannya, perhatikan
bahwa u w≤ dan v w≤ , untuk setiap w , batas atas dari U . Karena u dan
v juga batas atas dari U , kita memiliki u v≤ dan v u≤ . Yang demikian
berarti u v= atau supremum dari U adalah tunggal. Dengan mudah,
dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan yang
terbatas bawah juga tunggal. Berdasarkan semua penjelasan pada
subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial.
Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R Aksioma 1.23 (Sifat Kelengkapan dari R ). Setiap himpunan bagian dari
R yang terbatas atas memiliki supremum di R .
Aksioma tersebut mengatakan bahwa R , digambarkan sebagai
himpunan titik-titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan
himpunan bilangan-bilangan rasional Q , sebagai himpunan bagian dari
R yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki
“lubang”. Inilah yang membedakan R dengan Q . Karena tidak
“berlubang” inilah, R , selain merupakan lapangan terurut, juga
mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu, R disebut sebagai lapangan
terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan
{ }2,0:: 2 <≥∈= tttT Q bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan
terminologi “lubang” pada himpunan Q . Supremum dari Q∈T yaitu 2 ,
yang merupakan akar dari persamaan 2 2x = , bukanlah bilangan rasional.
Bilangan 2 ini merupakan salah satu “lubang” pada Q . Maksudnya,
supremum dari Q∈T adalah 2 yang bukan merupakan elemen dari Q .
Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku
Analisis Real I 2012
43 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
pada Q . Tetapi jika kita bekerja pada R , yang demikian tidak akan
terjadi.
Lembar Kerja 3.
1). ,, φ≠ℜ⊆ SS terbatas dalam ℜ
Buktikan { }SssSSup ∈−−= :inf
Bukti:
Misalkan { }SssT ∈−= :
Dengan sifat kelengkapan, S mempunyai ................................... dalam ℜ
Mislkan Su sup= , sehingga berlaku ............................................................................
Oleh karena itu –u adalah ....................................................... dari T .
Dengan sifat kelengkapan, T mempunyai ........................................ dalam ℜ
Misalkan Tinf=l
Dalam hal ini: uatauu ≤−≤− ll ................ (1)
Di pihak lain : Sss ∈∀−≤ ,l sehingga berlaku Sss ∈∀−≤ ,l yaitu l− batas atas
dari S dan l−≤u ........ (2).
Dari (1) & (2) didapat l−=u atau sup TS inf−=
2). uS ,φ≠ batas atas S dengan Su∈ . Buktikan Su sup=
Bukti :
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3). SuS sup, =≠ φ .
Buktikan :
(1). 21−u bukan batas atas S .
Analisis Real I 2012
44 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(2). nu 1+ batas atas S , Nn∈∀
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.24
(i). Jika BBA ,ℜ⊂⊂ terbatas ke atas, maka ( ) ( )BA supsup ≤
(ii). Jika BBA ,ℜ⊂⊂ terbatas ke bawah, maka ( ) ( )BA infinf ≥
Bukti:
(i). Karena BA ⊂ dan B terbatas ke atas, maka A juga terbatas ke atas.
Diambil k sebarang batas atas himpunan B .
Karena BA ⊂ , maka k juga merupakan batas atas A . Jadi sup ( )B
merupakan batas atas himpunan A . Akibatnya : Sup ( ) ≤A sup ( )B
(ii). Latihan
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
45 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.25 Diberikan .&, ℜ∈ℜ⊂ xBA Didefinisikan { }BbAabaBA ∈∈+=+ &:
Jika ℜ⊂BA, dan terbatas, maka
(i). sup ( ) ≤+ BA sup ( )A + sup ( )B
(ii). Inf ( ) ≥+ BA inf ( )A + inf ( )B
Bukti :
(i). Misal 1M = sup ( )A dan 2M =sup ( )B . Berdasarkan definisi supremum
diperoleh bahwa 1, MaAa ≤∈∀ dan 2, MbBb ≤∈∀ .
Akibatnya BAba +∈+∀ , 2121 MMMMba +⇒+≤+ batas atas BA +
sehingga sup ( ) 21 MMBA +≤+ = sup ( )A + sup ( )B
(ii) Latihan
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
46 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 1.26 (Sifat Archimedes) Jika R∈x maka terdapat N∈n
sehingga nx < .
Bukti : Diambil sebarang R∈x . Andaikan tidak ada N∈n sehingga nx < ,
berarti xn ≤ untuk setiap N∈n . Akibatnya N terbatas ke atas dengan
salah satu batas atasnya adalah x . Dengan menggunakan aksioma
supremum berarti N mempunyai supremum. Namakan Nsup=u . Jika
diambil 1=ε maka 1−u bukan batas atas N . Jadi terdapat N∈m dengan
sifat mu <−1 , akibatnya 1+< mu . Karena 1+< mu dan N∈+1m maka
terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa u merupakan batas atas N .
Jadi pengandaian diingkar. Dengan kata lain terbukti bahwa jika R∈x
maka terdapat N∈n sehingga nx < .
Akibat 1.27 Diberikan y dan z bilangan real positif, maka
(i). nyzNn <∋∈∃
(ii). ynNn <<∋∈∃ 10
(iii). nznNn <≤−∋∈∃ 1
Bukti : Diketahui y dan z bil real positif.
(i). Ambil 0>= yzx . Dengan sifat archimedes, Nn∈∃ sehingga ny
zx <=
nyz <Q
(ii). Khususnya 1=z , (i) menjadi ny<1 atau yn << 10
(iii). Misal { }mzNmS <∈= :
φ≠S , karena sifat archimedes
NS ⊆ , karena N mempunyai elemen terkecil maka S mempunyai
elemen terkecil. Misal n elemen terkecil, maka nzn <≤−1 .
Teorema 1.28 (eksistensi 2 ) : ∃ bilangan real positif x sehingga 2x =2.
Teorema Kerapatan 1.29 Jika x dan y bilangan real sehingga yx < ,
maka ∃ bilangan rasional r sehingga yrx <<
Analisis Real I 2012
47 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bukti :
Misalkan 0>x . Ambil 0>−= xyz . Dengan sifat archimedes, Nn∈∃
sehingga zxyn =−<1 . Jadi nxny −<1 atau nynx <+1 .
Untuk 0>nx , maka Nm∈∃ sehingga mnxm <≤−1 atau 11 +<+≤ mnxm
Oleh karena itu : nynxmnx <+≤< 1 . Jadi ynmx << .
Akibat 1.30 Jika x dan y bilangan real sehingga yx < , maka ∃bilangan
irasional p sehingga ypx << .
Bukti: Dari yx < maka 22yx
< yang masing-masing di ℜ . Menurut
teorema kerapatan, ∃ bilangan rasional r sehingga 22yrx
<< . Sehingga
yrx << 2 .
Lembar Kerja 4.
1. Diberikan { }Ν∈= nnS ;1 . Buktikan inf 0=S
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
48 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2. Diberikan { }Ν∈+= nmmnS ,;11 . Buktikan sup 2=S , inf 0=S
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Diberikan
{ }Ν∈−= nmnmS ,;11 . Buktikan 1 = sup S , -1 = inf S
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
49 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Diberikan ℜ∈≠ℜ⊆ uSS ,, φ .
Buktikan (i). nu 1+ batas atas S
(ii). nu 1− bukan batas atas
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5. Diberikan φ≠S , S terbatas ke atas. Didefinisikan, ℜ∈a ,
{ }SssaSa ∈+=+ , Buktikan : sup ( ) SaSa sup+=+ Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
50 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Pada saat membahas himpunan bilangan real R kurang lengkap rasanya
apabila belum membahas tentang interval. Interval adalah suatu
himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut
dari R .
Definisi 1.31 Misalkan R∈ba, dengan a b< .
a. Interval terbuka yang dibentuk dari elemen a dan b adalah
himpunan ( ) { }bxaxba <<∈= ::, R .
b. Interval tertutup yang dibentuk dari elemen a dan b adalah
himpunan [ ] { }bxaxba ≤≤∈= ::, R .
c. Interval setengah terbuka (atau setengah tertutup) yang dibentuk dari
elemen a danb adalah himpunan [ ) { }bxaxba <≤∈= ::, R atau
( ] { }bxaxba ≤<∈= ::, R .
Semua jenis interval pada Definisi 1.34 merupakan himpunan yang
terbatas dan memiliki panjang interval yang didefinisikan sebagai b a− .
Jika a b= maka himpunan buka ( ) { },a a = dan himpunan tutup
[ ] { },a a a= , yang dinamakan dengan himpunan singleton. Elemen a dan b
disebut titik ujung interval. Selain interval terbatas, terdapat pula interval
tak terbatas. Pada interval tak terbatas ini, kita dikenalkan dengan
simbol ∞ dan−∞ yang berkaitan dengan ketak terbatasannya.
Analisis Real I 2012
51 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 1.32 Misalkan R∈a .
a. Interval buka tak terbatas adalah himpunan ( ) { }axxa >∈=∞ ::, R atau
( ) { }axxa <∈=∞− ::, R .
b. Interval tutup tak terbatas adalah himpunan [ ) { }axxa ≥∈=∞ ::, R atau
( ] { }axxa ≤∈=∞− ::, R .
Himpunan bilangan real R merupakan himpunan yang tak terbatas dan
dapat dinotasikan dengan ( ),−∞ ∞ . Perlu diperhatikan bahwa simbol ∞
atau −∞ bukanlah bilangan real. Karenanya, dapat dikatakan bahwa R
ini tidak mempunyai titik-titik ujung. Berikut akan diberikan definisi
berbagai himpunan terkait dengan cacah keanggotaannya.
Definisi 1.33 Diberikan himpunan tidak kosong .
1. Himpunan dikatakan berhingga (infinite) jika terdapat
sehingga terdiri dari elemen.
2. Himpunan dikatakan denumerable jika himpunan tersebut
ekuivalen dengan himpunan bilangan asli.
3. Himpunan dikatakan tak berhingga apabila keanggotaannya tidak
dapat dipadankan dengan bilangan asli. Himpunan tak berhingga
ada dua jenis yaitu tak berhingga denumerable dan tak berhingga
non denumerable.
Lembar Kerja 5.
1. Berikan 2 contoh himpunan berhingga Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Analisis Real I 2012
52 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2. Berikan 2 contoh himpunan denumerable Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
3. Berikan contoh himpunan tak berhingga denumerable. Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
3. Berikan contoh himpunan tak berhingga non denumerable. Jawab:
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Analisis Real I 2012
53 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Analisis Real I 2012
52 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
BAB II BARISAN BILANGAN REAL
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan
sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang
memuat limit barisan.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami definisi barisan bilangan real.
2. Memahami definisi kekonvergenan barisan dan limitnya.
3. Memahami maksud, bukti dan penggunaan TKD
4. Memahami hubungan keterbatasan dan kekonvergenan
barisan
5. Memahami sifat-aljabar barisan konvergen
6. Memahami teorema kekonvergenan terjepit
7. Mengidentifikasi barisan monoton dan terbatas (BMT).
8. Memahami sifat konvergensi BMT dan barisan bagian.
SUB POKOK BAHASAN :
2.1. Barisan Bilangan Real
2.2. Barisan Cauchy
2.3. Barisan Monoton
2.4. Barisan Bagian
2.1. Barisan Bilangan Real
Definisi 2.1 Barisan bilangan real X adalah fs dari N ke ℜ . Notasi
barisan : ( ) ( )NnxxX nn ∈:atau , . Bilangan-bilangan real yang dihasilkan
disebut unsur barisan, ditulis ( )nnn zx atau atau α .
Contoh 2.2 (Contoh barisan)
1). ( ),.......,, aaAa =ℜ∈ → barisan konstan a (semua unsurnya a ).
Analisis Real I 2012
53 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2). ( ) ( ),.......31,2
1,1:1 =∈= NnnS .
3). ( ) ( ) NnyyY nnn ∈−== ,1, ; ( ) ( )( ),.......1,.......,1,1,1 n
ny −−−= .
4). ( ) NnnnwwW nn ∈++
== ,3215, ; ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
= ,.......3215,......,
9.16,
711,
56
nnwn
Berikan contoh lain:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Definisi 2.3 Jika ( ) ( )nn yYxX == dan barisan bilangan real. Didefiniskan :
• Jumlah barisan ( )NnyxYX nn ∈+=+ ;
• Selisih barisan ( )NnyxYX nn ∈−=− ;
• Hasil kali barisan ( )NnyxYX nn ∈⋅=⋅ ;
Jika ( )NncxcXc n ∈=ℜ∈ ;,
• Jika ( ) NnznzZ nn ∈∀≠Ν∈= ,0,; , maka hasil bagi ZX dan adalah barisan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈= Nn
zx
ZX
n
n ;
Definisi 2.4 Barisan bilangan real ( )nxX = dikatakan konvergen dalam
ℜ , jika terdapat ℜ∈x sehingga knNkk ≥∀∋∈=∃>∀ )(,0 εε berlaku
ε<− xxn . Notasi: xxxx nn =→ lim, .
Note:
εεε <−<−⇔<− xxxx nn
εε +<<−⇔ xxx n
( )εε +−∈⇔ xxxn ,
Analisis Real I 2012
54 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Contoh 2.5.
1). 0.,1→∈= nn xNn
nx
Bukti: nx nn100 1 =−=− . Diberikan sebarang bilangan .0>ε Dengan sifat
archimedes, .1 sehingga k ε<∈∃k
N Untuk kn ≥ , berlaku
ε<≤=−kn
xn110
0→nxQ
2). 3.,213 →∈+= nn xNnn
x
Bukti nn
xn 213
2133 =−+=−
Diberikan sebarang bilangan .0>ε Dengan
sifat archimedes, knkk
≥<<Ν∈∃ untuk ,21atau 21 sehingga k εε , diperoleh
ε<≤=−kn
xn 21
213 .
3→nxQ
3). 25.,
3215
→∈++
= nn xNnnnx
Bukti :
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
55 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 2.6
Barisan bilangan real ( )nx dikatakan terbatas jika 0>∃M sehingga
NnMxn ∈∀≤ ,
Contoh 2.7
1. Nnnxn ∈= ,1
Nnnnxn ∈∀≤== ,111
( )nxQ terbatas.
2. ( ) Nnx nn ∈−= ,1
Nnxn ∈≤ ,1
3. Nnn
nyn ∈++
= ,122
( ) 124
321
243
21
212
23
21
=+
+≤+
+=+
++=
nn
n
nNyn ∀≤ ,1Q
Berikan contoh lain!
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
56 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Catatan:
( )nx tidak terbatas jika MxNnM n >∈∃>∀ ,,0
Contoh 2.8
1) Nnx nn ∈= ,2
( ) nnx nnnn ≥+≥+=== 11122
MnNnM >∋∈∃>∀ ,0 (sifat archimedes)
Jadi NnM ∈∃>∀ ,0 sehingga
Mnxn >≥
Dengan kata lain ( )nx tak terbatas.
2) Nnnxn ∈= ,2
2nxn =
Tidak ada 0>M sehingga NnMnxn ∈∀≤= ,2
Jadi ( )nx tidak terbatas.
Teorema 2.9 Jika ( )nx konvergen, maka ( )nx terbatas.
Bukti Misal xxn → . Hal ini berarti untuk 1=ε , terdapat Nk ∈ sehingga
jika kn ≥ berakibat
1<− xxn
Untuk kn ≥ :
xxxx nn +−=
xxxn +−≤ x+<1
Diambil M = maks { }xxxx k +− 1,,.....,, 121 , akibatnya:
NnMxn ∈∀≤ ,
Teorema 2.10 Jika ( )nx dan ( )ny konvergen, maka
(1) ( )nxα konvergen dan ( ) ( ) skalar,limlim ααα nn xx =
(2) ( )nn yx + konvergen dan ( ) ( ) ( )nnnn yxyx limlimlim +=+
(3) ( )nn yx konvergen dan ( ) ( ) ( )nnnn yxyx limlimlim ⋅=
Analisis Real I 2012
57 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(4) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
n
n
yx
konvergen dan ( )( ) ( ) 0,0limasal,
limlimlim ≠≠=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛nn
n
n
n
n yyyx
yx
Bukti
Misal xxn → dan yyn →
(1) ( ) skalar,ααααα xxxxxx nnn −=−=−
Diambil sebarang bilangan 0>ε . Karena xxn → , maka terdapat
bilangan ( ) Nkk ∈= ε sehingga jika kn ≥ berlaku
1+
<−αεxxn
Akibatnya
εαεαααα <+
<−=−1
xxxx nn
nxαQ konvergen ke xα .
(2) ( ) ( ) ( ) ( ) yyxxyyxxyxyx nnnnnn −+−≤−+−=+−+
Diberikan bilangan 0>ε sebarang
• Karena xxn → , maka terdapat Nk ∈1 sehingga jika 1kn ≥ berlaku
2ε
<− xxn
• Karena yyn → , maka terdapat Nk ∈2 sehingga jika 2kn ≥
berlaku
2ε
<− yyn
Pilih k = maks { }21,kk , akibatnya untuk kn ≥ berlaku
( ) ( ) yyxxyxyx nnnn −+−≤+−+ εεε=+<
22 yxyx nn +→+Q .
(3) xyyxyxyxxyyx nnnnnn −+−=−
( ) ( )yxxyyx nnn −+−=
( ) ( ) yxxyyxyxxyyx nnnnnn −+−=−+−≤
Diberikan 0>ε sebarang
Analisis Real I 2012
58 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Karena xxn → , maka terdapat Nk ∈1 sehingga untuk setiap 1kn ≥ :
( )12 +<−
yxxn
ε .
( )nx konvergen, maka ( )nx terbatas. Jadi ada 0>M sehingga
NnMxn ∈∀≤ , .
Karena yy n→ maka terdapat Nk ∈2 sehingga untuk setiap 2kn ≥ :
M
yyn 2ε
<− .
Dipilih k = maks { }21,kk . Akibatnya jika kn ≥ :
( ) yyM
Mxyyx nn 122 ++≤−
εε
εεε=+<
22.
Contoh 2.11
212 →+=n
xn
23
1243→
−+
=nnyn
8481244 →+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nnxn
27
2147
124312 2
2
→−−+
=−+
++=+nn
nnnn
nyx nn
( )
34
43
14
43
1212
1243
12→
+
−=
+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
−+
=n
nn
n
nn
nn
nyx
n
n
Berikan contoh lain!
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
59 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 2. 12 (Teorema Uji Rasio)
Diberikan ( )nx barisan bilangan real positif sehingga Lx
x
n
nn
=+→
1~
lim (ada).
Jika 1<L maka ( )nx konvergen dan ( ) 0lim~
=→ nn
x .
Contoh 2.13
1). ( ) Nnnxx nnn ∈= ,3
, .
131
31lim3
31limlim
~1~1
~<=
+=⋅
+=
→+→+
→ nn
nn
xx
n
n
nnn
nn
Jadi ( )nx konvergen dan 03
lim~
=→ nn
n .
2). Nnnzn ∈+= ,1
1121→
++
=+
nn
zz
n
n
Jadi ( )nz tidak konvergen.
Teorema 2.13
Jika Nnxxx nn ∈∀≥→ ,0, maka 0≥x
Bukti:
Andaikan 0<x , maka 0>− x . Diketahui xxn → . Diambil bilangan
0>−= xε , maka terdapat Nk ∈ sehingga jika kn ≥ berlaku
xxxn −<− xxxx n −<−<⇔
02 <<⇔ nxx Kontradiksi dengan 0≥nx .
Analisis Real I 2012
60 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 2.14
Jika Nnyxyyxx nnnn ∈∀≤→→ ,,, maka yx ≤
Bukti:
Diketahui nn yx ≤ , maka 0≥− nn xy . Akibatnya
( ) 0lim~
≥−→ nnn
xy
0limlim~~
≥−⇔→→ nnnn
xy
0≥−⇔ xy
yxxy ≤≥⇔ atau .
Teorema 2.15 (Teorema Apit)
Jika xyxzxxNnzyx nnnnnn →→→∈∀≤≤ maka,dan,, .
Bukti: Dengan teorema sebelumnya:
xzyyxx nnnnnnnn=≤≤=
→→→→ ~~~~limlimdanlimlim
xyyx nnnn≤≤
→→ ~~limdanlim
Jadi xynn=
→~lim .
Definisi 2.16
Barisan ( )nx dikatakan :
(a) Naik monoton (monotonic increasing/non decreasing/tidak turun) jika
Nnxx nn ∈∀≤ + ,1 .
(b) Turun monoton (monotonic decreasing/non increasing/tidak naik) jika
Nnxx nn ∈∀≥ + ,1 .
(c) Monoton jika ( )nx naik monoton/turun monoton.
Contoh 2.17
1). n
xn1
=
1
11 +=+ n
xn
Nnxx nn ∈∀≥ + ,1
Jadi ( )nx turun monoton.
Analisis Real I 2012
61 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2). Nnnnxn ∈++
= ,5312
( )( ) 159
732
353
37
352
+−=
+
−+=
nn
n
2497
32
1 +−=+ n
xn
Nnxx nn ∈∀≤ + ,1 . Jadi ( )nx naik monoton.
3). ⎪⎩
⎪⎨⎧
⟩+≤=
100,1100,1
nnnnyn
( )ny tidak monoton
Berikan contoh lain
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 2.18 (Teorema Kekonvergenan Monoton)
Misal ( )nx barisan monoton. Barisan ( )nx konvergen jika dan hanya jika
( )nx terbatas. Dalam hal ini:
(a). Jika ( )nx naik monoton, maka ( ) ( )Nnxx nnn
∈=→
;suplim~
.
(b). Jika ( )nx turun monoton, maka ( ) ( )Nnxx nnn
∈=→
;inflim~
.
Analisis Real I 2012
62 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bukti:
( )⇒ Diketahui ( )nx konvergen. Menurut teorema sebelumnya, ( )nx
terbatas.
( )⇐ Diketahui ( )nx monoton dan terbatas. Misal ( )nx naik monoton ,
jadi Nnxx nn ∈∀≤ + ,1 Misalkan x = sup { }Nnxn ∈: , maka untuk setiap 0⟩ε ,
terdapat Nk ∈ sehingga
kxx <− ε
Karena ( )nx naik monoton, maka untuk kn ≥ berlaku
εε +<≤≤<− xxxxx nk
Diperoleh untuk kn ≥ berlaku ε<− xxn
Jadi xxn → .
Catatan:
Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan, maka kita cukup
memperhatikan ekor dari barisan tersebut, yaitu barisan bagian dari
barisan tersebut yang dimulai dari suatu urutan tertentu.
Definisi 2.19
Misal ( ),.....,.....,, 21 nyyyY = barisan bilangan real. M : bilangan asli, Ekor –
M dari Y adalah barisan: ( ) ( ),.....,; 21 +++ =∈= MMnMM yyNnyY
Contoh 2.20
( ),.....12,.....,13,11,9,7,5,3,1 −= nY
( ) ( ) ( ),.....12.....,,15,13,11,......,,: 87655 +==∈= + nyyyNnyY n .
Teorema 2.21
Misal ( )NnyY n ∈= ; barisan bilangan real dan NM ∈ . Ekor – M dari Y, MY
konvergen ⇔ Y konvergen. Dalam hal ini MYY LimLim = .
Contoh 2.22
1). Nnnxn ∈= ,1 ( )nx terbatas dan turun monoton, maka
menurut TKM :
{ } 0;1inf =∈= NnnxLim n
Analisis Real I 2012
63 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
2). Diketahui barisan ( )ny dengan ( ) Nnyyy nn ∈+== + ,3241,1 11
Tunjukkan ( )ny konvergen.
Bukti: ( ) ,.....8
113452
41,
45312
41,1 321 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅==+⋅== yyy
Claim 1+≤ nn yy (naik monoton).
Dibuktikan dengan induksi matematika
4511 21 =⟨=→= yyn (benar)
Dianggap benar untuk n = k. Jadi 1+≤ kk yy
Dibuktikan benar untuk n = k + 1
( )3241
1 +=+ kk yy43
21
+= ky ( ) 211 3241
43
21
+++ =+=+≤ kkk yyy
Jadi 1, +≤∈∀ nn yyNn .
Claim 21 ≤≤ ny (terbatas)
2111 1 ≤=≤→= yn (benar)
Dianggap benar untuk n = k. Jadi 21 ≤≤ ky
Dibuktikan benar untuk n = k + 1
( )3241
1 +=+ kk yy 4314
3221
43
21
=+⋅≤+= ky
21 1 ≤≤ +kyQ .
Jadi .21, ≤≤∈∀ nyNn Dengan kata lain ( )ny terbatas.
Karena ( )ny naik monoton dan terbatas, maka menurut TKM, ( )ny
konvergen dan { }Nnyyy nn ∈== :supLim . Ekor – 1 dari ( )NnyYY n ∈== + :11 .
Karena ( )nyY = konvergen ke y, maka ( )11 += nyY juga konvergen ke y.
Jadi, ( ) ( )1LimLim +== nn yyy
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 32
41Lim ny
43Lim
21Lim += ny
43
21
+= nyLim .
23
43
21
43
21
=→=→+= yyyy .
Analisis Real I 2012
64 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 2.23
Diketahui ( )nxX = barisan bilangan real dan ( )nr barisan bilangan asli
naik monoton, yaitu nrr nn ∀≤ + ,1 .
( ),.......,.......,,,321
1nrrrr xxxxX = disebut barisan bagian dari X .
Contoh 2.24
( ),.......1,.......,51,4
1,31,2
1,1 nX =
( ),.......21,.......,5
1,41,3
11
+= nX barisan bagian X
( ),.......121,.......,5
1,31,11
−= nX barisan bagian X
( ),.......61,3
1,41,1,2
111 =X bukan barisan bagian X
Catatan: Ekor barisan merupakan barisan bagian.
Teorema 2.25
Jika ( )nxX = konvergen ke x, maka sebarang barisan bagian X konvergen
ke x.
Bukti: Diambil 0>ε sebarang. Karena xxn → , maka
ε<−≥∀∈∃ xxknNk n:, .Karena nr barisan bilangan asli naik, maka nrn ≥ .
Akibatnya knrkn n ≥≥≥∀ , sehingga ε<− xxnr .
Teorema 2.26 (Teorema Kriteria Divergen)
Jika ( )nxX = barisan bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekuivalen:
(i). ( )nxX = divergen (tidak konvergen ke ℜ∈x )
(ii). εε ≥−≥∋∈∃∈∀>∃ xxkrNrNk nrnno dan,,0
(iii). ( ) NnxxxX orro nn∈∀≥−∋=>∃ ,'dan0 εε
Contoh 2.27 Tunjukkan bahwa ( )( )n1− divergen
Bukti: Andaikan ( )( )n1− konvergen ke x, maka barisan bagian ( )( )n1−
konvergen ke x, tetapi ( ) 1,.......1,1,1,11 −→−−−−=X
sedangkan ( ) 1,.......1,1,1,11 →=X
( )( )n1−Q divergen
Analisis Real I 2012
65 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Ingat : ( )nx konvergen ( )nx⇒ terbatas
( )nx terbatas ( )nx⇒ belum tentu konvergen, contoh ( )n1− terbatas
tetapi tidak konvergen.
Teorema 2.28 (Teorema Bolzano Weierstrass):
Setiap barisan bilangan real terbatas mempunyai barisan bagian
konvergen.
Contoh 2.29 ( ) ( ) NnxX nn ∈−== ,1 , X terbatas, ( ) 1,.......1,1,11 −→−−−=X .
Teorema 2.30 Diketahui ( )nx terbatas. Jika xxnr→ , maka xxn → .
2.2. Barisan Cauchy (BC)
Definisi 2.31 Barisan ( )nx disebut BC jika HnmNH ≥∀∈∃>∀ ,sehingga,0ε
ε<− nm xx
Contoh 2.32
1). Nnnxn ∈= ,1
Diambil 0>ε sebarang
nmnmnmxx nm111111 +=+≤−=−
Dipilih NH ∈ sehingga 21 ε<H
Akibatnya untuk :, Hnm ≥
εεε =+<+≤− 2211
HHxx nm .
( )BCxnQ
2). Nnnnyn ∈++
= ,1352
( )
( ) 3913
32
313
313
312
++=
+
++=
nn
n
Diambil 0>ε sebarang
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=−
3913
32
3913
32
nmyy nm
39
1339
13+
−+
=nm
Analisis Real I 2012
66 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
39
1339
13+
++
≤nm
39
1339
13+
++
=nm
nm 9
13913
+≤
Dipilih NH ∈ sehingga 2691 ε
<H
Akibatnya :, Hnm ≥∀
εεε=⋅+⋅<−
269
913
269
913
nm yy
( )BCynQ .
3). ( ) Nnz nn ∈−= ,1
( ) ( )nmnm zz 11 −−−=−
Diambil 1=ε
HnmnmNnmNH ≤∈∃∈∀ ,sehinggaganjil,genap,,,
Diperoleh:
( ) ( )nmnm zz 11 −−−=−
( ) ε>=−−= 211
( ) BCzn bukanQ
Teorema 2.33 (a). ( ) ( )nn xBCx ⇒ terbatas
(b). ( ) ( )konvergen B nn xCx ⇒
Bukti:
(a). Karena ( ) ,BCxn maka untuk 1=ε , HnmNH ≥∀∈∃ ,,
1<− nm xx
Akibatnya Hn ≥∀
HHnn xxxx +−= HHn xxx +−≤ Hx+<1
Diambil M = maks { }1,,.......,, 121 +− HH xxxx
Diperoleh Nn∈∀
Mxn ≤ .
Analisis Real I 2012
67 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(b). Diambil 0>ε sebarang.
Karena ( ) :,,maka, HnmNHBCxn ≥∀∈∃
2ε<− nm xx .
( )BCxn , maka ( )nx terbatas. Menurut teorema BW, ∃ barisan bagian
( )nr
x dari ( )nx sehingga ℜ∈→ xxxnr
, .
Karena ( ) maka,xxnr → HkN ≥∈∃ ,k ( ),.......,dan 21 rrk∈ krn ≥∀sehingga :
2ε<− xx
nr .
Akibatnya untuk kn ≥ :
xxxxxx kknn −+−=− xxxx kkn −+−≤ εεε =+< 22 .
Contoh 2.34
Diketahui ( ) ( ) 2,21,2,1dengan 1221 >+==== −− nxxxxxxX nnnn
Tunjukkan ( )nx konvergen dan selanjutnya tentukan konvergen ke mana.
Jawab:
dst813,4
7,23,2,1 54321 ===== xxxxx
( )( ) digunakandapattidakTKM
monotontidakterbatas,21
n
nn
xxnx ⇒∀≤≤
Perhatikan bahwa:
12121 =−=− xx
21
23232 =−=− xx
243 21
41
47
23 ==−=− xx
:
:
11 21−+ =− nnn xx (cek dengan induksi).
Diperoleh:
mmnnnnnmn xxxxxxxxx −+++−+−=− −++++ 12211 .......
mmnnnnnn xxxxxxxx −+−+−+−≤ −+++++ 132211 .......
Analisis Real I 2012
68 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
1112111 21.......
21
21
21
−−−+−+− ++++= mnnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++= −−− 121 2
1.......21
211
21
nmn
nn 24
211
12
11 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= −
Diberikan 0>ε sebarang. Pilih 42
1dengan ε<∈ HNH .
Akibatnya :, Hnm ≥∀
εε=⋅<≤=−
44
24
24
Hnmn xx
( )BCxnQ . Menurut teorema sebelumnya, ( )nx konvergen.
Perhatikan untuk barisan bagian suku ganjil ( )12 +nx
( )
35
321
411
321
411
34
211
4114
11
211
21.......
21
211
::
21
21
21132
532
12
11813
2112
31
12312
537
25
3
1
=+→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−+=
++++=
+++==
++==
+==
=
−+
n
n
n
nnx
x
x
x
x
Jadi 35→nx menurut teorema (#)
2.3. Barisan Monoton
Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun
monoton.
Analisis Real I 2012
69 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 2.35 Diberikan barisan bilangan real X = (xn)
(i) Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn xn+1, untuk semua n
(ii) Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn xn+1 ,
untuk semua n
(iii)Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn xn+1 , untuk semua
n
(iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn xn+1 ,
untuk semua n
Definisi 2.36 Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik
atau X turun.
Contoh 2.37
a. Barisan berikut ini naik (monoton).
b. Barisan berikut ini turun (monoton).
c. Barisan berikut ini tidak monoton.
Definisi 2.38 Teorema Konvergensi Monoton
a. Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn)
konvergen dengan
Analisis Real I 2012
70 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
b. Jika X = ( ) Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn)
konvergen dengan
Bukti.
a) Karena X = ( ) terbatas ke atas, maka terdapat sedemikian
hingga untuk semua . Namakan A = ,
maka R, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat
Lengkap maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil
, maka terdapat sedemikian hingga .
Karena X naik monoton, maka untuk berlaku
atau
Jadi, terbukti bahwa X = ( ) konvergen ke x = lim( ) =
b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
2.4. Barisan Bagian
Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences)
dari suatu barisan bilangan real.
Analisis Real I 2012
71 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 2.39 Diberikan barisan bilangan real X = ( ) dan bilangan asli
naik tegas n1< n2<….. nk<…... Barisan X’ = ( ) dengan
disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dari X.
Contoh 2.40 Diberikan X :=
Teorema 2.41 Jika X = ( ) konvergen ke x, maka setiap barisan bagian
X’ = ( ) dari X juga konvergen ke x.
Bukti Diambil sebarang . Karena , maka terdapat K( )
sedemikian hingga untuk setiap n K( ) berlaku Karena
untuk setiap berlaku nk+1 nk Maka untuk setiap
Sehingga
Terbukti bahwa X’ = ( ) Konvergen ke x.
Teorema 2.42 Diberikan barisan bilangan real X = ( ), maka
pernyataan berikut ini ekuivalen.
Bukti
Analisis Real I 2012
72 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(i) (ii) Jika tidak konvergen ke , maka untuk suatu tidak
mungkin ditemukan sedemikian hingga untuk setiap berlaku
Akibatnya tidak benar bahwa untuk setiap ,
memenuhi Dengan kata lain, untuk setiap
terdapat sedemikian hingga dan
(ii) (iii) Diberikan sehingga memenuhi (ii) dan diberikan
sedemikian hingga dan Selanjutnya, diberikan
sedemikian hingga dan . Demikian seterusnya
sehingga diperoleh suatu barisan bagian X’ = ( ) sehingga
berlaku untuk semua
(iii) (i) Misalkan X = ( ) mempunyai barisan bagian X’ = ( ) yang
memenuhi sifat (iii). Maka X tidak konvergen ke x, sebab jika konvergen
ke x, maka X’ = ( ) juga konvergen ke x. Hal ini tidak mungkin, sebab X’
= ( ) tidak berada dalam persekitaran
Teorema 2.43 (Kriteria Divergensi) jika barisan bilangan real X = )
memenuhi salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen.
(i) X mempunyai dua barisan bagian konvergen X’ = ( ) dan X ’’ =
( ) dengan limit keduanya tidak sama.
(ii) X tidak terbatas.
Contoh 2.44 Tunjukkan bahwa barisan divergen.
Jawab. Namakan barisan di atas dengan , dengan jika n genap,
dan jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. Jadi, barisan
, divergen.
Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa
barisan bilangan real X = ) pasti mempunyai barisan bagian yang
monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak
(peak), disebut puncak jika untuk semua n sedemikian hingga
. Titik tidak pernah didahului oleh sebarang elemen barisan
setelahnya. Perhatikan bahwa pada barisan yang menurun, setiap
elemen adalah puncak, tetapi pada barisan yang naik, tidak ada elemen
yang menjadi puncak.
Analisis Real I 2012
73 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 2.45 (Teorema Barisan Bagian Monoton) Jika X = ) barisan
bilangan real, maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton.
Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak
hingga banyak puncak, dan X mempunyai berhingga banyak puncak.
Kasus I: X mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak
berurutan naik, yaitu Maka
Oleh karena itu, ( merupakan barisan
bagian yang turun (monoton).
Kasus II: X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak
berurutan naik, yaitu . Misalkan adalah
indeks pertama dari puncak yang terakhir. Karena bukan puncak,
maka terdapat sedemikian hingga . Karena bukan
puncak, maka terdapat sedemikian hingga .. Jika proses
ini diteruskan, diperoleh barisan bagian yang naik (monoton).
Teorema 2.46 (Teorema Bolzano-Weiertrass) Setiap barisan bilangan
real yang terbatas pasti memuat barisan bagian yang konvergen.
Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X = ) . Namakan
range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak
berhingga.
Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan, maka terdapat
dengan dan barisan dengan
sehingga . Hal ini berarti terdapat barisan bagian
yang konvergen ke
Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik
cluster atau titik limit, namakan x titik limit S. Misalkan
persekitaran titik x.
Untuk k = 1, maka terdapat , sehingga
Untuk k = 2, maka terdapat , sehingga
Untuk k = 3, maka terdapat , sehingga
Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:
Analisis Real I 2012
74 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Untuk k = n, maka terdapat , sehingga
Ambil . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat sedemikian
hingga Maka untuk setiap berlaku
Terbukti bahwa konvergen ke x dengan barisan bagian
Teorema 2.47 Diberikan barisan bilangan real terbatas X = ) dan
diberikan yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X
konvergen ke x. Maka barisan X konvergen ke x.
Bukti. Misalkan adalah batas dari barisan X sehingga
untuk semua . Andaikan X tidak konvergen ke x, maka
menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat dan barisan bagian X’ = ( )
sedemikian hingga untuk semua . Karena X’ barisan
bagian dari X, maka M juga batas dari X’. MenggunakanTeorema
Bolzano-Weierstrass berakibat bahwa X’memuat barisan bagian X’’.
Karena X’’ juga barisan bagian dari X, maka X’’uga konvergen ke x.
Dengan demikian, akan selalu berada dalam persekitaran . Timbul
kontradiksi, yang benar adalah X selalu konvergen ke x.
Lembar Kerja 6
1. Buktikan barisan ( ){ }n1− 1≥n divergen dengan metode bukti
pengandaian.
Bukti:
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
75 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Tuliskan definisi barisan Cauchy dengan definisi tersebut buktikan
setiap barisan Cauchy pasti terbatas.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tuliskan definisi himpunan terbuka dan himpunan tertutup dalam ℜ .
Dengan definisi tersebut buktikan jika nAAA ,....,, 21 terbuka maka i
n
iA
1=U
terbuka dan Ci
n
iA
1=I tertutup.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
76 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Buktikan barisan bilangan real 1
2 12
≥⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+ nnn konvergen ke 0.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
77 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
5. Jika barisan { } 1≥nnx konvergen ke x dan barisan { } 1≥nny konvergen ke y ,
buktikan barisan nn yx konvergen ke xy .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
78 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
BAB III LIMIT FUNGSI
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggunakannya
untuk menyelesaikan masalah yang memuat limit fungsi.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami pengertian titik limit, titik terasing suatu
himpunan.
2. Memahami pengertian limit fungsi dan ilustrasinya.
3. Memahami kriteria sekuensial limit dan penggunaannya.
4. Memahami hubungan konvergen dan keterbatasan fungsi
5. Memahami beberapa teorema limit fungsi dan penggunaannya
SUB POKOK BAHASAN :
3.1. Topologi pada bilangan real
3.2. Pengertian limit fungsi
3.3. Beberapa teorema limit fungsi
3.1. Topologi pada Bilangan Real
Sebelum membicarakan tentang limit suatu fungsi ada baiknya
kita mengenal terlebih dahulu tentang topologi pada bilangan real.
Topologi pada Bilangan Real meliputi persekitaran, titik dalam, titik
limit, titik batas, titik terasing, himpunan terbuka dan tertutup serta
definisi topologi pada R.
Definisi 3.1 Setiap anggota R disebut titik (point) dan jarak (distance)
antara dua titik dan pada R dilambangkan dengan dengan
rumus .
Definisi 3.2 Diberikan dan bilangan .
Himpunan , disebut
persekitaran (neighberhood) titik . Dalam hal ini disebut jari-jari
(radius) persekitaran tersebut.
Analisis Real I 2012
79 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Contoh 3.3
1. merupakan persekitaran di titik 1 dengan jari-jari .
2. merupakan persekitaran di titik ...... dengan jari-jari .
3. merupakan persekitaran di titik ........................ dengan jari-jari
.
Definisi 3.4 Diberikan R⊆A dan R∈c , dengan c tidak harus di . Titik di sebut
titik limit A jika ),()(,0 δδδ δ +−=>∀ ccCV memuat paling sedikit satu
anggota A yang tidak sama dengan c, atau ( ) ∅≠∩ AccV }/{)(δ .
Contoh 3.5.
1. Diberikan A = ( 2 , 3 ), tentukan titik limit A.
Penyelesaian:
2 titik limit A, karena dengan mengambil sebarang δ = ½ , dimana
)2,1()2( 21
21
2/1 =V maka ( ) ∅≠∩ AV }2/{)2(2/1 . Sehingga dengan mengambil
δ > 0 dapat disimpulkan ( ) ∅≠∩ AV }2/{)2(δ .
2 ½ juga titik limit A, karena ( ) ∅≠∩>∀ AV }2/{)2(,0 21
21
δδ .
3 juga titik limit A, karena ( ) ∅≠∩>∀ AV }3/{)3(,0 δδ .
Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval [2 , 3]
merupakan titik limit A.
2. Diberikan B = {1, 2, 3, 4, 5 }, tentukan titik limit B.
Penyelesaian:
Ambil δ = ½ , sehingga )1,()1( 21
21
2/1 =V . Tetapi ( ) ∅=∩ BV }1/{)1(2/1 .
Jadi 1 bukan titik limit B. Begitu juga dengan titik yang lain.
Jadi dapat disimpulkan bahwa B = {1, 2, 3, 4, 5 } tidak mempunyai
titik limit.
Definisi 3.6
Diberikan R⊆A dan R∈c , dengan c harus di . Titik di sebut titik
dalam (interior point) A jika sehingga . Selanjutnya
himpunan dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan
titik dalam. Himpunan dikatakan tertutup (closed) jika terbuka.
Analisis Real I 2012
80 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Definisi 3.7 Diberikan R⊆A dan R∈c , dengan c harus di .
1. Titik disebut titik batas (boundary point) A jika berlaku
dan .
2. Titik disebut titik luar (exterior point) A jika ada bilangan
sehingga .
3. Titik disebut titik terasing (isolated point) A jika ada bilangan
sehingga .
Selanjutnya himpunan titik-titik tersebut dilambangkan dengan lambang
berikut:
1. adalah himpunan semua titik dalam himpunan .
2. adalah himpunan semua titik limit himpunan .
3. adalah himpunan semua titik luar himpunan .
4. adalah himpunan semua titik batas himpunan .
5. adalah irisan semua himpunan tertutup yang memuat .
Latihan Diberikan himpunan .
1. Tentukan titik dalam .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Tentukan titik limit .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tentukan titik batas .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
81 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
4. Tentukan titik luar .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5. Tentukan titik terasing .
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
6. Apakah merupakan himpunan terbuka atau tertutup?
.................................................................................................................
Alasan:......................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 3.8
Diberikan R⊆A dan R∈c , c titik limit A jika dan hanya jika
cancaa nnnn =∋∈∀≠∃∞→
)(lim,),( N .
Bukti:
)(⇒ Misal c titik limit A. Sehingga )(1 cVn
memuat sedikitnya satu titik di A
yang berbeda dari c. Jika na titik tersebut, maka
cancaAa nnnn =∋∈∀≠∈∞→
)(lim,, N .
)(⇐ Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
............................................................................................... ■
Analisis Real I 2012
82 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
3.2 Pengertian Limit Fungsi
Definisi 3.9 Diberikan RR →⊆ AfA :, dan R∈c , dengan c titik limit A.
Diberikan L limit dari f di titik c, ditulis Lxfcx
=→
)(lim jika ∋>∃>∀ ,0,0 δε
untuk ( ) AccVx ∩∈ }/{)(δ berlaku )()( LVxf ε∈ .
Definisi limit di atas dapat ditulis Lxfcx
=→
)(lim jika dan hanya
jika ∋>∃>∀ ,0,0 δε untuk δ<−< cx0 dan Ax∈ berlaku ε<− Lxf )( .
Contoh 3.10
1. Diberikan xxfAfnn
A 2)(,:,:1=→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈= RR . Buktikan 0)(lim
0=
→xf
x.
Bukti: Ambil 0>ε sebarang. Pilih 2εδ = , Sehingga jika
δ<=−< xx 00 dan Ax∈ berlaku εεδ ==<==−=−2
222202)( xxxLxf .
Jadi terbukti 02lim0
=→
xx
.
2. Buktikan 22lim cxcx
=→
.
Analisa pendahuluan: Tujuan pembuktian ini mencari 0>δ sehingga
untuk Axcx ∈<−<>∀ ,0,0 δε berlaku ε<− 22 cx .
Perhatikan bahwa cxcxcxcxcx −+=−+=− ))((22 .
Jika diambil 1=δ maka 1<− cx .
Menurut pertidaksamaan segitiga 1<−<− cxcx atau cx +< 1 .
Sehingga ( ) cxccxcxcx −+<−+=− 2122 ,
Dengan mengambil c21+
=εδ maka diperoleh ε<− 22 cx .
Bukti: Ambil 0>ε sebarang. Pilih ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
c21,1min εδ ,
Sehingga jika δ<−< cx0 dan R∈x berlaku
( ) ε<−+≤−+=− cxccxcxcx 2122
Jadi terbukti 22lim cxcx
=→
. ■
Analisis Real I 2012
83 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 3.11
Jika R→Af : dan c titik limit A , R∈c maka f hanya mempunyai satu
limit di titik c. Selanjutnya akan dibicarakan kaitan antara barisan
dengan limit fungsi dan kriteria kedivergenan.
Teorema 3.12 (Kriteria Barisan untuk Limit).
Diberikan R→Af : dan c titik limit A , maka Lxfcx
=→
)(lim jika dan hanya
jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana
( ))(,, nn xfncx N∈∀≠ konvergen ke L.
Contoh 3.13
Buktikan 4lim 2
2=
→x
x dengan menggunakan kriteria barisan.
Bukti: Ambil ( ) ℵ∈−= nn
xn ,12 . Akan ditunjukkan ( ))( nxf konvergen ke 4.
Perhatikan bahwa 4144lim)(lim 222=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
→→ nnxf
xnx.
Jadi terbukti bahwa 4lim 2
2=
→x
x. ■
Teorema 3.14 (Kriteria Kedivergenan).
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan R∈c , dengan c titik limit A.
a) Jika R∈L maka f tidak punya limit L di c jika dan hanya jika ada
barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana ,, ℵ∈∀≠ ncxn tetapi
( ))( nxf tidak konvergen ke L.
b) f tidak punya limit di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A yang
konvergen ke c dimana ,, N∈∀≠ ncxn tetapi ( ))( nxf tidak konvergen ke
.
Contoh 3.15.
1. Buktikan )sgn(lim0
xx→
tidak ada.
Bukti:
Diberikan f(x) = sgn (x). Perhatikan bahwa ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=>
=0,1
0,00,1
)sgn(x
xx
x .
Analisis Real I 2012
84 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Sehingga fungsi sgn (x) dapat ditulis menjadi 0,)sgn( ≠= xxxx .
Ambil ( ) N∈−
= nn
xn
n ,)1( . Tetapi
nn
n
n
nnn
n
nxx
xxf )1()1(
)1()sgn()( −=
−
−=== ,
sehingga ( ))( nxf divergen. ■
2. Buktikan xx
1lim0→
tidak ada di R .
Bukti: Diberikan x
xf 1)( = . Ambil ( ) N∈= nn
xn ,12 . Tetapi
2
211)( nn
xf n == ,sehingga ( ))( nxf tidak konvergen karena tidak
terbatas di ℜ . Jadi terbukti bahwa xx
1lim0→
tidak ada di R .
3.3 Beberapa Teorema Limit Fungsi
Definisi 3.16.
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan R∈c , dengan c titik limit A. f dikatakan
terbatas pada persekitaran c jika ada persekitaran δ dari c, yaitu
)(cVδ dan konstanta M > 0 sehingga ).(,)( cVAxMxf δ∩∈∀≤
Teorema 3.17.
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan f mempunyai limit di R∈c , maka f
terbatas pada suatu persekitaran dari c.
Definisi 3.18
Diberikan RRR →→⊆ AgAfA :,:, . Definisikan
Axxhxhxfx
hfbxbfxbf
xgxfxfgxgxfxgfxgxfxgf
∈∀≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ℜ∈=
=−=−+=+
,0)(,)()()(),())((
)()())((,)()())(()()())((
Analisis Real I 2012
85 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 3.19.
Diberikan RRR →→⊆ AgAfA :,:, dan R∈c , dengan c titik limit A.
Jika ( ) Lxfcx
=→
lim dan ( ) Mxgcx
=→
lim , maka
(1) ( )( ) MLxgfcx
+=+→
lim
(2) ( )( ) ℜ∈=→
ααα ,lim Lxfcx
(3) ( )( ) LMxfgcx
=→
lim
(4) ( ) 0,lim ≠=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
MMLx
gf
cx
Bukti:
1. Ambil 0>ε sebarang.
Misal Lxfcx
=→
)(lim , artinya ∋>∃ ,01δ untuk 10 δ<−< cx dan Ax∈
berlaku 2
)( ε<− Lxf .
Misal Mxgcx
=→
)(lim , artinya ∋>∃ ,02δ untuk 20 δ<−< cx dan Ax∈
berlaku 2
)( ε<− Mxg .
Akan ditunjukkan MLxgfcx
+=+→
))((lim .
Pilih ),min( 21 δδδ = , sehingga untuk δ<−< cx0 dan Ax∈ berlaku
))(())(()())(( MxgLxfMLxgf −+−=+−+
εεε=+<−+−≤
22)()( MxgLxf
Jadi terbukti MLxgfcx
+=+→
))((lim . ■
Bukti selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
2. .............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
86 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. .............................................................................................................
...........................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. .............................................................................................................
...........................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
87 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Contoh 3.20
Hitung ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→→ 634lim).4lim).
2
222 xxb
xxa
xx
Jawab.
a) Misalkan f(x) = x + 4 dan h(x) = x2 , 0)(lim,,0)(2
≠=ℜ∈∀≠→
Hxhxxhx
maka
diperoleh 23
46
lim
)4(lim4lim 2
2
222
==+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→
→
→ x
x
xx
x
x
x
b) Tidak dapat menggunakan teorema 3.19 (4), karena jika dimisalkan
ℜ∈∀−=−= xxxhxxf ,63)(,4)( 2 tetapi 0)63(lim)(lim22
=−==→→
xxhHxx
maka
untuk ( )34)22(
312lim
31)2(
31lim
634lim,2
22
2
2=+=+=+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
≠→→→
xxx
xxxxx
. ■
Analisis Real I 2012
88 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 3.21
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan R∈c , dengan c titik limit A. Jika
cxAxbxfa ≠∈∀≤≤ ,)( dan jika )(lim xfcx→
ada maka bxfacx
≤≤→
)(lim .
Teorema Apit 3.22
Diberikan RR →⊆ AhgfA :,,, dan R∈c , dengan c titik limit A. Jika
cxAxxhxgxf ≠∈∀≤≤ ,)()()( dan jika )(lim)(lim xhLxfcxcx →→
== maka
Lxgcx
=→
)(lim .
Contoh 3.23
Buktikan bahwa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
1coslim0
tidak ada tetapi 01coslim0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x.
Bukti. Akan dibuktikan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
1coslim0
tidak ada . Misalkan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxf 1cos)( .
Ambil subbarisan ( ) ℵ∈= nn
xn ,2
1π
dan subbarisan ( ) ℵ∈−
= nn
yn ,)12(
1π
,
dimana 0)12(
1lim,02
1lim =−
=∞→∞→ ππ nn nn
.Tetapi 12cos)( == πnxf n dan
1)12cos()( −=−= πnyf n , sehingga ))((lim))((lim nnnnyfxf
∞→∞→≠ .
Jadi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
1coslim0
tidak ada. Akan dibuktikan 01coslim0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x.
Perhatikan bahwa xx
xx ≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤−
1cos dan xxxx
−==→→ 00
lim0lim maka menurut
teorema apit 01coslim0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x. ■
Teorema 3.24
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan R∈c , dengan c titik limit A. Jika
0)(lim >→
xfcx
maka cxcVAxxfcV ≠∩∈∀>∋∃ ),(,0)()( δδ .
Bukti: Diberikan 0)(lim >=→
xfLcx
. Pilih 02>=
Lε , sehingga menurut
definisi limit fungsi 2
)(,00 LLxfAxcx <−⇒∈<−<∋>∃ δδ . Karena
2)( LLxf <− maka
2)(
2LLxfL
<−<− atau cxcVAxLxf ≠∩∈∀>> ),(,02
)( δ ■
Analisis Real I 2012
89 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Lembar Kerja 7
1. Diberikan fungsi ℜ→ℜ⊆Af : dan lxfcx
=→
)(lim ada dengan c titik limit
di A. Buktikan bahwa jika lxfcx
=→
)(lim ada maka lxfcx
=→
)(lim .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Sesuai definisi dan menggunakan dasar logika matematika buktikan
bahwa
i. A - b(A) terbuka.
ii. BABA ∩⊂∩
Bukti
Analisis Real I 2012
90 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Tentukanlah titik dalam, titik batas, titik luar, titik limit dan sifat
himpunan (terbuka atau tertutup) dari himpunan A berikut!
( ){ }raxaxxxA <−+−ℜ∈= 22112
21,
Jawaban
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
91 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Buktikan bahwa 3)1(
)45(lim2
−=−
+−→ x
xxcx
dengan menggunakan definisi
limit.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
92 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
93 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
BAB IV KEKONTINUAN FUNGSI
KOMPETENSI DASAR
Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat
menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat
fungsi kontinu.
INDIKATOR:
Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu :
1. Memahami pengertian kontinu titik, kontinu pada himpunan.
2. Menggunakan konsep limit pada fungsi kontinu.
3. Menggunakan kriteria diskontinuitas.
4. Mengkonstruksi fungsi kontinu
5. Memahami sifat-sifat aljabar fungsi kontinu.
6. Memahami pengertian fungsi terbatas, dan ekstrim mutlak.
7. Memahami sifat-sifat fungsi yang kontinu pada interval.
SUB POKOK BAHASAN :
4.1 Definisi Fungsi Kontinu
4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu
4.3 Fungsi Kontinu pada Interval
4.4 Kekontinuan Seragam
4.5 Fungsi Monoton
4.6 Fungsi Invers
4.1 Definisi Fungsi Kontinu
Definisi 4.1.
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan Ac∈ . f dikatakan kontinu di titik c jika
untuk setiap persekitaran ))(( cfVε dari f(c) terdapat persekitaran )(cVδ
dari c sehingga jika )(cVAx δ∩∈ maka ))(()( cfVxf ε∈ .
Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam
pengambilan titik c;
Analisis Real I 2012
94 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
1. Jika Ac∈ , dimana c titik limit A, maka dari definisi limit dan definisi
fungsi kontinu dapat disimpulkan bahwa
)(lim)( xfcfcdikontinufcx→
=⇔ .
Dengan kata lain, jika c titik limit A maka f dikatakan kontinu di titik
c jika memenuhi syarat
• f terdefinisi di titik c
• )(lim xfcx→
ada
• )(lim)( xfcfcx→
=
2. Jika Ac∈ , dimana c bukan titik limit A, maka ada persekitaran )(cVδ
dari c sehingga }{)( ccVA =∩ δ . Jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi f
jelas kontinu di titik Ac∈ walaupun c bukan titik limit A. Seperti yang
telah dibahas pada bab III, titik ini disebut ”titik terisolasi dari A”.
Definisi selanjutnya akan membicarakan kekontinuan fungsi pada suatu
himpunan.
Definisi 4.2.
Diberikan RR →⊆ AfA :, Jika AB ⊆ , f dikatakan kontinu pada B jika f
kontinu di setiap titik pada B.
Teorema 4.3
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan Ac∈ . Pernyataan berikut ekuivalen :
1) f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap persekitaran ))(( cfVε
dari f(c) terdapat persekitaran )(cVδ dari c sehingga jika )(cVAx δ∩∈
maka ))(()( cfVxf ε∈ .
2) Untuk εδδε <−⇒<−∈∀∋>∃>∀ )()(,0,0 cfxfcxAx .
3) Jika (xn) barisan bilangan riil, R∈∀∈∋ nAxn , dan (xn) konvergen ke-c
maka barisan f((xn)) konvergen ke f(c).
Dengan kata lain dapat disajikan sebagai berikut:
• ℜ→Af : dan Ac∈ ; f kontinu di ( ) ( ) ( )cfxfcxAxc nnn →⇒→⊆∀⇔ , .
• ℜ→Af : dan Ac∈ ; f diskontinu di ( ) ( ) ( )cfxfcxAxc nnn →⇒→⊆∃⇔ ,
Analisis Real I 2012
95 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Contoh 4.4
1). ( )⎩⎨⎧
=irrasional,0
rasional,1xx
xf
Untuk c rasional, ( ) 1=cf
Diambil barisan bilangan irrasional ( )nx dengan cxn →
nx irrasional ( ) Nnxf n ∈∀=⇒ ,0 . Akibatnya ( ) ( )cfxf n ≠→ 0
Jadi f diskontinu di c rasional.
Untuk c irrasional, ( ) 0=cf
Diambil barisan bilangan rasional ( )ny dengan cyn →
ny rasional ( ) Nnyf n ∈∀=⇒ ,1 . Akibatnya ( ) ( )cfyf n ≠→1
Jadi f diskontinu di c irrasional.
2). ℜ→ℜ:f kontinu
( ) rrf ∀= ,0 rasional
Buktikan ( ) ℜ∈∀= xxf ,0
Bukti:
Cukup dibuktikan ( ) irrasional,0 xxf ∀=
Diambil sebarang x irrasional. Karena f kontinu pada ℜ , maka f
kontinu di x. Diambil barisan bilangan rasional ( ) xrr nn →, .
Akibatnya ( ) ( )xfrf n → .
Di lain pihak, ( ) nrf n ∀= 0 . Jadi ( ) 0→nrf
Dengan ketunggalan limit, maka ( ) 0=xf , x irrasional.
3). ℜ→ℜ:f
( )⎩⎨⎧
−+
=irrasional,38rasional,3
xxxx
xf
Tentukan titik-titik kekontinuan dari f
Jawab:
Misal f kontinu di c.
Diambil sebarang barisan ( ) cxx nn →ℜ⊆ ,
Analisis Real I 2012
96 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
( )⎩⎨⎧
−+
=irrasional,38rasional,3
nn
nnn xx
xxxf
Karena cxn → maka ( )nx rasional dan ( )nx irrasional juga
konvergen ke c. Dengan demikian:
33 +→+= cxy nn
cxz nn 3838 −→−=
Di lain pihak, ( )ny dan ( )nz barisan bagian dari ( )( )nxf . Karena f
kontinu di c, maka ( ) ( )cfzcfy nn →→ dan
Dengan ketunggalan limit barisan :
( ) 45 sehingga383 =−=+= ccccf .
Teorema 4.5 (Kriteria Ketakkontinuan)
Diberikan RR →⊆ AfA :, dan Ac∈ . f tidak kontinu di titik c jika dan
hanya jika )x(A)x( nn ∋∈∃ konvergen ke c, f((xn)) tidak konvergen ke f(c).
Contoh 4.6 1. Diberikan f(x) = 2x. Buktikan f(x) kontinu pada R .
Bukti: Ambil 0>ε sebarang dan R∈c sebarang.
Pilih εδδεδ =<−=−=−⇒∈<−∋= 2222)()(,2
cxcxcfxfDxcx f .
Sehingga menurut definisi kekontinuan f(x) kontinu pada R .
2. Diberikan R=A , dan f ”fungsi Di richlet” yang didefinisikan sebagai
berikut:⎩⎨⎧
ℜ∈∈
=Qx
Qxxf
\,0,1
)(
Buktikan bahwa f(x) tidak kontinu di R .
Bukti:
• Diberikan Qc∈ , ambil N∈∀→ℜ∈ ncxQx nn ,)(,\)( .
Karena N∈∀= nxf n ,0)( maka 0))((lim =∞→ nn
xf , tetapi f(c) = 1.
Akibatnya f tidak kontinu pada Qc∈ .
Analisis Real I 2012
97 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
• Diberikan Q\R∈b , ambil N∈∀→∈ nbyQy nn ,)(,)( .
Karena N∈∀= nyf n ,1)( maka 1))((lim =∞→ nn
yf , tetapi f(b) = 0.
Akibatnya f tidak kontinu pada Q\R∈b .
Dari kedua kasus di atas dapat disimpulkan f tidak kontinu pada R .
Selanjutnya ada beberapa hal tentang perluasan fungsi kontinu.
Terkadang ada fungsi R→Af : yang tidak kontinu di titik c karena f(c)
tidak terdefinisi.Tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c maka
dapat didefinisaikan fungsi baru R→∪ }{: cAF yang didefinisikan
sebagai berikut:
⎩⎨⎧
∈=
=Ax,)x(fcx,L
)x(F
Maka F kontinu di titik c.
Contoh 4.7
1) Diberikan 01≠⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= x,
xsinx)x(f . Karena f(0) tidak terdefinisi dan f
tidak kontinu di titik x = 0 tetapi 010
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xsinxlim
x, maka kita dapat
memperluas fungsi f(x) menjadi RR →:F yang didefinisikan
sebagai berikut:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
== 01
00
x,x
sinx
x,)x(F .
Sehingga F kontinu di x = 0.
2) Diberikan 01≠⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= x,
xsin)x(g . Karena )x(glim
x 0→ tidak ada, maka kita
tidak dapat memperluas fungsi g(x) di titik x = 0.
4.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu
Pada sub bab ini akan membahas penjumlahan, selisih, perkalian
dua fungsi, dan perkalian fungsi dengan skalar serta pembagian fungsi
kontinu.
Analisis Real I 2012
98 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 4.8
Diberikan RRR ∈→⊆ bAgfA ,:,, . Diberikan Ac∈ dan f dan g kontinu di
titik c,
(i) cgf dikontinu ±
(ii) rbcfb skala, dikontinu
(iii) cfg dikontinu
(iv) ( ) 0, dikontinu ≠cgcgf
Bukti: (hampir sama dengan limit. Coba dilanjutkan sebagai latihan).
(i). Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
99 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
(ii) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
100 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
(iii) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
101 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
(iv) Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
102 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 4.9.
Diberikan RR →⊆ AfA :, , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai
Axxfxf ∈∀= ,)()( .
a) Jika f kontinu di titik Ac∈ maka | f | kontinu di titik c.
b) Jika f kontinu pada A maka | f | kontinu pada A.
Bukti
a)...............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
103 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Bukti
b)..............................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
104 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 4.10.
Diberikan AxxfAfA ∈∀≥→⊆ 0)(,:, RR , dan diberikan f didefinisikan
sebagai Axxfxf ∈∀= ,)())((
a) Jika f kontinu di titik Ac∈ maka f kontinu di titik c.
b) Jika f kontinu pada A maka f kontinu pada A.
Bukti.
a) Ambil 0>ε sebarang. Diberikan Ac∈ . Jika ( ) 0=cf maka ( ) 0=cf .
Karena f kontinu di Ac∈ maka
( ) 2)(,0 εδδ <=⇒<−∈∀∋>∃ xfxfcxAx atau
( ) ( ) ( ) ε<−=− cfxfxf 0 .
Sekarang diberikan Ac∈ dan ( ) 0≠cf . Karena Karena f kontinu di
Ac∈ maka ( ) ( )cfcfxfcxAx εδδ <−⇒<−∈∀∋>∃ )(,0 .
Perhatikan bahwa δ<−∈∀ cxAx , berlaku
( )( )( )
( )( )
εε
=<−
<+
−=
+−
=+
+−=−
)()(
)()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()()()(
)()(
cfcf
cfcfxf
cfxfcfxf
cfxfcfxf
cfxfcfxfcfxf
cfxf
Jadi terbukti f kontinu di titik c. ■
Selanjutnya akan dibahas tentang komposisi fungsi kontinu.
Komposisi Fungsi Kontinu
Teorema 4.11.
Misal BAfBgAfBA ⊆∋→→⊆ )(,:,:,, RRR . Jika f kontinu di titik Ac∈
dan g kontinu pada B)c(fb ∈= maka R→Afg :o kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
105 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 4.12.
Misal BAfBgAfBA ⊆∋→→⊆ )(,:,:,, RRR . Diberikan f kontinu pada A
dan g kontinu pada B . Jika BAf ⊆)( maka R→Afg :o kontinu pada A.
Analisis Real I 2012
106 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
107 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
4.3 Fungsi Kontinu pada Interval
Definisi 4.13.
Misal R→Af : .f dikatakan terbatas pada A jika AxMxfM ∈∀≤∋>∃ ,)(0 .
Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi dikatakan
terbatas jika range fungsi tersebut terbatas di R . Ingat bahwa fungsi
kontinu tidak selalu terbatas, contohnya pada }0:{,1)( >∈== xxAx
xf R , f
kontinu pada A tetapi tidak terbatas pada A.
Jika }10:{,1)( <<∈== xxBx
xf R juga f kontinu pada B tetapi f tidak
terbatas pada B. Sedangkan jika }1:{,1)( ≥∈== xxCx
xf R f kontinu pada
C dan f terbatas pada C, meskipun C tidak terbatas.
Teorema 4.14 (Keterbatasan).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan R→If : kontinu
pada I. Maka f terbatas pada I.
Bukti:
Andaikan f tidak terbatas pada I, maka N∈∀>∋∈∃ nnxfIx nn ,)( . Karena
I terbatas maka X = (xn) terbatas, sehingga menurut teorema Bolzano-
Weistrass ada subbarisan yang konvergen, sebut )( nrxX =′ yang
konvergen ke x. Karena IX ∈′ maka menurut teorema Ix∈ .
Dari hipotesis di atas diketahui f kontinu pada I, sehingga menurut
teorema 4.3 ))((rnxf konvergen ke f(x). Menurut teorema suatu barisan
konvergen adalah terbatas, maka ))((rnxf terbatas. Hal ini bertentangan
dengan kenyataan bahwa R∈≥> rrnxf rnr,)( . Jadi pengandaian salah
haruslah f terbatas pada I.■
Definisi 4.15
Diberikan RR →⊆ AfA :, . f mempunyai maksimum absolut pada A jika
ada AxxfxfAx ∈∀≥∋∈ ),(*)(* dan f mempunyai minimum absolut pada
A jika ada AxxfxfAx ∈∀≤∋∈ ),()( ** .
Analisis Real I 2012
108 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Note: x* disebut titik maksimum absolut dan *x disebut titik minimum
absolut.
Teorema 4.16 (Maksimum-Minimum).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan R→If : kontinu
pada I. Maka f mempunyai maksimum absolut dan minimum absolut
pada I.
Bukti :
Diberikan }),({)( IxxfIf ∈= . Karena I interval tertutup terbatas maka f(I)
juga terbatas pada R , sehingga f(I) mempunyai supremum dan infimum,
sebut s* = sup f(I) dan )(inf* Ifs = . Akan dibuktikan
)(&*)(**, *** xfsxfsIxx ==∋∈∃ .
Karena s* = sup f(I) maka N∈− nn
s ,1* bukan batas atas f(I). Sehingga
N∈≤<−∋∈∃ nsxfn
sIx nn *,)(1* .
Karena I terbatas maka X = (xn) juga terbatas, sehingga menurut Teorema
Bolzano-Weistrass ada subbarisan )(rnxX =′ yang konvergen ke x*.
Karena f kontinu di x* maka *)()(lim xfxfrnn=
∞→ sehingga
ℵ∈≤<− rsxfn
srn
r
*,)(1* .
Karena *lim*1*lim ssn
sn
rn ∞→∞→
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− maka menurut teorema apit
*))((lim sxfrnn
=∞→
. Sehingga )(sup*))((lim*)( Ifsxfxfrnn
===∞→
.
Akibatnya f(x) mempunyai absolut maksimum. ■
Teorema 4.17 (Lokasi Akar).
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan R→If : kontinu
pada I. Jika )(0)(,, βαβαβα ffI <<∋∈< atau )(0)( βα ff >> maka
0)(),( =∋∈∃ cfc βα .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
109 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Teorema 4.18 (Niai Tengah Bolzano’s).
Misal I = [a,b] interval dan diberikan R→If : kontinu pada I. Jika
Iba ∈, dan jika R∈k yang memenuhi )()( bfkaf << maka
kcfbac =∋∈∃ )(),( .
Bukti:
Analisis Real I 2012
110 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Misal Iba ∈, dan )()( bfkaf << , R∈k .
• Diberikan a < b dan diberikan g(x) = f(x) – k. Karena )()( bfkaf <<
maka )(0)( bgag << . Karena f(x) kontinu pada I maka g(x) juga
kontinu pada I, sehingga menurut teorema lokasi akar
kcfcgbcabac −==∋<<∈∃ )()(0),,( .Jadi f(c) = k.
• Diberikan b < a dan diberikan h(x) = k - f(x). Karena )()( bfkaf <<
maka )(0)( ahbh << . Karena f(x) kontinu pada I maka h(x) juga
kontinu pada I, sehingga menurut teorema lokasi akar
)()(0),,( cfkchacbbac −==∋<<∈∃ .Jadi f(c) = k. ■
Akibat 4.19.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan R→If : kontinu
pada I. Jika ℜ∈k yang memenuhi )(sup)(inf IfkIf ≤≤ maka
kcfIc =∋∈∃ )( .
4.4 Kekontinuan Seragam
Definisi 4.20.
Diberikan .:, RR →⊆ AfA f dikatakan kontinu seragam pada A jika
untuk εεδεδε <−⇒<−∈∀∋>∃>∀ )()()(,,0)(,0 ufxfuxAux .
Selanjutnya akan dibicarakan beberapa kriteria ketakkontinuan
seragam, salah satunya dengan menggunakan barisan.
Definisi 4.21 (Ketak Kontinuan Seragam).
Diberikan .:, RR →⊆ AfA Pernyataan berikut ekuivalen :
1) f tidak kontinu seragam pada A
2) 00 )()(,,0,0 εδεδ δδδδδδ ≥−⇒<−∋∈∃>∃>∀ ufxfuxAux
3) N∈∀≥−=−∋∈∃>∃∞→
nufxfuxAux nnnnn ,)()(&0)(lim)(),(,0 00 εε δδ
Dari definisi kekontinuan fungsi jelas bahwa jika f kontinu seragam pada
A maka f kontinu di setiap titik dari A. Tetapi jika f kontinu di setiap titik
dari A tidak mengakibatkan f kontinu seragam pada A. Contohnya
diberikan }0:{,1)( >∈== xxAx
xg R . Fungsi g kontinu pada A ( lihat
Analisis Real I 2012
111 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
contoh ), tetapi g tidak kontinu seragam pada A karena dengan
mengambil 0)(lim1
1,1,21
0 =−∋+
===∞→ nnnnn ux
nu
nxε dan
R∈∀=≥=+−=− nnnugxg nn ,1|)1(|)()( 021 ε .
Selanjutnya jika f kontinu pada suatu interval tertutup terbatas,
sebut I maka f kontinu seragam pada I.
Teorema 4.22 (Kekontinuan Seragam).
Diberikan I adalah interval tertutup terbatas, dan R→If : kontinu
pada I maka f kontinu seragam pada I.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
112 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Pada teorema 4.22 suatu fungsi kontinu akan kontinu seragam jika
intervalnya tertutup dan terbatas. Apabila intrervalnya tidak tertutup dan
terbatas akan sulit menentukan kekontinuan seragam. Untuk itu
diperlukan kondisi lain, yaitu kondisi Lipschitz .
Definisi 4.23 (Fungsi Lipschitz).
Diberikan .:, RR →⊆ AfA Jika AuxuxKufxfK ∈∀−≤−∋>∃ ,,)()(0 maka f
dikatakan fungsi Lipschitz pada A atau memenuhi kondisi Lipschitz.
Teorema 4.24.
Jika R→Af : dan f fungsi Lipschitz maka f kontinu seragam pada A.
Bukti: Ambil 0>ε sebarang.
Diberikan f fungsi Lipschitz maka AuxuxKufxfK ∈∀−≤−∋>∃ ,,)()(0 .
Akan ditunjukkan f kontinu seragam pada A atau
εδδ <−⇒<−∈∀∋>∃ )()(,,0 ufxfuxAux .
Pilih Kεδ = , sehingga εεδ ==<−≤−∈∀
KKKuxKufxfAux )()(,, .
Jadi f kontinu seragam pada A. ■
Kebalikan dari teorema di atas tidak benar, artinya tidak setiap fungsi
kontinu seragam adalah fungsi Lipschitz. Contohnya, diberikan
xxgIIg ==ℜ→ )(],2,0[,: . Menurut teorema 4.10 g kontinu pada I,
sehingga menurut teorema 4.22 g kontinu seragam pada I. Tetapi g
bukan fungsi Lipschitz karena tidak ada
IuxuxKugxgK ∈∀−≤−∋> ,,)()(0 .
Analisis Real I 2012
113 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Contoh 4.25. 1. Diberikan f(x) = x2 pada A = [0,b] dengan b konstanta positif.
Tunjukkan bahwa f kon tinu seragam.
Jawab:
Ambil ],0[, bux ∈ sebarang. Perhatikan bahwa
uxbuxuxuxufxf −≤−+=−=− 2)()( 22 .
Sehingga dengan mengambil K = 2b , f merupakan fungsi Lipschitz.
Menurut teorema 4.24 f kontinu seragam.
2. Diberikan ),1[,)( ∞== Axxg . Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam.
Jawab:
Ambil Aux ∈, sebarang. Perhatikan bahwa
uxux
uxuxugxg −≤
+
−=−=−
21)()( .
Sehingga dengan mengambil K = ½ , g merupakan fungsi Lipschitz.
Menurut teorema 4.24 g kontinu seragam.
4.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers
Definisi 4.26.
1. Diberikan ,: R→Af f dikatakan naik pada A jika Ax,x ∈∀ 21 dan
21 xx ≤ maka )x(f)x(f 21 ≤ . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika
Ax,x ∈∀ 21 dan 21 xx < maka )x(f)x(f 21 < .
2. Diberikan ,: R→Af f dikatakan turun pada A jika Ax,x ∈∀ 21 dan
21 xx ≤ maka )x(f)x(f 21 ≥ . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika
Ax,x ∈∀ 21 dan 21 xx < maka )x(f)x(f 21 > .
Selanjutnya jika R,→Af : naik pada A maka g = -f turun pada A,
sedangkan jika R,→Af : turun pada A maka g = -f naik pada A.
Fungsi yang monoton belum tentu konitnu, sebagai contoh
Diberikan ⎩⎨⎧
∈∈
=],(x,],[x,
)x(f211100
Pada fungsi di atas, f naik pada [0,2] tetapi tidak kontinu di x = 1.
Analisis Real I 2012
114 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Teorema 4.27.
Misal ,:, RR →⊆ IfI f naik pada I. Misal Ic∈ dimana c bukan titik
ujung dari I, maka
}cx,Ix:)x(finf{)x(flim).ii(}cx,Ix:)x(fsup{)x(flim).i(
cx
cx>∈=
<∈=
+
−
→
→
Bukti:
(i). Ambil 0>ε sebarang.
Diberikan Ix∈ dan x < c. Karena f naik maka )c(f)x(f ≤ . Sehingga
}cx,Ix:)x(f{ <∈ terbatas di atas oleh f(c). Karena }cx,Ix:)x(f{ <∈
terbatas di atas maka mempunyai supremum,sebut
}cx,Ix:)x(fsup{L <∈= .
Maka ε−>ε∀ L,0 bukan batas atas }cx,Ix:)x(f{ <∈ , sehingga Iy ∈∃ ε
dimana .L)y(fLcy ≤<ε−∋< εε
Pilih δ<−<∋−=δ ε ycyc 0 maka cyy <<ε dan L)y(f)y(fL ≤≤<ε− ε .
Akibatnya ε<− L)x(f jika δ<−< yc0 atau
ε<<∈− },:)(sup{)( cxIxxfxf untuk δ<−< yc0 .
Karena 0>ε sebarang, maka dapat disimpulkan
},:)(sup{)(lim cxIxxfxfcx
<∈=−→
.
(ii). Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
115 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Akibat 4.28.
Misal ,:, RR →⊆ IfI f naik pada I. Misal Ic∈ dimana c bukan titik
ujung dari I, maka pernyataan berikut equivalent:
a) f kontinu di c
b) )x(flim)c(f)x(flimcxcx +− →→
==
c) }cx,Ix:)x(finf{)c(f}cx,Ix:)x(fsup{ >∈==<∈
Misal I interval dan ,: R→If f fungsi naik. Misal a titik ujung kiri dari
I, dan f kontinu di a jika dan hanya jika },ax,Ix:)x(finf{)a(f >∈= atau
f kontinu pada a jika dan hanya jika )x(flim)a(fax +→
= .
Analisis Real I 2012
116 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Misal I interval dan ,: R→If f fungsi naik. Misal b titik ujung kanan
dari I, dan f kontinu di b jika dan hanya jika },bx,Ix:)x(fsup{)b(f <∈=
atau f kontinu pada b jika dan hanya jika )x(flim)b(fbx −→
= .
Lembar Kerja 8.
1. Diberikan ,: RR →f dan K > 0 yang memenuhi
R∈−≤− yxyxKyfxf ,,)()( . Buktikan bahwa f kontinu di setiap
titik R∈c .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
117 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
2. Diberikan RR →⊆ AfA :, , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai
Axxfxf ∈∀= ,)()( . Buktikan jika f kontinu di titik Ac∈ maka |f|
kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
118 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
3. Berikan contoh fungsi f dan g yang tidak kontinu di titik c, tetapi
(f + g) dan (fg) kontinu di titik c.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
119 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
4. Berikan contoh fungsi R→]1,0[:f yang tidak kontinu di setiap titik
dari [0,1], tetapi |f| kontinu pada [0,1].
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
120 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
5. Misal I = [a,b] dan diberikan R→If : kontinu pada I , dan
diberikan 0)(,0)( >< bfaf . Diberikan { }0)(: <∈= xfIxW dan w =
sup{W}. Buktikan f(w) = 0.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
121 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
6. Diberikan ),0[,)( ∞== Axxg . Tunjukkan bahwa g kontinu
seragam pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
122 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
7. Diberikan ),[,1)( ∞== aAx
xg dengan a konstanta positif.
Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
123 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
8. Buktikan jika f kontinu seragam pada A maka f terbatas pada A.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
124 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
9. Diberikan f(x) = x dan g(x) = sin x, tunjukkan bahwa f(x) dan g(x)
kontinu seragam pada ℜ , tetapi (fg)(x) tidak kontinu seragam pada
ℜ .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
125 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
10. Diberikan ),1[,1)( 2 ∞== Ax
xg . Tunjukkan bahwa g kon tinu
seragam pada A, tetapi g tidak kontinu seragam pada ),0( ∞=B .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
126 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
11. Buktikan jika f dan g kontinu seragam pada R maka gf o kontinu
seragam pada R .
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
127 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
12. Diberikan RRRR ∈→→⊆ bAgAfA ,:,:, . Diberikan Ac∈ dan f dan
g kontinu di titik c, buktikan (f + g), f - g, fg, bf kontinu di c dengan
menggunakan definisi fungsi kontinu.
Bukti
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
128 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
Analisis Real I 2012
129 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
DAFTAR PUSTAKA
Apostol, T.M, 1957, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company. Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration, American
Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island. Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical Association of
America, Number Thirty-One. Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical
Analysis, Cambridge University Press, London. Darmawijaya, Soeparna, Pengantar Analisis Real, UGM, Yogyakarta,
2006.
DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey & Sons,
Inc., 1988.
Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons, Second
Edition.
Guswanto, B.H, & Siti, R.N, Lecture Note Analisis Real, Jurusan MIPA,
Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2006.
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika
FMIPA, UAD, Yogyakarta.
http:/www2.edc.org/makingmath
http:/www.cut-the-knot.org
DAFTAR PUSTAKA
Apostol, T.M, 1957, Mathematical Analysis, Addison-Wesley
Publishing Company. Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration, American
Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island. Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical
Association of America, Number Thirty-One. Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical
Analysis, Cambridge University Press, London. DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey &
Sons, Inc., 1988.
Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons,
Second Edition.
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan
matematika FMIPA, UAD, Yogyakarta.
http:/www2.edc.org/makingmath
http:/www.cut-the-knot.org
top related