memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti

Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti.

KOMPETENSI

Merancang rumus trigonometri jumlah

dan selisih dua sudut dan sudut gandaMembandingkan nilai sinus,

kosinus, dantangent suatu sudut

Membuktikan rumus identitas trigonometri

Menentukan luas segitiga yang komponennya diketahui dengan menggunakan fungsi trigonometri

Perhatikan

• Selesaikan

3. Buktikan tan3A.tan2A.tanA=tan3A-tan2A-tanA4. Hitung nilai sin 54 sin 185. Hitunglah Sin26+Sin242+Sin266+Sin278

2. Buktikan bahwa : 1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A

2cos1cos22

2cos1:.1

AA

Abuktikan

• Sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar thd titik pangkalnya ( dari sisi awal ke sisi akhir)

• Sudut diberi “tanda positive” jika putarannya berlawanan dg putaran jarum jam

• Sudut diberi “tanda negative ” jika putarannya searah dg putaran jarum jam

• Besar sudut ditentukan oleh jarak putar yg dilalui dari sisi awal ke sisi akhir

Sisi awal

Sisi akhir Apa itu sudut

• Satuan sudut :siksagesimal : 1 putaran penuh dibagi 360

bag yg sama 1bag = 10

Sentisimal : 1 putaran penuh dibagi 400 bag yg sama

Radian

1 jejari

1 jejari1 jejari

maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)

1 rad

sehingga di dapat

Apa itu radian?

1 rad : besar sudut

pusat lingkaran yg menghadap pd busur yg panjangnya

= jari2 lingkaran

Seberapa besar 1 radian itu?

1

11 rad

1

1

1

60°

1

Mana yang lebih besar ? 1 rad atau 60º ?

Coba bandingkan

r

r

r

1 rad

Panjang Busur dan Radian

r

r

r

rad

r

Hubungan Radian Derajat

Kita putar jejari sejauh 180

1 derajat = 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama

r

rad

Ingat: panjang setengah lingkaran = π r

p

rad = 180

180:rad

180

:rad

Rumus Perubahan

4

KESIMPULAN

180 rad

360 rad 2

rad 180 1

180 rad 1

Perbandingan trig

• Ada berapa perbandingan antar sisi dr segitiga siku-siku

tsb

Diketahui segitiga siku-siku berikut

adjacent side

opposite sidetan

hypotenuse

adjacent sidecos

hypotenuse

opposite sidesin

x

yA

r

xA

r

yA

opposite side

adjacent sidecot

adjacent side

hypotenusesec

opposite side

hypotenusecsc

y

xA

x

rA

y

rA

SUDUT ISTIMEWA

Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga siku-siku

Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu :

1. 00

2. 30o

3. 450

4. 60o

5. 90o

O

B

C

1

X

30O

30O

A

1

Untuk 300 dan 600

2

1

Segitiga OAB adalah

segitiga sama sisi

dengan r=1,

CB=CA=

.

C

OC= 32

1

.

SUDUT ISTIMEWA

Untuk 450

Sin 450 =

Cos 450 =

Tg 450 =

450

450

AB

C

22

1

2

1

AC

BC

22

1

2

1

AC

AB

11

1

AB

BC

1

12

SUDUT ISTIMEWA

Untuk 00

X=r

Sb. : y

Sb.: x

Sin 00 =

Cos 00 =

Tg 00 =

0r

0

r

y

1r

r

r

x

0x

0

x

y

Catatan :

X = r

Y = 0

Y=0

SUDUT ISTIMEWA

Untuk 900

Sin 900 =

Sin 900 =

Cos 900 =

y = r

X = 0

1r

r

r

y

0r

0

r

x

0

y

x

y

Catatan :

X = 0

Y = r

KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA

22

1

22

1

33

1

3

0O 30O 45O 60O 90O

Sin 0 1

Cos 1 0

Tg 0 1 ?

Ctg 1 0

2

12

2

12

2

1

2

1

33

13

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN

00 18090 00 900

00 270180 00 360270

Sudut di Kuadran I = a Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - a)Hanya Sin bernilai (+)

Sudut di Kuadran III =γ =(180 +a )Hanya Tan bernilai (+)

Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 - )aHanya Cos bernilai (+)

Perbandingan Trig sudut Berelasi

A dalam derajat

A: dalam radian

)90sin(cos

)90cos(sin

AA

AA

)90csc(sec

)90sec(csc

AA

AA

)90tan(cot

)90cot(tan

AA

AA

AA

AA

2sincos

2cossin

AA

AA

2cscsec

2seccsc

AA

AA

2tancot

2cottan

KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIUS

KOORDINAT KUTUB

r θ)B(r,

Koordinat Kutub

B(r,q)

KOORDINAT KARTESIUS

Koordinat kartesius A (x,y)y)A(x,

MENGUBAH KOORDINAT KUTUB MENJADI KOORDINAT KARTESIUS

Koordinat kutub B(r,q)

Dari diperoleh x = r . cos θ

sedangkan diperoleh y = r . sin θ

Sehingga didapat Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cosq ,

r.Sinq)

Cosθr

x

Sinθr

y

MENGUBAH KOORDINAT KARTESIUS MENJADI KOORDINAT KUTUB

Koordinat kartesius A (x,y)

22 yxr

x

yTanθ

x

yarc.Tanθ

Sehingga koordinat kutub A (r, )q

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Merancang rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut dan sudut ganda

x

y

1

The Unit Circle

(x,y)

Diberikan segitiga siku siku berikut:.

x

y

btk x:

Btk y:

Dan utk nilai tan:

Lingkaran satuan - Pythagoras

2

2

2

222 cossin

r

x

r

y

12

2

2

22

r

r

r

yx

22

22

cos 1

sec 1

ecctgn

tgn

A D E B

C

G F

AC

AD cos

CF

GF sin

sin CFGF

AC

AFβ cos

cos ACAF

AF

AE cos

cos AFAE

Segitiga AFC

Segitiga CGF

Segitiga AEF,

AC

CF sin

sin ACCF

GF AC sin sin

Cause DE GF DE AC sin sin

AE AC cos cos

AD AE DE

cos ( + ) cos cos sin sin

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

henny

22

22

22

coscot1

sec1tan

1cossin

ec

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

5

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

Identitas trig utk :

BA

BABA

BABABA

BABABA

tantan1

tantantan

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

5

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

JUMALH & SELISIH 2 SUDUT

BA

BABA

BABABA

BABABA

tantan1

tantantan

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

6

SUDUT GANDA:

A

AA

AA

AA

AAA

AAA

2

2

2

22

tan1

tan22tan

1cos22cos

sin212cos

sincos2cos

cossin22sin

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

7

SETENGAH SUDUT:

2tan1

2tan2

tan

2sin211

2cos2

2sin

2coscos

2cos

2sin2sin

2

2222

A

A

A

AAAAA

AAA

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

8

JUMLAH/SELISIH 2 FUNGSI TRIG:

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

2sin

2cos2sinsin

2cos

2sin2sinsin

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

9

BENTUK LAIN:

)cos()cos(sinsin2

)cos()cos(coscos2

sinsincossin2

BABABA

BABABA

BABABA

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

10

Buktikan

AAA

sin

2cottan

TRIGONOMETRIC IDENTITIES

6160sec80sec40sec Jika A+B+C + D=1800 Buktikan :

cosAcosB+cos Ccos D = sin Asin B +sin C sin D

Dalam segitiga ABC , Buktikan tg A +tg B +tg C = tg A tgB tg C

ATURAN SINUS DAN KOSINUS

ATURAN SINUS

ATURAN KOSINUS

SinCc

SinBb

SinAa

2bcCosA2c2b2a 2acCosB2c2a2b

2abCosC2b2a2c

ATURAN SINUS

SinCc

SinBb

SinAa

Bukti :

SinΑb

CD

aSinBCD b.SinACD

SinBa

CD

aSinBbSinA

SinB

b

SinA

a

ATURAN KOSINUS

2bcCosA2c2b2a

2acCosB2c2a2b

2abCosC2b2a2c

43

Deriving the Law of Cosines

• Dengan Pythagoras teo b h a

k c - kA B

C

c

sin

cos

h b A

k b A

2 22

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

sin cos

sin 2 cos cos

sin cos 2 cos

2 cos

a b A c b A

a b A c c b A b A

a b A A c c b A

a b c c b A

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Bentuk Iacos x = b, syarat bahwa -aba

cos x = cos x = cos x = + k.360; x = - + k.360 ; kBContoh:Tentukan nilai x yang memenuhi;Cos x = - ½ , 0 x 360

a

b

Cos x = - ½Û Cos x = cos 120 x = 120 + k.360 untuk k=0, x1 = 120

x = -120 + k.360 untuk k=1, x2 = 240

Jadi HP = {120, 240}

4sin 2x = -2Û Sin 2x = - ½Û Sin 2x = sin 210 2x = 210 + k.360 x= 105 + k.180Untuk k=0, x1= 105

Untuk k =1, x2=285

2x = (180-210)+k.360 2x = -30 + k.360 x = -15 + k.180Untuk k=1, x3=165, untuk k=2, x4=345

Jadi HP ={105 , 165 , 285, 345}

3

3

asin x = b, sin x = sin x = sin x = + k.360; x = - + k.360 ; kBContoh :4sin 2x = -2 ; 0 x 360

a

b

3

tan x = tan x = tan

x = + k.180; x = - + k.180 ; kBContoh:Tentukan nilai x yg memenuhi, tan x = - , 0 x 360

a

b

3

CONTOH Tentukan nilai x yang memenuhi: Cos (x-30).sin(x-120) = 1, 0 x360 Jawab:Sin (2x-30-120) – sin (-30+120)=2Sin(2x-150) = 2-sin 90Sin (2x-150 ) = 1 2x -150 = 90 + k .360 2x = 240 + k.360

x= 120 + k.180 untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300

2x -150 = (180 - 90 ) + k .360 (kembali bentuk yg sama)

4. Bentuk a Cos x + b Sin x = c Penyelesaian : a Cos x + b Sin x = c

Misal Tan = Shg Cos =

Cos x + Tan Sin x =

22 ba

a

a

cxSin

a

bxCos

a

c

22 ba

a

a

cSinxSinCosxCos

Syarat ada penyelesaian :

atau Contoh : Tentukan x yang memenuhi -3 Cos 2x + Sin 2x = 1 ; 0º x 360º

Jawab : Cara I-3 Cos 2x + Sin 2x = 1

22)(

ba

cxCos

122

ba

c

222 cba

Cos 2x - Tan 30º Sin 2x =

Cos (2x + 30 ) =

Cos (2x + 30) = Cos 120 2x =90+360x=45 +k 180x1=45,x2 =

225 2x = -150 + k 360 x = -75 + k 180 x3

= 105, x4 = 285 ; HP {45, 105, 225, 285}

3

12

3

12

xSinxCos

3

1

2

3.

3

1

5. Bentuk Persamaan Kuadrat a. p Sin2 x + qSin x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan -1 Sin

x 1

Sin x =

atau dengan pemfaktoran b. p Cos2 x + q Cos x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan -1 Cos

x 1

p

rpqq

2

42

Cos x =

atau dengan pemfaktoran c. p Tan2 x + q Tan x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan - < Tan

x <

Tan x =

atau dengan pemfaktoran

p

rpqq

2

42

p

rpqq

2

42

Contoh : Tentukan x yang memenuhi 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 ; 0º x

360ºJawab : 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 7 Sin x -3 (1-2 sin2 x ) + 5 = 0 7 Sin x – 3 + 6 Sin2 x + 5 = 0 6 Sin2 x + 7 Sin x + 2 = 0 (3 Sin x + 2 ) ( 2 Sin x + 1) = 0 3 Sin x + 2 = 0 2 Sin x + 1 = 0 Sin x = -0,66... V sin x = -0,5

Untuk Sin x = -0,66... x = 221,8 + k.380 x1 = 221,8 x = (180 -221,8) + k.360 x = -41,8 + k.360 x2 = 318,2

Untuk sin x = -0,5 x = 210 + k.360 x3 = 210 x = (180 -210) + k 360 x = -30 + k 360 x4 = 330 HP ={ 210º, 221,8º, 318,2º, 330º}