materi ajar-geometri-transformasi

Surfiani

TRANSFORMASI

Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi

KOLINEASI

ISOMETRI

1. Diketahui

a. Selidiki apakah suatu kolineasi

b. Selidiki apakah suatu involusi

a.

ambil persamaan garis

diperoleh

sehingga

Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.

a.

ambil persamaan garis

diperoleh

sehingga

Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

Jadi

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

Jadi

Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,

maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya

menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi , W dikerjakan dahulu

baru V. Jadi .

Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis

Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.

Bukti :

Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W

merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan

bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.

Ambil sebarang titik Q’’

Karena V transformasi

Karena W transformasi

Sehingga

Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik

dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan

merupakan fungsi satu-satu.

Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.

Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.

Bukti :

Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W

merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan

bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.

Ambil sebarang titik Q’’

Karena V transformasi

Karena W transformasi

Sehingga

Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik

dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan

merupakan fungsi satu-satu.

Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.

1. Diketahui

a. Carilah

b. Kenakan pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan

Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T2 T1

T1T2

Jadi

a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan

Karena sejajar maka

Jadi

Jadi

a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan

Karena sejajar maka

Jadi

Jadi

1. Diketahui

a. Selidiki apakah suatu involusi

b. Kenakan T pada

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

Jadi

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

Jadi

a. T pada

a. T pada

S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB

sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’

dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan

sebagai SAB

A B

P’ P

CDABSS CDAB =⇔=

Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,

genjangjajar CABDSS CDAB ⇔=

Geseran adalah suatu isometri

CDABSS CDAB =⇔=Bukti :

1) CDABSS CDAB =⇒=

Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.

Berarti ')( PPS AB = berarti 'PPAB = .

Karena CDAB SS = maka ' berarti ')( PPCDPPSCD == .

Karena 'PPAB =

'PPCD =

Maka akibatnya CDAB =

2) CDAB SSCDAB =⇒=

Ambil P dan kenakan ABS berarti '')( PPABPPS AB =⇒= .

Karena ' maka PPCDCDAB == .

Sehingga ')( PPSCD =

')( PPS AB =

Maka akibatnya CDAB SS =

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CDABSS CDAB =⇔=

Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,

genjangjajar CABDSS CDAB ⇔=

Bukti : 1) genjangjajar CABDSS CDAB ⇒=

Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika

CDABSS CDAB =⇒=

Karena CDABSS CDAB =⇒= berakibat BDAC =

Jadi CABD jajar genjang.

2) CDAB SSCABD =⇒genjangjajar

CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan

sama panjang, yaitu CDAB =

BDAC =

Karena CDAB = dengan dalil 2.1 (jika CDAB SSCDAB =⇒= )

Jadi CDAB SS =

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.jajar CABDSS CDAB ⇔=

Geseran adalah suatu isometri Bukti :

1)

=

'')( PPABPPS AB =⇒=

'')( QQABQQS AB =⇒=

Akibatnya '' QQPP =

Akan dibuktikan PQQP =''

'PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang

Berakibat PQQPPQQP =⇒= ''''

2)

'PP dan Q segaris

PQQP

PQQP

QQPPPPQQPQ

PPPQQP

=

=

=−+=

−=

''akibat

'' maka

'' karena ''

''''

Jadi S isometri

A B

P P’

Q Q’

P Q’ Q P’

Y

XO

B(a,b)

P(x,y)

P’(x’,y’)

b

a

a

b

=b

aOB

++

=

+

=

by

ax

b

a

y

xSOB

vektor→

=b

aOB

koordinattitik ),( →baB

Q(c,d)

P(a,b)

−−

=bd

acPQ

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi? 3) kan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan

tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)

◦ Apakah SBA kolineasi?

◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A

dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.

◦ Apakah SBA involusi?

◦ Apakah SBA isometri?

◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?

TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan merupakan

geseran lagi dengan

T T’

T’’

A B

CDABPQ +=

C

D

P

Q

A

B

C

D

Y

P(x1,y1)

O X

Q(x2,y2)

Setengah putaran terhadap titik P

(dengan pusat P) dilambangkan

dengan Hp, adalah pemetaan yang

memenuhi untuk sebarang titik A

di bidang V :

1.Jika A ≠ P maka titik P titik

tengah AA’

Hp(A)=A’

2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A

Setengah putaran terhadap titik P

(dengan pusat P) dilambangkan

dengan Hp, adalah pemetaan yang

memenuhi untuk sebarang titik A

di bidang V :

1.Jika A ≠ P maka titik P titik

tengah AA’

Hp(A)=A’

2.Jika A = P maka Hp(A)=P=AA

A’

P

Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka

Hp(A’)=AHp(Hp(A))=A’=AHp2(A)=AHp2=I

Jadi Hp involusi

A P A’

Hp

Hp

TEOREMA

Setengah putaran adalah isometri

Bukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.

A

B

P

B’

A’

Kenakan A dengan Hp,

sehingga Hp(A)=A’ dengan

AP=PA’.

Kenakan B dengan Hp,

sehingga Hp(B)=B’ dengan

BP=PB’.

Kenakan A dengan Hp,

sehingga Hp(A)=A’ dengan

AP=PA’.

Kenakan B dengan Hp,

sehingga Hp(B)=B’ dengan

BP=PB’.

Lanjutan

Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’

Karena AP=PA’

BP=PB’

Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)

Akibat : AB=A’B’

Jadi setengah putaran adalah isometri

belakang)(bertolak ''PBAAPB ∠=∠

XO

Y

A(x,y)

A’(x’,y’)

P(a,b)

Ambil P(a,b) sebagai

pusat putar.

Hp memetakan

A(x,y) ke A’(x’,y’).

Ambil P(a,b) sebagai

pusat putar.

Hp memetakan

A(x,y) ke A’(x’,y’).

Diperoleh hubungan bahwa :

Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan

ybyyybyy

b

xaxxxaxx

a

−=→+=→+=

−=→+=→+=

2''22

'

2''22

'

−−

=

yb

xa

y

x

2

2

'

'

LATIHAN

Diketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)

1. Carilah HA•HB

2. Apakah HA•HB involusi?

3. HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5),

L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’

4. Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)

1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P)

dan HB•HA(P).

2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).

3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika

A(2,1) dan B(-3,5).

4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan

C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).

Bukti :

TEOREMA

Hasil kali dua setengah putaran merupakan geseran

P

BA C

P’

P’’

Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :

HA(P)=P’ berlaku PA=AP’HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’

Berarti :HB(P’)=P’’HB(HA(P))=P’’HB•HA(P)=P’’

Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau

HA•HB=SAC dengan AC=2AB

Hasil kali geseran dan setengah putaran ???

Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’

dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC

sehingga :

HR•HP(A)=A’

HR•HP(B)=B’

HR•HP(C)=C’

Jawab :

A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)

Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)

1. Apakah hasil dari HF•HG

Jawab : (6-x, 22-y)

1. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D

Jawab : (1, 21)

3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan tegak lurus

garis yang melalui F dan G

4. Apakah hasil dari HF•HE•HG

5. Selidiki apakah HG•SEF involusi

Find the answers by yourself, pasti bisa!!!

Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.

Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 1 0

0 -1xT

=

Dengan notasi matrik :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 0

0 -1x

x x xT

y y y

′ = = ′

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a, c) sumbu y

Dengan notasi matrik :

-1 0

0 1y

x x xT

y y y

′ = = ′

-1 0

0 1yT

=

Refleksi terhadap tit ik asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : (0,0)

-1 0

0 -1T

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0

0 -1

x x xT

y y y

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 1

1 0y xT =

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(c,a)

y = x

0 1

1 0y x

x x xT

y y y=

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1

-1 0y xT =−

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-c,-a)

y =- x

0 -1

-1 0y x

x x xT

y y y=−

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

1 0 0

0 -1 2

x x

y y h

′ = + ′

Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang

baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

0 x x x

y y h y h

′ = − = ′ −

1 0

0 -1

x x x

y y h y h

′′ = = ′′ − − +

0

2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x x

y y h h y h

x x

y h y h

′′′ = + = ′′′ − + − +

= + = +

Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-a,c)

x=k

-1 0 2

0 1 0

x x k

y y

′ = + ′

Dengan notasi matrik :

Contoh Soal :

Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan

titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika

direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian

dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Jawab :

Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua

tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang

ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian

bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap

sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’

dengan

titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-

11).

Telah dibahas bahwa :

◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu sejajar

adalah berupa geseran.

◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu yang

saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.

Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua

sumbu sebarang???

Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.

Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :

Ms(A) = A’

Mt(A’) = A’’

Jadi, Mt(A’) = A’’

Mt(Ms(A)) = A’’

(Mt•Ms)(A) =A’’

Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’

Akibat pencerminan :

1.

2. PA = PA’

PA’ = PA’’

Jadi PA = PA’’

Sehingga Mt•Ms menghasilkan :

1. PA = PA’’

2.

Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut

putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan

yang memenuhi :

◦ RP,θ (P) = P

◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan

P = pusat putar

θ = sudut putar

Jika θ = 0o maka RP,θ = I

Jika θ = 180o maka RP,θ = HP

Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota

B+

Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam

Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai

hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan

satu terhadap sumbu t.

P = titik (s,t)

Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :

◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)

◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik (s,t) dan

◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP

Dengan pusat putar (0,0)

Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)

dengan

RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :

• Sumbu s, y = 0

Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan

• Sumbu t, , maka

Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan

• Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan

Jadi, jika P(0,0) maka :

RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan

Dengan pusat putar P(a,b)

Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu .

Terhadap sumbu koordinat C(x,y) dan C’(x,y).

RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan

Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)

Jadi

Jadi jika pusat putar P(a,b) maka

RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan

dengan

Suatu transformasi yang dipenuhi merupakan putaran.

1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut

Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) =

<A’B’C’.

Diperoleh |A’B’| = k|AB|, |B’C’| = k|BC|, dan |A’C’| = k|A’C’|.

Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh

besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC.

Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut.

Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga

mempertahankan ketegaklurusan.

Definisi

Misal P suatu titik tertentu dan k ≠0. Transformasi DP,k

disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika

a. DP,k (P)=P.

b. Untuk sebarang titik Q≠P, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan

Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/Q untuk k<0.

Teorema

Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku :

a. g’=g jika P terletak pada g.

b. g’//g jika P tidak terletak pada g.

Teorema

Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu

similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan

sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri.

Teorema

Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’

1. Rumus Dilatasi

Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik

dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T).

Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari

T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b)

T’(a’,b’)

P(x,y)

t’

x T(a,b)

t

Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks

diperoleh:

PT’ = k(PT)

t’-x = k(t-x)

atau

sehingga