matematika untuk fisika

Syamsu Rosid

Departemen Fisika, Universitas Indonesia

me = 9,1 x 10-31 kg 5 943 000 000 is 5.943 x109 dan untuk 0.0000832 is 8.32 x10-5.

Contoh: 102 x 105 = 107 103 x 10-8 = 10-5

Perkalian

Pembagian

Penjumlahan

mnmn xxx

mn

m

n

xx

x

nn xx /1

nmmn xx

2

2

2

1

1

)(

R

rGm

R

r

mG

rR

mGgg

00 222

2

2

xDxdt

xd

iDxiDiD 2,10

tAtxSolusi cos)(:

Aplikasi

mM

IR

gRT

pm

2

22

244

e = Euler’s constant = 2.718

Some useful properties of logarithms

Distance d between two points having coordinates (x1 , y1) and (x2 , y2) is

Circle

Ellips

Parabola with vertex at y = b

Rectangular Hyperbola

0)( ½

0 ½ ) (-

2

2

xLmgkx

kxxLmg

)(

0sin)2(sin2

diketahuiMdanm

mMmm

2

2

2

0

22

0

)(2

2

1

dmMv

MmkqQx

xd

kqQ

Mm

mMv

Diketahui gelombang EM dengan vector medan listrik E berbentuk:

Komponen-komponennya:

, maka

, maka

)(cosˆ)(cosˆ),( tkxzEtkxyEtxE ozoy

)cos(),( tkxEtxE oyy )cos( tkxE

E

oy

y

)cos(),( tkxEtxE ozz

sin)sin(cos)cos( tkxtkxE

E

oz

z

sin1cos

2

oy

y

oy

y

E

E

E

E

Kuadratkan kedua ruas diatas, menghasilkan:

Itu memenuhi persamaan Ellips dengan sumbu panjang membentuk sudut sebesar:

sin1cos

2

oy

y

oy

y

oz

z

E

E

E

E

E

E

2

22

sincos2

oz

z

oy

y

oy

y

oz

z

E

E

E

E

E

E

E

E

cos2

2tan22

ozoy

ozoy

EE

EE

Hukum Cosinus

Hukum Sinus

tm

kkAkxf

2cos3 2

Perhatikan sistem di samping. Ada benang melilit sebuah silinder dan ujung lain benang diikat ke dinding. Jarak dari titik ikat ke titik sentuh silinder dengan dinding adalah L. Jari-jari silinder adalah r. Anggap ada gesekan antara silinder dan dinding dengan koefisien gesek maksimum µ. Massa silinder adalah m.

• Anggap sistem setimbang. Hitung berapa tegangan benang T, gaya normal N dan gaya gesek f ! • Hitung berapa nilai minimum µ agar kesetimbangan

ini bisa tercapai! Nyatakan jawaban anda dalam variabel r, L, m dan g.

18

(total 9 poin) a. Perhatikan diagram gaya di samping (1 poin)

b. Kesetimbangan sumbu x : N = T sin . (1 poin)

Kesetimbangan sumbu y : f + T cos = mg. (1 poin)

c. Jumlah torka : fr = Tr. (1 poin) f = T.

d. Hubungan sudut (1 poin)

r

L

T f

N

mg

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

sin ; cos2 2

2sin ; cos

r L

r L r L

rL L r

r L r L

19

e. Dari persamaan persamaan di atas di dapat

(0,5 poin)

f. (1 poin)

g. (0,5 poin)

h. (2 poin)

2 2

22

r LT mg

L

N=r

Lmg

2 2

22

r Lf mg

L

2 2

2

f r L

N rL

20

Tentukan percepatan masing-masing benda yang ditunjukkan pada gambar jika nilai m1, m2 dan diberikan. Abaikan gesekan. (Soal seleksi kabupaten 2006)

21

Dari geometri, bisa diperoleh

Gaya yang bekerja pada sisi miring m2 mengarah tegak lurus permukaan miring ini (gaya normal).

Pers. gerak m1 diberikan oleh N cos(/2) = m1 a1

Pers. gerak m2 diberikan oleh m2 g − 2N sin (/2) = m2 a2

Dengan menyelesaikan ketiga persamaan ini, didapat

dan

22

Untuk x << 1

xx

xe

nxx

x

n

)1ln(

1

11

2R

mGg 2)( rR

mGgg

2

2221

1

1

R

r

R

mG

R

rR

mGgg

R

r

R

Gmgg 21

2

R

r

g

g

R

rgg 22

Dengan x dalam radian

Untuk x << 1

xx

x

xx

tan

1cos

sin

maF

2

2

sindt

dmmg

g

dt

d

2

2

02

2

g

dt

d

mg

mg sin

l

gT

g

22

GHS

0

)(2

)0(!

...)0("!2

)0(')0()(n

nn

fn

xf

xxffxf

Deret Maclaurin:

Adalah deret Taylor yang diekspansi disektar titik asal a = 0

0

)(

2

)(!

)(

...)("!2

)()(')()()(

n

nn

afn

ax

afax

afaxafxf

1

)(

n

n

naxdx

dy

axxy

dx

dyBBxAy

cxxbxxaxxy )()()( 3

cxxbxxxxxxaxxy )()33()( 3223

xbxxxxxaxyxxyy )33()()( 322

bxxxaxx

y

dx

dy

xx

]33[ 22

00limlim

baxdx

dy 23

cbxaxxy 3)(

y = ax3 dy = 3ax2 dx dy/dx = 3ax2

32cos sin 2

2N mg

02cos3sin2

02cos3sin2

2cos3sin2

2cos2.2

3sin2

0

mgd

dN

dmg

ddmgdN

d

dN

03sin2sin6

0sin213sin2

2

2

1 19sin 0,893

6

Jika potensial listrik

(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = 9

Maka aliran arus listriknya:

yang arahnya tegak lurus bidang

R

h

R

r

g

g

gRRR

mG

dR

dg

dRR

mGdg

R

mGg

22

22

2

2

2

kz

jy

ix

ˆˆˆ

0

dz

zdy

ydx

xd

0. rd

Dua buah bola identik yang bermassa A dan B terhubung oleh sebuah batang yang sangat ringan jatuh dari posisi vertikal seperti pada gambar. Tentukan besar sudut sehingga gaya yang diberikan pada dinding vertikal oleh A bernilai maksimum. (Petunjuk: Gunakan turunan/diferensiasi untuk mencari nilai maksimum).

35

Misalkan di B, gaya yang diterima dinding vertikal adalah maksimum,

maka dari kekekalan energi mekanik,

(1)

Diagram benda bebas sistem saat di B adalah

36

A

B

sinL

L

2

2

11 sin

2

2 1 sin

B

B

mv mgL

v gL

F

F

w

Nx

r1

2

Untuk partikel 1 pada arah radial (2),

Untuk partikel 2 pada arah x (3),

Substitusi (1) dan (3) ke (2),

Agar bernilai maksimum, maka

37

2

1

2

sin

Br

B

vF m

L

vF mg m

L

2 0

cos 0

cos

xF

N F

N F

32cos sin 2

2N mg

2

2

0

2sin 3cos 2 0

2sin 3 1 2sin 0

6sin 2sin 3 0

dN

d

1 19sin 0,893

6

Sebuah peluru ditembakkan ke atap/langit-langit sebuah rumah dengan kecepatan awal vo dan membentuk sudut terhadap bidang datar (lihat gambar). Jika bentuk langit-langit rumahnya seperti ditunjukkan gambar, tentukan: a. sudut agar peluru bisa mencapai atap dalam waktu yang

sesingkat-singkatnya, b. waktu tempuh minimum dari peluru untuk mencapai atap

rumah c. syarat vo agar peluru bisa mencapai atap untuk berapapun

nilai sudut nya.

(Petunjuk: gunakan turunan/diferensiasi untuk mencari

nilai minimum, dimana a adalah konstanta) 38

i

x

x

iix

dxxfxxfLuasi

2

1

)()(lim0

cxdxxx

dxln1

)1(1

)1(1

1

1

1

2

1

2

1

nn

xxdxx

nCn

xdxx

nnx

x

n

nn

dengan u = x2 dan v = ex

dengan u = x dan v = ex

43433342 )()43( yxyxddyyxdxyx

kjiC

kjiB

kjiA

ˆ4ˆˆ3

ˆ2ˆ2ˆ

ˆˆ3ˆ2

• Operasi Vektor:

Penambahan

Selisih/pengurangan

Perkalian dot

Perkalian cross

sin

cos

BABA

BABA

kecepatan linier v = r sin . Jadi v = x r = kecepatan sudut. Luas daerah yang di sapu jika vektor posisi

r = (2t + 1) i + 3t2 j – 4k pada saat t = 2s adalah ...

T, N, dan B adalah vektor satuan

torsi; = curvature dari C pada titik tertentu

= 1/ = jari-jari curvature = 1/ = jari-jari torsi

TBds

NdN

ds

BdN

ds

Td

;;

dt

AdAmakatAJika

),(

Jika x = 3 cos t, y = 3 sin t, dan z = 4t. Tentukan:

a- vektor satuan tangen T

b- vektor satuan principal normal N,

c- curvature dan jejari curvature

d- vektor satuan binormal B,

e- torsion dan jejari torsion

Tentukan sudut antara kedua permukaan:

x2 + y2 + z2 = 9 dan z = x2 + y2 – 3 di titik (2, -1, 2)

Tunjukan bahwa F = (2xy + z3)i + x2 j + 3xz2 k adalah medan gaya konservatif. ◦ Tentukan potensial skalarnya

◦ Tentukan besarnya kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari (1, -2, 1) ke (3, 1, 4)

Ketinggian sebuah bukit (dalam meter) dapat dinyatakan dalam bentuk:

h(x, y) = 10 (2xy – 3x2 – 4y2 – 18x + 28y + 12)

dimana x dan y dalam km, masing-masing dalam arah timur-barat dan utara-selatan. Tentukan:

a- posisi puncak bukit

b- ketinggian puncak bukit

c- kemiringan bukit di lokasi 1 km ke timur dan 1 km ke utara bukit ini; arah kemiringan di titik ini.