matematika teknik dasar-i jenis-jenis...
Post on 06-Apr-2019
265 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMATIKA TEKNIK DASAR-IJENIS-JENIS FUNGSI
SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRATEKNIK PENGAIRAN
FUNGSI GONIOMETRI
1. Satuan Sudut Radial
Pada dalil didapatkan kesamaan antara satuan derajat terhadap
satuan panjang busur lingkaran secara geometri.
Bila hasilnya diperluas didapatkanlah keliling lingkaran ~ 360o
Tanda ~ dibaca “ekivalen dengan”
DALIL ILMU UKURBesar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan panjang busur lingkarang yang dihadapinya
FUNGSI GONIOMETRI
TEOREMA
Bila di dalam lingkaran dibuat segi banyak tali busur, maka keliling segi banyak itu < dari 6x jari-jari lingkaran tersebut.
BUKTI
Melalui semua ujung tali busur segi-n ditarik garis // sumbu x
dan sumbu y.
Perhatikan ABB2; didapatkan AB < AB2+BB1
Dalam CBK, BC < B1C1 + B2Cc
Dalam DCL, DC < C1D1 + C2D2
FUNGSI GONIOMETRI
Secara ilmu ukur Kochansky mendapatkan cara yang paling mendekati yang betul sebagai berikut. Dengan phytagoras dihitung PR2=PQ2+QR2
𝑃𝑅2 = 𝑃𝑄2 + 𝑄𝑅2𝐴𝑃
𝑟= 𝑡𝑔30𝑜 =
1
33
Jadi, AP= 1
3𝑟 3 dan BR=3r
Jadi, QR = 3𝑟 −1
3𝑟 3 = r 3 −
1
33
∴ PQ = 2r
∴ PR = 4𝑟2 + 𝑟2 3 −1
33
2=
𝑟 4 + 9 − 2 3 +1
3= 𝑟 13
1
3− 2 3 ≈ 3,14𝑟
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Bilangan 3,14... (biasa dilambangkan dengan ) adalah perbandingan antara k
dengan garis tengah lingkaran, ditulis 𝜋 =𝑘
2𝑟
▪ Sehingga 6,28 < 2 < 44
7
FUNGSI GONIOMETRI
DEFINISI: satu radial adalah besar sudut pusat suatu lingkaran, yang panjang busur yang dihadapinya sama dengan jejari lingkaran.
Akibat: PR =panjang ½ keliling lingkaran = radial. Jadi 180o = radial.
Dengan demikian, terbesar : 1 rad = 7/22 x 180o = 576
22
𝑜= 57o16’;
terkecil : 1 rad = 1
3,14x 180o = 57o14’45”
Untuk diingat, 1 radial 57o
Selanjutnya, busur o akan sama dengan 𝛼
360x 2 rad, atau
𝛼
180x rad.
Jika =30o dalam satuan derajad maka 𝛼 =1
6𝜋 radial. Biasanya istilah ‘satuan radial’
tidak ditulis, jadi, 𝛼 =1
6𝜋
FUNGSI GONIOMETRI
2. Bentuk Elementer
Penyajian Dengan Grafik. Perkembangan nilai fungsi goniometri tersebut di atas lebih jelas, bila kita sajikan dengan f={(x,y)y=nilai fungsi goniometri untuk x} pada bidang kartesius.
Dalam hal ini digunakan ekivalensi derajad pada garis (satuan panjang dalam radial)
FUNGSI GONIOMETRI
X 0 30o 45o 60o 90o 120o 150o 180o
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ½ 0
X 210o 240o 270o 300o 330o 360o
y -½ ൗ−𝟏𝟐 𝟑 −𝟏 ൗ−𝟏
𝟐 𝟑 −½ 0
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Digambarkan pasangan berurutan (x,y) itu pada bidang.
▪ Untuk menyederhanakan persoalan, kita ambil sudut kelipatan 30o dan 45o
▪ Kemudian dibuat garis lengkung serasi, yang menghubungkan titik yang berurutan
▪ Karena garis sumbu x skalanya satuan panjang, akan lebih baik, bila satuan yang dipakai dalam radial.
diganti dengan
X 0 30o 45o 60o 90o 120o dan seterusnya
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya
X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 dan seterusnya
y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya
FUNGSI GONIOMETRI
X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 Τ𝟓 𝟔𝝅 𝝅 𝟏 ൗ𝟏 𝟔𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟒𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟐𝝅𝟏 ൗ𝟐 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟓 𝟔𝝅 𝟐𝝅
y 0 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟓 0 −𝟎, 𝟓− ൗ𝟏 𝟐 𝟑 -1 − ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ−𝟏𝟐 𝟐 0,5 0 0,5 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 1
0,9 0,7 -0,9 -0,9 -0,7
FUNGSI GONIOMETRI
Bila wilayah y=tgx ditambah dengan ½ < x < dan - < x < - ½, maka akan terbentuk lagi seperti grafik pada 0 < x < ½ . Perkembangan tangen di kwadran I serupa dengan perkembangannya di kwadran III. Begitu pula di kwadran II dan IV
FUNGSI GONIOMETRI
Dengan f(x)=tg x, F(x) = cotg x juga diskontinu pada nilai tertentu. Kita tahu, bahwa cotg x = tg (90o-x); maka asimtot f(x) dan F(x) berselisih ½ ; jadi, x=k. Bila wilayah fungsi ditambah n , nilainya akan berulang (nB)
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y=sec x dalam wilayah - x 2
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y = cosec x dalam wilayah - x 2
FUNGSI GONIOMETRI
▪ Bila diperhatikan, grafik sec x dan cosec x tidak mengisi jajahan -1 < y < 1
▪ Jadi, jajahannya adalah 1 y < ~ atau -~ < y -1; cosec x = sec (90o-x)
▪ Jadi berselisih ½ untuk ordinat yang sama
▪ Periode sec x sama dengan periode cos x, dan periode cosec x sama dengan periode sin x
FUNGSI GONIOMETRI
3. Fungsi Goniometri
Dalam hal ini kita menganggap y = a sin x adalah fungsi bersusun daripada : x z = sin x. Kemudian oleh f : z y = az.
Jadi, y = a sin x mempunyai grafik, dimana ordinatnya adalah a kali ordinat z = sin x untuk setiap x. Periode fungsi y = a sin x tetap sama dengan periode z = sin x.
FUNGSI GONIOMETRI
FUNGSI GONIOMETRI
FUNGSI GONIOMETRI
3. y = sin ax; a 0, a konstanta
Contoh
Periode sin x adalah 2
sin (ax + 2 ) = sin ax; ∴ sin a (𝑥 +2𝜋
𝑎) = sin ax
Dengan demikian periode sin ax adalah 2/a
Bila a > 1, periodenya lebih kecil daripada 2
Bila a < 1, periodenya lebih besar daripada 2
Nilai nol f(x) = sin ax didapat bila sin ax = 0
FUNGSI GONIOMETRI
Maka ax = 0 + 2k; jadi x = 2𝑘𝜋
𝑎; atau ax = + 2k.
Dengan demikian, 𝑥 =2𝑘+1 𝜋
𝑎; kB; jadi 𝑥 =
𝑛𝜋
𝑎, n B
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y=a sin x + b cos x + r. Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut kita berasumsi f(x)= a sin x dan g(x) = b cos x + r. ∴ y = f(x) + g(x)Dengan demikian, xR. Kita jumlahkan f(x) + g(x), berturut-turut kemudian kita susun barisan titiknya.
top related