matematika teknik dasar-2 5 perkalian antar...
TRANSCRIPT
Matematika Teknik Dasar-25 – Perkalian Antar VektorSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan
Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan aranya (). Vektor ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY.
Berarti bisa juga dikatakan bahwa 𝑂𝑃 ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX + vektor b dalam arah OY.
Artinya, 𝑂𝑃 = a (di sepanjang OX) dan b (di sepanjang OY)
Jika didefinisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX, maka a = ai
dan Jika didefinisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka b = bj
Jadi vektor 𝑂𝑃 dapat ditulis; r = ai + bj
Dimana i dan j adalah vektor satuan masing-masing dalam arah OX dan OY
Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan
Misalkan z1 = 2i + 4j dan z2 = 5i + 2j
Untuk mendapatkan z1 + z2 digambar kedua vektor dalam suatu rantai.
z1 + z2 = 𝑂𝐵 = (2 + 5)i + (4 +2)j = 7i + 6j
Jika z1 = 3i + 2j dan z2 = 4i + 3j
z1 + z2 = 3i + 2j + 4i + 3j = 7i + 7j
Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan
Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j
Maka:
a. z1 + z2 + z3
b. z1 - z2 - z3
Diselesaikan:
z1 + z2 + z3 = 5i - 2j + 3i + 3j + 4i - 1j
z1 + z2 + z3 = (5 + 3 + 4)i + (-2 + 3 -1)j
z1 + z2 + z3 = 12i
Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan
Jika z1 = 5i - 2j ; z2 = 3i + 3j ; z3 = 4i - 1j
Maka:
a. z1 + z2 + z3
b. z1 - z2 - z3
Diselesaikan:
z1 - z2 - z3 = (5i - 2j) – (3i + 3j) – (4i - 1j)
z1 - z2 - z3 = (5 - 3 - 4)i + (-2 - 3 +1)j
z1 + z2 + z3 = -2i -4j
Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan
Jika 𝑂𝐴 = 3i + 5j dan 𝑂𝐵 = 5i - 2j , carilah 𝐴𝐵
Dari diagram yang dibuat, bisa ditulis hubungan antara vektor-vektor tersebut. Kemudian dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan.
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 (didapat dari diagram)
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 - 𝑂𝐴
= (5i – 2j) – (3i + 5j) = 2i – 7j
Vektor dalam Ruang
Sumbu-sumbu acuan didefinisikan oleh aturan ‘tangan kanan’
OX, OY, dan OZ membentuk set tangan kanan jika rotasi dari OX ke OY seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir-kanan sepanjang arah OZ positif.
Sama halnya rotasi dari OY ke OZ bertindak seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir kanan di sepanjang arah positif OX.
Vektor 𝑂𝑃 didefinisikan oleh komponen-komponennya.
a di sepanjang OX
b di sepanjang OY
c di sepanjang OZ
Vektor dalam Ruang
Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ
Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck
Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2
OP2 = a2 + b2 + c2
Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.
Vektor dalam Ruang
Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ
Maka, 𝑂𝑃 =ai + bj + ck
Juga, OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2
OP2 = a2 + b2 + c2
Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.
Vektor dalam Ruang
Coba diselesaikan soal berikut:
𝑃𝑄 = 4i + 3j + 2k, maka 𝑃𝑄 adalah..
𝑃𝑄 = 42 + 32 + 22
𝑃𝑄 = 16 + 9 + 4
𝑃𝑄 = 29
𝑃𝑄 = 5,385
Kosinus Arah
Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat vektor dengan ketiga sumbu acuannya.
Misalkan 𝑂𝑃 = r = ai + bj + ck
Maka
𝑎
𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛼 a = r cos
𝑏
𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛽 b = r cos
𝑐
𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝛾 c = r cos
Juga a2 + b2 + c2 = r2
Kosinus Arah
a2 + b2 + c2 = r2
r2 cos2 + r2 cos2 + r2 cos2 = r2
cos2 + cos2 + cos2 = 1
Jika l = cos
m = cos
n = cos
Maka l2 + m2 + n2 = 1
* [l, m, n] ditulis dalam tanda kurung siku disebut kosinus arah vektor 𝑂𝑃 dan merupakan nilai-nilai kosinus sudut-sudut yang dibuat vektor yang bersangkutan dengan ketiga sumbu acuannya.
Kosinus Arah
Jadi untuk vektor r = ai + bj + ck
𝑙 =𝑎
𝑟; 𝑚 =
𝑏
𝑟; 𝑛 =
𝑐
𝑟; dan r = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Dicari kosinus arah [l, m, n] dari vektor r = 3i - 2j + 6k
a = 3, b = -2, c = 6, r = 9 + 4 + 36
r = 49 = 7
𝑙 =3
7; 𝑚 = −
2
7; 𝑛 =
6
7
Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor
Jika a dan b merupakan dua vektor, hasil kali skalar a dan b didefinisikan sebagai skalar (bilangan) ab cos dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dan b serta merupakan sudut di antara kedua vektor ini.
Hasil kali skalar ini dinotasikan dengan a.b (disebut ‘hasil kali titik’
a.b = ab cos
= a x proyeksi b pada a
= b x proyeksi a pada b ; pada kasus ini hasilnya merupakan kuantitas skalar
Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor
Contoh :
𝑂𝐴.𝑂𝐵 = OA.OB. Cos
= 5.7 cos 45o
= 35.1
2=
35 2
2
Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor
Hitung hasil kali skalar a dan b = a.b
a.b = ab cos 90o = ab.0 = 0
Jadi kesimpulannya adalah hasil kali dari sebarang dua vektor yang saling tegak-lurus akan selalu nol.
Untuk kasus di samping dapat diselesaikan sebagai berikut:
a.b = ab cos 0o = ab.1 = ab
Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor
Jika kedua vektor dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k
Jika a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
Maka a.b = (a1i + a2j + a3k).(b1i + b2j + b3k)
= a1 b1i .i + a1b2i.j + a1b3i.k + a2b1j .i + a2b2j.j + a2 b3j.k + a3b1k .i + a3b2k.j + a3b3k.k
Dicoba untuk menyederhanakan persamaan:
i.i = (1)(1)(cos 0o) = 1
i.i = 1; j.j = 1; k.k = 1 (a)
i.j = (1)(1)(cos 90o) = 0 i.j = 0; j.k = 0; k.i = 0 (b)
Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor
Menggunakan penyederhanaan di slide sebelumnya:
Maka a.b = a1 b1.1 + a1b2.0 + a1b3.0 + a2b1.0 + a2b2.1 + a2 b3.0 + a3b1.0 + a3b2.0 + a3b3.1
a.b = a1 b1 + a2b2 + a3b3
Berarti untuk operasi perkalian cukup dengan menjumlahkan hasil kali vektor-vektor satuan di sepanjang sumbu-sumbu yang bersangkutan.
Misal a = 2i + 3j + 5k dan b = 4i + 1j + 6k
Maka a.b = (2 x 4) + (3 x 1) + (5 x 6)
= 8 + 3 + 30
= 41
Hasil Kali dari Dua Vektor
Hasil kali vektor a dan b ditulis a x b (seringkali disebut ‘hasil kali silang’) dan didefinisikansebagai vektor yang memiliki magnitudo ab sin dengan adalah sudut di antara kedua vektoryang diketahui.
Vektor hasil kali memiliki arah tegak-lurus baik terhadap a ataupun arah b, sehingga a,b dan a x b membentuk set tangan kanan dalam urutan tersebut.
𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃
Diperhatikan dari gambar di samping bahwa b x a akan membalik rotasidan vektor hasil kalinya sekarang memiliki arah ke bawah.
b x a = -(a x b)
Hasil Kali dari Dua Vektor
Jika = 0o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 0
Jika = 90o, maka 𝒂 𝑥 𝒃 = 𝑎𝑏
Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k:
Maka:
a x b =a1 b1i x i + a1b2i x j + a1b3i x k + a2b1j x i + a2b2j x j + a2 b3j x k + a3b1k x i + a3b2k x j + a3b3k x k
Diperhatikan bahwa 𝒊 𝑥 𝒊 = (1)(1)(sin 0o) = 0 I x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k.
(magnitudo dan arah sama)
Hasil Kali dari Dua Vektor
Bahwa 𝒊 𝑥 𝒋 = (1)(1)(sin 90o) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k.
(magnitudo dan arah sama)
Maka
i x j = k
j x k = i
k x i = j; Diingat juga
i x j = -(j x i)
j x k = -(k x j)
k x i = -(I x k)
Hasil Kali dari Dua Vektor
Bisa dirapikan persamaan terakhir menggunakan pendekatan sebelumnya:
a x b =a1 b10 + a1b2k+ a1b3(-j) + a2b1(-k) + a2b20+ a2 b3i + a3b1j + a3b2(-i) + a3b30
a x b =(a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
Dapat dikenali bahwa pola di atas ini adalah pola suatu determinan yang baris pertamanyaadalah tersusun dari vektor I,j, dan k.
Maka dapat kita peroleh bahwa
Jika a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
Hasil Kali dari Dua Vektor
Jika a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
a x b = 𝒊 𝒋 𝒌𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3
= (a2 b3 - a3b2)i – (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
Cara determinan di atas ini adalah cara paling mudah dalam menuliskan hasil kali vektor daridua vektor.
a. Baris atas terdiri dari vektor satuan dalam urutan I,j,j
b. Baris kedua terdiri dari koefisien dari a
c. Baris ketiga terdiri dari koefisien dari b
Hasil Kali dari Dua Vektor
Contoh:
Jika p = 2i + 4j + 3k
q = i + 5j - 2k
p x q = 𝒊 𝒋 𝒌2 4 31 5 −2
𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒑𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝒒
p x q = 𝒊 𝒋 𝒌2 4 31 5 −2
= 𝒊4 35 −2
− 𝒋2 31 −2
+ 𝒌2 41 5
p x q = i(-8 – 15) – j(-4 – 3) + k(10 – 4)
p x q = -23i+ 7j+ 6k
Sudut Antara Dua Vektor
Misalkan a adalah satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n]
Misalkan b adalah satu vektor dengan kosinus arah [l’, m’, n’]
Maka harus dicari sudut antara kedua vektor ini.
Misalkan 𝑂𝑃 dan 𝑂𝑃′ merupakan vektor satuan yang masing-masing sejajar dengan a dan b. Kemudian P memiliki koordinat(l,m,n) dan P’ memiliki koordinat (l’,m’,n’)
Sudut Antara Dua Vektor
Maka
(PP’)2 = (l-l’)2 + (m-m’)2 + (n-n’)2
= l2 – 2.l.l’ + l’2 + m2 – 2m.m’ + m’2 + n2 – 2n.n’ + n’2
= (l2 + m2 + n2) + (l’2 + m’2 + n’2) – 2(ll’ + mm’ + nn’)
Tetapi (l2 + m2 + n2) = 1 dan (l’2 + m’2 + n’2) = 1 seperti yang dibuktikan sebelumnya.
(PP’)2 = 2 – 2(ll’ + mm’ + nn’) (a)
Dengan aturan kosinus
Sudut Antara Dua Vektor
Dengan aturan kosinus
(PP’)2 = OP2 + OP’2 – 2.OP.OP’.cos
= 1 + 1 – 2.1.1.cos
= 2 – 2 cos (b)
Dari (a) dan (b) didapatkan
(PP’)2 = 2- 2(ll’ + mm’ + nn’)
(PP’)2 = 2 – 2 cos
cos = ll’ + mm’ + nn’
Sudut Antara Dua Vektor
cos = ll’ + mm’ + nn’
Jadi cukup menjumlahkan hasil kali kosinus arah yang bersesuaian dari kedua vektor yang diketahui.
Jika [l,m,n] = [0,54, 0,83, -0,14]
Dan [l’,m’,n’] = [0,25, 0,60, 0,76]
Sudut antara kedua vektor adalah = 58o13’
cos = ll’ + mm’ + nn’
= (0,54)(0,25) = (0,83)(0,60) = (-0,14)(0,76)
= 0,1350 + 0,4980 - 0,1064 = 0,5266 maka = 58o13’
Sudut Antara Dua Vektor
Cari sudut antara vektor-vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = 4i - 3j + 2k
Dicoba untuk mencari kosinnus arah p.
p = 𝑝 = 22 + 42 + 32 = 29
𝑙 =𝑎
𝑝=
2
29𝑚 =
𝑏
𝑝=
3
29𝑛 =
𝑐
𝑝=
4
29
[l’,m’,n’] = 2
29,
3
29,
4
29 dengan cara yang sama dicari kosinus arah q
[l’,m’,n’] = 4
29,−3
29,
2
29
Sudut Antara Dua Vektor
Dengan cos = ll’ + mm’ + nn’ dapat dicari sudut -nya
cos = ll’ + mm’ + nn’
= (2
29)(
4
29) = (
3
29)(−3
29) =
4
29)(
2
29)
= 8
29-9
29+
8
29
= 7
29= 0,2414
= 76o2’
Rasio Arah
Jika 𝑂𝑃 = ai + bj + ck , telah diketahui bahwa
𝑂𝑃 = 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 dan kosinus arah 𝑂𝑃 diberikan sebagai:
𝑙 =𝑎
𝑟, 𝑚 =
𝑏
𝑟, 𝑛 =
𝑐
𝑟
Dapat dilihat bahwa komponen a, b, dan c masing-masing sebanding dengan kosinus arah l, m, n; dan komponen-komponen ini kadang disebut sebagai rasio arah dari vektor 𝑂𝑃