matematika informatika 2 -...
Post on 21-Jun-2019
305 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMATIKA INFORMATIKA 2
FENI ANDRIANI
TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS GUNADARMA
SAP (1)Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik
• Vektor– Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor– Susunan Koordinat Ruang Rn
– Vektor di dalam Rn
– Persamaan garis lurus dan bidang rata
• Ruang Vektor– Field– Ruang Vektor di atas suatu Field– Ruang Vektor Bagian– Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier– Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur.– Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier.– Dimensi dan Basis.
SAP (2)• Matriks
– Definisi dan Notasi Matriks– Operasi pada Matriks– Transpose dari suatu matriks– Beberapa Jenis Matriks khusus– Transformasi Elementer pada Baris & Kolom– Matriks Ekivalen– Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks– Rank Matriks
• Determinan– Pendahuluan (Permutasi)– Sifat-sifat Determinan– Minor dan Kofaktor– Ekspansi secara Baris dan Kolom– Menghitung nilai Determinan dgn sifat-sifat Determinan
SAP (3)
• Matriks Invers– Definisi matriks invers– Matriks Singular, Non-singular– Matriks Adjoint dan Invers– Mencari Matriks Invers dgn Transformasi Elementer dan Partisi– Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar
• Persamaan-persamaan Linier– Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier.– Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya.– Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya
SAP (4)• Transformasi Linier
– Pengertian Transformasi– Pergantian Basis– Transformasi Vektor Linier– Ruang Peta dan Ruang Nol– Produk Transformasi– Transformasi Invers– Transformasi Similaritas– Eigenvalue dan Eigenvector– Diagonalisasi– Transformasi ortogonal– Rotasi– Transformasi Simetris
•
Vektor adalah Besaran yangmemiliki besar dan arah,bila dijumlahkan akanmenghasilkan :
( ) ( ) 0b b
VEKTOR
Komponen vektor• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada
sumbu sistem koordinatKomponen vektor : cos dan sinx ya a a a
Besar vektor
2 2 dan tan xx y
y
aa a a
a
• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, ydan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, d a ni j k
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akanmenghasilkan vektor baru dengan besar nilaiabsolute s dengan arah a jika s positif, danberlawanan arah jika s negatif. Vektordibagi dengan s berarti kita mengkalikandengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a
. c o sa b a b
Dot Product
RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
SUBRUANG
RUANG VEKTOR – KOMBINASI LINIER
RUANG VEKTOR – BEBAS LINIER
RUANG VEKTOR – BASIS & DIMENSI
MATRIKS
Definisi:Matriks adalah sekumpulan bilangan yangdisusun dalam sebuah empat persegi panjang,secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.
mna......m2
am1
a........................... 2na......
22a
21a
1na......
12a
11a
Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n
Operasi Matriks
1. Operasi KesamaanDua matriks A dan B disebut sama, jika:
a) A dan B sejenisb) Setiap unsur yang seletak sama.
1321C,
1321B,
1321A
A = B, A ≠ C, B ≠ C
2. Penjumlahan dua matriks
Definisi:Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalahsebuah matriks C yang sejenis pula denganunsur-unsur , dimana terdapat hubungan:
.ij
c
ijb
ija
ijc
ij
cC,ij
bB,ij
aA
9152C,
5142B,
4210A
13362-
9152
4210CA
9152-
5142
4210BA
Sifat-sifat penjumlahan:
Komutatif : A + B = B + A
Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )maka setiap unsur matriks tersebut terkalikandengan skalar ( ).
, maka A = .
ij
aA
ija
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
1. (A + B) = A + B2. ( + β ) A = A + β A3. (β A) = β A
4. Perkalian dua matriks
Definisi:
Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikanhasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalahmatriks C (m x q) dengan unsur-unsur:
n
1k kjb
ika
ijc
njb
ina.......
j3b
3ia
j2b
2ia
j1b
1ia
ijc
Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika
banyaknya kolom matriks A = banyaknya barismatriks B.
• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriksdengan banyaknya baris = banyaknya baris matriksAdan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.
• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:
20C,432
B,321A
BxA
1 x 3 3 x 1 1 x 1
iterdefinistdkBxAC
954100532
10532
954100532
B,10532A
2 x 2 3 x 3
Macam-macam matriks
1. Matriks bujursangkar
Definisi: matriks bujursangkar adalah matriksdimana banyaknya baris = banyaknya kolom
2. Matrik satuan/ matriks identitas
• Matriks bujur sangkar
• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1
954
100
532
B,105
32A
Contoh :
100
010
001
3I,
10
01
2I
A.I = I.A
I.I = I
3. Matriks segitiga
• Matriks bujursangkar
• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol
Contoh :
87
01B,
900
740
321
A
4.Matriks Tranpose
• Tidak perlu bujursangkar
• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom
Contoh :
172
054B~,
10
75
24
B
321A~,
3
2
1
A
Sifat-sifat matriks transfose
TTT
TT
TT
TTT
AB4.(AB)A)(A3.
A)2.(ABAB)1.(A
λλ
Contoh
TTT
TT
TT
T
AB(AB)
34120132
021AB
021B,120132
A
34(AB)34
AB
021
B,103212
A
5. Matriks simetris
Matriks A disebut simetris apabila
• Matriks Bujur sangkar
Contoh
A~A
870
732
021
32
21,
6. Matriks skew simetris
Matriks A disebut matriks skew simetri jika
• Bujur sangkar
Contoh
A~A
070
702
020
,02
20
Matriks Skew simetris , maka
Untuk I = j maka
Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0
A~A ji
aij
a
iia
iia 0
ii2a
7. Matriks Diagonal
• Matriks bujursangkar
• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama
500
030
001
9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar• Semua unsurnya nol
000
000
A.0 = 0
A + 0 = A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol
Transformasi (operasi) Elementer pada Barisdan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis
H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis
H (A)
ij
ij
i)(
i)(
ij)(
Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
K (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalamsatu langkah : Menambah kali baris ke i dengan
kali baris ke j, ditulis H (A)
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasibaris elementer (OBE)
)(
ij
1
2
i)(
1
j)(
2
Contoh:
2-4-22-4413
12028
02-22-12134028
02-22-40281213
103120141213
tersebut.BCarilah.
elementersitransformasederetan
dihasilkan yangBmatrikcarilah103120141213
A
(1)41K
(2)3K
HH
H
(2)3
K,(1)41
K
,12
H,(2)2
H,(-1)31
H
121
31
22
)(
)(
,
Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B)
• A = K (B) = K (B)
• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)
)(
ij ij
ij
-1
ij
i
-1
i1/-1
i)( -1
i1/
ij)( -1
ij)(
ij)( -1
ij)(
A110222112604
110226042211
111326042211
131124062112
132124062122
A..CarilahK,K,H,H:turut-berturutelementersitransforma
sederetandengan Adaridiperoleh,132124062122
B
12H1)(31H
13K(1/2)2K
(2)
213
(1)
3112
Contoh
Penggunaan OBE
• Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yangbebas linier ( tidak semua unsur dalam suatubaris/kolom nol)
• Mecari invers matriks
( A:I ) ( I:A )-1OBE
Contoh
344212132
Adarimatriksrank1.Cari2)(
31
1)(21
H
H
31022-0132 )1(
2)2(
3H
40022-0132
)2(2
)1(3H
00022-0132
Maka rank matriks A = 2
• Misalkan
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian
minor dan kofaktor.
• Ilustrasi:
• Minor komponen adalah
• Kofaktor komponen adalah
DETERMINAN MATRIKS
det A = | A | := ad-bc
Dengan cara yang sama diperoleh
Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikanskema berikut :
Diperoleh
Definisi determinan matriks 3 x 3:
Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.
• Secara umum untuk matriks n x n:
• Atau dalam bentuk
• Atau dalam bentuk
• Contoh :
• Cara cerdas: pilih kolom kedua
• Pilih lagi kolom kedua
Adjoint matriks
• Misalkan A matriks n x n dengan kofaktoraij adalah Cij maka matriks
• Contoh:
disebut matriks kofaktor dari A, dantransposenya disebut adjoint A, ditulisadj(A).
Kofaktor A :
Invers matriks
• Invers matiks A adalah
• Contoh: diperhatikan kembali matriks Asebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64,jadi
Metoda Cramer untuk SPL
• Misalkan SPL Ax = b maka
dimana Aj adalah matriks yang diperoleh denganmengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b.
• Contoh:
• Diperoleh Penyelesaiannya
Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willeyand Sons, Inc., New York.
Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to ErrorCorrecting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers,Massachusetts, USA.
REFERENSI
top related