makalah tentang peluang
Post on 26-Oct-2015
1.066 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
By : Refqi Kemal Habib1220620039
BAB I
PENDAHULUAN
A. Dasar Teori
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk
mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau
telah terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan
kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
Dalam Materi tentang peluang ini, terdapat beberapa subbab yang dapat dipelajari
yakni:
a. Ruang Sample Dan Peristiwa Atau Kejadian
b. Komplemen (AC Atau A’)
c. Irisan (∩) Dan Gabungan(∪)
d. Peluang Suatu Kejadian
e. Komplemen Suatu Kejadian
f. Frekuensi Harapan
g. Peluang Kejadian Yang Saling Lepas
h. Peluang Kejadian Saling Bebas
i. Peluang Kejadian Bersyarat
j. Baye’s Rule
k. Permutasi
l. Kombinasi
m. Distribusi Peluang
B. Tujuan dan Manfaat
Dalam pembelajaran tetntang materi peluang ini, mahasiswa diharapkan bisa
menerapkan teori-teori dasar yang terdapat dalam materi peluang kedalam kehidupan
sehari-hari dan bisa mengaplikasikannya kedalam kehidupan. Peluang ini bertujuan untuk
mengetahui kemungkinan-kemungkinan yang bisa terwujud dari setiap langkah yang kita
ambil.
1
By : Refqi Kemal Habib1220620039
BAB II
ISI
A. Peluang
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk
mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau
telah terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan
kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
a. Ruang Sample dan Peristiwa atau Kejadian
Misalkan kita melemparkan dua dadu bersama sama. Kemudian dadu pertama
mata dadu yang keluar yakni mata dadu satu dan enam.
Ruang sampel adalah seluruh jumlah kemungkinan yang dapat muncul dalam
pelemparan dadu tersebut. Yaitu sebanyak 36 kemungkinan
Sedangkan yang dinamakan kejadian adalah keluarnya mata dadu saat
pelemparan tersebut. Dalam kasus ini, yang disebut kejadian addalah mata dadu
satu dan enam.
b. Komplemen (AC atau A’)
Misalkan kita memiliki ruang sampel berupa S = {buku, pensil, handphone,
laptop, penggaris, penghapus}. Kemudian kita memiliki himpunan A yang
merupakan himpunan barang-barang elektronik yaitu A = {handphone, laptop}.
Maka yang dinamakan komplemen himpunan A (AC) adalah {buku, pensil, penggaris,
penghapus}.
Dapat disimpulkan bahwa komplemen A (AC) adalah himpunan atau barang
barang yang tidak termasuk dalam himpunan A.
c. Irisan (∩) dan Gabungan(∪)
2
A∪B=1,2,3,4,6,7
A∩B=1,3
A∩B∩C=1
A∪B∪C=1,2,3,4,5,6,7
( A∪B )∩C=1,3,4
( A∪B )∩C'=2,6,7K
By : Refqi Kemal Habib1220620039
S= (A )+(B )−( A∩B )→untuk dualingkaran
S= (A )+(B )+(C )−(A ∩B )−( A∩C )−(B∩C )+( A∩B∩C )+(K )
Berlaku:
- A∩∅=∅
- A∪∅=A
- A∩ A'=∅
- A∪ A'=S
- S'=∅
- ∅ '=S
- ( A' )'=A
- ( A∩B )'=A'∩B '
- ( A∪B )'=A '∪B '
d. Peluang Suatu Kejadian
Jika ruang sampel S mempunyai anggota yang berhingga banyaknya dan setiap
titik sampel mempunyai kesempatan untuk muncul yang sama, dan A suatu
kejadian munculnya percobaan tersebut, maka peluang kejadian A dinyatakan
dengan : P (A )=n ( A )n (S )
Dimana: P(A) = Peluang Kejadian A
n(A) = jumlah kejadian A
n(S) = jumlah semesta atau ruang sampel
e. Komplemen Suatu Kejadian
P(AC) = 1 – P(A)
f. Frekuensi Harapan
Fh(A) = n.P(A)
g. Peluang Kejadian yang Saling Lepas
Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan
himpunan kosong. Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, sebab
A∩B=∅ .
Berdasarkan Teori himpunan, P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B ). Karena
P (A ∩B )=0makaP ( A∪B )=P ( A )+P (B ) .
h. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika dua keeping mata uang homogeny dilemparkan bersama-sama, maka
kejadian yang mungkin adalah S = {(G1,G2), (G1,A2), (G2,A1), (A1,A2)} n(S) = 4
3
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Pada kejadian yang pertama, muncul G1 dan mata uang kedua muncul G2.
Maka P(G1) =½ dan P(G2) = ½ . kejadian G1 dan G2 adalah dua kejadian yang saling
bebas.
Secara umum jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka
peluang kejadian A dan B adalah: P (A ∩B )=P (A ) x P(B)
i. Peluang Kejadian Bersyarat
Misalkan ruang contoh berpeluang sama dari percobaan melempar sebuah
dadu bersisi 6, maka S = {1,2,3,4,5,6}. Dan terdapat dua kejadian, yaitu B adalah
kejadian muncul sisi kurang dari 6, maka B = {1,2,3,4,5} dan A adalah kejadian
munculnya sisi genap, maka A = {2,4,6}. Berdasarkan hal ini, maka P(B) = 5/6, dan
p(A) = 3/6 = 1/2.
Jika dua kejadian A dan B dilakukan berurutan, yaitu B terjadi terlebih dahulu,
kemudian menyusul A, maka A = {2,4}. Peluang kejadian A setelah kejadian B (A
given B), atau dituliskan sebagai p(A | B) = 2/5. Dapat dirumuskan sebagai berikut:
P (A|B )= P (A∩B )P(B)
j. Baye’s Rule
Misalkan kawan Anda bercerita dia bercakap-cakap akrab dengan seseorang
lain di atas kereta api. Tanpa informasi tambahan, peluang dia bercakap-cakap
dengan perempuan adalah 50%. Sekarang misalkan kawan Anda menyebut bahwa
orang lain di atas kereta api itu berambut panjang. Dari keterangan baru ini
tampaknya lebih bolehjadi kawan Anda bercakap-cakap dengan perempuan, karena
orang berambut panjang biasanya wanita. Teorema Bayes dapat digunakan untuk
menghitung besarnya peluang bahwa kawan Anda berbicara dengan seorang
wanita, bila diketahui berapa peluang seorang wanita berambut panjang.
Misalkan:
W adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang wanita.
L adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang berambut panjang
M adalah kejadian percakapan dilakukan dengan seorang pria
Kita dapat berasumsi bahwa wanita adalah setengah dari populasi. Artinya
peluang kawan Anda berbicara dengan wanita, P(W) = 0,5.
4
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Misalkan juga bahwa diketahui 75 persen wanita berambut panjang. Ini berarti
bila kita mengetahui bahwa seseorang adalah wanita, peluangnya berambut
panjang adalah 0,75. Kita melambangkannya sebagai: P(L|W) = 0,75.
Sebagai keterangan tambahan kita juga mengetahui bahwa peluang seorang
pria berambut panjang adalah 0,3. Dengan kata lain: P(L|M) = 0,3.
Di sini kita mengasumsikan bahwa seseorang itu adalah pria atau wanita,
atau P(M) = 1 - P(W) = 0,5. Dengan kata lain M adalah kejadian komplemen dari W.
Tujuan kita adalah menghitung peluang seseorang itu adalah wanita bila
diketahui dia berambut panjang, atau dalam notasi yang kita gunakan, P(W|L).
Menggunakan teorema Bayes, kita mendapatkan:
P (W|L )= P (L|W ) P (W )P (L|W )P (W )+P (L|M )P (M )
Secara Umum dapat dituliskan sebagai:
P (A|B )= P (B|A )P ( A )P(B)
B. PERMUTASI
Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan
memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan. Seperti: {1,2,3} tidak
sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
a. Menghitung Permutasi yang mungkin dengan metode kotak kosong.
Untuk membuat permutasi dari pqrs, kita dapat mengandaikan bahwa ada 4
kotak kosong yang harus diisi dengan empat abjad tersebut.
Bila tiap kotak itu tidak boleh diisi dengan abjad yang sama, maka tiap kotak
yang akan diisi selanjutnya berkurang satu abjad. Seperti ini ilustrasinya:
1. [ ] ,[ ] , [ ] ,[ ]
Kotak pertama [ a ], dapat diisi dengan 4 abjad diatas. Pilihannya p ,q , r , s .
2. [ p ] ,[ ] , [ ] ,[ ]
Karna tidak boleh ada abjad yang sama, maka kotak kedua [ b ] hanya dapat
diisi dengan 3 abjad yang tersisa. Jika kita memilih p, maka pilihan tersisa
adalah q, r, dan s.
3. [ p ] , [q ] , [ ] ,[ ]
5
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Sama seperti langkah nomor 2, jadi kotak ketiga hanya dapat diisi dengan 2
abjad. Jika kita memilih q, maka abjad yang tersisa hanya r dan s.
4. [ p ] , [q ] , [r ] ,[ ]
Sama seperti langkah nomor 3, jadi kotak keempat hanya dapat diisi dengan
1 abjad tersisa yaitu s.
5. [ ] ,[ ] , [ ] ,[ ]→banyak pilihantiapkotak= [4 ] , [3 ] , [2 ] , [1 ]
Setelah memperoleh kemungkinan - kemungkinan tersebut, jumlah
permutasinya adalah 4x3x2x1 = 24 buah. Dapat disimpulkan bahwa di setiap
langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka jika
digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak n !
dimana n adalah jumlah kotak.
Bila tiap kotak itu boleh diisi dengan abjad yang sama, maka tiap kotak akan
memiliki 4 abjad yang dapat diisikan kedalam kotak tersebut. Sehingga permutasinya
adalah 4x4x4x4 = 256 susunan. Dapat dirumuskan menjadi nk. di mana k adalah
banyaknya kotak dan n adalah jumlah objek yang dapat diisikan kedalam kotak..
b. Permutasi-k dari n benda
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak
semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd,
maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12. Yaitu
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.
Dapat dirumuskan menjadi pkn= n!
(n−k ) ! dimana n = banyaknya objek yang dapat
disusun. Dan k adalah banyaknya kotak atau susunan yang diinginkan.
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar seperti gambar
diatas. Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut
6
a
b
c
d
e
f
g
h
By : Refqi Kemal Habib1220620039
bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.
Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus
ditulis sebagai awal untai.
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan
karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen
yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup
mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu
sebanyak (n−1 )!.
d. Permutasi beberapa object yang berbeda
Andaikan kita memiliki huruf p, q, dan r yang akan dihitung permutasinya, maka
huruf tersebut dapat membentuk 6 permutasi yaitu pqr, prq, qpr, qrp, rpq, rqp.
Jika p dan q diubah menjadi x, maka akan permutasinya menjadi xxr, xrx, xxr, xrx,
rxx, rxx dan jumlah permutasinya menjadi 3.
Andaikan juga kita memiliki huruf p, q, r, dan s yang akan dihitung permutasinya.
Maka huruf tersebut dapat membentuk 24 permutasi. Jika p dan q = x dan r dan s =
y, maka akan memiliki 4 permutasi yaitu xxyy, xyxy, yxxy, yyxx, xyyx, dan yxyx
Oleh karena itu, jika ketika memiliki 3 objek dan objek tersebut memiliki dua
objek yang serupa, maka rumus permutasinya yaitu: P2,24 = 4 !
2 ! .2!
Pk1k2…kr
n = n !k1 !k2 !…kr !
C. KOMBINASI
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa
memperhatikan urutan. Missal {1,2,3} adalah samadengan {2,3,1) atau {3,1,2}.
Kombinasi dapat dituliskan dengan notasi C knatau(nk )
1. Kombinasi Tanpa Pengulangan
C kn= n !
k ! (n−k ) !=Pn
k
k !
2. Kombinasi Dengan Pengulangan
(n+k−1 )!k ! (n−1 )!
7
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan k adalah jumlah yang harus
dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu
menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka
kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.
3. Segitiga paskal
0 1 2 3 4 5 k
D. DISTRIBUSI PELUANG
Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya
peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di
sebut dengan distribusi.
Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang
terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak. Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu
fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap
nilai variabel acak.
Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya variabel
diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit, sedangkan jika variabel
acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu.
1. Distribusi Peluang Diskrit
Syarat: - f ( x )≥0 ,nilai peluang lebihdari0
-∑i=0
∞
P ( x )=1 , jumlahtotal padasebuah peluang samadengan1
a. Distribusi Binomial
Sifat percobaan binomial:
- Percobaan dilakukan dalam n kali ulangan yang sama
8
1 1 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
… … … … … … …
012345n
By : Refqi Kemal Habib1220620039
- Kemungkinan yang terjadi pada tiap ulangan hanya ada dua yaitu
“sukses” atau “gagal”.
- Probabilitas “sukses” yang dinotasikan dengan P selalu tetap pada tiap
ulangan.
- Tiap ulangan saling bebas.
Fungsi peluang binomial : P ( x )= n !x ! (n−x )!
px (1−p )n− x
Dimana x = banyaknya sukses yang terjadi dalam n kali ulangan
P = peluang “sukses”
N = Banyaknya ulangan.
Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np
Varian: Var ( x )=σ2=npq=np (1−p )
Simpangan baku: σ=√σ2=√np (1−p )
b. Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial adalah sebuah distribusi dimana percobaan akan
menghasilkan beberapa kejadian.
Misalkan ada k kejadian dalam sebuah percobaan yaitu B1, B2, …, Bk. Jika
percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B
adalah P(B1) = p1, P(B2) = P2, …, P(Bk) = px, dengan jumlahnya masing-masing
sebanyak x1, x2, …, xk, maka fungsi distribusi multinomialnya adalah
p (x1 , x2 ,…, xk )=( n !x1 ! . x2!… .. xk !
) p1x1 . p2x2…. pkx k
c. Distribusi Poisson
Sifat percobaan poisson:
- Peluang suatu kejadian adalah sama untuk dua interval yang sama
- Kejadian pada suatu interval saling bebas dengan kejadian pada interval
yang lain
- Terjadinya kejadian sangat jarang terjadi
Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ
x !
Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu
μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu
9
By : Refqi Kemal Habib1220620039
e = 2,71828
Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0
∞
xp ( x )=μ
Varian: σ 2=μ
d. Distribusi Hypergeometrik
Pada ditribusi hypergeometrik, percobaan tidak bersifat independen dan
peluang sukses berubah dari satu kejadian ke kejadian lain.
Fungsi Peluang hipergeometrik:
p ( x )=(rx)(N−r
n−x )(Nn )
Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian
N = banyaknya elemen populasi
n = banyaknya kejadian
r = banyaknya sukses dalam populasi
2. Distribusi Peluang Kontinyu
Syarat: - f ( x )≥0 ,nilai peluang lebihdari0
-∑i=0
∞
P ( x )=1 , jumlahtotal padasebuah peluang samadengan1
- peluang dihitunguntuk nilai dalamsuatu interval tertentu
- Peluang disuatu titik = 0
- Peluang untuk random variable kontinyu (nilai-nilainya dalam suatu
interval), misalkan antara x1 dan x2 didefinisikan sebagai luas daerah di
bawah kurva (grafik) fungsi peluang antara x1 dan x2.
a. Distribusi Normal
Karakterisik Distribusi Peluang Normal
1. Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.
3. Parameter s, menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin besar
nilainya, semakin lebar).
4. Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai
ratarata=median=modus.
10
By : Refqi Kemal Habib1220620039
5. Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di sebelah
kiri μ = sebelah kanan μ).
6. Peluang suatu variabel acak normal sama dengan luas di bawah kurva
normal.
Persamaan Distribusi Normal adalah f ( x )= 1σ √2π
e−12 ( x−μ
σ )2
Dimana μ= rata-rata
σ = simpangan baku
π = 3,14159
e = 2.71828
Jika digambarkan dalam kurva seperti ini:
Untuk mencari peluang sebuah interval pada distribusi normal, maka
fungsi distribusi itu harus diintegralkan dengan batas-batas peluang
p (x1<x<x2 )=∫x1
x21
σ √2πe
−12 ( x−μ
σ )2
= F(x2) – F (x1)
11
By : Refqi Kemal Habib1220620039
E. CONTOH SOAL
a. Peluang Suatu Kejadian
Sebuah mata uang logam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya
“Angka”?
Jawab:
Ruang sampel S = {A, G} maka n(S) = 2.
Kejadian A = {A}, maka n(A) = 1
Jadi, P(A) = n (A )n (S )
=12
b. Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan dilakukan pengundian dua uang logam Rp 100,00 sekaligus, berapa
peluang tidak diperolehnya “Angka 100” ?
Jawab:
S = {GG, GA, AG, AA} n(S) = 4
M = kejadian munculnya “angka 100” = {GA, AG, AA} n(M) = 3
P (M )=n (M )n (S )
=34
M’ = kejadian munculnya bukan “angka100”
P (M ' )=1−P (M )=1− 34=14
c. Frekuensi Harapan
Berapakah frekuensi harapan muncul mata kurang dari 5 dalam pelantunan dadu
mata enam sebanyak 36 kali ?
Jawab:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
A = {1, 2, 3, 4} n(A) = 4
P (A )=n ( A )n (S )
=46=23
Jadi Fh(A) = P(A) x n
= 23x36=24 kali
d. Peluang Kejadian Saling Lepas
12
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Dua dadu mata enam dilempar bersama-sama. Berapa peluang muncul dua mata
dadu yang jumlahnya 3 atau 10 ?
Jawab:
2 dadu dilempar n(S) = 36
A = jumlah mata dadu 3 = {(1,2),(2,1)} n(A) = 2
B = jumlah mata dadu 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} n(B) = 3
A∩B=∅
P (A∪B )=P (A )+P (B )= 236
+ 336
= 536
e. Peluang Kejadian Saling Bebas
Dari setumpuk kartu bridge, diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua
kali. Tentukan peluang bahwa yang terambil pertama As dan yang terambil berikutnya
King !
Jawab:
n(S) = 52
n ( A s )=4→P ( A s )=n ( A s )n (S )
= 452
n (K )=4→P (K )=n (K )n (S )
= 451
jadi ,P ( A s∩K )=P (A s ) xP (K )= 452
x451
= 162652
= 4663
f. Peluang Kejadian Bersyarat
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara
acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya
keduanya bola merah!
Jawab:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
P (A )= n (A )N (S )
=58
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
P (B|A )=n (B|A )N (S )
=47
P (A ∩B )=P (A )×B (B|A )=58×47= 514
13
By : Refqi Kemal Habib1220620039
g. Permutasi beberapa object yang berbeda
Dalam sebuah sesi latihan sepak bola, pelatih membutuhkan 10 pemain. Dari 10
pemain, pelatih menginginkan 1 pemain pemula, 2 mahasiswa, 4 junior, dan 3 senior
dalam timnya. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan pelatih untuk menyusun
timnya?
Jawab:
P1,2,4,310 = 10 !
1 ! .2 !3 !4 !=12.600
h. Kombinasi Tanpa Pengulangan
Suatu ketika, dedi melakukan pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 23 yang
terdiri dari 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) untuk melakukan
presentasi. Berapakah cara yang dapat dilakukan oleh Dedi?
Jawab:
C kn= n!
k ! (n−k )= 5 !3! (5−3 ) !
=10
0 1 2 3 4 5 k
i. Distribusi Binomial
Misalkan sebuah perusahaan asuransi mempunyai 3 calon pelanggan, dan
pimpinan perusahaan yakin bahwa peluang dapat menjual produknya adalah 0,1.
Berapa probabilita bahwa 1 pelanggan akan membeli produknya?
Pada kasus ini, p = 0,1 n = 3 x = 1
P ( x=1 )= 3 !1! (3−1 ) !
0.11 (1−0.1 )3−1= 3!1 ! (2 !)
0.110.92=0.243
14
1 1 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
… … … … … … …
012345n
Dari soal dapat kita ketahui bahwa
n = 5, dan k = 3.
Jadi dengan menggunakan segita pascal ini kita mendapatkan bahwa terdapat 10 cara yang dapat dilakukan oleh Dedi.
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Nilai Harapan: E(x) = m = np = 3.(0,1) = 0,3
Varian: Var(x) = s2 = np(1 - p) = 3(0,1)(0,9) = 0,27
Simpangan Baku: s = 0,52
j. Distribusi Multinomial
Pada suatu pemeriksaan hasil pembuatan pipa pada sebuah pabrik
memperlihatkan bahwa 85% produknya baik, 10% produknya tidak baik tapi bisa
diperbaiki dan 5% produknya rusak. Jika diambil sampel berukuran 20, berapa peluang
akan terdapat 18 yang baik dan 2 yang tidak baik tapi bisa diperbaiki.
x1 = 18 = banyaknya produk baik
x2 = 2 = banyaknya produk tidak baik tapi bisa diperbaiki
x3 = 0 = banyaknya produk rusak
p1 = 0,85
p2 = 0,1
p3 = 0,05
P (18,2,0 )= 20!(18 !2!1 ! )
0,85180,120.050=0.102
Jadi peluang terambil 18 produk baik dan 2 produk tidak baik tapi bisa diperbaiki
adalah 0,102
k. Distribusi Poisson
Di RS Mercy, rata-rata pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 3 pasien
per jam. Berapa peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu?
λ = 3 pasien perjam, x = 4
P (4 )=34 e−3
4 !=0.168
Jadi peluang ada 4 pasien mendatangi UGD pada akhir minggu adalah 0,1680
l. Distribusi Hypergeometrik
Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, 3 wanita dan 2 laki-laki. Jika dari
komite itu dipilih 2 orang untuk mewakili dalam sebuah pertemuan, maka peluang
yang terpilih 1 wanita dan 1 laki-laki adalah :
N = 5 n = 2
r = jumlah wanita = 3
N – r = jumlah laki-laki = 5 – 3 = 2
15
By : Refqi Kemal Habib1220620039
x = jumlah wanita yang terpilih = 1
n – x = jumlah laki-laki yang terpilih = 2 – 1 = 1
P (1 )=(31)(5−32−1)
(52)=
( 3 !1!2 ! )( 2!1 !1 ! )( 5!2 !3 ! )
=0,6
Jadi peluang terpilih 1 wanita dan 1 laki-laki adalah 0,6
16
By : Refqi Kemal Habib1220620039
BAB III
KESIMPULAN
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk
mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah
terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai angka yang menunjukkan kemungkinan
terjadinya suatu kejadian. Ruang sampel adalah seluruh jumlah kemungkinan yang dapat muncul
dalam suatu experiment. Kejadian merupakan bagian dari ruang sampel. Komplemen adalah suatu
himpunan yang merupakan lawan dari himpunan yang dimaksud.
Rumus – rumus dalam materi peluang adalah
1. Peluang kejadian A dinyatakan dengan : P (A )=n ( A )n (S )
.
2. Komplemen dari kejadian A yaitu P(AC) = 1 – P(A).
3. Frekuensi harapan dari kejadian A adalah Fh(A) = n.P(A).
4. Peluang Kejadian yang Saling Lepas adalah P (A∪B )=P (A )+P (B ) .
5. Peluang Kejadian Saling Bebas adalah P (A ∩B )=P (A ) x P (B ).
6. Peluang kejadian bersyarat adalah P (A|B )= P (A∩B )P (B )
.
7. Bayes’ rule: P (W|L )= P (L|W ) P (W )P (L|W )P (W )+P (L|M )P (M )
atau P (A|B )= P (B|A )P ( A )P(B)
8. Permutasi: pkn= n!
(n−k ) !
9. Permutasi Siklis: (n−1 )!.
10. Permutasi beberapa object yang berbeda: Pk1k2…kr
n = n !k1 !k2 !…kr !
11. Kombinasi Tanpa Pengulangan: C kn= n!
k ! (n−k )=Pn
k
k !
12. Kombinasi Dengan Pengulangan: (n+k−1 )!k ! (n−1 )!
13. Distribusi Binomial:
Fungsi peluang binomial : P ( x )= n !x ! (n−x )!
px (1−p )n− x
Nilai Harapan / rata-rata : E ( x )=μ=np
Varian: Var ( x )=σ2=np (1−p )
17
By : Refqi Kemal Habib1220620039
Simpangan baku: σ=√σ2=√np (1−p )
14. Fungsi distribusi Multinomial:
p (x1, x2,…, xk )=( n!x1 ! . x2!… .. xk ! ) p1x1 . p2x2…. pk
xk
15. Distribusi Poisson
Fungsi peluang poisson: p ( x )=μx e−μ
x !
Dimana x = banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu
μ = rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu
e = 2,71828
Nilai harapan / rata-rata: E ( x )=∑x=0
∞
xp ( x )=μ
Varian: σ 2=μ
16. Fungsi Peluang hipergeometrik:
p ( x )=(rx)(N−r
n−x )(Nn )
Dimana: x = banyaknya sukses dalam n kali kejadian
N = banyaknya elemen populasi
n = banyaknya kejadian
r = banyaknya sukses dalam populasi
17. Persamaan Distribusi Normal adalah f ( x )= 1σ √2π
e−12 ( x−μ
σ )2
Dimana: μ= rata-rata
σ = simpangan baku
π = 3,14159
e = 2.71828
18
By : Refqi Kemal Habib1220620039
DAFTAR PUSTAKA
Walpole, Ronald E. 2012. Probability & statistics for engineers & scientists 9th edition. Boston:
Pearson Education, Inc
http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika)
http://www.slideshare.net/cvrhmat/distribusi-peluang
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:iVE3btGURjcJ:elib.unikom.ac.id/download.php
%3Fid
%3D56232+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESiW3TZAjWbkpOdzeq9Rq13bBL4SFgdlYdbWdx
W815G3XEhLqGCbXvQvS47jA4MtcakGiIzeSfLdgKcwlDQKaLbmwnqIFixioVVgw2k5y76wYAgZ2Iz
BirgcdF4yjGZUCwHBS6D_&sig=AHIEtbSqgs1ZsP2vri4BqKcGROWdKaWUAg
http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi_dan_permutasi
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:52gFOarx2gEJ:antoniuscp.files.wordpress.com/
2013/02/3-
permutasi_kombinasi.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESisBY4UyOrnXK7XD6yHgus590
WXazrCinvIu0Qq7i1IJID_qwcxHKBxxsqR5WcV_oCAITxtLU3tmO5gE9A6WWMLmajKHbwxXIWZ
wwbq81dkSHzwDTfx2i1U8BcRoYy79IN_RSdO&sig=AHIEtbS6v0YjF4rWhObZS2ESZvuYmEBePA
http://id.wikipedia.org/wiki/Permutasi
http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:nuUVXnydaEcJ:kk.mercubuana.ac.id/files/11017-7-
729682129515.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjeXkiC9BYXYwHaVndtXaFhu1KUgV-
DN6VviqGCXQRbWBataI907nvPkTtWpa7S2pJoqqRxKdYwAt1xRtMSRdtYhLDYPfqhwhU-
ml45rURAGwaI4D0xOuTAs1xJROjlGeQzjRxq&sig=AHIEtbStCnw2jOwKI6wcYS7r6Stna_pVWA
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:JLYOczauIhwJ:kk.mercubuana.ac.id/files/94020-9-
904226365996.doc+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjASakhfsaesfTil7S-
tP3Yo2FxJiiIih54jQIymZAu5BsW-
GMGawgfyMvc3sNwiYCWaElBqBMOTMKj4YE0i_UQZ_903jNfa7T-
m5TgJazQndcYPH2kkGeDfAq0tvfhYZdtgHOI&sig=AHIEtbQl63-v6t1Me6c29WQyqPdbAzmCUQ
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:2w6Uk5qOJbQJ:elib.unikom.ac.id/download.php
%3Fid%3D56231+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESgQNGfCTIF0vU6K4iHe-
nVJrcLPEMUypYUKwrl1ngGSxh-
19
By : Refqi Kemal Habib1220620039
En8mkZqhVLubaTm7li2ClAuPWjMfczAOjnCGvSdelnLuusP90WpLpOcKE0WdSNnl7qCX1sp3SJ8J
4Yu71SkLkF-RQ&sig=AHIEtbSYwL9C4d1OiC_JCx1J3veh1cYz7w
https://docs.google.com/viewer?
a=v&q=cache:yRdpopoHMToJ:mangnandar.files.wordpress.com/2011/05/kd_14-2_peluang-
suatu-
kejadian.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESiyudOicEcXaBv9mqxQoliMBqCCodQQM2j_z
WxCobqgbuf31FUroOA_LejjjC8Fa6U1a34rDJHxt7yDpo68yQzclBAT1Yf8jcnYlndQAxqMULwNfEf
vb-I0Y9HGTxZcTA5yn2Ky&sig=AHIEtbTzmFj_T_LZdi-tdQkRY2Y1-_ZF2Q
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:wulwYRUneQQJ:web.ipb.ac.id/~julio/webaku/isi/
stk202/notes/
bab3.pdf+&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEESjOR62rB8tCwCFyuxWakp3LSt6w7hVEuOdNDO
BVjaluGpHV4UCeLhTTro2iao65NKNKzgwQssQnIxYTZ3BJfNjzNWrKX8iET7qTch7bk7u2UlXKMcc
ZTfOAYXpRaz8A64MIiJLT&sig=AHIEtbQ-jw_xBKQaGAuhioibIsLPYn8XWw
20
top related