ma1201 m5-2 21-02-14
Post on 13-Jan-2017
236 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
21 Februari 2014
Kuliah SebelumnyaKuliah Sebelumnya
9.4 Deret Positif: Uji Lainnya
Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasiodengan uji perbandingan dan uji rasio
9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyaratdan Kekonvergenan Bersyarat
Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratd t ti t dderet ganti tanda
2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
9.6 Deret Pangkat
Menentukan selang kekonvergenan deretpangkatpangkat
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
M l k k i d d t k t (Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkand t k t l i (d j l h )deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)
2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan
9.6 DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A
9.6 DERET PANGKATMenentukan selang kekonvergenan deretpangkat
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
pangkat
Deret FungsiDeret Fungsi
Sejauh ini kita baru membahas deret bilanganSejauh ini kita baru membahas deret bilanganreal. Sekarang kita akan mempelajari deretfungsi yang secara umum berbentuk )(xufungsi, yang secara umum berbentuk .
Sebagai contoh,3sin2sinsinsin xxxnx
)(xun
...33sin
22sin
1sinsin
1
xxxnnx
n
Perhatikan jika kita substitusikan nilai x tertentu, misal x = π/2, maka kita peroleh deret bilangan./ , p g
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Deret PangkatDeret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentukDeret pangkat adalah deret yang berbentuk
2210 ...n
n xaxaaxa
dengan an R untuk tiap n N. Pertanyaan yang
0
210n
n
perlu kita ajukan terkait dengan deret pangkatadalah:
1. Untuk nilai xmanakah deret tsb konvergen?
2 Apakah kita dapat menentukan fungsi yang2. Apakah kita dapat menentukan fungsi yang merupakan jumlah deret tsb?
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Contoh 1Contoh 1
Jika a ≠ 0 maka deret pangkatJika a ≠ 0, maka deret pangkat
2 ...n axaxaax
Merupakan deret geometri dengan suku
0n
pertama a dan rasio x. Kita tahu deret inikonvergen ke
a
untuk |x|< 1x
axS
1
)( BAGAIMANA DENGAN DERET PANGKAT LAINNYA?untuk |x|< 1.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
PANGKAT LAINNYA?
Contoh 2Contoh 2Tentukan untuk xmana sajakah deret berikutkonvergen?
32
...32
n xxxnx
Dengan Uji Rasio Mutlak, kita hitung
1 32n n
.1
lim1
lim1
xnnx
nx
nx
n
nn
n
Jadi deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergenuntuk |x| > 1 Untuk |x| = 1 Uji Rasio tidakuntuk |x| > 1. Untuk |x| 1, Uji Rasio tidakmemberikan kesimpulan apapun. So?2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Kita selidiki apa yang terjadi dengan untuk nxn
|x| = 1, yakni untuk , secara tersendiri.n
1x
Jika x = 1, maka deret menjadi deret harmonik
yang divergen 1yang divergen. n
Jika x = ‐1, maka deret menjadi deret harmonik
ganti tanda yang konvergen. n)1(g y g g
Jadi deret pangkat konvergen pada [ 1 1)
n
xn
Jadi deret pangkat konvergen pada [‐1,1).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
n
LatihanLatihan
Tentukan pada selang manakah deret berikutTentukan pada selang manakah deret berikutkonvergen.
n
1.
142n
n
n
nx
2.
1 !n
n
nx
3.
1! nxn
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
1n
Teorema Selang KekonvergenankDeret Pangkat
Himpunan kekonvergenan deret pangkat nxaHimpunan kekonvergenan deret pangkat
selalu berupa salah satu dari tiga kemungkinanberikut:
nxa
berikut:
(i) Himpunan {0}.
(ii) Selang (–R,R), mungkin dengan salah satuatau kedua titik ujungnya.
(iii)Seluruh garis bilangan real R.
Bila (i) (ii) atau (iii) terjadi deret dikatakan mem‐Bila (i), (ii) atau (iii) terjadi, deret dikatakan mempunyai jari‐jari kekonvergenan 0, R, atau∞.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
ContohContoh
selang jari‐jari
kekonvergenan kekonvergenan n
1. [–2,2] 2
142n
n
n
nx
2. R ∞
1 !n
n
nx
3. {0} 0
1n
! nxn
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
1n
TeoremaTeorema
Deret pangkat konvergen mutlak di nxaDeret pangkat konvergen mutlak disetiap titik di dalam selang kekonvergenannya.
nxa
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Deret Pangkat dalam x – aDeret Pangkat dalam x a
Deret pangkat berbentukDeret pangkat berbentuk
di b d k d l ...)()()( 2
210 axaaxaaaxa nn
disebut deret pangkat dalam x – a.
Selang dan jari‐jari kekonvergenan deretSelang dan jari jari kekonvergenan deretpangkat dalam x – a dapat ditentukan melaluideret pangkat dalam t dengan t = x – aderet pangkat dalam t, dengan t = x a.
Sebagai contoh, konvergen
44 22)1(
n
n
n
n
nt
nx
g , gutk ‐2 ≤ t ≤ 2, yakni utk ‐1 ≤ x ≤ 3. 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
11 22 nn nn
SoalSoal
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkatTentukan selang kekonvergenan deret pangkat
2 1)1()1(
nn x
12 1
)(n n
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
9.7 OPERASI PADA DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A
Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkan
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)
Jumlah Deret PangkatJumlah Deret Pangkat
Deret pangkat yang merupakan deret
naxDeret pangkat yang merupakan deret
geometri dengan suku pertama a dan rasio x mempunyai jumlah
0n
mempunyai jumlah
.11,)( xaxS
Bagaimana dengan deret pangkat lainnya?
.11,1
)(
xx
xS
g g p g y
Apakah kita dapat menentukan jumlahnya?
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Penurunan dan Pengintegralank d kSuku demi Suku
Teorema. Misalkan S(x) adalah jumlah suatu( ) jderet pangkat pada selang I, yakni
2
M k t k di d l l I b l k
0
2210 ...)(
n
nn xaxaaxaxS
Maka, untuk x di dalam selang I, berlaku
(i)
21 32)(' n xaxaaxnaxS(i)
(ii)
0
321 ...32)(n
n xaxaaxnaxS
32211)( nnx aaadttS(ii)
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
0
32210
1
0
...321
)(n
nn xxxaxn
dttS
Contoh 1Contoh 1Kita sudah tahu bahwa
0
2 .11...,11
1n
n xxxxx
Penurunan suku demi suku menghasilkan
1 112101 n
Pengintegralan s k demi s k menghasilkan
0
12 .11...,210
)1( n
n xxnxx
Pengintegralan suku demi suku menghasilkan
.11...,)1ln(321
xxxxxxn
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
.11...,321
)1ln(0
xxn
xn
Contoh 2 (Substitusi Peubah)Contoh 2 (Substitusi Peubah)Kita sudah tahu bahwa
0
2 .11...,11
1n
n xxxxx
Ganti x dengan –x, kita peroleh
2 111)(1 n xxxx
Ganti lagi dengan 2 kita peroleh
0
.11...,1)(1 n
xxxxx
Ganti lagi x dengan x2, kita peroleh
4222 .11...,1)(1 n xxxx
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
0
2 .11...,1)(1 n
xxxxx
Contoh 3Contoh 3Tentukan deret pangkat untuk tan‐1 x.
Petunjuk: .1
1tan 21
x
dtt
x10 t
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Contoh 3Contoh 3Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:
...!3!2
1)(32
xxxxS
Catatan. Deret ini konvergen pada R.
J b P t h d h ilk
!3!2
Jawab: Penurunan terhadap xmenghasilkan
)(10)('32
xSxxxxS
Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) =
).(...!3!2
10)( xSxxS
p ( )Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
SoalSoal
Tentukan deret pangkat untukTentukan deret pangkat untuk
2x1. xeex
2.x
e1
x
3. x
xex
1tan
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23
xtan
top related