logaritma

LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Bentuk umum bilangan berpangkat adalah pn = a.

Maksudnya, pn = pxpx.....xp sebanyak n kali, hasilnya = a. p disebut bilangan pokok, n

disebut pangkat dan a disebut hasil perpangkatan. Jika bilangan pokok dan pangkatnya sudah

diketahui, maka hasil perpangkatannya dengan segera dapat ditentukan.

Contoh: 24 = ...

53 = ...

Dalam kasus tersebut, bilangan pokok dan pangkatnya sudah diketahui sehingga kita

dapat menentukan hasil perpangkatannya sebagai berikut:

24 = 16     → 2x2x2x2 sebanyak 4 kali hasilnya = 16

53 = 125   → 5x5x5 sebanyak 3 kali hasilnya = 125

Sekarang, bagaimana kita dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil

perpangkatannya diketahui?

Contoh: 2... = 16

5... = 125

Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi logaritma

(disingkat log), seperti berikut:

2... = 16 ditulis 2log 16 = ..., dan diperoleh 2log 16 = 4 karena 24 = 16

5... = 125 ditulis 5log 125 = ..., dan diperoleh 5log 125 = 3 karena 53 = 125.

Dari contoh tersebut memperlihatkan hubungan antara perpangkatan dan logaritma. Jadi,

logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok

sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Secara umum ditulis sebagai berikut:

alog c = b jika dan hanya jika ab = c

a disebut bilangan pokok, syaratnya a>0 dan a ≠ 1

c disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya syaratnya c>0

b disebut hasil logaritma, bisa positif, nol, ataupun negatif

B. Sifat-Sifat Logaritma

Dengan menggunakan pengertian atau definisi logaritma, dapat diturunkan rumus-

rumus logaritma sebagai berikut.

1. alog 1 = 0

Misalnya:

a. 2log 1 = 0

b. 3log 1 = 0

2. alog a = 1

Misalnya:

a. 2log 2 = 1

b. 5log 5 = 1

3. alog 1a

= -1

Misalnya:

a. 2log 12

= -1

b. 5log 15

= -1

4. alog ab = b

Misalnya:

a. 2log 4 = 2log 22 = 2

b. 3log 9 = 3log 32 = 2

5. alog b + alog c = alog bc

Misalnya:

a. 6log 2 + 6log 3 = 6log (2 ∙ 3) = 6log 6 = 1

b. 8log 2 + 8log 3,2 + 8log 10 = 8log (2∙3,2∙ 10) = 8log 64 = 8log 82 = 2

6. alog b – alog c = alog bc

Misalnya:

a. 3log 6 – 3log 2 = 3log 62

= 3log 3 = 1

b. 6log 8 – 6log 4 + 6log 3 = 6log 8 ∙34

= 6log 6 = 1

7. aalogb = b

Misalnya:

a. 22log 3 = 3

b. 44 log7 = 7

8. alog b = c log b

c log a

Misalnya:

a. 4log 8 = 2log 8

2log 4 =

2log23

2log22

= 32

b. 9log 27 = 3log 27

3log 9 =

3log 33

3log 32

= 32

9. alog b = 1

blog a

Misalnya:

a. 8log 2 = 1

2log 8 =

12log23

= 13

b.1

2log6 +

13log 6

= 6 log2+6 log3 = 6 log2 ∙3 = 6 log6 = 1

10. ac

log bd = a log bdc =

dc

∙ a log b , c ≠ 0

Misalnya:

a. 4log 8 = 22

log 23 = 2 log 232 =

32

b. 8log 16 = 23

log 24 = 2 log 243 =

43

C. Fungsi Logaritma

Secara umum fungsi logaritma dapat ditulis dengan y = alog x, dengan a > 0, a ≠1, dan

x > 0. Grafik dari fungsi logaritma y = alog x mempunyai sifat:

a. Berada di sebelah kanan sumbu X (terdefinisi untuk x > 0)

b. Memotong sumbu X di (1,0)

c. Mempunyai asimtot tegak x = 0 (sumbu Y)

d. Monoton naik untuk a > 0

e. Monoton turun untuk 0 < a < 1.

D. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuk umum persamaan logaritma:

a. Jika alog f(x) = b dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = ab.

Contoh:

Tentukan x yang memenuhi persamaan 2log (x + 2) = 3

Jawab: 2log (x + 2) = 3 x + 2 = 23

x + 2 = 8

x = 8 – 2 = 6

b. Jika alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).

Contoh:

Tentukan x yang memenuhi persamaan 2log x2 = 2log (x + 6)

Jawab:2log x2 = 2log (x + 6) x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

x1 = 3; x2 = –2

E. Pertidaksamaan Logaritma

a. Untuk a > 1:

Jika alog f(x) < p, maka f(x) < ap dengan syarat f(x) > 0

Jika alog f(x) > p, maka f(x) > ap dengan syarat f(x) > 0

Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

b. Untuk 0 < a < 1

Jika alog f(x) < p, maka f(x) > ap dengan syarat f(x) > 0

Jika alog f(x) > p, maka f(x) < ap dengan syarat f(x) > 0

Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari log (3x – 5) < 1.

Jawab:

log (3x – 5) < 1 3x – 5 < 101

3x – 5 < 10

3x < 15

x < 5

Syarat: 3x – 5 > 0 3x > 5 x > 53

Himpunan penyelesaian dari log (3x – 5) < 1 adalah 53

< x < 5