kuliah 4 sistem linier: representasi deret fourier sinyal periodik

Sistem LinierSistem Linier

Kuliah ke-4Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Dwi PranantoProdi. Teknik ElektroUniversitas Panca Marga Probolinggo

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

I. Tanggapan sistem LTI terhadap eksponensial kompleks

✔ Tanggapan sistem LTI terhadap masukan sinyal eksponensial kompleks adalah sinyal eksponensial kompleks yang sama, dengan perubahan amplitudo

Fungsi Eigen

Nilai Eigen Waktu­kontinu

Waktu­diskrit

Sistem LTIWaktu-kontinu

Sistem LTIWaktu-diskrit

Waktu­kontinu

Waktu­diskrit

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Bukti:

Sistem LTIWaktu-kontinu

Sistem LTIWaktu-diskrit

Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada s 

Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada z 

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Bentuk kombinasi linier

Sistem LTIWaktu-kontinu

Sistem LTIWaktu-diskrit

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

II.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktu­kontinu

✔ Kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang dihubungkan secara harmonik

dimana adalah koefisien­koefisien deret Fourier

dan

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

● Penentuan koefisien­koefisien deret Fourier

1.Kalikan kedua sisi representasi deret Fourier dengan 

2.Integrasikan kedua sisi dengan interval 0 s/d T 

3.Keluarkan jumlahan dan koefisien deret Fourier dari integral 

4.Ubah integral eksponensial di sisi kanan dengan hubungan Euler 

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

5.Selesaikan integral nomor 4➔ Untuk 

➔ Untuk 

Pandang integral sebagai luasan di bawah kurva

Sehingga

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

5.Nomor 3 dapat dituliskan kembali sebagai

Sehingga

atau

koefisien­koefisien deret Fourier sepanjang periode T

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Representasi deret Fourier sinyal periodik waktu­diskrit

Persamaan sintesis

Persamaan analitis

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Contoh:

Tentukan koefisien­koefisien deret Fourier­nya!

Gelombang bujur sangkar periodik

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

● Untuk Solusi

dengan

● Untuk 

dengan

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

III.Sifat­sifat deret Fourier waktu­kontinu

1.linieritas

Pasangan sinyal periodik dan koefisien deret Fourier

Dua sinyal periodik

Jika       adalah kombinasi linier dari kedua sinyal,

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

III.Sifat­sifat deret Fourier waktu­kontinu

2.Pergeseran waktu

Jika                             , 

Ambil 

sehingga✔ Nilai koefisien deret Fourier 

tidak bergantung pada pergeseran waktu

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

III.Sifat­sifat deret Fourier waktu­kontinu

3.Waktu­balikan

Jika                      , persamaan sintesis

Ambil 

Sehingga, jika

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

III.Sifat­sifat deret Fourier waktu­kontinu

4.Penskalaan waktu

Jika        periodik dengan periode     dan frekuensi                  ,          Periodik dengan periode          dan frekuensi        .

✔ Koefisien deret Fourier tidak berubah, representasi deret Fourier berubah karena perubahan frekuensi dasar

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

III.Sifat­sifat deret Fourier waktu­kontinu

4.Perkalian

Jika

Hasil kali

5.Konjugasi

konsekuensinya

jika

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

IV.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktu­diskrit

k yang bervariasi pada daerah N bilangan bulat 

Deret Fourier waktu­diskrit

Persamaan sintesis

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

V.Penentuan koefisien­koefisien deret FourierUntuk menentukan koefisien­koefisien deret Fourier, kalikan kedua sisi deret Fourier dengan              dan jumlahkan terhadap suku­suku N

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

V.Penentuan koefisien­koefisien deret FourierSehingga jika dituliskan

Koefisien­koefisien deret Fourier dapat dicari dengan 

✔ Harga      berulang secara periodik dengan periode

Contoh:

Persamaan analitis

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Contoh soal:Gelombang bujur sangkar periodik waktu­diskrit

Tentukan koefisien­koefisien deret Fourier sinyal tersebut!

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

solusi

Gunakan rumus jumlahan terbatas untuk menyelesaikan

Ambil                     , sehingga

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Dan 

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k

Perhatikan keterulangan yang terlihat.

ReferensiReferensi

[1] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. H. Nawab, Sinyal dan Sistem 

jilid 1, (Penerbit Erlangga, Jakarta, 2000)

[2] Plot grafik dibuat dengan bantuan program iPython dan 

Inkscape

Referensi pemrograman Python:

(1) Python Scientific Lecture Notes, http://scipy­lectures.github.io/index.html

(2) The Python Tutorial, https://docs.python.org/2/tutorial/index.html

(3) Matplotlib, http://matplotlib.org/index.html