kriteria(kinerja)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

KRITERIA

PERFORMANSI (KINERJA)

Masa lalu, kriteria untuk penilaian terhadap suatu sistem, adalah stabilitas dan ketelitian

statis (static accuracy).

Kepesatan perkembangan sistem pengontrolan, dimana segala sesuatu yang dihasilkan suatu

sistem makin kompleks, maka perlu keberadaan kriteria yang lebih tepat.

Kinerja suatu sistem pengontrolan bergantung kepada stabilitas, sensisitivitas, ketelitian

statis, transient response, dan residual noise jitter.

Penetapan kriteria yang digunakan bergantung kepada tujuan atau fungsi sistem

pengontrolan tersebut.

Masalah-masalah yang akan dibahas selanjutnya:

(a) Stabilitas, (b) Sensistivitas,

(c) Ketelitian Statis,

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

(d) Transient Response,

(e) Integral of Time Multiplied by Absolute Error (ITAE), dan

(f) Kriteria Kesalahn RMS (RMS-error). +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1 STABILITAS Suatu sistem pengontrolan feedback harus stabil, walaupun sinyal masukan bermacam-

macam bentuk, misal terdapat sinyal masukan yang tidak diinginkan masuk ke dalam loop

(derau = noise), naik-turunnya catu daya (power supply), dan perubahan-perubahan yang terjadi pada beberapa parameter daam sistem.

###Timbul pertanyaan, apa sebenarnya yang dimaksud dengan stabil? Hal ini merupakan

konsep matematis yang tidak akan dibicarakan/dibahas di isini. Cukup hanya diketahui

saja, kapan suatu sistem tersebut tidak stabil. Sistem disebut tidak stabil kalau dengan

sinyal masukan yang terbatas menghasilkan keluaran yang tidak berhingga.

Suatu sistem umpan balik (feedback) sederhana dengan closed loop transfer function

(CLTF):

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑮(𝒔)

𝟏 + 𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔)

Untuk kondisi 𝐺(𝑠) terbatas, 𝐶(𝑠) akan menjadi tidak berhingga, apabila 1 + 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠).

Hal itu akan terjadi, apabila |𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔)| = 𝟏 dan ∠𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔) = ±𝟏𝟖𝟎𝟎.

Margin (jarak) terhadap |𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔)| = 𝟏, disebut “𝑮𝑨𝑰𝑵 𝑴𝑨𝑹𝑮𝑰𝑵”, sedangkan

margin terhadap ∠𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔) = −𝟏𝟖𝟎𝟎, disebut “𝑷𝑯𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑨𝑹𝑮𝑰𝑵”.

Untuk suatu sistem yang stabil, biasanya dipilih:

) 𝑷𝑯𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑨𝑹𝑮𝑰𝑵 = 𝟔𝟎𝟎 , artinya pada waktu

|𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔)| = 𝟏, 𝑷𝑯𝑨𝑺𝑬 = −𝟏𝟐𝟎𝟎 .

) 𝑮𝑨𝑰𝑵 𝑴𝑨𝑹𝑮𝑰𝑵 = 𝟒 >>>(= 12 dB), artinya pada waktu

∠𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔) = −𝟏𝟖𝟎𝟎, 𝑮𝑨𝑰𝑵 =𝟏

𝟒.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

2 SENSITIVITAS

Sensitivitas adalah ketergantungan suatu karakteristik terhadap elemen tertentu dalam sistem

tersebut.

Misal:

𝑻𝒄 = 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒎𝒊𝒕𝒕𝒂𝒏𝒄𝒆 =𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)

𝑲 = 𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎

Maka: 𝑻𝒄 terhadap 𝑲 didefinisikan:

𝑺𝑲𝑻𝒄 =

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄

⁄

𝒅𝑲𝑲⁄

𝒅𝒊𝒌𝒂𝒕𝒂𝒌𝒂𝒏 →→→ 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝑻𝒄 𝒅𝒊𝒃𝒂𝒈𝒊 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝑲

Contoh:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

K1 +-

G

K2

CR

𝑻𝒄 =𝑪

𝑹= 𝑲𝟏

𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮=

𝑲𝟏𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

Untuk diketahui:

𝑻𝒄

𝑲𝟏=

𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮→ 𝒂𝒕𝒂𝒖 →

𝑲𝟏

𝑻𝒄=

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

𝑮

(a) Sensitivitas terhadap 𝑲𝟏

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑺𝑲𝟏

𝑻𝒄 =

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄

⁄

𝒅𝑲𝟏𝑲𝟏

⁄=

𝑲𝟏

𝑻𝒄∙

𝒅𝑻𝒄

𝒅𝑲𝟏

sedangkan:

𝒅

𝒅𝑲𝟏𝑻𝒄 =

𝒅

𝒅𝑲𝟏[

𝑲𝟏𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮] =

𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

dan

→→𝑲𝟏

𝑻𝒄=

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

𝑮

𝑺𝑲𝟏

𝑻𝒄 =𝑲𝟏

𝑻𝒄∙

𝒅𝑻𝒄

𝒅𝑲𝟏=

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

𝑮∙

𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮= 𝟏

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑺𝑲𝟏

𝑻𝒄 = 𝟏

Untuk kondisi dimana 𝑲𝟏 berubah x%, maka 𝑻𝒄 juga berubah x%.

(b) Sensitivitas terhadap 𝑲𝟐

𝑺𝑲𝟐

𝑻𝒄 =

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄

⁄

𝒅𝑲𝟐𝑲𝟐

⁄=

𝑲𝟐

𝑻𝒄∙

𝒅𝑻𝒄

𝒅𝑲𝟐

sedangkan:

𝒅

𝒅𝑲𝟐𝑻𝒄 =

𝒅

𝒅𝑲𝟐[

𝑲𝟏𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮] =

𝑲𝟏𝑮𝟐

(𝟏 + 𝑲𝟐𝑮)𝟐= −

𝑻𝒄𝟐

𝑲𝟏

Sehingga:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑆𝐾2

𝑇𝑐 =

𝑑𝑇𝑐𝑇𝑐

⁄

𝑑𝐾2𝐾1

⁄=

𝐾2

𝑇𝑐∙ (−

𝑇𝑐2

𝐾1) = −

𝐾2𝑇𝑐

𝐾1= −

𝐾2

𝐾1∙

𝐾1𝐺

1 + 𝐾2𝐺

𝑺𝑲𝟐

𝑻𝒄 = −𝑲𝟐𝑮

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

Kalau (diinginkan) 𝑲𝟐𝑮 ≫ 𝟏, maka:

𝑆𝐾2

𝑇𝑐 = −𝐾2𝐺

𝐾2𝐺= −1

𝑺𝑲𝟐

𝑻𝒄 = −𝟏

(c) Sensitivitas terhadap 𝑮:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑺𝑮𝑻𝒄 =

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄

⁄

𝒅𝑮𝑮⁄

=𝑮

𝑻𝒄∙

𝒅𝑻𝒄

𝒅𝑮

sedangkan:

𝑑

𝑑𝐺𝑇𝑐 =

𝑑

𝑑𝐺[

𝐾1𝐺

1 + 𝐾2𝐺] =

𝐾1(1 + 𝐾2𝐺) − 𝐾1𝐾2𝐺

(1 + 𝐾2𝐺)2

𝑑

𝑑𝐺𝑇𝑐 =

𝐾1 + 𝐾1𝐾2𝐺 − 𝐾1𝐾2𝐺

(1 + 𝐾2𝐺)2 =𝐾1

(1 + 𝐾2𝐺)2

Sehingga:

𝑺𝑮𝑻𝒄 ==

𝑮

𝑻𝒄∙

𝑲𝟏

(𝟏 + 𝑲𝟐𝑮)𝟐=

𝑮(𝟏 + 𝑲𝟐𝑮)

𝑲𝟏𝑮∙

𝑲𝟏

(𝟏 + 𝑲𝟐𝑮)𝟐

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑺𝑮𝑻𝒄 =

𝟏

𝟏 + 𝑲𝟐𝑮

3 KETELITIAN STATIS

(STEADY STATE ERROR) Secara teroritis, suatu sistem harus mampu mengikuti perubahan-perubahan posisi,

kecepatan, percepatan, dan perubahan-perubahan derivative yang orde-nya lebih tinggi tanpa harus ada kesalahan (error). Namun keinginan seperti tersebut tidaklah praktis/realitis.

Untuk penentuan penampilan “steady state” suatu sistem harus digunakan “finite value theorem” Transformasi Laplace.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Suatu sistem yang stabil, nilai transien cenderung menjadi kecil dan sistem mendekati

keadaan “steady state” pada waktu (𝑡) mendekati tidak berhingga.

𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝒇(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

[𝒔 ∙ 𝑭(𝒔)]

Steady State Error (sse), terdapat 3 golongan:

(i) Zero Error Keluaran mengikuti masukan tanpa terdapat kesalahan

(ii) Finite and Constant Error Keluaran mengikuti masukan dengan kesalahan yang tertentu dan sifatnya konstan.

(iii) Infinite Error Keluaran menyimpang dari masukan dengan kesalahan yang semakin besar. Hal itu

berarti, bahwa sistem tersebut tidak dapat mengikuti masukan sama sekali.

Diinginkan dicari kesalahan steady state error suatu sistem feedback sederhana:

𝑬(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝟏

𝟏 + 𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Kesalahan Steady State:

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝒆(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠 ∙ 𝑅(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)

Umumnya, ingin diketahui kemampuan sistem mengikuti posisi, kecepatan, dan percepatan.

Untuk itu diberikan masukan seperti tabel berikut:

𝒓(𝒕) 𝑭𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝑹(𝒕)

1 Unit Step 1

𝑠

𝑡 Unit Ramp 1

𝑠2

𝑡2 Unit Parabolik 2

𝑠3

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Untuk penentuan kesalahan steady state, 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) ditulis dalam bentuk:

𝑮(𝒔) ∙ 𝑯(𝒔) =𝑲(𝟏 + 𝑻𝟏𝒔)(𝟏 + 𝑻𝟐𝒔) ⋯ (𝟏 + 𝑻𝑴𝒔)

𝑺𝒏[(𝑻𝟑𝒔)𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝟏](𝟏 + 𝑻𝟏𝒔) ⋯ (𝟏 + 𝑻𝑵𝒔)

dengan: 𝐾= overall gain factor dan 𝑛 = tipe sistem tersebut.

(a) Masukan unit step: 𝑹(𝒔) =𝟏

𝒔

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠 ∙1𝑠

1 + 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏 + 𝑲𝐩

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑲𝐩 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = konstanta posisi (position constant)

Untuk sistem:

#tipe-0: 𝑲𝐩 = 𝑲; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+𝑲

#tipe-1: 𝑲𝐩 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-2: 𝑲𝐩 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-3: 𝑲𝐩 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-n: 𝑲𝐩 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

(b) Masukan unit ramp: 𝑹(𝒔) =𝟏

𝒔𝟐

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠 ∙1𝑠2

1 + 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)=

𝑠 ∙1𝑠2

𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏 + 𝑲𝐯

𝑲𝐯 = 𝐥𝐢𝐦

𝒔→𝟎 𝑠 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = konstanta kecepatan (velocity constant)

Untuk sistem:

#tipe-0: 𝑲𝐯 = 𝟎; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟎= ∞

#tipe-1: 𝑲𝐯 = 𝑲; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝐊

#tipe-2: 𝑲𝐯 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-3: 𝑲𝐯 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-n: 𝑲𝐯 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

(c) Masukan unit parabolik: 𝑹(𝒔) =𝟐

𝒔𝟑

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠 ∙2𝑠3

1 + 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)=

2

𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠2 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)=

2

𝐾𝑎

𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏 + 𝑲𝐚

𝑲𝐚 = 𝐥𝐢𝐦𝒔→𝟎

𝑠2 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = konstanta percepatan (acceleration constant)

Untuk sistem:

#tipe-0: 𝑲𝐚 = 𝟎; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟐

𝟎= ∞

#tipe-1: 𝑲𝐚 = 𝟎; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟐

𝟎= ∞

#tipe-2: 𝑲𝐚 = 𝑲; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟐

𝐊

#tipe-3: 𝑲𝐚 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

#tipe-n: 𝑲𝐚 = ∞; 𝒆(𝒕)𝒔𝒔 =𝟏

𝟏+∞= 𝟎

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

4 RESPON/TANGGAPAN

TRANSIEN/PERALIHAN

(TRANSIENT RESPONSE)

TRANSIENT RESPONSE biasanya ditentukan untuk masukan tangga satuan (unit step input).

Parameter-parameter karakteristik transien diukur untuk masukan unit step yang diberikan kepada sistem orde-2.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Untuk sistem dengan orde lebih tinggi dari 2 dilakukan pendekatan (approximation). Dipilih

kutub-kutub konjuget (conjugate poles) yang paling dominan (yang paling dekat dengan

sumbu khayal, sumbu tegak). Hal ini dibicarakan lebih lanjut pada bagian mengenai ROOT LOCUS (tempat-tempat kedudukan akar, TKA).

(1) Tanggapan sistem feedback (umpan balik) orde-2 Telah diturunkan TF dari servomotor ac fase dua, diperoleh:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝑚

𝑠(𝑇𝑚𝑠 + 1)

Misal, sistem akan dijadikan otomatis dengan memakai feedback, diagram blok-nya

menjadi:

+-

Km

s(Tm.s+1)

C(t)R(t) E(t)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

TF akan berubah menjadi:

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

𝟏 +𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

=

𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

+𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏) + 𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏)

=𝑲𝒎

𝒔(𝑻𝒎𝒔 + 𝟏) + 𝑲𝒎

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑲𝒎

𝑻𝒎𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝑲𝒎

Pembilang dan penyebut dibagi dengan 𝑇𝑚

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑲𝒎𝑻𝒎

𝒔𝟐 +𝒔

𝑻𝒎+

𝑲𝒎

𝑻𝒎

Normalisasi ke bentuk persamaan dasar:

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝝎𝒏𝟐

𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐

Diketahui:

𝝎𝒏𝟐 =

𝑲𝒎

𝑻𝒎 dan 𝟐𝝃𝝎𝒏 =

𝟏

𝑻𝒎 → 𝝃 =

𝟏

𝟐𝝎𝒏𝑻𝒎

𝝎𝒏 = omega-n = frekuensi resonansi (resonant frequency)

𝝃 = dibaca “xi” = faktor redaman (damping factor).

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Persamaan tersebut diberikan masukan unit step ke sistem, maka 𝑅(𝑠) akan 𝟏

𝒔, diperoleh:

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

=𝜔𝑛

2

𝑠{[(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 − (𝜉2𝜔𝑛2 − 𝜔𝑛

2)]}

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠{[(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 − (𝜉2 − 1)𝜔𝑛2]}

=𝜔𝑛

2

𝑠 {[(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2] − [(√𝜉2 − 1)2

𝜔𝑛2]}

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔 (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏) (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)

(a) Keadaan-1: Damping Factor (𝝃) = 1

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔(𝒔 + 𝝎𝒏)𝟐

Ekspansi Heaviside:

𝜔𝑛2

𝑠(𝑠 + 𝜔𝑛)2=

𝐴

𝑠+

𝐵

(𝑠 + 𝜔𝑛)+

𝐶

(𝑠 + 𝜔𝑛)2

𝐴 =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 𝜔𝑛)2∙ 𝑠|

𝑠 = 0=

𝜔𝑛2

𝜔𝑛2

= 1

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 𝜔𝑛)2∙ (𝑠 + 𝜔𝑛)2|

𝑠 = −𝜔𝑛=

𝜔𝑛2

−𝜔𝑛= −𝜔𝑛

𝐵 =𝑑

𝑑𝑠(

𝜔𝑛2

𝑠)|

𝑠 = −𝜔𝑛=

0 − 𝜔𝑛2

(−𝜔𝑛)2=

−𝜔𝑛2

𝜔𝑛2

= −1

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Persamaan awal:

𝑪(𝒔) =𝑨

𝒔+

𝑩

(𝒔 + 𝝎𝒏)+

𝑪

(𝒔 + 𝝎𝒏)𝟐

Nilai A, B, dan C disubstitusikan, diperoleh:

𝐶(𝑠) =1

𝑠−

1

(𝑠 + 𝜔𝑛)−

𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜔𝑛)2

Maka:

𝐶(𝑡) = ℒ−1[𝐶(𝑠)] = ℒ−1 [1

𝑠] − ℒ−1 [

1

(𝑠 + 𝜔𝑛)] − ℒ−1 [

𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜔𝑛)2]

Diperoleh hasil:

𝑪(𝒕) = 𝟏 − 𝒆−𝝎𝒏𝒕 − 𝝎𝒏𝒕𝒆−𝝎𝒏𝒕 >>>critically damped

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Ctritically Damped

)()( tcdantr

tn

)(tr

)(tc

(b) Keadaan-2: Damping Factor (𝝃) > 1

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔 (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏) (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)

Dijabarkan dengan partial fraction:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔) =𝑨

𝒔+

𝑩

𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏+

𝑪

𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏

𝑨 =𝝎𝒏

𝟐

(𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏) (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)|

𝒔 = 𝟎

𝑨 =𝝎𝒏

𝟐

(𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏) (𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)

𝑨 =𝝎𝒏

𝟐

𝝃𝟐𝝎𝒏𝟐 − 𝝎𝒏

𝟐(𝝃𝟐 − 𝟏)=

𝝎𝒏𝟐

𝝃𝟐𝝎𝒏𝟐 − 𝝃𝟐𝝎𝒏

𝟐 + 𝝎𝒏𝟐

= 𝟏

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑩 =𝝎𝒏

𝟐

𝒔 (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)|

𝒔 = −𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏

𝑩 =𝝎𝒏

𝟐

−𝝎𝒏 (𝝃 + √𝝃𝟐 − 𝟏) [−𝝎𝒏 (𝝃 + √𝝃𝟐 − 𝟏) + 𝝃𝝎𝒏 − 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏]

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉 + √𝜉2 − 1)

2− 𝜔𝑛

2𝜉(𝜉 + √𝜉2 − 1) + 𝜔𝑛2(𝜉√𝜉2 − 1)(√𝜉2 − 1)

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉2 + 2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1) − 𝜔𝑛

2𝜉2 − 𝜔𝑛2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜔𝑛𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜔𝑛(𝜉2 − 1)

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉2 + 2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1 − 𝜉2 − 𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐵 =𝜔𝑛

2

2𝜉2 + 2𝜉√𝜉2 − 1 − 2=

𝜔𝑛2

2(𝜉2 + 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)

𝑩 = [𝟐 (𝝃𝟐 + 𝝃√𝝃𝟐 − 𝟏 − 𝟏)]−𝟏

𝑪 =𝝎𝒏

𝟐

𝒔 (𝒔 + 𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏)|

𝒔 = −𝝃𝝎𝒏 + 𝝎𝒏√𝝃𝟐 − 𝟏

𝐶 =𝜔𝑛

2

−𝜔𝑛(𝜉 − √𝜉2 − 1) [−𝜔𝑛(𝜉 − √𝜉2 − 1) + 𝜉𝜔𝑛 + 𝜔𝑛√𝜉2 − 1]

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉 − √𝜉2 − 1)

2

− 𝜔𝑛2𝜉(𝜉 − √𝜉2 − 1) − 𝜔𝑛

2(𝜉 − √𝜉2 − 1)(√𝜉2 − 1)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉2 − 2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1) − 𝜔𝑛

2𝜉2 + 𝜔𝑛2𝜉√𝜉2 − 1 − 𝜔𝑛

2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜔𝑛2(𝜉2 − 1)

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2(𝜉2 − 2𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1 − 𝜉2 + 𝜉√𝜉2 − 1 − 𝜉√𝜉2 − 1 + 𝜉2 − 1)

𝐶 =1

2𝜉2 − 2𝜉√𝜉2 − 1 − 2=

1

2(𝜉2 − 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)

𝑪 = [𝟐 (𝝃𝟐 − 𝝃√𝝃𝟐 − 𝟏 − 𝟏)]−𝟏

Substitusi 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 ke persamaan awal, diperoleh:

𝐶(𝑠) =1

𝑠+

[2(𝜉2 + 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)]−1

𝑠 + (𝜉𝜔𝑛 + 𝜔𝑛√𝜉2 − 1)+

[2(𝜉2 − 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)]−1

𝑠 + (𝜉𝜔𝑛 − 𝜔𝑛√𝜉2 − 1)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Maka:

𝑪(𝒕) = 𝓛−𝟏[𝑪(𝒔)]

𝐶(𝑡) = 1 +𝑒−(𝜉+√𝜉2−1)𝜔𝑛𝑡

2(𝜉2 + 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)+

𝑒−(𝜉−√𝜉2−1)𝜔𝑛𝑡

2(𝜉2 − 𝜉√𝜉2 − 1 − 1)

>>>over damped

Over Damped

)()( tcdantr

tn

)(tr

)(tc

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

(c) Keadaan-3: Damping Factor (𝜉) < 1

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔(𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐)

Ekspansi Heaviside:

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔(𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐)

=𝑨

𝒔+

𝑩𝒔 + 𝑪

𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐

𝐶(𝑠) =𝐴(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2) + 𝑠(𝐵𝑠 + 𝐶)

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

=𝐴𝑠2 + 2𝐴𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝐴𝜔𝑛

2 + 𝐵𝑠2 + 𝐶𝑠

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

Persamaannya:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

=(𝐴 + 𝐵)𝑠2 + (2𝐴𝜉𝜔𝑛 + 𝐶)𝑠 + 𝐴𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

𝐴 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −𝐴

2𝐴𝜉𝜔𝑛 + 𝐶 = 0

𝜔𝑛2 = 𝐴𝜔𝑛

2 → 𝐴 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2

→ 𝑨 = 𝟏

𝐵 = −𝐴 → 𝑩 = −𝟏

2𝐴𝜉𝜔𝑛 + 𝐶 = 0 → 2(1)𝜉𝜔𝑛 + 𝐶 = 0 → 𝑪 = −𝟐(𝟏)𝝃𝝎𝒏

𝐶(𝑠) =𝐴

𝑠+

𝐵𝑠 + 𝐶

𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

=1

𝑠−

𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛

𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶(𝑠) =1

𝑠− (

𝒔 + 𝟐𝝃𝝎𝒏

𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐

)

∗∗∗)

***) 𝒔 + 𝟐𝝃𝝎𝒏

𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐 =

𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + 𝜔𝑛2 − 𝜉2𝜔𝑛

2 =𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + 𝜔𝑛2(1 − 𝜉2)

=𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2 =

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝜉𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

=(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2 +

𝜉𝜔𝑛

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

=(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2 +

𝜉

√1 − 𝜉2∙

𝜔𝑛√1 − 𝜉2

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

Sehingga:

𝐶(𝑠) =1

𝑠+

𝐵𝑠 + 𝐶

𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

𝐶(𝑠) =1

𝑠−

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2 −

𝜉

√1 − 𝜉2∙

𝜔𝑛√1 − 𝜉2

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

𝐶(𝑡) = ℒ−1[𝐶(𝑠)]

𝐶(𝑡) = ℒ−1 [1

𝑠] − ℒ−1 [

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 )

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

] − ℒ−1 [𝜉

√1 − 𝜉2∙

𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 + (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

]

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒕) = 𝟏 − 𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐) 𝒕 −𝝃

√𝟏 − 𝝃𝟐∙ 𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕 𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐) 𝒕

1

)(tC

tnrnt

Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)

Cara lain:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

j

j

21 nj

21 nj

n

n

22

11

sin

n

n

n

ncos

Persamaan awal:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔) =𝝎𝒏

𝟐

𝒔(𝒔𝟐 + 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐)

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠[(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 +] + 𝜔𝑛2 + 𝜉2𝜔𝑛

2

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠 [(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛)2 − (√−1𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

] ; √−1 = 𝑗

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠 {[(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛) + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2] [(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛) − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2]}

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛

2

𝑠 (𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2) (𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)

𝐶(𝑠) =𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2+

𝐶

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

Konstanta A

𝐴 =𝜔𝑛

2

(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)|

𝑠 = 0

𝐴 =𝜔𝑛

2

𝜉2𝜔𝑛2 + 𝜔𝑛

2(1 − 𝜉2)=

𝜔𝑛2

𝜉2𝜔𝑛2 + 𝜔𝑛

2 − 𝜉2𝜔𝑛2

=𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2

𝑨 = 1

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Konstanta B…………………………….

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)|

𝒔 = −𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝑠2 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 ∙ 𝑠

𝐵 =𝜔𝑛

2

(−𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

+ [(𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)(−𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)]

………………..

𝐵 =𝜔𝑛

2

−2𝜔𝑛2( 1 − 𝜉2) + 𝑗2𝜉𝜔𝑛

2√1 − 𝜉2

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐵 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 [−2( 1 − 𝜉2) + 𝑗2𝜉√1 − 𝜉2]

𝐵 =1

−2( 1 − 𝜉2) + 𝑗2𝜉√1 − 𝜉2

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

cos 𝛼 = −𝜉

sin 𝛼 = √1 − 𝜉2 → 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 − 𝜉2

𝐵 =1

−2( 𝑠𝑖𝑛2𝛼) + 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼

𝐵 =1

−2𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼∙

(−𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼 + 2𝑠𝑖𝑛2𝛼)

(−𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼 + 2𝑠𝑖𝑛2𝛼)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐵 =2𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼

(−𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼)2 − (2𝑠𝑖𝑛2𝛼)2=

2 sin 𝛼 (sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼)

−4 cos2 𝛼 sin2 𝛼 − 4𝑠𝑖𝑛2𝛼

𝐵 =2 sin 𝛼 (sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼)

−4 sin2 𝛼 (1 − sin2 𝛼) − 4𝑠𝑖𝑛2𝛼=

2 sin 𝛼 (sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼)

−4 sin2 𝛼 + 4 sin4 𝛼 − 4𝑠𝑖𝑛4𝛼

𝐵 =sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼

−2 sin 𝛼=

sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼

−2 sin 𝛼∙ (

𝑗

𝑗) =

𝑗sin 𝛼 + cos 𝛼

−2𝑗 sin 𝛼=

−(cos 𝛼 + 𝑗sin 𝛼)

2𝑗 sin 𝛼

Ingat persamaan Euler! cos 𝛼 + 𝑗sin 𝛼 = 𝑒𝑗𝛼

𝑩 =−𝑒𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

Konstanta C

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝑠(𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)|

𝒔 = −𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝑠2 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 ∙ 𝑠

𝐶 =𝜔𝑛

2

(−𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)2

+ [(𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)(−𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2)]

………………..

𝐶 =𝜔𝑛

2

−2𝜔𝑛2( 1 − 𝜉2) − 𝑗2𝜉𝜔𝑛

2√1 − 𝜉2

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶 =𝜔𝑛

2

𝜔𝑛2 [−2( 1 − 𝜉2) − 𝑗2𝜉√1 − 𝜉2]

𝐶 =1

−2( 1 − 𝜉2) − 𝑗2𝜉√1 − 𝜉2

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

cos 𝛼 = −𝜉

sin 𝛼 = √1 − 𝜉2 → 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 − 𝜉2

𝐶 =1

−2𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼

𝐶 =1

−2𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼∙

(𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼 + 2𝑠𝑖𝑛2𝛼)

(𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼 + 2𝑠𝑖𝑛2𝛼)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶 =2𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼

(𝑗2 cos 𝛼 sin 𝛼)2 − (2𝑠𝑖𝑛2𝛼)2=

2 sin 𝛼 (sin 𝛼 + 𝑗 cos 𝛼)

−4 cos2 𝛼 sin2 𝛼 − 4𝑠𝑖𝑛4𝛼

𝐶 =2 sin 𝛼 (sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼)

−4 sin2 𝛼 (1 − sin2 𝛼) − 4𝑠𝑖𝑛4𝛼=

2 sin 𝛼 (sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼)

−4 sin2 𝛼 + 4 sin4 𝛼 − 4𝑠𝑖𝑛4𝛼

𝐶 =−sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼

2 sin 𝛼=

−sin 𝛼 − 𝑗 cos 𝛼

2 sin 𝛼∙ (

𝑗

𝑗) =

−𝑗sin 𝛼 + cos 𝛼

2𝑗 sin 𝛼=

cos 𝛼 − 𝑗sin 𝛼

2𝑗 sin 𝛼

Ingat persamaan Euler! cos 𝛼 − 𝑗sin 𝛼 = 𝑒−𝑗𝛼

𝑪 =𝑒−𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

Substitusi 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 ke persamaan awal:

𝐶(𝑠) =𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2+

𝐶

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

diperoleh:

𝐶(𝑠) =1

𝑠−

𝑒𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2+

𝑒−𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2

INGAT…..!

sin(𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin 𝛽

sin 𝛼 = 𝑒𝑗𝛼 − 𝑒−𝑗𝛼

2

cos 𝛼 = 𝑒𝑗𝛼 + 𝑒−𝑗𝛼

2

𝐶(𝑡) = ℒ−1[𝐶(𝑠)]

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶(𝑡) = ℒ−1 [1

𝑠] − ℒ−1 [

𝑒𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2] − ℒ−1 [

𝑒−𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼

𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉2]

𝐶(𝑡) = 1 +𝑒−𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼𝑒−(𝜉𝜔𝑛−𝑗𝜔𝑛 √1− 𝜉2)𝑡 −

𝑒𝑗𝛼

2𝑗 sin 𝛼𝑒−(𝜉𝜔𝑛+𝑗𝜔𝑛 √1− 𝜉2)𝑡

𝐶(𝑡) = 1 +𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡

sin 𝛼(

𝑒𝑗(𝜔𝑛 √1− 𝜉2 𝑡−𝛼)

2𝑗−

𝑒−𝑗(𝜔𝑛 √1− 𝜉2 𝑡−𝛼)

2𝑗)

𝑪(𝒕) = 𝟏 +𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕

𝐬𝐢𝐧 𝜶∙

𝒆𝒋(𝝎𝒏 √𝟏− 𝝃𝟐 𝒕−𝜶)

− 𝒆−𝒋(𝝎𝒏 √𝟏− 𝝃𝟐 𝒕−𝜶)

𝟐𝒋

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐶(𝑡) = 1 +𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡

√1 − 𝜉2∙ sin (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡 − 𝛼)

Penyelesaian terhadap

sin (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡 − 𝛼) = sin (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡) cos 𝛼 − cos (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡) sin 𝛼

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

cos 𝛼 = −𝜉

sin 𝛼 = √1 − 𝜉2 → 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 − 𝜉2

sin (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡 − 𝛼) = −𝜉 sin (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡) − √1 − 𝜉2 cos (𝜔𝑛 √1 − 𝜉2 𝑡)

𝑪(𝒕) = 𝟏 +−𝝃

√𝟏 − 𝝃𝟐∙ 𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕 ∙ 𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐 𝒕) − 𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐 𝒕)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

>>>under damped

1

)(tC

tnrnt

Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)

Dalam keadaan-3, terdapat beberapa hal yang perlu dicermati: (i) Frekuensi getaran (damped frequency of oscillation)

𝝎𝒎 = 𝝎𝒅 = 𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐 (ii) Periode Getaran

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝒕𝒎 = 𝒕𝒅 =𝟐𝝅

𝝎𝒎=

𝟐𝝅

𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃𝟐

(iii) Peak Overshoot terjadi pada:

𝒕𝒓 =𝒕𝒎

𝟐=

𝝅

𝝎𝒏√𝟏 − 𝝃𝟐

(iv) 𝑪(𝒕) maksimum terjadi pada peak overshoot

𝑪(𝒕)𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎 = 𝟏 + 𝒆

−𝝃𝝅

√𝟏− 𝝃𝟐⁄

peak overshoot (biasanya) dinyatakan dalam persentase

(2) Tanggapan transien sistem feedback (umpan balik) orde-2 Dimisalkan suatu sistem orde-2 dengan CLTF (closed loop transfer function)

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝝎𝒏𝟐

𝒔𝟐+𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐 , dengan: 𝝃 < 1

Tanggapan terhadap masukan unit step, adalah:

𝑪(𝒕) = 𝟏 +𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕

√𝟏 − 𝝃𝟐𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒏𝒕√𝟏 − 𝝃𝟐 − 𝜶)

Sebagaimana yang telah dicari.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

1

21e

)(tC

tnsntrnt

21sin arc

05,01

(*) Rise Time: 𝑡𝑟 =𝜋

𝜔𝑛√1−𝜉2 waktu untuk mencapai peak overshoot.

(**) Settling Time: 𝑡𝑠 = 4𝜉𝜔𝑛 waktu untuk mencapai kondisi dimana kesalahan

mutlak lebih kecil atau sama dengan 5%. (***) Parameter yang biasanya dipakai untuk penentuan karakteristik transien, yaitu:

Percentage Peak Overshoot

Rise Time

Settling Time

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

#Jika hanya dilihat 𝑡𝑟 dan overshoot saja, maka 𝜉 = 0,4 merupakan nilai

terbaik, tetapi 𝑡𝑠 akan menjadi besar.

#Jika 𝑡𝑠 dijadikan criteria, maka dipilih 𝜉 = 0,7.

#Pada umumnya, dipilih nilai 𝜉 pada kisaran 0,4-0,7

5 KRITERIA ITAE

(Integral of Time Multiplied by Absolute Error)

Dalam criteria transien, 𝑡𝑟, 𝑡𝑠, dan peak overshoot ditinjau secara terpisah, padahal sebenarnya saling berkaitan.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Semakin kecil 𝑡𝑟, semakin besar peak overshoot dan semakin besar pula 𝑡𝑠.

Kriteria ITAE melihat semua parameter secara keseluruhan. Berdasarkan cara ini, kesalahan pada saat-saat permulaan tidak selalu dianggap buruk, karena hal ini sering tidak dapat

dihindarkan dalam suatu sistem pengontrolan

Melalui kriteria ITAE, 𝐼 dibuat minimum, sehingga:

𝑰 = ∫ 𝒕∞

𝟎

|𝒆|𝒅𝒕

Kriteria ITAE digunakan untuk sistem orde-2, maka akan diperoleh nilai optimum untuk

𝝃 = 𝟎, 𝟕.

Misal:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

1

𝐹(𝑠)

Maka:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝐹(𝑠) dengan nilai optimum untuk sistem orde-1 sampai orde-5, yaitu:

Orde-1:

𝒔 + 𝝎𝒏 Orde-2:

𝒔𝟐 + 𝟏, 𝟒𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐

Orde-3:

𝒔𝟑 + 𝟏, 𝟕𝟓𝝎𝒏𝒔𝟐 + 𝟐, 𝟏𝟓𝝎𝒏𝟐𝒔 + 𝝎𝒏

𝟑 Orde-4:

𝒔𝟒 + 𝟐, 𝟏𝝎𝒏𝒔𝟑 + 𝟑, 𝟒𝝎𝒏𝟐𝒔𝟐 + 𝟐, 𝟕𝝎𝒏

𝟑𝒔 + 𝝎𝒏𝟒

Orde-5:

𝒔𝟓 + 𝟐, 𝟑𝝎𝒏𝒔𝟒 + 𝟓, 𝟎𝝎𝒏𝟐𝒔𝟑 + 𝟓, 𝟓𝝎𝒏

𝟑𝒔𝟐 + 𝟑, 𝟒𝝎𝒏𝟒𝒔 + 𝝎𝒏

𝟓 Untuk contoh diambil:

𝒔𝟐 + 𝟏, 𝟒𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐

dengan: 𝝃 = 𝟎, 𝟕.

TF tersebut akan menghasilkan 𝑰 yang minimum.

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Contoh (penggunaannya)

+-

K1K2

s2

C(t)E(s)R(s)+

-+

-+

-+

-

b2

b1s

b1

K3

s

K4

s

Untuk sistem tersebut, diketahui:

𝑲𝟏 = 𝟐𝑲𝒂; 𝑲𝟐 = 𝟖𝟎; 𝑲𝟑 = 𝟒𝟎; 𝑲𝟒 = 𝟏; 𝒃𝟏 = 𝟓

Tentukan 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, dan 𝑲𝒂; agar kriteria ITAE terpenuhi!

Jawaban: Digunakan teknik grafik aliran isyarat atau penyederhanaan diagram blok, diperoleh TF:

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

𝑪(𝒔)

𝑹(𝒔)=

𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑𝑲𝟒

𝒔𝟒 + 𝑲𝟑𝒔𝟑 + (𝑲𝟏𝑲𝟐𝒃𝟐 + 𝑲𝟐𝒃𝟏 + 𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑𝑲𝟒𝒃𝟑)𝒔𝟐 + 𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑𝒃𝟐𝒔 + 𝟏

Untuk penggunaan standar tabel ITAE, TF tersebut harus dinormalisasi melalui cara:

Pembilang dan penyebut dibagi dengan: 𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑𝑲𝟒

Kemudian masukkan:

𝒔′ =𝒔

(𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑𝑲𝟒)𝟏/𝟒

Akhirnya, penyebut baru “disamakan” dengan:

𝒔′𝟒 + 𝟐, 𝟏𝝎𝒏𝒔′𝟑 + 𝟑, 𝟒𝝎𝒏𝟐𝒔′𝟐 + 𝟐, 𝟕𝝎𝒏

𝟑𝒔′ + 𝝎𝒏𝟒

Hasil dapat ditunjukkan, bahwa:

𝑠33/4

(𝐾1𝐾2𝐾3𝐾4)1/4= 𝟐, 𝟏𝝎𝒏

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

(𝑲𝟏𝑲𝟐)𝟏/𝟐 ∙ 𝒃𝟑

(𝑲𝟑𝑲𝟒)𝟏/𝟐+

𝑲𝟏𝟏/𝟐 ∙ 𝒃𝟏

(𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑)𝟏/𝟐+ (𝑲𝟏+𝑲𝟐+𝑲𝟑+𝑲𝟒)𝟏/𝟒𝒃𝟑 = 𝟑, 𝟒𝝎𝒏

𝟐

(𝑲𝟏𝑲𝟐𝑲𝟑)𝟏/𝟒 ∙ 𝒃𝟐

𝑲𝟒𝟑/𝟒

= 𝟐, 𝟕𝝎𝒏𝟑

𝟏 = 𝝎𝒏𝟒

Diperoleh hasil:

𝒃𝟐 = 𝟎, 𝟒; 𝒃𝟐 = 𝟐, 𝟕𝟔 ∙ 𝟏𝟎−𝟑; 𝑲𝒂 = 𝟐𝟎, 𝟓

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

6 KRITERIA KESALAHAN RMS

(Root Mean Square, EFEKTIF) Kriteria ini digunakan untuk membuat pengaruh derau minimum. Sistem pengontrolan

biasanya mempunyai masukan (input) yang acak (random). Kalau kriteria ITAE digunakan

untuk sistem yang demikian, maka performansi-nya (kinerja-nya) tidak akan memuaskan, karena kesalahan akan ditentukan oleh probabilitas dari masukan.

Seandainya ITAE tetap akan digunakan, maka harus diperhatikan semua kemungkinan bentuk sinyal masukan, kemudian rata-ratanya harus diambil. Dalam hal itu, performansinya

hanya akan memuaskan untuk “sinyal masukan rata-rata”. Cara untuk mencari rata-rata agak

sulit, karena menyangkut distribusi probabilitas dari sinyal masukan.

Untuk proses-proses yang mempunyai masukan acak, criteria performansinya yang biasa

digunakan, adalah kesalahan RMS. Contoh:

SISTEMc(t)r(s)

𝑟(𝑡) = 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚; 𝐶𝑎(𝑡) = 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑠𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢ℎ𝑛𝑦𝑎; 𝐶𝑑(𝑡) = 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑒ℎ𝑒𝑛𝑑𝑎𝑘𝑖

Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala

Kesalahan RMS = 𝑒2̅̅ ̅

𝐊𝐞𝐬𝐚𝐥𝐚𝐡𝐚𝐧 𝑹𝑴𝑺 = 𝐥𝐢𝐦𝑻→∞

𝟏

𝟐𝑻∫ [𝑪𝒂(𝒕) − 𝑪𝒅(𝒕)]𝟐

𝑻

−𝑻

𝒅𝒕

Sistem pengontrolan tersebut harus dibuat sedemikian sehingga 𝑒2̅̅ ̅ minimum.

Beberapa penggunaannya:

rancangan (disain) filter rancangan (disain) equalizer