kalkulus - turunan (ppt)

Turunan fungsi

Aturan turunan

Turunan sinus dan cosinus

Aturan rantai

Turunan tingkat tinggi

Turunan fungsi implisit

Laju yang berkaitan

Diferensial dan aproksimasi

Turunan: Tujuan Instruksional KhususMahasiswa mampu: menggunakan definisi limit untuk menghitung turunan, atau

untuk memastikan turunan tidak ada menghitung turunan (tanpa bantuan TIK) menggunakan sifat-

sifat turunan, aturan turunan untuk konstanta, pangkat, dantrigonometri, serta aturan untuk perkalian dan pembagian, danaturan rantai

menghitung turunan kedua, ketiga, dst. dari suatu fungsi menggunakan turunan untuk mencari garis singgung kurva dan

menentukan laju yang berkaitan menghitung turunan dari fungsi yang didefinisikan secara

implisit menyelesaikan masalah yang terkait dengan laju perubahan

peubah dari suatu hubungan fungsional

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 2

Turunan Definisi. Kecepatan sesaat

Jika suatu obyek bergerak sepanjang garis koordinatdengan fungsi posisi f(t), maka kecepatan sesaatnyapada saat t0 adalah

asalkan limit ini ada dan bukan atau -.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 3

Turunan Definisi. Garis singgung

Garis singgung kurva y = f(x) pada titik T(c, f(c)) adalah garis yang melalui T dengan kemiringan

asalkan limit ini ada dan bukan atau -.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 4

Turunan Contoh. Carilah kemiringan garis singgung kurva y =

f(x) = x2 pada titik (1,1).

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 5

Turunan: Pengertian Definisi. Turunan

Turunan dari suatu fungsi f(x) adalah fungsi lain f ’(x) yang nilainya pada sembarang titik x adalah

asalkan nilai limit ini ada.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 6

Turunan Contoh. Misalkan f(x) = 5x + 10, carilah f ’(6).

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 7

Turunan Contoh. Jika f(x) = 1/x, carilah f ’(x).

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 8

Turunan Bentuk yang setara untuk

turunan

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 9

Turunan Contoh 2.8 Diketahui f(x) = |x|, dengan menggunakan

bentuk f ’(c) yang terakhir, carilah f ’(0) jika ada, ataunyatakan jika tidak ada.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 10

Turunan Contoh 2.9 Diberikan . Carilah

turunan dari f(x) di x = 0.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 11

Turunan Notasi turunan

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 12

NotasiLeibniz

Turunan: Aturan

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 13

Turunan: Fungsi Trigonometri

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 14

Turunan: Aturan Rantai Teorema. Aturan rantai

Jika dan adalah dua fungsi yang terturunkan, makaturunan dari komposisi fungsi adalah

dengan kata lain

atau

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 15

Turunan Tingkat Tinggi

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 16

Turunan Tingkat Tinggi

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 17

Turunan Notasi Notasi Notasi Notasi Leibniz

Pertama

Kedua

Ketiga

Keempat

Ke-n

Turunan Tingkat Tinggi Contoh 2.24 Carilah turunan ke-n dari

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 18

Turunan: Fungsi Implisit Contoh. Carilah turunan dari fungsi

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 19

Turunan: Fungsi Implisit Contoh. Carilah turunan dari fungsi

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 20

Turunan : Fungsi Implisit Contoh. Carilah jika

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 21

.

Turunan: Laju yang berkaitan Laju perubahan jarak terhadap perubahan waktu

Laju perubahan posisi terhadap perubahan waktu

Laju perubahan volume udara yang dipompakan kewadah elastis tertutup

Laju perubahan zat cair yang mengalir dari suatuwadah

Laju perubahan harga rumah pada real-estate

dll

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 22

Turunan: Laju yang berkaitan Jika y secara eksplisit dinyatakan dalam t maka kita

langsung dapat menurunkan y terhadap t.

Jika y dinyatakan dalam suatu peubah lain, sebut sajax, dan kemudian ada hubungan keterkaitan yang belum tentu eksplisit antara x dengan t, makagunakan aturan rantai, dan penurunan implisit.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 23

Turunan: Laju yang berkaitan Contoh. Satu balon berbentuk bola sedang diisi

dengan udara. Jari-jari r dari balon itu bertambahdengan laju 0,3 cm/detik ketika r = 5 cm. Dengan lajuberapakah volume balon bertambah pada saat itu?

Dik: dr/dt=0,3 cm/det ketika r = 5 Dit: dV/dt

Jwb:

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 24

Turunan: Laju yang berkaitanStrategi menyelesaikan masalah laju yang berkaitan

Gambarkan diagram dari masalah untuk danlengkapi gambar dengan data-data dari masalah, sertaberikan peubah untuk setiap besaran yang belumdiketahui.

Modelkan persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih pada seluruh waktu, dan bukanhanya pada waktu tertentu saja.

Turunkan dan Evaluasi persamaan yang diperolehpada langkah 2 (secara implicit) dan gunakan nilaiyang diketahui untuk menghitung laju yang dicari.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 25

Turunan: Laju yang berkaitan Contoh. Matahari terbenam dibelakang suatu gedung

setinggi 12 m, seberapa cepat pertumbuhan bayangangedung (dalam m/det) saat sinar matahari membentuksudut 45o?

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 26

Gambarkan.

Misalkan t adalah waktu(detik) sejak tengah malam.

Misalkan x adalah panjangbayangan (meter) dan adalahsudut dari sinar matahari

Turunan: Laju yang berkaitan

Modelkan.

Dit: dx/dt saat = /4.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 27

Turunan: Laju yang berkaitan Turunkan dan Evaluasi.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 28

Turunan: Diferensial dan aproksimasi

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 29

Turunan: Diferensial dan aproksimasiDefinisi. Diferensial

Misalkan y = f(x) adalah fungsi yang terturunkan ataspeubah bebas x.

x adalah sembarang penambahan pada peubah bebas x.

dx, yang disebut dengan diferesial dari peubah bebas x, adalah sama dengan x

y perubahan aktual peubah y ketika x berubah dari x0 ke x0

+ x , yaitu y = f(x0 + x) – f(x)

dy, yang disebut dengan diferesial dari peubah terikat y, didefinisikan dengan dy= f ’(x)dx

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 30

Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Carilah dy jika

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 31

Turunan: Diferensial dan aproksimasi Aproksimasi

Aproksimasi linear

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 32

Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Frekuensi osilasi (banyak putaran per detik)

dari suatu bandul berayun diberikan oleh

dimana l adalah panjang bandul dan g > 0 adalahpercepatan gravitasi. Jika panjang bandul ditambah¼%. Berapakah aproksimasi persentase perubahan f.

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 33

Turunan: Diferensial dan aproksimasi Penyelesaian.

Karena panjang bandul, l, bertambah ¼%, maka100(dl/l) = ¼, dan

Sehingga frekuensi bandul berubah sebesar -1/8 %

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 34

Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Carilah apoksimasi linear dari

di sekitar titik x = 0.

f(0) = 1

mengambil c = 0

Matematika dasar A1Universitas Indonesia 35