integrasi numerik - · pdf filemetode numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih...

INTEGRASI NUMERIK

Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK

Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaa

dxbax

Cbaa

dxbax

Ca

edxe

Cn

axdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

dxex

x x5.0

2

0

23

sin5.01

)1cos(2

INTEGRASI NUMERIK

Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang

digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi

oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

Penerapan integral : menghitung luas dan volume-

volume benda putar

Dasar Pengintegralan Numerik

Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

i

i

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xn xn-1 x

f(x)

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal

belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati

jawaban eksak.

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

an

b

a )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n

n

1n

1n10n xaxaxaaxf

)(

Dasar Pengintegralan Numerik

fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK

Luas daerah yang diarsir L

dapat dihitung dengan :

L =

b

a

dxxf

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]

Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana

Li=f(xi).

Metode Integral Reimann

Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

Dimana

Didapat

i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxf

LLLLL

0

3221100

210

...

..

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210

Contoh

Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk

range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

1

0

2dxxL =

Contoh

Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|3

1 10

31

0

2 xdxxL

Algoritma Metode Integral Reimann:

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

Tentukan jumlah pembagi area N

Hitung h=(b-a)/N

Hitung

N

iixfhL

0

)(.

Metode Integrasi Trapezoida

Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0i

i

b

a

xfxf2

h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

L(x)

Aturan Komposisi Trapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2

h

xfxf2

hxfxf

2

hxfxf

2

h

dxxfdxxfdxxfdxxfn

1n

2

1

1

0

x0 x1 x

f(x)

x2 h h x3 h h x4

n

abh

Metode Integrasi Trapezoida

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.2

1

.2

1

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffff

hffhL

1210

1

01 2...22

22

1

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

Definisikan y=f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Tentukan jumlah pembagi n

Hitung h=(b-a)/n

Hitung

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

Aturan Simpson 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0i

i

b

a

xfxf4xf3

h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

1 xx

0 xx

1 xx

h

dxd

h

xx

2

abh

2

ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xf

xxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

2

1202

10

1

2101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

Aturan Simpson 1/3

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

2

1

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxf

ξξhxf

dξξξh

xfdξξ(hxf

dξξξh

xfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3

hdxxf

Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson

x0 x2 x

f(x)

x4 h h xn-2 h xn

n

abh

…...

h x3 x1 xn-1

Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah

yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

nnnn ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

L 11243322110 23

23

...23

23

23

23

n

genapii

ganjilii ffff

hL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang

melalui ketiga titik tsb

0

2

2000

2

2002!2

)()(

!2

)()()( f

h

hxxf

h

xfxf

h

hxxxf

h

xxfxp

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

0

2

00

0

2

00

0

22

2

3

0

2

0

2

00

2

2

2

2

3

0

2

0

2

0

0

2

200

2

0

2

2

0

322

3

422

4

4

6

8

2

42

|462

!2

)(

)(

fh

fhxhfL

fhh

fhxhfL

fh

h

h

hf

h

hxhfL

fh

x

h

xf

h

xxfL

dxfh

hxxf

h

xfL

xdxpdxxfL

hx

x

h

hh

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

33

4

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffh

L

fh

fh

fh

L

fh

fh

fh

hfhfxhfL

fffh

ffhxhfL

0120112010

2 2)()( ffffffffff

Aturan Simpson 3/8

Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

x3 h

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3

231303

2102

321202

310

1

312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxL

)()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

3

abh ;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3

abh ;f

6480

abfh

80

3E

45

45

t

)(

)()(

)()(

Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson)

berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

H sama

Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.

Metode Integrasi Gauss

Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga

error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(

1

1

h

ffffh

dxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

Metode Integrasi Gauss

Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi

secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval

integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

33

22

3

11

1

1

22

22

2

11

1

1

2211

1

1

21

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

xx

cc

Metode Integrasi Gauss

Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2

titik

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf

Transformasi

Range [a,b] [-1,1]

X u f(x) g(u) dx du

b

a

i dxxfL )(

1

1

)( duugLi

Transformasi

duab

dx

uabbax

aububax

aabux

abuax

u

ab

ax

2

2

)()(

2

2))(1(2

))(1(22

2

1

a b x

-1 1 u

Transformasi

duuabba

fabduug

1

1

1

12

)()()(

2

1)(

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

1

1

)( duugLi

Analisa

Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

1

1

)( duug

Tugas

Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi Gauss-

Legendre (Gauss – Quadratic)