integral

INTEGRALMATERI KELAS XII IPA

DIANA PURNAMASARI,S.Pd

1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

1.2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

1.3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

Standar Kompetensi1. Menggunakan konsep integral

dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Integral

Tak Tentu

TertentuKegunaan

Pengertian integral

Integral fungsi aljabar

Integral fungsi

trigonometri

Integral substitusi

Integral parsial

Integral Tak Tentu

F(x) F’(x)=f(x)

xx 22

122 xx

522 xx

7

122 xx

Cxx 22

22 x

22 x22 x

22 x

22 x

Pendifrensialan

Pegintegralan

Pengertian integral

DEFINISIIntegral merupakan anti turunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu pada [a,b] diperoleh :

)()('))((

xfxFdx

xFd

Anti turunan dari f(x) adalah F(x)+C. Dinotasikan dengan :

CxFdxxFdxxf )()(')(

unsur integrasi, dibaca “integral f(x) terhadap x”Integran (yang diintegralkan)KonstantaFungsi asal (fungsi pokok)

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

a ndx n xn cx a

11

)(xf )(xg )(xf )(xg

Integral Trigonometri

Cxdxx tansec2

Cxdxxx sectansec

Cxdxxx csccotcsc

Cxdxx cossin

Cxdxx sincos

Cxdxx cotcsc2

Integral TrigonometriCqpx

pdxqpx )sin(

1)cos(

Cqpxp

dxqpx )cot(1

)(csc2

Cqpxp

dxqpx )tan(1

)(sec2

Cqpxp

dxqpxqpx )sec(1

)tan()sec(

Cqpxp

dxqpxqpx )csc(1

)cot()csc(

Cqpxp

dxqpx )cos(1

)sin(

Integral Substitusi

Digunakan jika pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, maka

kita substitusikan variabel baru sehingga pengintegralan dapat diselesaikan.

Integral Substitusi

dxxxdxxx 2

122 44

dxxx 42

42 xu xdxdu 2

2

duxdx

Tentukan :Contoh :

misalkan ,maka

2

2

1 duu

xdxx 2

12 4

Cx 232 )4(

3

1Cu 2

3

3

2

2

1

PERHATIKAN

INTEGRAL PARSIAL

udv uv vduIntegral Parsial merupakan cara penyelesaian integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa.

luas sebagai limit suatu jumlah

teorema dasar

sifat-sifat integral tertentu

Luas sebagai limit suatu jumlah

2

1 31 22

11

2

12

Hitunglah luas

daerah segitiga

yang berwarna

biru?

2

1

2

1

f

2

11

2

11

f

2

12

2

12

f

Apakah cara yang anda gunakan dengan

menghitung luas segitiga

?

Bagaimana apabila gambar dibuat

seperti ini?

Luas sebagai limit suatu jumlahLuas Daerah segitiga = L1 + L2 + L3

2

1 31 22

11

2

12

2

1

2

1

f

2

11

2

11

f

2

12

2

12

f

1x 2x 3x

332211 )()()( xxfxxfxxf

3

111)(

i

xxf

Merupakan jumlah rieman, yang memiliki persamaan umum :

n

i

xxf1

11)(

Ingat rumus luas persegi

panjang, bahwa

panjang dikalikan

lebar, L = p x l

)()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

Teorema DasarIntegral Tertentu

a disebut batas bawah

b disebut batas atas

F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

KEGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

Untuk mengetahui cara menghitung luas daerah bidang perhatikan contoh berikut ini.

Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

Hitunglah luas daerah antara kurva :

Contoh :

22 xxy dan sumbu x.

Perhatikan gambar di sampingTitik potong kurva dengan sumbu x, maka y=0

Penyelesaian :

22 202 xxxxy xx)2(0 20 xx

2

0

322

0

2

3

1

2

22

xxdxxxL

00)2(3

12 32

3

84

3

4 Satuan

Luas

Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

b

a

A dxxfL )(

)(xfy

a b

)(xfy

a b

a

b

b

a

B

dxxf

dxxfL

)(

)(

Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

x

y

a b0

f(x)

g(x)Luas yang diarsir adalah :

a

b

f(x) g(x) dx

Pengertian Benda PutarDari animasi yang telah kita saksikan, apabila

suatu bidang datar yang diputar 360° terhadap

suatu garis, akan terbentuk bidang putar (3

dimensi)

a b

f(x)

x

y

VOLUME BENDA DIPUTAR TERHADAP SUMBU X

Jika diputar terhadap sumbu x, volumenya adalah

a

b

f2(x) dx