geometría para docentes
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GEOMETRÍA
Circunferencias
Perímetro Áreas
VolúmenesTriángu
los
I.S.F.D nº 17
Cuadriláter sl + l + l + l
Secuencias didácticas mediante Geogebra
. .
Triángulos (CAPÍTULO 1) ............................................................................................................. 1
Introducción .................................................................................................................................... 1
Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 1
Actividad nº 2 .............................................................................................................................. 4
Actividad nº 3 ............................................................................................................................. 6
Cuadriláteros (CAPÍTULO 2)........................................................................................................ 8
Introducción .................................................................................................................................... 8
Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 9
Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 11
Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 14
Perímetro (CAPÍTULO 3) ............................................................................................................ 19
Introducción .................................................................................................................................. 19
Actividad nº 1: Polígonos regulares .......................................................................................... 20
Actividad nº 2: Circunferencia ................................................................................................... 24
Actividad nº 3: Perímetro y área ............................................................................................... 28
Área (CAPÍTULO 4) ................................................................................................................... 31
Introducción .................................................................................................................................. 31
Actividad nº 1 ............................................................................................................................ 33
Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 35
Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 35
1
Teniendo en cuenta los conocimientos previos de los alumnos de 2do año de
E.S.B ampliaremos los saberes a institucionalizar. Es importante la adquisición de
significado a la hora de trabajar con construcciones geométricas, sabiendo que
trabajamos con sujetos que pueden desarrollar un pensamiento hipotético
deductivo nos centraremos en potenciar estos conocimientos. Más allá de las
teorías que sostienen lo que estamos enseñando, es importante que visualicen los
conceptos y adquieran por sí mismos la noción de sentido. Para ello utilizaremos
el Geogebra como herramienta idónea para trabajar las figuras geométricas
elegidas en este caso, los triángulos. El manejo de esta aplicación habilita a la
búsqueda de soluciones por parte del alumnado quienes incursionarán el camino
de la construcción del conocimiento por sí mismos, probando, sacando
conclusiones, cometiendo errores y aprendiendo de los mismos. El trabajo del
docente será guiar la producción y construcciones generadas por los alumnos
pero serán estos últimos quienes trabajen activamente en el proceso de
aprendizaje.
Criterios de congruencia de triángulos.
Con la siguiente secuencia se pretende que los alumnos incursionen en la
utilización del Geogebra como método de resolución de distintas situaciones. A
partir del trabajo con esta herramienta se espera que los estudiantes construyan y
sean capaces de utilizar los criterios de congruencia de triangulos (LAL, LLL,
ALA). Además deberán buscar la o las herramientas más convenientes para
construir un triángulo con las características necesarias.
Actividad nº 1
Utilizando la herramienta Geogebra realiza las siguientes construcciones.
a) Un triángulo en el cual dos de sus lados miden 6 cm y 4 cm.
b) Un triángulo con un lado de 7 cm y un ángulo adyacente a él de 35°.
c) Un triángulo con dos de sus lados formando un ángulo de 50° y con
medidas de 5 cm y 9 cm respectivamente.
d) Un triángulo con un ángulo de 60° y otro de 40°.
e) un triángulo con medidas 8 cm, 7 cm y 4 cm.
2
f) Un triángulo con sus ángulos interiores de 48°, 77° y 55°.
Compara tus construcciones con las de tus compañeros y responde:
1) En cada caso ¿todas las construcciones son iguales? ¿cuáles sí y cuáles
no?
2) Piense en cada caso cuántos triángulos diferentes podrían construirse y
bajo qué condiciones.
3) Si se pidiese construir un triángulo congruente a otro dado ¿Que datos
como mínimo necesitas conocer del triángulo original?
Posibles construcciones
Punto a)
Punto b)
3
Punto c)
Punto d)
Punto e)
4
Punto f)
Lo que se pretende a partir de estas consignas es que los alumnos conciban
las variadas formas de construcción existentes, como así también interpretar y
decidir sobre cuáles son los datos necesarios y suficientes para construir
triángulos congruentes.
Actividad nº 2
Construya en Geogebra un triángulo congruente a los dados a continuación
utilizando la menor cantidad posible de datos del triángulo original e indicando
cuales fueron los datos utilizados.
a)
5
b)
punto a) utiliza criterio ALA.
punto b) Utiliza criterio LAL.
6
Con esta actividad se busca que los alumnos puedan decidir por sí mismos los
datos para la construcción de triángulos congruentes y puedan verificar que,
efectivamente, los criterios de congruencia establecidos son necesarios y
suficientes para dichas construcciones.
Actividad nº 3
a) Demuestre que la diagonal de un rectángulo genera dos triángulos
congruentes. represente gráficamente con Geogebra.
b) Construya en Geogebra un triángulo de vértices A,B,C isósceles con lados
AB=AC= 8,5 cm y altura AD, con distancia BD= 4.5 cm. Luego, justificando
mediante algún criterio de los trabajados, calcule el perímetro del triángulo.
Punto a)
Los alumnos trabajarán los contenidos ya dados para demostrar este
enunciado. Partiendo de la figura del rectángulo analizamos cómo son los ángulos
internos. al construir el rectángulo tienen que contar con nociones y propiedades
de los mismos. A partir de la construcción del rectángulo y trazando una diagonal
es sencillo percibir la similitud de los triángulos formados. Pero el fin de la
actividad es que busquen las herramientas que denoten las características
necesarias para poder llegar a la conclusión deseada.
Por ejemplo, sabemos que el segmento AB mide igual que CD, y sabiendo a su
vez que AC = BD (más allá de los datos explícitos deberán justificar a partir de las
propiedades del rectángulo) y la diagonal es lado en común entre los triángulos,
entonces por criterio LLL decimos que los triángulos ABC y BCD son congruentes.
Punto b)
7
Analíticamente podemos calcular el perímetro de dicha figura ya que sabemos
cuánto miden los lados, teniendo en cuenta que por propiedad, la altura me marca
a D como mediana entre BC, por lo tanto BC mide el doble de BD. Sin embargo, el
propósito de la actividad es que utilizando algún criterio de congruencia entre los
dos triángulos formados por la altura, demuestren que efectivamente BC=2BD, y
así calculen el perímetro sabiendo el valor de todos los lados de ABC.
Utilizando el Geogebra podemos manejar la barra de herramientas, la vista
algebraica y la barra de entrada para registrar datos que son útiles. En esta
versión nueva del programa es posible arrastrar datos que tenga en la vista
algebraica y copiarlos dentro de la construcción para mayor visualización de lo que
estoy trabajando. Así mediante la nomenclatura adecuada podemos detectar el
perímetro y visualizarlo en el plano como para comprobar los resultados.
8
Con la presente secuencia didáctica se pretende, además de promover el uso de
equipos portátiles en el proceso de enseñanza -aprendizaje, que los alumnos
construyan distintos tipos de cuadriláteros y reconozcan sus características.
Dentro del espectro de herramientas existentes para este aprendizaje, en la
presente exposición, deseamos destacar GeoGebra por varios motivos:
Es un software gratuito, libre y de código abierto. No les cuesta dinero a los
centros educativos y pueden modificar elementos para tener
funcionalidades que no se presentan en la versión estándar.
Es fácil de usar. Además existen numerosas formaciones, algunas de ellas
gratuitas, impulsadas por colectivos de profesores y universidades.
Es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las
Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina,
dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único
conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.
Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través
de la experimentación y la manipulación de distintos elementos, facilitando
la realización de construcciones para deducir resultados y propiedades a
partir de la observación directa.
Breve introducción teórica
Recordemos que un polígono es una porción finita del plano, limitada por líneas
rectas. Según el número de vértices o lados, los polígonos reciben el nombre de
triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros
presentan diversas formas, pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro vértices,
cuatro ángulos interiores y dos diagonales.
Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360o.
La propuesta consiste en verificar gráficamente las propiedades de los mismos
utilizando como soporte GeoGebra.
9
Actividad No1
1) Dibujen un cuadrilátero cualquiera en el programa GeoGebra, utilizando
para ello el “comando polígono”.
Marquen, mediante el uso del “comando punto medio”, el punto medio de
cada lado del polígono construido. Con dichos puntos medios, como
vértices, construyan un nuevo cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadrilátero
obtuvieron al unir los puntos medios del cuadrilátero original? Comparen los
dibujos de sus compañeros.
2) Dibujen, ahora, un cuadrilátero distinto al que obtuvieron en el apartado y
reiteren los pasos en él indicados. ¿Qué cuadrilátero se formó?
3) Redacten, con sus palabras, una conclusión que indique la propiedad que
pudieron observar.
El objetivo de este ejercicio es demostrar que “Uniendo los puntos medios de
los lados de un trapezoide de manera consecutiva (sucede en cualquier
cuadrilátero) se conforma un paralelogramo”.
Para la demostración de dicha propiedad será necesaria nuestra intervención.
Demostración:
Una vez trazado el polígono ABCD, marcamos los puntos medios de los
segmentos que determinan sus lados, el cuadrilátero que queda determinado al
unir dichos puntos medios- EFGH- es un rectángulo.
Para demostrarlo utilizaremos la propiedad de la “base media de un
triángulo” que dice: “Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se
traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al
tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la
longitud del lado al cual es paralela".
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Para lograr trabajar con “la base media de un triángulo” trazamos las diagonales
del trapezoide. Así, quedan determinados los triángulos ABD y CBD sobre los que
trabajaremos inicialmente. En el triángulo ABD el segmento EH es base media,
por lo tanto:
EH = 𝟏
𝟐 BD
Análogamente, en el triángulo CBD, FG es base media del triángulo. Entonces:
FG = 𝟏
𝟐 BD
De esta manera demostramos que los segmentos EH y FG son congruentes.
Es decir EH ≌ FG
Análogamente, trabajamos ahora con los triángulos ABC y ADC. Los segmentos
EF y GH son bases medias de los triángulos citados, por lo antes expuesto:
EF = 𝟏
𝟐 AC
GH = 𝟏
𝟐 AC
Así, los segmentos EF y GH son congruentes. Es decir EF ≌ GH
Queda así demostrado que la figura determinada al unir los puntos medios del
trapezoide en un PARALELOGRAMO, ya que su definición versa: “Es un
cuadrilátero que posee sus dos pares de lados opuestos congruentes y
paralelos dos a dos”.
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Actividad N° 2:
a) Gastón piensa que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo suman
180°. ¿Estás de acuerdo?
b) Construyan, con Geogebra, dos segmentos que sean diagonales de un
rectángulo y les permitan- a partir de ellas- trazar los lados del rectángulo.
Al mover sus diferentes elementos, ¿Sigue siendo un rectángulo? Exploren
por qué. Si se “deforma”, busquen otras maneras de construirlo, siempre
partiendo de sus diagonales, para que esto no suceda.
a) Para demostrarlo dibuja un paralelogramo ABCD cualquiera, usando
Geogebra y las propiedades correspondientes. Une dos lados paralelos con
un segmento perpendicular a ellos y forma dos cuadriláteros uno amarillo y
el otro verde (los ángulos 1,2 ,3 y 4 son rectos).
A partir de tu construcción responde:
1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores en el cuadrilátero amarillo?
2) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2? ¿Por qué?
3) ¿Cuál es la suma de los ángulos B y D?
4) ¿A qué conclusión se llega si usamos el mismo razonamiento en el
cuadrilátero verde?
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El objetivo de la presente actividad es que relacionen los ángulos interiores
de un cuadrilátero, esto a partir de la construcción del paralelogramo con el
programa GeoGebra como herramienta, para lo cual deberán poner en juego
las propiedades del mismo.
1) Se traza el segmento desde el ángulo D hasta el ángulo recto 2, quedando
determinados dos triángulos en el cuadrilátero amarillo. y como la suma de
los ángulos de cada triángulo es igual a un llano tendremos entonces una
suma de 2 llanos, es decir 360°.
2) Por construcción 1, 2,3 y 4 son rectos; pues se determinaron a partir de la
perpendicular trazada al lado DC.
3) Si los ángulos 1 y 2 son rectos, entonces la suma de B y D debe ser un
llano. Es decir :
B + D = 180 °
4) Podemos establecer el mismo razonamiento para el cuadrilátero verde y así
arribaremos a las mismas conclusiones encontradas en el amarrillo.
b) Para la construcción deben conocer que “las diagonales de un
rectángulo tienen la misma longitud y que, al cortarse, se bisecan”.
Para que la misma permanezca sin alterarse al mover alguno de sus elementos,
es preciso utilizar las propiedades de la figura que deseemos obtener. Como lo
haremos a partir de sus diagonales una opción sería:
Traza un segmento AB, de cualquier longitud, utilizando el “comando
segmento”.
Mediante el comando “punto medio” determina sobre AB el punto O.
Construye, con cualquier dirección, una recta “r” que pase por el punto O.
Con centro en O y radio OA traza una circunferencia, con el “comando
circunferencia (centro, radio), y determina los puntos de intersección entre la
circunferencia y la recta r (C y D).
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Quedan así determinados los segmento AB ≌ CD, diagonales del
paralelogramo. Por último, con el “comando polígono”, traza el polígono ABCD y
determinarás el rectángulo buscado.
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Actividad N° 3:
a) Construye un romboide, utilizando como soporte el programa GeoGebra y
las propiedades correspondientes, que cumpla con los siguientes requisitos:
1) Debe tener un lado de 3,5 cm y el otro de 4,5 cm.
2) El ángulo que conforma el lado menor con la diagonal principal debe
medir 50°.
3) Mide la longitud de las diagonales.
4) ¿Dónde se intersecan las diagonales?
b) Construye, ahora, un rombo sabiendo que uno de sus ángulos, A, tiene una
amplitud de 60o y que su diagonal AC mide 9 cm.
Explica, detalladamente, los pasos utilizados en sus construcción.
Recuerda siempre utilizar las propiedades geométricas de la figura como
soporte para lograrlo.
Al igual que en el apartado anterior, mide segmentos para determinar
peculiaridades en la intersección de las diagonales.
El objetivo de la presente actividad es poner en juego los conocimientos que
los alumnos poseen acerca de las propiedades del rombo y del romboide. A
continuación las posibles soluciones de los incisos a) y b).
a) Para realizar la propuesta comenzamos con la construcción de los dos
segmentos con el comando “segmento de longitud dada “, uno que mida 3.5 y
el otro 4.5. A continuación trazamos una recta que contendrá a la diagonal
mayor y al ángulo de 50° con el lado menor. Marcamos un ángulo de 50° en
sentido horario y otro de la misma amplitud, pero en sentido anti horario.
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Luego Trazamos con el comando “semirrecta “ dos semirrectas que
pasen desde el punto E hacia el punto G’ y G’1 donde apoyaremos los
segmentos AB y CD. Para no importunar podríamos borrar los tres
punto G con el comando “objeto visible”. Con el comando “compás”
mido el segmento menor y lo marco sobre cada una de las semirrectas.
A continuación, con el mismo comando “compás “, trasladamos el segmento CD a
partir de los puntos H e I para generar los lados mayores del romboide.
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Por último señalamos con la herramienta “polígono” para marcar el romboide
construido, colocamos color y listo! Para marcar las diagonales r y s utilizamos el
comando “segmento” y medimos su longitud con el comando “distancia o longitud
en cm” y marcando los extremos del segmento que quiero medir aparecerá sobre
el mismo su longitud en centímetros.
Teniendo en cuenta el punto de intersección de las diagonales, ¿Qué condiciones
se cumplen al intersecarse entre sí? ¿Encontraste alguna particularidad?
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b) Trazamos una recta cualquiera que contenga al punto A, a partir de ella y
mediante el “comando ángulo dada su amplitud”, marcamos un ángulo de 60o.
Luego, a través del “comando bisectriz” trazamos la bisectriz del ángulo ya que,
por propiedad, la diagonal principal del rombo será bisectriz del mismo.
Sobre dicha recta bisectriz, y mediante el “comando segmento de longitud dada”,
trazamos la diagonal AC de longitud 9.
Desde el punto C, trazamos rectas paralelas a los lados del ángulo de 60o
determinando así el rombo buscado.
Ahora, mediante el “comando intersección”, determinamos los vértices faltantes de
nuestra figura geométrica: D y E.
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Mediante comando “polígono” dibujamos el rombo de vértices A, D, C, E y, con el
“comando objeto visible”, ocultamos todas las rectas que no nos permiten mostrar-
de manera prolija- la figura obtenida.
Traza la diagonal DE y verifica propiedad de las diagonales de la figura trabajada.
Por último, diviértete pintando tu rombo del color que más te agrade. ¡Éxitos!
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La palabra perímetro proviene del latín perimĕtros, en su origen etimológico nos
encontramos con el hecho de que este término está conformado por dos partes
perfectamente diferenciadas. Así, en primer lugar, está el prefijo peri– que puede
traducirse como sinónimo de “alrededor” y, en segundo lugar, se encuentra el
vocablo metron que es equivalente a “medida”. El perímetro de una figura
geométrica es la suma de las longitudes de todos los segmentos que la forman.
La unidad está conformada en dos partes:
La primera, se detiene en los polígonos regulares y la circunferencia, el propósito
de la secuencia didáctica, utilizando como aporte el Geogebra, es que los alumnos
tengan una opción diferente para la construcción y el análisis geométrico, el cual
logrará a través de la visualización, en un tiempo más acotado, las múltiples
posibilidades que presenta una figura y las repeticiones de patrones, los cuáles
serán importantes para la construcción de un camino, que los llevará a hallar
fórmulas, para la simplificación y resolución de problemas geométricos más
complejos.
La segunda parte, apunta a resolver una problemática habitual presente en los
alumnos, cuando se encuentran con los conceptos del perímetro y área. Es por
eso, que utilizando como soporte el Geogebra, esta vez, se busca mediante
figuras irregulares poder visualizar la independencia que posee el perímetro
respecto al área, sin haber todavía trabajado este último concepto, logrando de
todas formas la conceptualización y el análisis correspondiente de dicha relación,
que se deberá profundizar en la siguiente unidad.
Conocimientos necesarios para abordar la unidad:
-Definición de perímetro.
-Definición de polígono.
-Definición de polígono regular e irregular, cóncavo y convexo.
-Definición, características y propiedades de circunferencia.
-Definición, características y propiedades de cuadriláteros.
20
Actividad nº 1
Parte I: Utilizando Geogebra.
➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “A” y teniendo
como intervalo su mínimo en 0 y su máximo en 6. En la pestaña
deslizador corroboren que la forma sea horizontal.
➤ Formen un segmento de longitud dada llamado BC, cuya longitud sea “A”.
Asegúrense que figure nombre y valor del mismo en la representación.
➤ Generen otro deslizador en forma de entero, llamándolo “Lados” y
teniendo como intervalo su mínimo en 3 y su máximo en 8. En la pestaña
deslizador corroboren que la forma sea vertical.
➤ Construyan un polígono regular cuyos puntos sean B y C; y sus vértices
sean “Lados”
➤ Con la herramienta distancia o longitud marquen el polígono, para
generar su perímetro.
Construcción actividad 1
21
Parte II: Análisis.
Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:
TRIÁNGULO
LADO PERÍMETRO
1cm 3cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
HEXÁGONO
LADO PERÍMETRO
1cm 6cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
CUADRADO
LADO PERÍMETRO
1cm 4cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
HEPTÁGONO
LADO PERÍMETRO
1cm 7cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
PENTÁGONO
LADO PERÍMETRO
1cm 5cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
OCTÁGONO
LADO PERÍMETRO
1cm 8cm
2cm
3cm
4cm
5cm
6cm
A) Elijan un polígono regular de la tabla. Cada vez que aumenta un centímetro
el lado, ¿cuántos centímetros aumenta el perímetro?, ¿qué relación se les
ocurre que hay entre el lado y el perímetro de la figura?
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B) ¿Qué perímetro tendrá un hexágono regular cuyo lado mide 1 cm?, ¿y si su
lado midiera 5 cm?, ¿y si midiera 10 cm?
C) ¿Qué perímetro tendrá un eneágono regular, cuyos lados sean de 2 cm
cada uno?
D) ¿Qué perímetro tendrá un polígono de “n” lados?
E) ¿Qué perímetro tendrá un polígono regular de 20 lados, si cada lado
midiera 3 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.
F) ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular si se sabe que uno de sus lados
mide 2 cm y su perímetro es de 60 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.
G) ¿Cuánto medirá un lado de un polígono regular de 25 lados, si su perímetro
es de 100 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.
El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee
el perímetro con la longitud de un segmento en las figuras geométricas regulares y
puedan hallar una fórmula que los ayude a resolver situaciones problemáticas de
mayor grado de complejidad.
Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se
enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre los
polígonos, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas por
el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al
utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su
incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso
de las figuras geométricas y conceptos como polígono regular, nombre y
características de los mismos.
Por otro lado, la pregunta del inciso “a”, abre el debate a la relación entre el
perímetro y la longitud de un lado del mismo, será importante la
institucionalización del docente. Ya los incisos “b” y “c”, cumplirán la función de
poner en práctica lo logrado en el punto anterior y será un antecesor importante
para el inciso “d”, que a su vez, este ignora un dato importante: nunca se
menciona la medida del lado del polígono de n lados, esto permite que el alumno
se encuentre con distintas posibilidades, lo cual hace al debate más enriquecedor;
es posible que el alumno se plantee utilizar un supuesto dato para resolver el
problema y mediante la exposición se pueda conceptualizar que cualquier ejemplo
23
propuesto también puede sustituirse por una letra, desde el punto algebraico, así
como se hizo con “n”, y hallar así finalmente la fórmula. Una vez logrado este
primer objetivo y luego de la institucionalización del docente, y el debate sobre
cuándo funciona la fórmula n.l, el alumno se encontrará con los incisos “e”, “f” y
“g”, donde a través de la fórmula P = n.l, se tendrá que analizar cada componente
por separado y decidir cuáles entrarán en juego para hallar la solución. Más allá
de ser un problema de forma de ecuación, donde se despejan los componentes,
se podrá profundizar la relación entre estos mismos, es decir: el perímetro, la
cantidad de lados y la medida del mismo.
24
Actividad 2
Parte I: Utilizando Geogebra.
➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “r” y teniendo como
intervalo su mínimo en 1 y su máximo en 5. En la pestaña deslizador
corroboren que la forma sea horizontal.
➤ Construyan una circunferencia (centro, radio), elijan un punto como
centro y llamen al radio “r”.
➤ Creen una circunferencia de radio 5 y marquen un segmento de longitud
dada entre dos puntos de la circunferencia, donde pase por el centro.
Asegúrense de mostrar el nombre y valor del mismo.
➤ Formen un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la
circunferencia, el punto C y otro punto que pertenezca a la circunferencia.
Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color para el arco y un
grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto D hasta que el arco mida
lo mismo que el diámetro de la circunferencia.
➤ Formen otro arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la
circunferencia, el punto D y otro punto que pertenezca a la circunferencia.
Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que el arco
anterior y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto E hasta que
el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia.
➤ Formen un tercer arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de
la circunferencia, el punto E y otro punto que pertenezca a la circunferencia.
Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que los
arcos anteriores y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto F
hasta que el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia.
➤ Forme por un último un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el
centro de la circunferencia, el punto F y el punto C. Muestren el nombre y
valor del mismo, elijan un color distinto que los arcos anteriores y un
grosor de trazo de 5.
Construcción actividad 2
25
Parte II: Análisis.
Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:
Radio Diámetro Valor total de arcos iguales al diámetro
Valor total de arcos diferentes al diámetro
Perímetro
1
2
3
4
5
A) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia,
si su radio es 6?, ¿y si es 10?
B) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una
circunferencia, si su radio es 6?, ¿y si es 10?
C) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia,
si su radio es n?
D) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una
circunferencia, si su radio es n?
26
E) ¿Qué relación se podrá encontrar entre el perímetro y su radio?
F) Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo radio es de 6,5 cm.
Comprobar mediante Geogebra.
G) ¿Cuál será el radio de una circunferencia cuyo perímetro es de 29,83 cm?
Comprobar mediante Geogebra.
El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el
perímetro con el radio de la circunferencia y puedan hallar una fórmula que los
ayude a resolver situaciones problemáticas de mayor grado de complejidad.
Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se
enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre la
circunferencia, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas
por el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al
utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su
incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso
de los elementos de la circunferencia.
Por otro lado, las preguntas del inciso “a” y “b”, abre el debate a la relación entre el
radio, el diámetro y los arcos de la circunferencia trabajados. Será importante
diferenciar entre lo que podremos llamar “arco completo”, por ser igual al diámetro
y “arco incompleto”, distinto al diámetro. El alumno podrá elegir distintas
estrategias para la resolución de estos incisos, no siempre llegará a la conclusión
de multiplicar por 3 el diámetro para los “arcos completos” y multiplicar por 0,14 los
“arco incompleto”. Lo importante en esta primera instancia es que el alumno pueda
construir una forma para hallar el valor de los arcos, teniendo como dato el radio o
diámetro y así lograr definir su perímetro. En los incisos “c” y “d”, se plantea que el
alumno llegue a una forma algebraica de los incisos anteriores, pondrá en práctica
lo logrado y será un antecesor importante para el inciso “e”, que finalmente invita
al alumno a encontrar la fórmula del perímetro de la circunferencia. En este punto
donde se podrá intervenir sobre el número pi: 3,14… Anteriormente el alumno se
encontrará con la parte decimal del número pi, la relación del “arco incompleto”
muchas veces será de 0,14; 0,142; 0,1425. Como el propósito no se detiene en
este número complejo, en una primera instancia se podrá acordar trabajar con dos
decimales, pero en el inciso “e”, ya se plantea la fórmula del perímetro de la
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circunferencia y no es lo mismo que el alumno adquiera como conocimiento 3,14 x
2 x Radio que Pi x 2 x Radio. El docente podrá tomar como iniciativa esta actividad
para abordar desde cualquier propuesta el trabajo con el número pi. También en
este inciso se podrá abordar el tema de 2 x radio igual a diámetro. Finalmente los
incisos “f” y “g”, servirán para poner en práctica lo aprendido.
28
Actividad nº 3
Parte I: Utilizando Geogebra.
➤ Abran el Geogebra y trabajen con apariencia en Geometría, y elijan
también mostrar cuadrícula. A ese archivo lo vamos a llamar:
Construcciones.
➤ Construyan dos rectas para dividir el espacio en tres partes, los cuales
deberán tener horizontalmente, cada uno, una distancia entre ocho o más
cuadrados de la cuadrícula. Los espacios generados serán: 1, 2 y 3.
➤ En el espacio 2 formen un segmento de longitud dada de 1cm.
➤ Generen un polígono regular de cuatro lados.
➤ Copiar el cuadrado generado y pegar en 1 y 3 doce del mismo y en 2
cinco, quedando un total de seis cuadrados.
➤ En 2 generen con seis cuadrados un polígono con un perímetro de 12 cm.
➤ Creen una nueva ventana. Trabajando también como apariencia en
Geometría y mostrar cuadrícula. Dividir tres espacios con dos rectas. A
ese archivo lo vamos a llamar: Productos.
➤ Generen un polígono en Productos igual al creado en Construcciones.
➤ Calculen el perímetro con Distancia o Longitud y denomínenlo “A”.
➤ Vuelvan a Construcciones y en el espacio 1 construyan dos figuras de seis
cuadrados cada una. Una deberá tener un perímetro menor que la figura
construida en 2 y otra deberá ser mayor.
➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y
calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de menor perímetro la
llamaremos “B” y a la de mayor “C”.
➤ Vuelvan a Construcciones y en 3 construyan dos figuras, una de cinco
cuadrados y otra de siete, donde ambas tengan un perímetro de 12cm.
➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y
calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de cinco cuadrados
llamenla “D” y a la de siete “E”.
29
Construcción Actividad 3
Completen la siguiente tabla con verdadero o falso.
La figura A, tendrá mayor superficie que B.
La figura C, tendrá mayor superficie que B.
La figura A, tendrá la misma superficie que D y E.
La superficie de B es igual a la superficie de C.
La superficie de C es mayor a la superficie de E.
30
El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el
perímetro con el área y puedan conceptualizarla.
Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se
enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre
polígono y perímetro. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan
surgir al utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o
su incorrecta ejecución.
Por otro lado, las propuestas de construcción por parte de los alumnos a través del
Geogebra, las cuales serán múltiples, dan pie a que el docente pueda intervenir en
cada una de ellas para analizar lo aprendido por los alumnos sobre polígonos y
perímetro. Para que los alumnos completen la actividad, se deberá dar una idea
de área de una figura geométrica, pero no el mecanismo para hallarla. El resultado
del ejercicio mostrará la noción construida sobre la relación, por ejemplo: si
aumenta el perímetro, ¿aumenta el área? Luego de analizar la actividad, se podrá
corroborar desde el Geogebra, calculando el área de cada figura creada y reabrir
el debate sobre la relación entre perímetro y área. ¿Qué relación existe sobre una
figura?, ¿es la misma sobre dos figuras? Una forma interesante es poder observar
cuáles son las relaciones que plantea un grupo de alumnos y a través de los
ejemplos en la actividad, proponer a otro grupo que las refute.
Anexo a la Actividad 3:
Marcar cuál es la relación que existe entre perímetro y área:
Si el perímetro aumenta, la
superficie también.
Si el perímetro aumenta,
la superficie es igual.
Si el perímetro aumenta, la
superficie disminuye
Si el perímetro es igual, la
superficie aumenta.
Si el perímetro es igual, la
superficie es igual.
Si el perímetro es igual, la
superficie disminuye.
Si el perímetro disminuye,
la superficie aumenta.
Si el perímetro disminuye,
la superficie es igual.
Si el perímetro disminuye,
la superficie disminuye.
31
La presente secuencia pretende retomar los conceptos abordados hasta el
momento, a saber: cuadriláteros, congruencia y semejanza de triángulos,
perímetro, entre otros; y ensamblarlos con el concepto de área que, a posteriori,
se podrá utilizar como disparador para construir el concepto de volumen, por
ejemplo.
Las actividades propuestas intentan dotar de sentido y significado el
concepto de área, generando las competencias necesarias para poder hallar la
superficie de cualquier cuadrilátero, sin necesidad de recurrir a fórmulas. Para
lograr el cometido, nos apoyaremos en las propiedades de rotación y traslación de
figuras geométricas.
La secuencia puede desarrollarse a través del programa Geogebra o
mediante lápiz y papel. El uso del Geogebra es más conveniente ya que
permite visualizar, usando deslizadores, las congruencias entre figuras
facilitando la comparación y resolución de los problemas.
Por último, y con ayuda de los profesores, se pueden demostrar las
fórmulas de área para los polígonos más utilizados.
El trabajo consta de tres etapas: En un primer momento, se recordarán los
conceptos abordados hasta el momento, que tengan relevancia con el concepto a
trabajar. A continuación se expondrá la secuencia para llevar adelante el
desarrollo del tema propuesto. Por último, se discutirán posibles soluciones y/o
errores que puedan surgir, seguido de orientaciones para el docente y el uso del
Geogebra.
Objetivos
❖ Reanudar el concepto de perímetro y la construcción de polígonos para
utilizarlos como soporte en la construcción del concepto de área.
❖ Comprender y afianzar el concepto de área.
❖ Construir la fórmula del área de cualquier figura plana, salvo la circunferencia,
a partir del área de un rectángulo, mediante el hallazgo de regularidades.
❖ Establecer relaciones significativas entre área y perímetro, pudiendo
ensamblar ambos contenidos.
32
❖ Trabajar de manera significativa las propiedades de las áreas,
relacionándolas con los conceptos de rotación y traslación.
Para recordar…
Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos
rectilíneos. Los elementos de un polígono son:
❖ Los lados: segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.
❖ Los vértices: puntos donde se intersecan los lados dos a dos.
❖ Los ángulos: regiones comprendidas entre cada par de lados.
❖ Las diagonales: segmentos que unen vértices no consecutivos.
Los más utilizados son los triángulos y los cuadriláteros
Los triángulos se clasifican según:
❖ La longitud de sus lados:
➢ Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la misma longitud.
➢ Isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos
piernas iguales"): tiene al menos dos lados de igual longitud. Los ángulos
que se oponen a estos lados son congruentes.
➢ Escaleno (del griego σκαληνός "desigual"): todos sus lados tienen
longitudes diferentes (en este triángulo no hay ángulos congruentes).
❖ Sus ángulos:
➢ Acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos.
➢ Rectángulo: tiene un ángulo recto.
➢ Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Los cuadriláteros se clasifican en:
❖ Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos y congruentes Se
clasifican en:
➢ Cuadrado: tiene los cuatro lados congruentes y los cuatro ángulos rectos.
➢ Rectángulo: lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos rectos.
➢ Rombo: cuatro lados congruentes y los ángulos opuestos iguales.
❖ Romboide: tiene dos pares de lados consecutivos congruentes.
❖ Trapecio: sólo tienen dos lados paralelos.
❖ Trapezoide: los lados no son paralelos.
Se llama perímetro de una figura plana a la longitud del borde de dicha figura.
Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.
33
Actividad nº 1
Observar las siguientes construcciones en Geogebra:
a) ¿Es posible calcular el área del paralelogramo DEFB a partir del área del
triángulo DEB? ¿Y el área del triángulo ABC a partir del área paralelogramo del
ABCD? ¿Por qué?
b) Mediante el uso de Geogebra, averiguar: el área de los triángulos ABE y CDF,
el área del paralelogramo BACD y el área del trapecio ACDE. Observar los datos
obtenidos, ¿Se puede establecer una relación entre el área del rectángulo ACFE y
el área del paralelogramo ACDB? ¿Y entre el área del rectángulo ACFE, el área
del triángulo CDF y el área del trapecio ACDE? De ser posible, explicar.
34
c) Dado el trapecio ABDC:
¿Qué relación existe entre su área y el área del rectángulo que lo circunscribe?
d) Sabiendo que el área de un rectángulo de lado mayor a y lado menor b es:
¿Podrías calcular el área del siguiente rombo, tomando como referencia el área
del rectángulo que lo circunscribe?
e) A partir del área del rectángulo, hallar la fórmula del área para las figuras de los
ejercicios anteriores.
g) Dibujar un rectángulo y un romboide inscrito en él. ¿Existe una
relación entre sus áreas? ¿Cuál?
Área = a.b
35
Recordar que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos
congruentes y sus lados homólogos son proporcionales
Actividad nº 2
a) Representar las siguientes figuras y calcular su área utilizando las fórmulas
halladas en el problema anterior:
I. Un romboide cuya diagonal menor mide 15 𝑐𝑚 y la diagonal mayor
mide 17 𝑐𝑚 .
II. Un rombo con diagonal mayor de 12𝑚 y diagonal menor de 10 𝑚 .
III. Un triángulo de 60 𝑐𝑚 de base y 45𝑐𝑚 de altura.
IV. Un trapecio de 14 𝑚 de base mayor, 8𝑚 de base menor y 5 𝑚 de
altura.
b) Construir al menos dos figuras planas cuyas áreas sean iguales.
c) Construir dos figuras planas distintas que tengan el misma área y distinto
perímetro.
Actividad nº 3
a) Dibujar varios triángulos, calcular su área y su perímetro. Analizar cómo varía…
I. ...El perímetro, si uno de los lados del triángulo aumenta 2 cm y el otro 4
cm.
II. ...El área, si uno de los lados se duplica y el otro lado se mantiene fijo.
III. ...El área y el perímetro, si la base y la altura se duplican.
b) ¿Se puede generalizar a cualquier figura plana? Dar ejemplos.
c) ¿Podrías establecer una relación entre el área y
el perímetro de dos triángulos semejantes?
36
Orientaciones para el docente
Problema 1
La mayor dificultad que se puede presentar es que los alumnos no
comprendan que al rotar o trasladar una figura, el área no varía. Para surfear
dicho obstáculo, se propone abordar la secuencia desde el uso del Geogebra.
Luego de resolver cada items, se espera que los alumnos, guiados por el
docente, sean capaces de construir la fórmula de área para cualquier cuadrilátero.
a) Al finalizar la actividad uno, el docente puede plantear lo siguiente:
Sabemos que el área del paralelogramo DEFB es el doble del área del triángulo
EDB.
Primero probaremos que el triángulo EDB es congruente al triángulo EFB.
Recordemos el primer criterio de congruencia de triángulos a saber: “Dos
triángulos que tienen sus tres lados respectivamente congruentes, son
congruentes.”
Los lados son congruentes:
● EB ≡ EB.
● ED ≡ FB: Por ser lados paralelos de un paralelogramo.
● DB ≡ EF: Por ser lados paralelos de un paralelogramo.
Por lo tanto, el triángulo EDB es congruente al triángulo AFB. Entonces, el
Área del triángulo EDB= 𝑏.ℎ
2 (1) y el área del triángulo EFB=
𝑏.ℎ
2 (𝟐)
Área DEFB = EDB + EFB (Reemplazo por (1) y (2) )
Área DEFB=
𝑏.ℎ
2 +
𝑏.ℎ
2 (Sumando)
Área DEFB=
𝑏.ℎ +𝑏ℎ
2=
2.𝑏.ℎ
2 (Simplificando)
Área DEFB= b . h
De manera análoga, se puede demostrar el área de cualquier cuadrilátero.
37
b) Se pretende mostrar que la fórmula del área del trapecio, (𝐵 + 𝑏).ℎ
2, se
puede deducir del área del triángulo CFD y del área del rectángulo ACFE.
Área del rectángulo ACFE= AC.CF
Área del triángulo CFD= 𝐷𝐹.𝐶𝐹
2
Área del trapecio ACDE= AC.CF - 𝐷𝐹.𝐶𝐹
2 (1)
Sabemos que AC= ED+DF entonces DF= AC - ED. (Reemplazando en (1))
Área del trapecio= AC. CF - (𝐴𝐶−𝐸𝐷).𝐶𝐹
2=
2.𝐴𝐶.𝐶𝐹 − 𝐴𝐶.𝐶𝐹+ 𝐸𝐷.𝐶𝐹
2=
𝐴𝐶.𝐶𝐹 + 𝐸𝐷.𝐶𝐹
2 = (𝐴𝐶 + 𝐸𝐷).
𝐶𝐹
2
Pero AC es la base mayor, sea B y ED la base menor, sea b. Reemplazando
queda:
Área del trapecio=(𝐵 + 𝑏).ℎ
2.
c) Se demostrará que el área del trapecio coincide con el área del rectángulo.
● IHAK se obtiene de rotar BHFD, por lo tanto IHAK ≅ BHFD y
además, área IHAK = área BHFD (1)
38
● GJC se obtiene de rotar DFG, entonces GJC ≅ DFG y área GJC =
área DFG(2)
Área del trapecio ABDC = área AHFE + área BHFD + área DFG+ área
FGCE.
Por (1) y (2):
Área ABDC= área AHFE + área IHAK + área GJC + área FGCE (3)
Pero Área IJCK=área IHAK +área AHFE +área GJC + área FGCE (4)
De (3) y (4):
Área ABDC= área IJCK.
d) Tomamos en cuenta que como el triángulo BCF y el
triángulo BFO son congruentes, entonces sus áreas
son iguales. De igual manera el resto de los triángulos
determinados por las diagonales, los lados del rombo y
los lados del rectángulo, tienen igual área a los
anteriores.
El área de rectángulo es 𝑏. ℎ, que en nuestro
caso sería 𝐼𝐷. 𝐷𝐻. Como puede observarse, es igual a la suma del área de los
ocho triángulos congruentes.
El rombo está formado por cuatro de esos triángulos, por lo tanto el área del
rombo es la mitad de la del rectángulo.
f) Con este ejercicio se puede poner en discusión las diferencias entre rombo y
romboide, pues es muy común que los alumnos en particular y las personas en
general, los confundan.
Rombo Romboide
En el caso del romboide, si Q es el punto donde se intersecan las diagonales del
romboide, obtenemos que:
● MKO ≅ MOQ, entonces área MKO = área MOQ.
39
● MPI ≅ MQP, entonces área MPI = área MQP.
● PQN ≅ PNJ, entonces área PQN = área PNJ.
● OLN ≅ QON, entonces área OLN = área QON.
Además:
● La diagonal mayor del romboide, D=MN ≅ IJ ≅ KL, con lo cual tiene
igual longitud.
● La diagonal menor del romboide, d=OP ≅ KI ≅ LJ, con lo cual tienen
igual longitud.
Por lo tanto, el área del romboide es:
Área MONP= área KLJI - área MKO - área MPI - área PQN - área OLN.
Reemplazo
Área MONP = área KLJI- área MOQ - área MQP - área PNJ - área QON.
Asocio
Área MONP = área KLJI- (área MOQ + área MQP + área PNJ + área QON)
Pero área MOQ + área MQP + área PNJ + área QON= área MONP.
Reemplazo
Área MONP = área KLJI - área MONP.
2.Área MONP= área KLJI y además área KLJI= IJ.LJ ≅ D.d
Con lo cual:
Área MONP= 𝑫𝒅
𝟐
Problema 2
Este problema es una aplicación de las fórmulas de área para darles
sentido.
En el inciso uno, los alumnos deberán construir las figuras y aplicar las fórmulas
de área a partir de los datos dados. Como consecuencia de la trayectoria escolar,
puede suceder que se centren tanto en la construcción de las figuras que terminan
obstaculizando el verdadero fin del ejercicio.
Los incisos siguientes, pretenden trabajar las diferencias entre área y
perímetro pues muchos alumnos suelen confundirlos. Además, hacerles ver que
no pueden restringir el trabajo geométrico sólo a la figura, deben recurrir
constantemente a las definiciones y propiedades.
40
Problema 3
Consideramos que este problema es el que puede presentar mayor
dificultad. Se intenta trabajar la concepción de los alumnos “si duplico el perímetro,
duplico el área de la figura”. Para ello, se propone recordar qué significa que dos
triángulos sean semejantes y abordar el área como razón entre figuras
semejantes.
c)
Los triángulos ABC y ADE son semejantes, sea k la razón. Tenemos:
● 𝐷𝐸
𝐵𝐶= 𝑘 entonces DE=k.BC (1)
● 𝐴𝐷
𝐴𝐵= 𝑘 entonces AD=k.AB (2)
● 𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝑘 entonces AE=k.AC (3)
Perímetro ABC= AB+BC+AC (4)
Perímetro ADE= AD+DE+AE reemplazo por (1), (2) y (3)
Perímetro ADE=k.AB+k.BC+k.AC = k(AB+BC+AC) por (4) queda:
Perímetro ADE=k.Perímetro ABC.
Área ABC= 𝐴𝐶.𝐵𝐶
2 (5)
Área ADE= 𝐴𝐸.𝐷𝐸
2 (reemplazo por (1) y (3))
Área ADE= 𝑘.𝐴𝐶.𝑘.𝐵𝐶
2= 𝑘2.
𝐴𝐶.𝐵𝐶
2 por (5)
Área ADE= 𝑘2.Área ABC.
Se recomienda el siguiente video para rever la secuencia propuesta. Acceder
desde aquí o ingresar al siguiente link:
https://www.youtube.com/watch?v=60477IgHb24&feature=youtu.be
41
Definimos un deslizador:
Seleccionamos la
herramienta y clickeamos en
cualquier espacio libre de la
Vista Gráfica para crear un
"dial” o deslizador. Luego,
ajustamos el valor del
número o ángulo que
deseamos.
Creamos el segmento
Seleccionamos la opción
segmento de longitud dada.
En el recuadro ingresamos
como longitud, el nombre
del deslizador.
Cómo construir con Geogebra
Citamos a modo de ejemplo, cómo construir el paralelogramos del problema uno.
42
De esta manera obtenemos uno de los lados del
paralelogramo.
Con el botón derecho sobre la gráfica, podemos ocultar
los ejes y la cuadrícula. Con el botón derecho sobre
un punto, con la opción propiedades, podemos
cambiar su tamaño y color.
Obtenemos:
Sobre el punto B seleccionamos la opción segmento de longitud dada e
ingresamos por ejemplo, 2a. Así obtenemos el segmento BC, lado del
paralelogramo.
Los lados restantes se obtienen trazando la paralela al segmento AB que
pasa por C y la paralela al segmento BC que pasa por A. La intersección de
ambas rectas, determina el punto D.
Por último, seleccionamos la opción polígono y clickeamos en los puntos
ABCDA, formando el paralelogramo buscado.
Con la opción segmento entre dos puntos podemos trazar la diagonal y con
la recta perpendicular al segmento AD que pasa por B, trazamos la altura h.
43
Con la opción área, marcando en el polígono correspondiente, obtenemos el área
de las tres figuras formadas, los dos triángulos y el paralelogramo.
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