GEOMETRÍA

Circunferencias

Perímetro Áreas

VolúmenesTriángu

los

I.S.F.D nº 17

Cuadriláter sl + l + l + l

Secuencias didácticas mediante Geogebra

. .

Triángulos (CAPÍTULO 1) ............................................................................................................. 1

Introducción .................................................................................................................................... 1

Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 1

Actividad nº 2 .............................................................................................................................. 4

Actividad nº 3 ............................................................................................................................. 6

Cuadriláteros (CAPÍTULO 2)........................................................................................................ 8

Introducción .................................................................................................................................... 8

Actividad nº 1 .............................................................................................................................. 9

Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 11

Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 14

Perímetro (CAPÍTULO 3) ............................................................................................................ 19

Introducción .................................................................................................................................. 19

Actividad nº 1: Polígonos regulares .......................................................................................... 20

Actividad nº 2: Circunferencia ................................................................................................... 24

Actividad nº 3: Perímetro y área ............................................................................................... 28

Área (CAPÍTULO 4) ................................................................................................................... 31

Introducción .................................................................................................................................. 31

Actividad nº 1 ............................................................................................................................ 33

Actividad nº 2 ............................................................................................................................ 35

Actividad nº 3 ............................................................................................................................ 35

1

Teniendo en cuenta los conocimientos previos de los alumnos de 2do año de

E.S.B ampliaremos los saberes a institucionalizar. Es importante la adquisición de

significado a la hora de trabajar con construcciones geométricas, sabiendo que

trabajamos con sujetos que pueden desarrollar un pensamiento hipotético

deductivo nos centraremos en potenciar estos conocimientos. Más allá de las

teorías que sostienen lo que estamos enseñando, es importante que visualicen los

conceptos y adquieran por sí mismos la noción de sentido. Para ello utilizaremos

el Geogebra como herramienta idónea para trabajar las figuras geométricas

elegidas en este caso, los triángulos. El manejo de esta aplicación habilita a la

búsqueda de soluciones por parte del alumnado quienes incursionarán el camino

de la construcción del conocimiento por sí mismos, probando, sacando

conclusiones, cometiendo errores y aprendiendo de los mismos. El trabajo del

docente será guiar la producción y construcciones generadas por los alumnos

pero serán estos últimos quienes trabajen activamente en el proceso de

aprendizaje.

Criterios de congruencia de triángulos.

Con la siguiente secuencia se pretende que los alumnos incursionen en la

utilización del Geogebra como método de resolución de distintas situaciones. A

partir del trabajo con esta herramienta se espera que los estudiantes construyan y

sean capaces de utilizar los criterios de congruencia de triangulos (LAL, LLL,

ALA). Además deberán buscar la o las herramientas más convenientes para

construir un triángulo con las características necesarias.

Actividad nº 1

Utilizando la herramienta Geogebra realiza las siguientes construcciones.

a) Un triángulo en el cual dos de sus lados miden 6 cm y 4 cm.

b) Un triángulo con un lado de 7 cm y un ángulo adyacente a él de 35°.

c) Un triángulo con dos de sus lados formando un ángulo de 50° y con

medidas de 5 cm y 9 cm respectivamente.

d) Un triángulo con un ángulo de 60° y otro de 40°.

e) un triángulo con medidas 8 cm, 7 cm y 4 cm.

2

f) Un triángulo con sus ángulos interiores de 48°, 77° y 55°.

Compara tus construcciones con las de tus compañeros y responde:

1) En cada caso ¿todas las construcciones son iguales? ¿cuáles sí y cuáles

no?

2) Piense en cada caso cuántos triángulos diferentes podrían construirse y

bajo qué condiciones.

3) Si se pidiese construir un triángulo congruente a otro dado ¿Que datos

como mínimo necesitas conocer del triángulo original?

Posibles construcciones

Punto a)

Punto b)

3

Punto c)

Punto d)

Punto e)

4

Punto f)

Lo que se pretende a partir de estas consignas es que los alumnos conciban

las variadas formas de construcción existentes, como así también interpretar y

decidir sobre cuáles son los datos necesarios y suficientes para construir

triángulos congruentes.

Actividad nº 2

Construya en Geogebra un triángulo congruente a los dados a continuación

utilizando la menor cantidad posible de datos del triángulo original e indicando

cuales fueron los datos utilizados.

a)

5

b)

punto a) utiliza criterio ALA.

punto b) Utiliza criterio LAL.

6

Con esta actividad se busca que los alumnos puedan decidir por sí mismos los

datos para la construcción de triángulos congruentes y puedan verificar que,

efectivamente, los criterios de congruencia establecidos son necesarios y

suficientes para dichas construcciones.

Actividad nº 3

a) Demuestre que la diagonal de un rectángulo genera dos triángulos

congruentes. represente gráficamente con Geogebra.

b) Construya en Geogebra un triángulo de vértices A,B,C isósceles con lados

AB=AC= 8,5 cm y altura AD, con distancia BD= 4.5 cm. Luego, justificando

mediante algún criterio de los trabajados, calcule el perímetro del triángulo.

Punto a)

Los alumnos trabajarán los contenidos ya dados para demostrar este

enunciado. Partiendo de la figura del rectángulo analizamos cómo son los ángulos

internos. al construir el rectángulo tienen que contar con nociones y propiedades

de los mismos. A partir de la construcción del rectángulo y trazando una diagonal

es sencillo percibir la similitud de los triángulos formados. Pero el fin de la

actividad es que busquen las herramientas que denoten las características

necesarias para poder llegar a la conclusión deseada.

Por ejemplo, sabemos que el segmento AB mide igual que CD, y sabiendo a su

vez que AC = BD (más allá de los datos explícitos deberán justificar a partir de las

propiedades del rectángulo) y la diagonal es lado en común entre los triángulos,

entonces por criterio LLL decimos que los triángulos ABC y BCD son congruentes.

Punto b)

7

Analíticamente podemos calcular el perímetro de dicha figura ya que sabemos

cuánto miden los lados, teniendo en cuenta que por propiedad, la altura me marca

a D como mediana entre BC, por lo tanto BC mide el doble de BD. Sin embargo, el

propósito de la actividad es que utilizando algún criterio de congruencia entre los

dos triángulos formados por la altura, demuestren que efectivamente BC=2BD, y

así calculen el perímetro sabiendo el valor de todos los lados de ABC.

Utilizando el Geogebra podemos manejar la barra de herramientas, la vista

algebraica y la barra de entrada para registrar datos que son útiles. En esta

versión nueva del programa es posible arrastrar datos que tenga en la vista

algebraica y copiarlos dentro de la construcción para mayor visualización de lo que

estoy trabajando. Así mediante la nomenclatura adecuada podemos detectar el

perímetro y visualizarlo en el plano como para comprobar los resultados.

8

Con la presente secuencia didáctica se pretende, además de promover el uso de

equipos portátiles en el proceso de enseñanza -aprendizaje, que los alumnos

construyan distintos tipos de cuadriláteros y reconozcan sus características.

Dentro del espectro de herramientas existentes para este aprendizaje, en la

presente exposición, deseamos destacar GeoGebra por varios motivos:

Es un software gratuito, libre y de código abierto. No les cuesta dinero a los

centros educativos y pueden modificar elementos para tener

funcionalidades que no se presentan en la versión estándar.

Es fácil de usar. Además existen numerosas formaciones, algunas de ellas

gratuitas, impulsadas por colectivos de profesores y universidades.

Es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las

Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina,

dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único

conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.

Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través

de la experimentación y la manipulación de distintos elementos, facilitando

la realización de construcciones para deducir resultados y propiedades a

partir de la observación directa.

Breve introducción teórica

Recordemos que un polígono es una porción finita del plano, limitada por líneas

rectas. Según el número de vértices o lados, los polígonos reciben el nombre de

triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros

presentan diversas formas, pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro vértices,

cuatro ángulos interiores y dos diagonales.

Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360o.

La propuesta consiste en verificar gráficamente las propiedades de los mismos

utilizando como soporte GeoGebra.

9

Actividad No1

1) Dibujen un cuadrilátero cualquiera en el programa GeoGebra, utilizando

para ello el “comando polígono”.

Marquen, mediante el uso del “comando punto medio”, el punto medio de

cada lado del polígono construido. Con dichos puntos medios, como

vértices, construyan un nuevo cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadrilátero

obtuvieron al unir los puntos medios del cuadrilátero original? Comparen los

dibujos de sus compañeros.

2) Dibujen, ahora, un cuadrilátero distinto al que obtuvieron en el apartado y

reiteren los pasos en él indicados. ¿Qué cuadrilátero se formó?

3) Redacten, con sus palabras, una conclusión que indique la propiedad que

pudieron observar.

El objetivo de este ejercicio es demostrar que “Uniendo los puntos medios de

los lados de un trapezoide de manera consecutiva (sucede en cualquier

cuadrilátero) se conforma un paralelogramo”.

Para la demostración de dicha propiedad será necesaria nuestra intervención.

Demostración:

Una vez trazado el polígono ABCD, marcamos los puntos medios de los

segmentos que determinan sus lados, el cuadrilátero que queda determinado al

unir dichos puntos medios- EFGH- es un rectángulo.

Para demostrarlo utilizaremos la propiedad de la “base media de un

triángulo” que dice: “Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se

traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al

tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la

longitud del lado al cual es paralela".

10

Para lograr trabajar con “la base media de un triángulo” trazamos las diagonales

del trapezoide. Así, quedan determinados los triángulos ABD y CBD sobre los que

trabajaremos inicialmente. En el triángulo ABD el segmento EH es base media,

por lo tanto:

EH = 𝟏

𝟐 BD

Análogamente, en el triángulo CBD, FG es base media del triángulo. Entonces:

FG = 𝟏

𝟐 BD

De esta manera demostramos que los segmentos EH y FG son congruentes.

Es decir EH ≌ FG

Análogamente, trabajamos ahora con los triángulos ABC y ADC. Los segmentos

EF y GH son bases medias de los triángulos citados, por lo antes expuesto:

EF = 𝟏

𝟐 AC

GH = 𝟏

𝟐 AC

Así, los segmentos EF y GH son congruentes. Es decir EF ≌ GH

Queda así demostrado que la figura determinada al unir los puntos medios del

trapezoide en un PARALELOGRAMO, ya que su definición versa: “Es un

cuadrilátero que posee sus dos pares de lados opuestos congruentes y

paralelos dos a dos”.

11

Actividad N° 2:

a) Gastón piensa que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo suman

180°. ¿Estás de acuerdo?

b) Construyan, con Geogebra, dos segmentos que sean diagonales de un

rectángulo y les permitan- a partir de ellas- trazar los lados del rectángulo.

Al mover sus diferentes elementos, ¿Sigue siendo un rectángulo? Exploren

por qué. Si se “deforma”, busquen otras maneras de construirlo, siempre

partiendo de sus diagonales, para que esto no suceda.

a) Para demostrarlo dibuja un paralelogramo ABCD cualquiera, usando

Geogebra y las propiedades correspondientes. Une dos lados paralelos con

un segmento perpendicular a ellos y forma dos cuadriláteros uno amarillo y

el otro verde (los ángulos 1,2 ,3 y 4 son rectos).

A partir de tu construcción responde:

1) ¿Cuánto suman los ángulos interiores en el cuadrilátero amarillo?

2) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2? ¿Por qué?

3) ¿Cuál es la suma de los ángulos B y D?

4) ¿A qué conclusión se llega si usamos el mismo razonamiento en el

cuadrilátero verde?

12

El objetivo de la presente actividad es que relacionen los ángulos interiores

de un cuadrilátero, esto a partir de la construcción del paralelogramo con el

programa GeoGebra como herramienta, para lo cual deberán poner en juego

las propiedades del mismo.

1) Se traza el segmento desde el ángulo D hasta el ángulo recto 2, quedando

determinados dos triángulos en el cuadrilátero amarillo. y como la suma de

los ángulos de cada triángulo es igual a un llano tendremos entonces una

suma de 2 llanos, es decir 360°.

2) Por construcción 1, 2,3 y 4 son rectos; pues se determinaron a partir de la

perpendicular trazada al lado DC.

3) Si los ángulos 1 y 2 son rectos, entonces la suma de B y D debe ser un

llano. Es decir :

B + D = 180 °

4) Podemos establecer el mismo razonamiento para el cuadrilátero verde y así

arribaremos a las mismas conclusiones encontradas en el amarrillo.

b) Para la construcción deben conocer que “las diagonales de un

rectángulo tienen la misma longitud y que, al cortarse, se bisecan”.

Para que la misma permanezca sin alterarse al mover alguno de sus elementos,

es preciso utilizar las propiedades de la figura que deseemos obtener. Como lo

haremos a partir de sus diagonales una opción sería:

Traza un segmento AB, de cualquier longitud, utilizando el “comando

segmento”.

Mediante el comando “punto medio” determina sobre AB el punto O.

Construye, con cualquier dirección, una recta “r” que pase por el punto O.

Con centro en O y radio OA traza una circunferencia, con el “comando

circunferencia (centro, radio), y determina los puntos de intersección entre la

circunferencia y la recta r (C y D).

13

Quedan así determinados los segmento AB ≌ CD, diagonales del

paralelogramo. Por último, con el “comando polígono”, traza el polígono ABCD y

determinarás el rectángulo buscado.

14

Actividad N° 3:

a) Construye un romboide, utilizando como soporte el programa GeoGebra y

las propiedades correspondientes, que cumpla con los siguientes requisitos:

1) Debe tener un lado de 3,5 cm y el otro de 4,5 cm.

2) El ángulo que conforma el lado menor con la diagonal principal debe

medir 50°.

3) Mide la longitud de las diagonales.

4) ¿Dónde se intersecan las diagonales?

b) Construye, ahora, un rombo sabiendo que uno de sus ángulos, A, tiene una

amplitud de 60o y que su diagonal AC mide 9 cm.

Explica, detalladamente, los pasos utilizados en sus construcción.

Recuerda siempre utilizar las propiedades geométricas de la figura como

soporte para lograrlo.

Al igual que en el apartado anterior, mide segmentos para determinar

peculiaridades en la intersección de las diagonales.

El objetivo de la presente actividad es poner en juego los conocimientos que

los alumnos poseen acerca de las propiedades del rombo y del romboide. A

continuación las posibles soluciones de los incisos a) y b).

a) Para realizar la propuesta comenzamos con la construcción de los dos

segmentos con el comando “segmento de longitud dada “, uno que mida 3.5 y

el otro 4.5. A continuación trazamos una recta que contendrá a la diagonal

mayor y al ángulo de 50° con el lado menor. Marcamos un ángulo de 50° en

sentido horario y otro de la misma amplitud, pero en sentido anti horario.

15

Luego Trazamos con el comando “semirrecta “ dos semirrectas que

pasen desde el punto E hacia el punto G’ y G’1 donde apoyaremos los

segmentos AB y CD. Para no importunar podríamos borrar los tres

punto G con el comando “objeto visible”. Con el comando “compás”

mido el segmento menor y lo marco sobre cada una de las semirrectas.

A continuación, con el mismo comando “compás “, trasladamos el segmento CD a

partir de los puntos H e I para generar los lados mayores del romboide.

16

Por último señalamos con la herramienta “polígono” para marcar el romboide

construido, colocamos color y listo! Para marcar las diagonales r y s utilizamos el

comando “segmento” y medimos su longitud con el comando “distancia o longitud

en cm” y marcando los extremos del segmento que quiero medir aparecerá sobre

el mismo su longitud en centímetros.

Teniendo en cuenta el punto de intersección de las diagonales, ¿Qué condiciones

se cumplen al intersecarse entre sí? ¿Encontraste alguna particularidad?

17

b) Trazamos una recta cualquiera que contenga al punto A, a partir de ella y

mediante el “comando ángulo dada su amplitud”, marcamos un ángulo de 60o.

Luego, a través del “comando bisectriz” trazamos la bisectriz del ángulo ya que,

por propiedad, la diagonal principal del rombo será bisectriz del mismo.

Sobre dicha recta bisectriz, y mediante el “comando segmento de longitud dada”,

trazamos la diagonal AC de longitud 9.

Desde el punto C, trazamos rectas paralelas a los lados del ángulo de 60o

determinando así el rombo buscado.

Ahora, mediante el “comando intersección”, determinamos los vértices faltantes de

nuestra figura geométrica: D y E.

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Mediante comando “polígono” dibujamos el rombo de vértices A, D, C, E y, con el

“comando objeto visible”, ocultamos todas las rectas que no nos permiten mostrar-

de manera prolija- la figura obtenida.

Traza la diagonal DE y verifica propiedad de las diagonales de la figura trabajada.

Por último, diviértete pintando tu rombo del color que más te agrade. ¡Éxitos!

19

La palabra perímetro proviene del latín perimĕtros, en su origen etimológico nos

encontramos con el hecho de que este término está conformado por dos partes

perfectamente diferenciadas. Así, en primer lugar, está el prefijo peri– que puede

traducirse como sinónimo de “alrededor” y, en segundo lugar, se encuentra el

vocablo metron que es equivalente a “medida”. El perímetro de una figura

geométrica es la suma de las longitudes de todos los segmentos que la forman.

La unidad está conformada en dos partes:

La primera, se detiene en los polígonos regulares y la circunferencia, el propósito

de la secuencia didáctica, utilizando como aporte el Geogebra, es que los alumnos

tengan una opción diferente para la construcción y el análisis geométrico, el cual

logrará a través de la visualización, en un tiempo más acotado, las múltiples

posibilidades que presenta una figura y las repeticiones de patrones, los cuáles

serán importantes para la construcción de un camino, que los llevará a hallar

fórmulas, para la simplificación y resolución de problemas geométricos más

complejos.

La segunda parte, apunta a resolver una problemática habitual presente en los

alumnos, cuando se encuentran con los conceptos del perímetro y área. Es por

eso, que utilizando como soporte el Geogebra, esta vez, se busca mediante

figuras irregulares poder visualizar la independencia que posee el perímetro

respecto al área, sin haber todavía trabajado este último concepto, logrando de

todas formas la conceptualización y el análisis correspondiente de dicha relación,

que se deberá profundizar en la siguiente unidad.

Conocimientos necesarios para abordar la unidad:

-Definición de perímetro.

-Definición de polígono.

-Definición de polígono regular e irregular, cóncavo y convexo.

-Definición, características y propiedades de circunferencia.

-Definición, características y propiedades de cuadriláteros.

20

Actividad nº 1

Parte I: Utilizando Geogebra.

➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “A” y teniendo

como intervalo su mínimo en 0 y su máximo en 6. En la pestaña

deslizador corroboren que la forma sea horizontal.

➤ Formen un segmento de longitud dada llamado BC, cuya longitud sea “A”.

Asegúrense que figure nombre y valor del mismo en la representación.

➤ Generen otro deslizador en forma de entero, llamándolo “Lados” y

teniendo como intervalo su mínimo en 3 y su máximo en 8. En la pestaña

deslizador corroboren que la forma sea vertical.

➤ Construyan un polígono regular cuyos puntos sean B y C; y sus vértices

sean “Lados”

➤ Con la herramienta distancia o longitud marquen el polígono, para

generar su perímetro.

Construcción actividad 1

21

Parte II: Análisis.

Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:

TRIÁNGULO

LADO PERÍMETRO

1cm 3cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

HEXÁGONO

LADO PERÍMETRO

1cm 6cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

CUADRADO

LADO PERÍMETRO

1cm 4cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

HEPTÁGONO

LADO PERÍMETRO

1cm 7cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

PENTÁGONO

LADO PERÍMETRO

1cm 5cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

OCTÁGONO

LADO PERÍMETRO

1cm 8cm

2cm

3cm

4cm

5cm

6cm

A) Elijan un polígono regular de la tabla. Cada vez que aumenta un centímetro

el lado, ¿cuántos centímetros aumenta el perímetro?, ¿qué relación se les

ocurre que hay entre el lado y el perímetro de la figura?

22

B) ¿Qué perímetro tendrá un hexágono regular cuyo lado mide 1 cm?, ¿y si su

lado midiera 5 cm?, ¿y si midiera 10 cm?

C) ¿Qué perímetro tendrá un eneágono regular, cuyos lados sean de 2 cm

cada uno?

D) ¿Qué perímetro tendrá un polígono de “n” lados?

E) ¿Qué perímetro tendrá un polígono regular de 20 lados, si cada lado

midiera 3 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.

F) ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular si se sabe que uno de sus lados

mide 2 cm y su perímetro es de 60 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.

G) ¿Cuánto medirá un lado de un polígono regular de 25 lados, si su perímetro

es de 100 cm? Comprobarlo mediante Geogebra.

El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee

el perímetro con la longitud de un segmento en las figuras geométricas regulares y

puedan hallar una fórmula que los ayude a resolver situaciones problemáticas de

mayor grado de complejidad.

Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se

enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre los

polígonos, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas por

el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al

utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su

incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso

de las figuras geométricas y conceptos como polígono regular, nombre y

características de los mismos.

Por otro lado, la pregunta del inciso “a”, abre el debate a la relación entre el

perímetro y la longitud de un lado del mismo, será importante la

institucionalización del docente. Ya los incisos “b” y “c”, cumplirán la función de

poner en práctica lo logrado en el punto anterior y será un antecesor importante

para el inciso “d”, que a su vez, este ignora un dato importante: nunca se

menciona la medida del lado del polígono de n lados, esto permite que el alumno

se encuentre con distintas posibilidades, lo cual hace al debate más enriquecedor;

es posible que el alumno se plantee utilizar un supuesto dato para resolver el

problema y mediante la exposición se pueda conceptualizar que cualquier ejemplo

23

propuesto también puede sustituirse por una letra, desde el punto algebraico, así

como se hizo con “n”, y hallar así finalmente la fórmula. Una vez logrado este

primer objetivo y luego de la institucionalización del docente, y el debate sobre

cuándo funciona la fórmula n.l, el alumno se encontrará con los incisos “e”, “f” y

“g”, donde a través de la fórmula P = n.l, se tendrá que analizar cada componente

por separado y decidir cuáles entrarán en juego para hallar la solución. Más allá

de ser un problema de forma de ecuación, donde se despejan los componentes,

se podrá profundizar la relación entre estos mismos, es decir: el perímetro, la

cantidad de lados y la medida del mismo.

24

Actividad 2

Parte I: Utilizando Geogebra.

➤ Generen un deslizador en forma de entero, llamándolo “r” y teniendo como

intervalo su mínimo en 1 y su máximo en 5. En la pestaña deslizador

corroboren que la forma sea horizontal.

➤ Construyan una circunferencia (centro, radio), elijan un punto como

centro y llamen al radio “r”.

➤ Creen una circunferencia de radio 5 y marquen un segmento de longitud

dada entre dos puntos de la circunferencia, donde pase por el centro.

Asegúrense de mostrar el nombre y valor del mismo.

➤ Formen un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la

circunferencia, el punto C y otro punto que pertenezca a la circunferencia.

Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color para el arco y un

grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto D hasta que el arco mida

lo mismo que el diámetro de la circunferencia.

➤ Formen otro arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de la

circunferencia, el punto D y otro punto que pertenezca a la circunferencia.

Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que el arco

anterior y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto E hasta que

el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia.

➤ Formen un tercer arco de circunferencia, teniendo en cuenta el centro de

la circunferencia, el punto E y otro punto que pertenezca a la circunferencia.

Muestren el nombre y valor del mismo, elijan un color distinto que los

arcos anteriores y un grosor de trazo de 5. Luego modifiquen el punto F

hasta que el arco mida lo mismo que el diámetro de la circunferencia.

➤ Forme por un último un arco de circunferencia, teniendo en cuenta el

centro de la circunferencia, el punto F y el punto C. Muestren el nombre y

valor del mismo, elijan un color distinto que los arcos anteriores y un

grosor de trazo de 5.

Construcción actividad 2

25

Parte II: Análisis.

Completen la siguiente tabla y contesten las preguntas:

Radio Diámetro Valor total de arcos iguales al diámetro

Valor total de arcos diferentes al diámetro

Perímetro

1

2

3

4

5

A) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia,

si su radio es 6?, ¿y si es 10?

B) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una

circunferencia, si su radio es 6?, ¿y si es 10?

C) ¿Cuál será el valor total de arcos iguales al diámetro de una circunferencia,

si su radio es n?

D) ¿Cuál será el valor total de arcos diferentes al diámetro de una

circunferencia, si su radio es n?

26

E) ¿Qué relación se podrá encontrar entre el perímetro y su radio?

F) Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo radio es de 6,5 cm.

Comprobar mediante Geogebra.

G) ¿Cuál será el radio de una circunferencia cuyo perímetro es de 29,83 cm?

Comprobar mediante Geogebra.

El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el

perímetro con el radio de la circunferencia y puedan hallar una fórmula que los

ayude a resolver situaciones problemáticas de mayor grado de complejidad.

Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se

enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre la

circunferencia, hasta el análisis de la construcción, la tabla y preguntas propuestas

por el docente. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan surgir al

utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o su

incorrecta ejecución. También mediante los deslizadores, podrá realizar un repaso

de los elementos de la circunferencia.

Por otro lado, las preguntas del inciso “a” y “b”, abre el debate a la relación entre el

radio, el diámetro y los arcos de la circunferencia trabajados. Será importante

diferenciar entre lo que podremos llamar “arco completo”, por ser igual al diámetro

y “arco incompleto”, distinto al diámetro. El alumno podrá elegir distintas

estrategias para la resolución de estos incisos, no siempre llegará a la conclusión

de multiplicar por 3 el diámetro para los “arcos completos” y multiplicar por 0,14 los

“arco incompleto”. Lo importante en esta primera instancia es que el alumno pueda

construir una forma para hallar el valor de los arcos, teniendo como dato el radio o

diámetro y así lograr definir su perímetro. En los incisos “c” y “d”, se plantea que el

alumno llegue a una forma algebraica de los incisos anteriores, pondrá en práctica

lo logrado y será un antecesor importante para el inciso “e”, que finalmente invita

al alumno a encontrar la fórmula del perímetro de la circunferencia. En este punto

donde se podrá intervenir sobre el número pi: 3,14… Anteriormente el alumno se

encontrará con la parte decimal del número pi, la relación del “arco incompleto”

muchas veces será de 0,14; 0,142; 0,1425. Como el propósito no se detiene en

este número complejo, en una primera instancia se podrá acordar trabajar con dos

decimales, pero en el inciso “e”, ya se plantea la fórmula del perímetro de la

27

circunferencia y no es lo mismo que el alumno adquiera como conocimiento 3,14 x

2 x Radio que Pi x 2 x Radio. El docente podrá tomar como iniciativa esta actividad

para abordar desde cualquier propuesta el trabajo con el número pi. También en

este inciso se podrá abordar el tema de 2 x radio igual a diámetro. Finalmente los

incisos “f” y “g”, servirán para poner en práctica lo aprendido.

28

Actividad nº 3

Parte I: Utilizando Geogebra.

➤ Abran el Geogebra y trabajen con apariencia en Geometría, y elijan

también mostrar cuadrícula. A ese archivo lo vamos a llamar:

Construcciones.

➤ Construyan dos rectas para dividir el espacio en tres partes, los cuales

deberán tener horizontalmente, cada uno, una distancia entre ocho o más

cuadrados de la cuadrícula. Los espacios generados serán: 1, 2 y 3.

➤ En el espacio 2 formen un segmento de longitud dada de 1cm.

➤ Generen un polígono regular de cuatro lados.

➤ Copiar el cuadrado generado y pegar en 1 y 3 doce del mismo y en 2

cinco, quedando un total de seis cuadrados.

➤ En 2 generen con seis cuadrados un polígono con un perímetro de 12 cm.

➤ Creen una nueva ventana. Trabajando también como apariencia en

Geometría y mostrar cuadrícula. Dividir tres espacios con dos rectas. A

ese archivo lo vamos a llamar: Productos.

➤ Generen un polígono en Productos igual al creado en Construcciones.

➤ Calculen el perímetro con Distancia o Longitud y denomínenlo “A”.

➤ Vuelvan a Construcciones y en el espacio 1 construyan dos figuras de seis

cuadrados cada una. Una deberá tener un perímetro menor que la figura

construida en 2 y otra deberá ser mayor.

➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y

calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de menor perímetro la

llamaremos “B” y a la de mayor “C”.

➤ Vuelvan a Construcciones y en 3 construyan dos figuras, una de cinco

cuadrados y otra de siete, donde ambas tengan un perímetro de 12cm.

➤ En Productos generen los dos polígonos creados en el punto anterior y

calculen el perímetro con Distancia o Longitud. A la de cinco cuadrados

llamenla “D” y a la de siete “E”.

29

Construcción Actividad 3

Completen la siguiente tabla con verdadero o falso.

La figura A, tendrá mayor superficie que B.

La figura C, tendrá mayor superficie que B.

La figura A, tendrá la misma superficie que D y E.

La superficie de B es igual a la superficie de C.

La superficie de C es mayor a la superficie de E.

30

El objetivo de esta actividad es que los alumnos analicen la relación que posee el

perímetro con el área y puedan conceptualizarla.

Esta propuesta está pensada para que los alumnos trabajen en grupos y se

enriquezcan a través del debate, desde el repaso de conceptos previos sobre

polígono y perímetro. El docente deberá intervenir en los problemas que puedan

surgir al utilizar Geogebra, respecto a herramientas que el alumno desconozca o

su incorrecta ejecución.

Por otro lado, las propuestas de construcción por parte de los alumnos a través del

Geogebra, las cuales serán múltiples, dan pie a que el docente pueda intervenir en

cada una de ellas para analizar lo aprendido por los alumnos sobre polígonos y

perímetro. Para que los alumnos completen la actividad, se deberá dar una idea

de área de una figura geométrica, pero no el mecanismo para hallarla. El resultado

del ejercicio mostrará la noción construida sobre la relación, por ejemplo: si

aumenta el perímetro, ¿aumenta el área? Luego de analizar la actividad, se podrá

corroborar desde el Geogebra, calculando el área de cada figura creada y reabrir

el debate sobre la relación entre perímetro y área. ¿Qué relación existe sobre una

figura?, ¿es la misma sobre dos figuras? Una forma interesante es poder observar

cuáles son las relaciones que plantea un grupo de alumnos y a través de los

ejemplos en la actividad, proponer a otro grupo que las refute.

Anexo a la Actividad 3:

Marcar cuál es la relación que existe entre perímetro y área:

Si el perímetro aumenta, la

superficie también.

Si el perímetro aumenta,

la superficie es igual.

Si el perímetro aumenta, la

superficie disminuye

Si el perímetro es igual, la

superficie aumenta.

Si el perímetro es igual, la

superficie es igual.

Si el perímetro es igual, la

superficie disminuye.

Si el perímetro disminuye,

la superficie aumenta.

Si el perímetro disminuye,

la superficie es igual.

Si el perímetro disminuye,

la superficie disminuye.

31

La presente secuencia pretende retomar los conceptos abordados hasta el

momento, a saber: cuadriláteros, congruencia y semejanza de triángulos,

perímetro, entre otros; y ensamblarlos con el concepto de área que, a posteriori,

se podrá utilizar como disparador para construir el concepto de volumen, por

ejemplo.

Las actividades propuestas intentan dotar de sentido y significado el

concepto de área, generando las competencias necesarias para poder hallar la

superficie de cualquier cuadrilátero, sin necesidad de recurrir a fórmulas. Para

lograr el cometido, nos apoyaremos en las propiedades de rotación y traslación de

figuras geométricas.

La secuencia puede desarrollarse a través del programa Geogebra o

mediante lápiz y papel. El uso del Geogebra es más conveniente ya que

permite visualizar, usando deslizadores, las congruencias entre figuras

facilitando la comparación y resolución de los problemas.

Por último, y con ayuda de los profesores, se pueden demostrar las

fórmulas de área para los polígonos más utilizados.

El trabajo consta de tres etapas: En un primer momento, se recordarán los

conceptos abordados hasta el momento, que tengan relevancia con el concepto a

trabajar. A continuación se expondrá la secuencia para llevar adelante el

desarrollo del tema propuesto. Por último, se discutirán posibles soluciones y/o

errores que puedan surgir, seguido de orientaciones para el docente y el uso del

Geogebra.

Objetivos

❖ Reanudar el concepto de perímetro y la construcción de polígonos para

utilizarlos como soporte en la construcción del concepto de área.

❖ Comprender y afianzar el concepto de área.

❖ Construir la fórmula del área de cualquier figura plana, salvo la circunferencia,

a partir del área de un rectángulo, mediante el hallazgo de regularidades.

❖ Establecer relaciones significativas entre área y perímetro, pudiendo

ensamblar ambos contenidos.

32

❖ Trabajar de manera significativa las propiedades de las áreas,

relacionándolas con los conceptos de rotación y traslación.

Para recordar…

Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos

rectilíneos. Los elementos de un polígono son:

❖ Los lados: segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.

❖ Los vértices: puntos donde se intersecan los lados dos a dos.

❖ Los ángulos: regiones comprendidas entre cada par de lados.

❖ Las diagonales: segmentos que unen vértices no consecutivos.

Los más utilizados son los triángulos y los cuadriláteros

Los triángulos se clasifican según:

❖ La longitud de sus lados:

➢ Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la misma longitud.

➢ Isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos

piernas iguales"): tiene al menos dos lados de igual longitud. Los ángulos

que se oponen a estos lados son congruentes.

➢ Escaleno (del griego σκαληνός "desigual"): todos sus lados tienen

longitudes diferentes (en este triángulo no hay ángulos congruentes).

❖ Sus ángulos:

➢ Acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos.

➢ Rectángulo: tiene un ángulo recto.

➢ Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

Los cuadriláteros se clasifican en:

❖ Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos y congruentes Se

clasifican en:

➢ Cuadrado: tiene los cuatro lados congruentes y los cuatro ángulos rectos.

➢ Rectángulo: lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos rectos.

➢ Rombo: cuatro lados congruentes y los ángulos opuestos iguales.

❖ Romboide: tiene dos pares de lados consecutivos congruentes.

❖ Trapecio: sólo tienen dos lados paralelos.

❖ Trapezoide: los lados no son paralelos.

Se llama perímetro de una figura plana a la longitud del borde de dicha figura.

Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.

33

Actividad nº 1

Observar las siguientes construcciones en Geogebra:

a) ¿Es posible calcular el área del paralelogramo DEFB a partir del área del

triángulo DEB? ¿Y el área del triángulo ABC a partir del área paralelogramo del

ABCD? ¿Por qué?

b) Mediante el uso de Geogebra, averiguar: el área de los triángulos ABE y CDF,

el área del paralelogramo BACD y el área del trapecio ACDE. Observar los datos

obtenidos, ¿Se puede establecer una relación entre el área del rectángulo ACFE y

el área del paralelogramo ACDB? ¿Y entre el área del rectángulo ACFE, el área

del triángulo CDF y el área del trapecio ACDE? De ser posible, explicar.

34

c) Dado el trapecio ABDC:

¿Qué relación existe entre su área y el área del rectángulo que lo circunscribe?

d) Sabiendo que el área de un rectángulo de lado mayor a y lado menor b es:

¿Podrías calcular el área del siguiente rombo, tomando como referencia el área

del rectángulo que lo circunscribe?

e) A partir del área del rectángulo, hallar la fórmula del área para las figuras de los

ejercicios anteriores.

g) Dibujar un rectángulo y un romboide inscrito en él. ¿Existe una

relación entre sus áreas? ¿Cuál?

Área = a.b

35

Recordar que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos

congruentes y sus lados homólogos son proporcionales

Actividad nº 2

a) Representar las siguientes figuras y calcular su área utilizando las fórmulas

halladas en el problema anterior:

I. Un romboide cuya diagonal menor mide 15 𝑐𝑚 y la diagonal mayor

mide 17 𝑐𝑚 .

II. Un rombo con diagonal mayor de 12𝑚 y diagonal menor de 10 𝑚 .

III. Un triángulo de 60 𝑐𝑚 de base y 45𝑐𝑚 de altura.

IV. Un trapecio de 14 𝑚 de base mayor, 8𝑚 de base menor y 5 𝑚 de

altura.

b) Construir al menos dos figuras planas cuyas áreas sean iguales.

c) Construir dos figuras planas distintas que tengan el misma área y distinto

perímetro.

Actividad nº 3

a) Dibujar varios triángulos, calcular su área y su perímetro. Analizar cómo varía…

I. ...El perímetro, si uno de los lados del triángulo aumenta 2 cm y el otro 4

cm.

II. ...El área, si uno de los lados se duplica y el otro lado se mantiene fijo.

III. ...El área y el perímetro, si la base y la altura se duplican.

b) ¿Se puede generalizar a cualquier figura plana? Dar ejemplos.

c) ¿Podrías establecer una relación entre el área y

el perímetro de dos triángulos semejantes?

36

Orientaciones para el docente

Problema 1

La mayor dificultad que se puede presentar es que los alumnos no

comprendan que al rotar o trasladar una figura, el área no varía. Para surfear

dicho obstáculo, se propone abordar la secuencia desde el uso del Geogebra.

Luego de resolver cada items, se espera que los alumnos, guiados por el

docente, sean capaces de construir la fórmula de área para cualquier cuadrilátero.

a) Al finalizar la actividad uno, el docente puede plantear lo siguiente:

Sabemos que el área del paralelogramo DEFB es el doble del área del triángulo

EDB.

Primero probaremos que el triángulo EDB es congruente al triángulo EFB.

Recordemos el primer criterio de congruencia de triángulos a saber: “Dos

triángulos que tienen sus tres lados respectivamente congruentes, son

congruentes.”

Los lados son congruentes:

● EB ≡ EB.

● ED ≡ FB: Por ser lados paralelos de un paralelogramo.

● DB ≡ EF: Por ser lados paralelos de un paralelogramo.

Por lo tanto, el triángulo EDB es congruente al triángulo AFB. Entonces, el

Área del triángulo EDB= 𝑏.ℎ

2 (1) y el área del triángulo EFB=

𝑏.ℎ

2 (𝟐)

Área DEFB = EDB + EFB (Reemplazo por (1) y (2) )

Área DEFB=

𝑏.ℎ

2 +

𝑏.ℎ

2 (Sumando)

Área DEFB=

𝑏.ℎ +𝑏ℎ

2=

2.𝑏.ℎ

2 (Simplificando)

Área DEFB= b . h

De manera análoga, se puede demostrar el área de cualquier cuadrilátero.

37

b) Se pretende mostrar que la fórmula del área del trapecio, (𝐵 + 𝑏).ℎ

2, se

puede deducir del área del triángulo CFD y del área del rectángulo ACFE.

Área del rectángulo ACFE= AC.CF

Área del triángulo CFD= 𝐷𝐹.𝐶𝐹

2

Área del trapecio ACDE= AC.CF - 𝐷𝐹.𝐶𝐹

2 (1)

Sabemos que AC= ED+DF entonces DF= AC - ED. (Reemplazando en (1))

Área del trapecio= AC. CF - (𝐴𝐶−𝐸𝐷).𝐶𝐹

2=

2.𝐴𝐶.𝐶𝐹 − 𝐴𝐶.𝐶𝐹+ 𝐸𝐷.𝐶𝐹

2=

𝐴𝐶.𝐶𝐹 + 𝐸𝐷.𝐶𝐹

2 = (𝐴𝐶 + 𝐸𝐷).

𝐶𝐹

2

Pero AC es la base mayor, sea B y ED la base menor, sea b. Reemplazando

queda:

Área del trapecio=(𝐵 + 𝑏).ℎ

2.

c) Se demostrará que el área del trapecio coincide con el área del rectángulo.

● IHAK se obtiene de rotar BHFD, por lo tanto IHAK ≅ BHFD y

además, área IHAK = área BHFD (1)

38

● GJC se obtiene de rotar DFG, entonces GJC ≅ DFG y área GJC =

área DFG(2)

Área del trapecio ABDC = área AHFE + área BHFD + área DFG+ área

FGCE.

Por (1) y (2):

Área ABDC= área AHFE + área IHAK + área GJC + área FGCE (3)

Pero Área IJCK=área IHAK +área AHFE +área GJC + área FGCE (4)

De (3) y (4):

Área ABDC= área IJCK.

d) Tomamos en cuenta que como el triángulo BCF y el

triángulo BFO son congruentes, entonces sus áreas

son iguales. De igual manera el resto de los triángulos

determinados por las diagonales, los lados del rombo y

los lados del rectángulo, tienen igual área a los

anteriores.

El área de rectángulo es 𝑏. ℎ, que en nuestro

caso sería 𝐼𝐷. 𝐷𝐻. Como puede observarse, es igual a la suma del área de los

ocho triángulos congruentes.

El rombo está formado por cuatro de esos triángulos, por lo tanto el área del

rombo es la mitad de la del rectángulo.

f) Con este ejercicio se puede poner en discusión las diferencias entre rombo y

romboide, pues es muy común que los alumnos en particular y las personas en

general, los confundan.

Rombo Romboide

En el caso del romboide, si Q es el punto donde se intersecan las diagonales del

romboide, obtenemos que:

● MKO ≅ MOQ, entonces área MKO = área MOQ.

39

● MPI ≅ MQP, entonces área MPI = área MQP.

● PQN ≅ PNJ, entonces área PQN = área PNJ.

● OLN ≅ QON, entonces área OLN = área QON.

Además:

● La diagonal mayor del romboide, D=MN ≅ IJ ≅ KL, con lo cual tiene

igual longitud.

● La diagonal menor del romboide, d=OP ≅ KI ≅ LJ, con lo cual tienen

igual longitud.

Por lo tanto, el área del romboide es:

Área MONP= área KLJI - área MKO - área MPI - área PQN - área OLN.

Reemplazo

Área MONP = área KLJI- área MOQ - área MQP - área PNJ - área QON.

Asocio

Área MONP = área KLJI- (área MOQ + área MQP + área PNJ + área QON)

Pero área MOQ + área MQP + área PNJ + área QON= área MONP.

Reemplazo

Área MONP = área KLJI - área MONP.

2.Área MONP= área KLJI y además área KLJI= IJ.LJ ≅ D.d

Con lo cual:

Área MONP= 𝑫𝒅

𝟐

Problema 2

Este problema es una aplicación de las fórmulas de área para darles

sentido.

En el inciso uno, los alumnos deberán construir las figuras y aplicar las fórmulas

de área a partir de los datos dados. Como consecuencia de la trayectoria escolar,

puede suceder que se centren tanto en la construcción de las figuras que terminan

obstaculizando el verdadero fin del ejercicio.

Los incisos siguientes, pretenden trabajar las diferencias entre área y

perímetro pues muchos alumnos suelen confundirlos. Además, hacerles ver que

no pueden restringir el trabajo geométrico sólo a la figura, deben recurrir

constantemente a las definiciones y propiedades.

40

Problema 3

Consideramos que este problema es el que puede presentar mayor

dificultad. Se intenta trabajar la concepción de los alumnos “si duplico el perímetro,

duplico el área de la figura”. Para ello, se propone recordar qué significa que dos

triángulos sean semejantes y abordar el área como razón entre figuras

semejantes.

c)

Los triángulos ABC y ADE son semejantes, sea k la razón. Tenemos:

● 𝐷𝐸

𝐵𝐶= 𝑘 entonces DE=k.BC (1)

● 𝐴𝐷

𝐴𝐵= 𝑘 entonces AD=k.AB (2)

● 𝐴𝐸

𝐴𝐶= 𝑘 entonces AE=k.AC (3)

Perímetro ABC= AB+BC+AC (4)

Perímetro ADE= AD+DE+AE reemplazo por (1), (2) y (3)

Perímetro ADE=k.AB+k.BC+k.AC = k(AB+BC+AC) por (4) queda:

Perímetro ADE=k.Perímetro ABC.

Área ABC= 𝐴𝐶.𝐵𝐶

2 (5)

Área ADE= 𝐴𝐸.𝐷𝐸

2 (reemplazo por (1) y (3))

Área ADE= 𝑘.𝐴𝐶.𝑘.𝐵𝐶

2= 𝑘2.

𝐴𝐶.𝐵𝐶

2 por (5)

Área ADE= 𝑘2.Área ABC.

Se recomienda el siguiente video para rever la secuencia propuesta. Acceder

desde aquí o ingresar al siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=60477IgHb24&feature=youtu.be

41

Definimos un deslizador:

Seleccionamos la

herramienta y clickeamos en

cualquier espacio libre de la

Vista Gráfica para crear un

"dial” o deslizador. Luego,

ajustamos el valor del

número o ángulo que

deseamos.

Creamos el segmento

Seleccionamos la opción

segmento de longitud dada.

En el recuadro ingresamos

como longitud, el nombre

del deslizador.

Cómo construir con Geogebra

Citamos a modo de ejemplo, cómo construir el paralelogramos del problema uno.

42

De esta manera obtenemos uno de los lados del

paralelogramo.

Con el botón derecho sobre la gráfica, podemos ocultar

los ejes y la cuadrícula. Con el botón derecho sobre

un punto, con la opción propiedades, podemos

cambiar su tamaño y color.

Obtenemos:

Sobre el punto B seleccionamos la opción segmento de longitud dada e

ingresamos por ejemplo, 2a. Así obtenemos el segmento BC, lado del

paralelogramo.

Los lados restantes se obtienen trazando la paralela al segmento AB que

pasa por C y la paralela al segmento BC que pasa por A. La intersección de

ambas rectas, determina el punto D.

Por último, seleccionamos la opción polígono y clickeamos en los puntos

ABCDA, formando el paralelogramo buscado.

Con la opción segmento entre dos puntos podemos trazar la diagonal y con

la recta perpendicular al segmento AD que pasa por B, trazamos la altura h.

43

Con la opción área, marcando en el polígono correspondiente, obtenemos el área

de las tres figuras formadas, los dos triángulos y el paralelogramo.