fungsi trigonometri - kalkulus
Post on 31-Jul-2015
1.627 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fungsi Trigonometri
PENDAHULUAN
SIFAT DASAR SINUS DAN COSINUS
Karena lingkaran mempunyai keliling 2π, maka nilai t dan t + 2πmenentukan titik P(x,y) yang sama.
Sin(t + 2π ) = sin t dan Cos(t + 2π ) = cos t
Titik P1 dan P2 yang berpadanan dengan t dan –t simetris terhadap sumbu –x, sehingga koordiat x-nya sama dengan koordinat y-nya hanya berbeda tanda. Akibatnya
Sin(-t) = -sin t dan Cos(-t) = cos t
Dengan kata lain sinus merupakan fungsi ganjil dan cosinus fungsi genap.
Titik – titik P yang berpadanan dengan t dan π/2 –t simetris terhadap garis y=x sehingga koordina-koordinatnya saling bertukar. Ini berarti bahwa
Sin ( π2 −t) = cos t dan Cos ( π2 −t) = Sin t
Dan dinyatakan suatu kesamaan penting fungsi yang menghubungkan fungsi sinus dan kosinus :
sin2 t + cos2t = 1
Grafik Sinus dan Kosinus
Periode dan Amplitudo Fungsi-fungsi Trigonometri
f(x+p) = f(x)
Untuk semua bilangan real x dalam daerah asal . Bilangan terkecil itu disebut periode f.
Contoh : Berapakah periode fungsi-fungsi berikut ini.
(a) Sin (4πt ¿ (b) Cos (4t) (c) Sin (2πt /12¿
Jawab
a. Karena fungsi sinus sin(4πt ¿adalah bentuk sin(at) dengan a =4π ,periodenya adalah P
= 2π4 π
= ½
b. Fungsi cos(4t) adalah bentuk cos(at) dengan a = 4. Maka periodenya fungsi cos (4t)
adalah P = 2π4
= ½ π
c. Fungsi sin(2πt /12¿ memiliki periode P= 2π
2π /12 = 12
Jika fungsi periodik f mencapai minimum dan maksimum, kita mengidentifikasikan amplitudo A sebagai setengah jarak antara titik rendah dan titik tertinggi pada grafik.
Contoh : tentukan amplitudo fungsi – fungsi berikut ini.
(a) Sin(3t)(b) 2 Cos(4t)
Jawab
a. Amplitudonya adalah A = 1b. Amplitudonya adalah A = 2
Empat Fungsi Trigonometri Lainnya
tan t= sin tcos t
, sect1
cos t,cot t= cos t
sin t , csc t
1sint
Contoh: Perlihatkan bahwa tangent merupakan fungsi ganjil!
Jawab:
tan (−t )= sin(−t)cos (−t )
=−sin tcos t
=−tan t
Contoh: Buktikan identitas berikut
1+ tan2t=sec2t
Jawab:
1+ tan2t=1+ sin2 tcos2 t=
cos2t+sin2tcos2t
= 1cos2 t
=sec2 t
Hubungan Dengan Trigonometri Sudut
180o = π radian ≈3,1415927 radian
Perhatikan bahwa panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran berjari – jari r dengan sudut pusat t redian memenuhi.
x2π
= t2π
s
t rad
r
s = rt
contoh : Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang yang mempunyai jari-jari 20cm bila roda tersebut berputar sampai 100 putaran.
Jawab: Gunakan fakta bahwa s = rt dengan mengindentifikasikan 100 putaran perdanan dengan 100. (2π ¿ radian
S = (20)(100)(2π ¿ = 4000π
= 12566,4 cm
Hubungan antara trigonometri sudut dan trigonometri lingkaran satuan yaitu.
Daftar Identitas-identitas Penting
Identitas ganjil-genap
sin (−x )=−sinx
cos (−x )=cos x
tan (−x )=−tan x
Identitas phytagoras
sin2+cos2=1
1 + cot 2 x=csc2 x
1 + tan2 x=sec2 x
Identitas sudut-ganda
sin 2 x=2 sin x cos x
Cos 2x = cos2 x−sin2 x=2 cos2 x−1=1−2 sin2 x
t rad
r
sin θ=sin t cosθ=cos t
Identitas tengah-sudut
sin( x2 )=±√ 1−cos x2
cos ( x2 )=±√ 1+cos x2
Identitas Jumlah
cos α+cos β=2 cos12
(α+β ) cos12
(α−β )
sinα+sin β=2 sin12
(α+β ) cos12
(α−β )
Identitas Hasil Kali
sin x sin y=−12
[cos ( x+ y )−cos ( x− y ) ]
cos x cos y=−12
[cos ( x+ y )+cos ( x− y ) ]
sin x cos y=−12
[sin ( x+ y )+sin ( x− y ) ]
Identitas Kofungsi
sin( π2 −x)=cos x
cos ( π2−x )=sin x
tan( π2−x )=cot x
Identitas Penambahan
sin ( x+ y )=sin x cos y+cos x sin y
cos (x+ y )=cos x cos y−sin x sin y
tan (x+ y )= tan x+ tan y1−tan x tan y
top related