Fungsi Trigonometri

PENDAHULUAN

SIFAT DASAR SINUS DAN COSINUS

Karena lingkaran mempunyai keliling 2π, maka nilai t dan t + 2πmenentukan titik P(x,y) yang sama.

Sin(t + 2π ) = sin t dan Cos(t + 2π ) = cos t

Titik P1 dan P2 yang berpadanan dengan t dan –t simetris terhadap sumbu –x, sehingga koordiat x-nya sama dengan koordinat y-nya hanya berbeda tanda. Akibatnya

Sin(-t) = -sin t dan Cos(-t) = cos t

Dengan kata lain sinus merupakan fungsi ganjil dan cosinus fungsi genap.

Titik – titik P yang berpadanan dengan t dan π/2 –t simetris terhadap garis y=x sehingga koordina-koordinatnya saling bertukar. Ini berarti bahwa

Sin ( π2 −t) = cos t dan Cos ( π2 −t) = Sin t

Dan dinyatakan suatu kesamaan penting fungsi yang menghubungkan fungsi sinus dan kosinus :

sin2 t + cos2t = 1

Grafik Sinus dan Kosinus

Periode dan Amplitudo Fungsi-fungsi Trigonometri

f(x+p) = f(x)

Untuk semua bilangan real x dalam daerah asal . Bilangan terkecil itu disebut periode f.

Contoh : Berapakah periode fungsi-fungsi berikut ini.

(a) Sin (4πt ¿ (b) Cos (4t) (c) Sin (2πt /12¿

Jawab

a. Karena fungsi sinus sin(4πt ¿adalah bentuk sin(at) dengan a =4π ,periodenya adalah P

= 2π4 π

= ½

b. Fungsi cos(4t) adalah bentuk cos(at) dengan a = 4. Maka periodenya fungsi cos (4t)

adalah P = 2π4

= ½ π

c. Fungsi sin(2πt /12¿ memiliki periode P= 2π

2π /12 = 12

Jika fungsi periodik f mencapai minimum dan maksimum, kita mengidentifikasikan amplitudo A sebagai setengah jarak antara titik rendah dan titik tertinggi pada grafik.

Contoh : tentukan amplitudo fungsi – fungsi berikut ini.

(a) Sin(3t)(b) 2 Cos(4t)

Jawab

a. Amplitudonya adalah A = 1b. Amplitudonya adalah A = 2

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

tan t= sin tcos t

, sect1

cos t,cot t= cos t

sin t , csc t

1sint

Contoh: Perlihatkan bahwa tangent merupakan fungsi ganjil!

Jawab:

tan (−t )= sin(−t)cos (−t )

=−sin tcos t

=−tan t

Contoh: Buktikan identitas berikut

1+ tan2t=sec2t

Jawab:

1+ tan2t=1+ sin2 tcos2 t=

cos2t+sin2tcos2t

= 1cos2 t

=sec2 t

Hubungan Dengan Trigonometri Sudut

180o = π radian ≈3,1415927 radian

Perhatikan bahwa panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran berjari – jari r dengan sudut pusat t redian memenuhi.

x2π

= t2π

s

t rad

r

s = rt

contoh : Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang yang mempunyai jari-jari 20cm bila roda tersebut berputar sampai 100 putaran.

Jawab: Gunakan fakta bahwa s = rt dengan mengindentifikasikan 100 putaran perdanan dengan 100. (2π ¿ radian

S = (20)(100)(2π ¿ = 4000π

= 12566,4 cm

Hubungan antara trigonometri sudut dan trigonometri lingkaran satuan yaitu.

Daftar Identitas-identitas Penting

Identitas ganjil-genap

sin (−x )=−sinx

cos (−x )=cos x

tan (−x )=−tan x

Identitas phytagoras

sin2+cos2=1

1 + cot 2 x=csc2 x

1 + tan2 x=sec2 x

Identitas sudut-ganda

sin 2 x=2 sin x cos x

Cos 2x = cos2 x−sin2 x=2 cos2 x−1=1−2 sin2 x

t rad

r

sin θ=sin t cosθ=cos t

Identitas tengah-sudut

sin( x2 )=±√ 1−cos x2

cos ( x2 )=±√ 1+cos x2

Identitas Jumlah

cos α+cos β=2 cos12

(α+β ) cos12

(α−β )

sinα+sin β=2 sin12

(α+β ) cos12

(α−β )

Identitas Hasil Kali

sin x sin y=−12

[cos ( x+ y )−cos ( x− y ) ]

cos x cos y=−12

[cos ( x+ y )+cos ( x− y ) ]

sin x cos y=−12

[sin ( x+ y )+sin ( x− y ) ]

Identitas Kofungsi

sin( π2 −x)=cos x

cos ( π2−x )=sin x

tan( π2−x )=cot x

Identitas Penambahan

sin ( x+ y )=sin x cos y+cos x sin y

cos (x+ y )=cos x cos y−sin x sin y

tan (x+ y )= tan x+ tan y1−tan x tan y