fungsi linear

A.Gustang 1

MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS

Oleh A. Gustang

A.Gustang 2

Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel.

FUNGSI

A.Gustang 3

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi.Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor (data) tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf latin. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas (independent variable) dan variabel terikat (dependent variable). Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

A.Gustang 4

Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu).

y = 5 + 0,8xy : variabel terikatx : variabel bebas0,8 : koefisien variabel x5 : konstanta

Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x)

A.Gustang 5

Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b≠0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut: Ax + By + C = 0

FUNGSI LINIER

A.Gustang 6

Sesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y = a + bx. Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y). Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi:

Kemiringan = m =

KEMIRINGAN DAN PENGGAL GARIS

A.Gustang 7

Sebagai contoh, y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

A.Gustang 8

Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain: (1) metode dua titik dan (2) metode satu titik dan satu kemiringan.1. Metode Dua Titik

Apabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

A.Gustang 9

misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:

4y – 12 = 2x – 44y = 2x + 8Y = 0,5x + 2

A.Gustang 10

2. Metode Satu Titik dan Satu KemiringanDari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan (m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut;

y – y1 = m (x – x1)Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka persamaan liniernya adalah:

y – y1 = m (x – x1)y – 3 = 0,5(x – 2)Y – 3 = 0,5x – 1

Y = 0,5x + 2

A.Gustang 11

Dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus.

a. Berimpit b. Sejajar

c. Berpotongan d. Tegak lurus

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

A.Gustang 12

Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain.Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengankemiringan garis yang lain (m1 = m2).Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 ?m2).Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan (m1 = - 1/m2).Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan –1 (m1 x m2 = -1).

A.Gustang 13

1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y pada persamaan garis berikut ini:

a. 3x – 2y + 12 = 0

b. 2x – 5y – 10 = 0

c. 4x – 6y = 10

2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya:

a. (3,5) dan (10,2)

b. (-6,-4) dan (10,8)

3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garis lurusnya:

a. (2,6), m = 0,4

b. (5,8), m = -1,6

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi:

a. 2x – 3y = 5 dan 3x – 2y = -4

b. 4x + 3y = 16 dan x – 2y = 4

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode substitusi:

a. x – y = 2 dan 2x + 3y = 9

b. x – y = -1 dan 3x + 2y = 12

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode determinan:

a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12

b. 2x – 3y = 13 dan 4x + y = 15

Latihan:

A.Gustang 14

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: (1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan.

SISTEM PERSAMAAN LINIER

A.Gustang 15

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 ?Jawab:

Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.

x = 23-4y Þ 2x + 3y = 212(23-4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 2125 = 5y

y = 5

Metode Substitusi

A.Gustang 16

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.

y = 5 Þ 2x + 3y = 212x + 3(5) = 212x + 15 = 212x = 21 – 15

x = 6/2x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

A.Gustang 17

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 ?Jawab:Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y

3x - 2y = 7 |x 2| 6x – 4y = 142x + 4y = 10 |x 1| 2x + 4y = 10 +

8x + 0 = 24 x = 3

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan.

x = 3 Þ 3(3) - 2y = 7-2y = 7 – 9 2y = 2 y = 1

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

Metode Eliminasi

A.Gustang 18

ax + by = cdx + ey = fNilai x adalah: x =

Nilai y adalah; y =

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akandiselesaikan dengan cara determinan:

Metode Determinan

A.Gustang 19

Nilai x adalah: x =

Nilai y adalah; y =

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

A.Gustang 20

Fungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli elonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah:a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan

pasarb. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produkc. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar.d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis Pulang Pokok

(BEP=Break Even Point)e. Fungsi Konsumsi dan Tabunganf. Model Penentuan Pendapatan Nasional

PENERAPAN FUNGSI LINIER

A.Gustang 21

FUNGSI PERMINTAANFungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:

Qx = f (Px)Qx = a – b Px

AtauPx =a/b – 1/b Qx

dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta Px = Harga produk x

a dan b = parameter

FUNGSI PERMINTAAN, FUNGSI PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR

A.Gustang 22

FUNGSI PENAWARAN

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:

Qx = f (Px)Qx = -a + b Px

AtauPx = a/b + 1/b Qx

dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x

a dan b = parameterContoh: Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q

A.Gustang 23

KESEIMBANGAN PASARPasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh kesamaan:

Qd = Qsatau Pd = Ps

yaitu perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.

A.Gustang 24

Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain-lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas. Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubungan.

B. KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK

A.Gustang 25

Notasi fungsi permintaan menjadi:

Qdx = ao – a1Px + a2PyQdy = bo + b1Px - b2Py

Sedangkan fungsi penawarannya:

Qsx = -mo + m1Px + m2PyQsy = -no + n1Px + n2Py

A.Gustang 26

Dimana:

Qdx = Jumlah yang diminta dari produk XQdy = Jumlah yang diminta dari produk YQsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk XQsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y Px = Harga produk X

Py = Harga produk Ya0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta.Syarat keseimbangan pasar dicapai jika:Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy

A.Gustang 27

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:

Qdx = 5- 2Px + Py

Qdy = 6 + Px - Py

Dan Qsx = -5 + 4Px - Py

Qsy = -4 - Px + 3Py

Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar !

Contoh:

A.Gustang 28

Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:

Ps = f(Q) + t atauQs = f(P - t)

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

A.Gustang 29

Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=15-Q dan fungsi penawaran P=0,5Q+3.Terhadap produk ini pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 3 per unir.a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan

pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?b. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung

oleh konsumen ?c. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung

oleh produsen ?d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh

pemerintah ?

Contoh:

A.Gustang 30

Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula.Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:

Ps = f(Q) - s atauQs = f(P + s)

subsidi

A.Gustang 31

FUNGI BIAYAa. FUNGSI BIAYA TETAP (Fixed Cost /FC)

Biaya tetap (FC) adalah biaya yang jumlah totalnya tetap dalam kisaran volume kegiatan tertentu. Dengan kata lain biaya yang jumlahnya tetap meskipun volume kegiatan (produksi) berubah-ubah. Contoh biaya tetap adalah: biaya untuk membayar pakar kimia makanan, biaya sewa tempat penjualan, dan biaya penyusutan alat-alat produksi. Jika digambarkan dalam diagram cartesius dimana sumbu tegak adalah jumlah biaya (Rp) dan sumbu mendatar adalah volume produksi (Q) maka garis biaya tetap (FC) berupa garis lurus horisontal.

FUNGSI BIAYA, FUNGSI PENDAPATAN DAN ANALISIS IMPAS (BEP)

A.Gustang 32

b. FUNGSI BIAYA VARIABEL (Variable Cost / VC)Biaya variabel adalah biaya yang jumlah totalnya berubah sebanding dengan perubahan volume kegiatan. Semakin banyak barang yang diproduksi, biaya variabel akan meningkat sebanding dengan peningkatan jumlah produksi. Contoh biaya variabel adalah: biaya bahan baku, biaya bahan pembungkus (kemasan) dan label. Jika digambarkan dalam diagram cartesius maka garis biaya variabel (VC) berupa garis lurus ke kanan atas (kemiringan / gradien positif).

A.Gustang 33

c. FUNGSI BIAYA TOTAL (Total Cost /TC)Biaya total adalah hasil dari penjumlahan biaya tetap dengan biaya variabel, atau dengan persamaan matematis sebagai: TC = FC +Total VC atauTC = FC +VC.Q.Jika digambarkan dalam diagram cartesius maka garis biaya total (TC), merupakan gabungan dari garis biaya tetap (FC) dengan garis total biaya variabel (TVC) yaitu berupa garis lurus ke kanan atas (kemiringan positif) dengan titik awal tidak pada titik (0,0) tetapi dimulai dari biaya tetap.

A.Gustang 34

Pendapat adalah jumlah keseluruhan hasil yang diterima dari penjualan produk, yaitu harga jual per unit (P) dikalikan dengan kuantitas penjualan (Q), atau dengan pendekatan matematis sebagai TR = PxQ. Jika digambarkan dalam diagram cartesius maka garis pendapatan (TR) berupa garis lurus ke kanan atas (kemiringan / gradien positif)

PENDAPATAN (Total Revenue /TR)

A.Gustang 35

Break even, atau impas, atau pulang pokok adalah suatu keadaan perusahaan yang pendapatannya sama dengan jumlah total biayanya, dengan kata lain perusahaan tidak memperoleh laba tetapi juga tidak menderita rugi atau laba rugi sama dengan nol. Untuk menentukan titik impas dapat dilakukan dengan menggunakan dua pendekatan yaitu pendekatan grafik dan matematis. Pendekatan grafik diperoleh dengan mencari titik potong antara grafik penerimaan total (TC) dengan grafik biaya total (TC) sebagai berikut:

ANALISIS IMPAS (BEP=Break Even Point Analysis)

A.Gustang 36

Perhitungan analisa impas (Break Even) didasarkan oleh persamaan matematis sebagai berikut:Pendapatan = Total Biaya

TR = TCTR = FC + TVC

P X Q = FC + (VC X Q)Keterangan:

TR = Total Revenue (Pendapatan Total)TC = Total Cost (Biaya Total)FC = Fixed Cost (Biaya Tetap)VC = Variable Cost (Biaya Variabel) per unitQ = Quantity (jumlah produk penjualan)P = Price (Harga jual barang) per unit

Pendekatan Matematis

A.Gustang 37

Diperkenalkan pertama kalinya oleh John M. Keynes. Fungsi konsumsi mempunyai beberapa asumsi, yaitu:1. Terdapat sejumlah konsumsi mutlak tertentu untuk

mempertahankan hidup walaupun tidak mempunyai pendapatan.2. Konsumsi berhubungan dengan pendapatan yang siap

dibelanjakan. (C=f(Yd))3. Jika pendapatan yang siap dibelanjakan meningkat, maka konsumsi

juga akan meningkat walaupun dalam jumlah yang lebih sedikit. 4. Proporsi kenaikan pendapatan yang siap dibelanjakan untuk

konsumsi adalah konstan. (MPC=Marginal Propensity to ConsumeÞ konstan)

Berdasarkan asumsi tersebut persamaan fungsi konsumsi adalah:C = a + bY

Dimana: C = Konsumsi Y = Pendapatan yang siap dibelanjakana = Konsumsi mutlakb = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

Fungsi tabungan dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan di atas dalam persamaan pendapatan: Y=C+S sehingga menghasilkan:

Y = ( a + bY ) + SS = Y – ( a + bY )S = -a + (1-b) Y

Dimana: S = Tabungan-a = Tabungan negatif bila pendapatan sama dengan nol.(1-b) = Kecendrungan menabung marginal (MPS) MPS+MPC=1

38A.Gustang

A.Gustang 39

The end section