estimasi

ESTIMASI

Menaksir harga PARAMETER populasi berdasarkan STATISTIK sampel

KONSEP DASAR ESTIMASI (PENAKSIRAN)

Nilai parameter () dapat dihitung langsung, tetapi biasanya tidak diketahui

ditaksir dari statistik sampel ()ˆ

disebut Estimator = Penaksir

= Penduga

Idealnya = Kenyataannya, dapat :

* Terlalu tinggi

* Terlalu rendah

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Estimator yang tidak baik

Idealnya, estimator menaksir parameter populasi tanpa kesalahan atau tidak menyimpang terlalu jauh

ESTIMATOR YANG BAIK :

1. Unbiased (Tidak bias)

2. Efisien

3. Konsisten

UNBIASED ESTIMATOR• Bila statistik sampel (misalX) tepat sama /

’mengenai’ parameter populasi (misal )X unbiased estimator bagi

E () =

• Bias = E () - * E () > Bias positif (Overestimate)* E () < Bias negatif (Underestimate)

• Cara menghindari bias Sample at random

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

sebenarnya

UNBIASED BIASED

sebenarnya E ()

E () = E () ≠ ˆ ˆ

ˆˆ

BIAS

= E ()

EFISIEN

• Bila ada beberapa penaksir (estimator) yang tidak bias (1, 2, ... , dst) terhadap populasi ( yang sama), penaksir yang paling baik/paling efisien adalah yang mempunyai VARIANS PALING KECIL

Variansi 1

EFISIENSI = ------------------ Variansi 2

• Varians = 2/n Penaksir akan lebih efisien bila n

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

sebenarnya

1 ˆ

2

Kurva 1 dan 2 penaksir tidak bias terhadap ˆ ˆ

1 penaksir lebih efisien daripada 2, karena varians-nya lebih kecil

ˆ ˆ

KONSISTEN

Bila penaksir terkonsentrasi pada daerah di sekitar

Bila ukuran sampel diperbesar sampai

• Atau bila perbedaan (bias) estimator semua parameter untuk semua ukuran sampel = nol

dapat dicapai bila Varians = 2/n = 0

bila n =

sebenarnya

n=200

n=50

n=10

n=5

ˆ

CARA MENAKSIR

1. Estimasi Titik (Point Estimate)- Nilai tunggal dari data sampel- Mengajukannya sebagai parameter yang akan

diduga - Contoh :

Menaksir tinggi badan rata-rata mahasiswa UNAIR dari sampel random

x = 163 cm- Harga titik penaksir berlainan dan tergantung

hargax dari sampel yang diambil Kurang dipercaya Dipakai estimasi interval

2. Estimasi Interval (Interval Estimate)

memperkirakan parameter populasi dengan menggunakan nilai dalam interval

Ada 2 nilai :

Nilai Atas dan Nilai Bawah

1 < < 2ˆ ˆ

PENAKSIRAN HARGA MEAN POPULASI ()MELALUI HARGA X

1. Bila diketahui

Sampling distribution of the mean : x -

Z = ---------- SE

= x Z . SE

tanda + dan - menyatakan batas atas dan batas bawah penaksiran

• Untuk 95% kemungkinan kejadian akan terdapat :

- batas bawah - Z = -1,96

- batas atas +Z = +1,96

• Jarak kedua batas = Confidence Interval atau Confidence Level

• Confidence Level (Derajat Kepercayaan) 95% artinya

dengan probabilitas 95% maka interval tersebut akan memuat mean populasi

• Di luar batas-batas interval tersebut

area ketidakpercayaan

* Derajat Kepercayaan 0,95 artinya :

bila percobaan dilakukan berulang-ulang (replikatif), maka dari tiap 100 percobaan akan ada 95 yang mengandung populasi dengan intervalx Z . SE , sisanya (5%) akan berada di luarnya dan tidak dapat ditaksir

0 +1,96-1,96

CONFIDENCE INTERVAL = DERAJAT KEPERCAYAAN

CONFIDENCE INTERVAL

= (1- ) 100%

LOWER CONFIDENCE

LIMIT

UPPER CONFIDENCE

LIMIT

AREA KETIDAKPERCAYAAN

= /2

AREA KETIDAKPERCAYAAN

= /2

RUMUS

(1-) 100% Confidence Interval untuk :

x + Z/2 . /n < < x + Z1-/2 . /n

Contoh :

Dari sampel random n = 100 diperolehx = 9,5 dan s = 0,5 . Bila = 0,25 , dengan Confidence Interval 95%, berapakah taksiran untuk ?

95% Confidence Interval untuk :

9,5 + Z0,025 . 0,25/100 < < 9,5 + Z0,975 . 0,25/100

9,5 - 1,96 . 0,25/10 < < 9,5 + 1,96 . 0,25/10

9,451 < < 9,549

2. Bila tidak diketahui

- Kenyataannya sering tidak diketahui digunakan SD sampel dan tabel t untuk

menentukan batas kepercayaan atas dan bawah sesuai dengan Confidence Intervalnya

Rumus : x - t = ---------

s/n

(1-) 100% Confidence Interval untuk

x + t/2 (df=n-1) . s/n < < x + t1-/2 (df=n-1) . s/n

df = degree of freedom

= derajat kebebasan

Contoh :

Sampel acak n = 25 dipilih dari populasi orang dewasa laki-laki, diukur Hb-nya. Diperoleh x = 12 g%, s=1,5 g%. Dengan Interval Kepercayaan 95% berapa perkiraan di populasi ?

12 + t0,025 (df=24) . 1,5/25 < < 12 + t0,975 (df=24) . 1,5/25

12 - 2,064 . 1,5/5 < < 12 + 2,064 . 1,5/5

11,3808 < < 12,6192

PENAKSIRAN SIMPANGAN BAKU () DAN

VARIANS (2) DI POPULASI

• Penaksiran 2 melalui batas kepercayaan berdasarkan distribusi sampling s2

• Diketahui distribusi sampling s2 yang diperoleh dari percobaan distribusi 2

(1-) 100% Confidence Interval untuk 2

(1-) 100% Confidence Interval untuk

(n-1) . s2 (n-1) . s2

------------------ < 2 < ------------------ 2

1-/2 (df=n-1) 2/2 (df=n-1)

(n-1) . s2 (n-1) . s2

------------------ < < ------------------ 2

1-/2 (df=n-1) 2/2 (df=n-1)

PENAKSIRAN PROPORSI () DI POPULASI

* Sampel random (n) dipilih dari populasi (N) di mana terdapat proporsi untuk peristiwa A dalam populasi.

Selanjutnya, terdapat sejumlah x peristiwa A di sampel

p = x/nq = 1 - p = 1 - x/n

Titik penaksiran adalah x/n

p + Z/2 . p (1-p) / n < < p + Z1-/2 . p (1-p) / n

Untuk (1-) 100% Confidence Interval

Contoh :

Hendak ditaksir prevalence rate Gondok Endemik di populasi. Dari sampel random n = 625 terdapat 125 penderita. Berapa prevalence rate Gondok Endemik di populasi dengan C.I. 0,95 ?

p = x/n = 125/625 = 0,21-p = 1 - 0,2 = 0,8

0,2 + Z0,025 .0,2. 0,8/625 < < 0,2 + Z0,975 .0,2. 0,8/6250,169 < < 0,231

ESTIMASI HARGA

• Dengan (1-) . 100% Confidence Interval , nilai berada dalam interval :

½ ln (1+r)/(1-r) + Z/2 . 1/(n-3) < < ½ ln (1+r)/(1-r) + Z1-/2 . 1/(n-3)

Misal : r = 0,737

0,203 < < 1,6840,203 < < 1

MENENTUKAN BESAR SAMPEL

* Ketika menaksir berdasarkanx , maka

b = -x * Untuk koefisien kepercayaan dan

populasi berdistribusi normal dengan diketahui, maka :

. Z/2 2

n = -------------

b

• Jika yang ditaksir proporsi

Z/2 2

n = (1-) ------- b