docu t r a c k 8.menerapkan€konsep€trigonometri ·...
Post on 31-Mar-2018
533 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5
8.Menerapkan Konsep TrigonometriTujuan PembelajaranSetelah mempelajari seluruh kegiatan belajar pada modul diharapkan siswa dapat :
1. Menjelaskan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen)2. Menentukan nilai perbandingan trigonometri, bila diketahui panjang sisisisi segitiganya3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran4. Menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub5. Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya6. Menjelaskan aturan sinus dan aturan cosinus7. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus8. Menentukan luas segitiga dengan aturan sinus9. Mengoperasikan rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut dan sudut rangkap
10. Menjelaskan identitas trigonometri : sin2 x + cos2 x = 111. Menyelesaikan bentukbentuk persamaan trigonometri :
sin x = a cos px = a a cos x + b sin x = c
Kegiatan Belajar 1. Menentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut
Tujuan Kegiatan Belajar 1Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat :
1. menjelaskan tentang perbandingan trigonometri2. menggunakan perbandingan trigonometri untuk menghitung panjang sisi dan besar sudut
segitiga sikusiku.3. menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.
Uraian Materi Kegiatan Belajar 11.1. Perbandingan Trigonometri
x = sisi sikusiku samping sudut ( proyeksi )y = sisi sikusiku depan sudut ( proyektor )r = sisi miring ( proyektum )Dasar perbandingan :
a. sinus α =ry d. cosecan α =
yr
b. cosinus α =rx e. secan α =
xr
c. tangen α =xy f. cotangen α =
yx
Contoh 1 :Suatu garis OP dengan O ( 0 ; 0 ) dan P ( 12 ; 5 ) membentuk sudut α terhadap sumbu x positif.Tentukan perbandingan trigonometrinya.
Penyelesaian : r = 22 5112 + = 25144 + = 169 = 13
a. sinus α =135 d. cosecan α =
513
b. cosinusα =1312 e. secan α =
1213
A
B
x
yr
α
O
y
x
r
O 12
5
P
α
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
6
c. tangen α =125 f. cotangen α =
512
Contoh 2:Diketahui sudut α = 45°, ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α !Penyelesaian : Dengan memperhatikan gambar diperoleh :
AB = BC = sama panjang = 1 maka :AC = 211BCAB 22 =+=+ Sehingga didapatkan :
a. sin 45° = 221
21
ACBC
==
b. cos 45° = 221
21
ACAB
==
c. tan 45° = 111
ABBC
==
Contoh 3:Diketahui sudut α = 0° . Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α !Penyelesaian :
Sudut α = 0° maka sisi AC diproyeksikan berimpit sumbu xdan AC = AB = 1, BC = 0Sehingga :
a. sin 0° = 010
ACBC
==
b. cos 0° = 111
ACAB
==
c. tan 0° = 010
ABBC
==
Contoh 5 :Diketahui α1 = 30° dan α2 = 60° dan ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin 30° , cos 30° , tan 30° , cos 60° ,sin 60° dan tan 60° !Penyelesaian : AB : BC : AC = √3 : 1 : 2
sin 30° =21
ACBC
= sin 60° = 321
23
ACAB
==
cos 30° = 321
23
ACAB
== cos 60° =21
ACBC
=
tg 30° = 331
31
ABBC
== tg 60° = 313
BCAB
==
Contoh 6 :Diketahui α = 90° . Tentukan nilai sin 90°, cos 90° dan tg 90° !Penyelesaian :
Karena α = 90°maka AC berimpit sumbu y.Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0
Sehingga : sin 90° = 111
ACAB
==
cos 90° = 010
ACBC
==
tg 90° = iterdefinistak01
BCAB
==
1A B
C
45°
1√2
O AB = AC
x
y
A B
C
√3
12
30°
60°
x
y
0
B=C
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
7
1.2. Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga SikusikuDalam segitiga sikusiku, jika diketahui besar salah satu sudutlancip dan panjang salah satu sisinya maka ukuran unsurunsuryang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan.Perhatikan gambar di samping, misalkan kita ketahui sudut CAB =α dan sisi AC = b maka besar sudut β, sisi a dan sisi c dapatditentukan, dan berlaku :
1). β = 90° α 2). tg α = tg.bamakaba
α= 3). cos α =cos
bcmakacb
α=
Contoh :Diketahui segitiga ABC sikusiku di B, α = 30° dan panjang sisi b = 30 cm. Hitunglah panjang sisi adan c !
sin 30° =cm30a
ACBC
=
maka a = sin 30° . 30 = ½ . 30 = 15 cm
cos 30° =cm30c
ACAB
=
maka c = cos 30° . 30 = ½√3. 30 = 15√ 3 cm
1.3. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Pembagian kuadran :
a. Sudut di Kuadran I ( 0° ≤ x ≤ 90° )
rq
ry
asin ==o
rp
rxacos ==o
pq
xy
tga ==o
Bila ∆ OAP dimana titik P(p , q) berada, dicerminkanterhadap garis y = x, diperoleh P’(q , p) di kuadran I.
Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah(90° a) dan x = q , y = p dan OP’ = OP = r.
Maka : oo acosrp
ry
)a90(sin =→==−
oo asinrq
rx)a90(cos =→==−
a
b
c
A
B
Cα
β
C
BA
a
c
30 cm
x
y = x
y
p
q P (p , q)
a°
y
x
P’ (q , p)
p
q
(90° a)a°
AO
A’
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
90°
180°
270°
0° / 360°
(x , y)(x , y)
(x , y) (x , y)
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
8
oo actgqp
xy
)a90(tg =→==−
Contoh : sin 30° = sin ( 90° 60°) → cos 60° . cos 45° = cos (90° 45°) → sin 45° tg 30° = tg (90° 60°) → ctg 60°
b. Sudut di Kuadran II ( 90° ≤ x ≤ 180° ) Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (p , q).
rq
ry
asin ==o
rp
rxacos ==o
pq
xy
atg ==o
Bila ∆ OAP dimana titik P(p , q) berada, dicerminkan terhadap sumbu y maka akandiperoleh P’(p , q) di kuadran II. Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah(180° a°) dan x = q, y = p, OP’ = OP = r, maka :
oo asinrq
ry
)a180(sin =→==− maka oo asin)a180(sin =−
oo acosrp
rx)a180(cos =→
−==− maka oo acos)a180(cos =−
oo atgp
qxy
)a180(tg =→−
==− maka oo atg)a180(tg =−
Contoh :sin 150° = sin (180° 30° ) = sin 30° → maka sin 150° = ½cos 120° = cos (180° 60°) = cos 60° → maka cos 120° = ½tg 135° = tg (180° 45° ) = tg 45° → maka tg 135° = 1
c. Sudut di Kuadran III ( 180° ≤ x ≤ 270° ) Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (p , q).
rq
ry
asin ==o
rp
rxacos ==o
pq
xy
atg ==o
Bila ∆ OAP dicerminkan terhadap titik pangkal O atau diputar 180° maka diperoleh P’ (q , p) dikuadran III, sehingga sudut antara OP’ dan sumbu x positif adalah (180° + a°) dan x = p, y = qserta OP’ = OP = r.
Maka diperoleh :oo asin
rq
ry
)a180(sin =→−
==+ → maka oo asin)a180(sin =+
oo acosrp
rx)a180(cos =→
−==+ → maka oo acos)a180(cos =+
oo atgpq
xy
)a180(tg =→−−
==+ → maka oo atg)a180(tg =+
P (p , q)P’ (p , q)
a°a°
(180° a°)
p p
q
x
y
A
O
A’
q
x
rrq
y
x
y P (p , q)
yx
r
a°AO
A’
P’ (p , q)
y
xp
q
q
p(180°+ a°)
a°
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
9
Contoh :sin 225° = sin (180° + 45°) = sin 45° = ½ √ 2cos 240° = cos (180° + 60°) = cos 60° = ½tg 210° = tg (180° + 30° ) = tg 30° = 33
1
d. Sudut di Kuadran IV ( 270° ≤ x ≤ 360° )Perhatikan ∆ OAP danP( p,q) di kuadran I.
rq
ry
asin ==o
rp
rxacos ==o
pq
xy
atg ==o
Bila ∆ OAP dicerminkan terhadap sb. X, maka diperoleh P’(p , q) di kuadran IV, sehingga sudut antara OP’ dansumbu x positif adalah (360° a°) atau ( a° ) dan x = p, y = q serta OP’ = OP = r.
Maka :oo asin
rq
ry
)a360(sin =→−
==− → oo asin)asin()a360(sin =−=−
oo acosrp
rx)a360(cos =→==− → oo acos)acos()a360(cos =−=−
oo atgpq
xy
)a360(tg =→−
==− → oo atg)a(tg)a360(tg =−=−
Contoh : sin 300° = sin (360° 30°) = sin ( 30°) → sin 30° = ½ cos 315° = cos (360° 45°) = cos ( 45°) → cos 45° = ½ √ 2 tg ( 30°) = tg 30° = 33
1
Lembar Kerja Siswa 11. Tentukan perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen pada masingmasing segitiga
berikut !
2. Nyatakan tiaptiap bentuk berikut ini dalam sudut lancip! a. sin 117° c. tg 278° e. tg 203° b.cos 192° d. cos 331° f. sin 254°
3. Jika tg θ = 1815− untuk 270° < θ < 360° hitunglah nilai dari :
a. cos θ b. sin θ
4. Tentukan nilai dari : a. sin2 30° + cos2 30° = … c. cos 330° + tg 240° sin 45° = ... b. cos 300° cos 180° + cos 90° =… d. sin 135° cos 225° + tg 240° =…
x
y
O
P ( p , q)
pq
q
P’ ( p , q)
r
r
247
βα
13
12
A
B
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
10
5. Lengkapilah tabel di bawah ini !Sudut α 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°Sin αCos αTg α
6. Jika diketahui tg A = p. Hitunglah nilai dari : a. 2.sin A.cos A = … b. cos2 A – sin2 A = …
7. Jika sin α = 178 dan cos β = 5
3 untuk α dan β sudut lancip, tentukan nilai dari : a. sin α .cos β cos α . sin β = … b. 2. sin β . cos β = … c. βα−
β+αtg.tg1tgtg = …
2. Kegiatan Belajar 2. Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub
Tujuan Kegiatan Belajar 2Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat :
1. menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub.2. mengubah dari koordinat kartesius ke koordinat kutub.3. mengubah dari koordinat kutub ke koordinat kartesius.
Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Letak suatu titik pada sebuah bidang dapat dinyatakan dengan 2 macam sistem koordinat,yaitu :
a. .
2.1. Koordinat kartesiusSistem koordinat kartesius, yaitu dengan absis (x) dan ordinat (y). Misal Titik P (x , y)
2.2 Koordinat kutubSistem koorsdinat kutub, yaitu dengan jarak (r) dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x
positif (θ°). Misal Titik P (r , θ°)
xx
y
y
P (x , y)
0
x
y
y
x
r
θ°
P (r , θ)
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
11
1.3 Konversi koordinatDari gambar koordinat kartesius titik P adalah (x , y) dan koordinat kutub adalah (r , θ°),
tampak bahwa dari x , y , r, dan θ° terdapat hubungan sebagai berikut :
1. sin θ° =ry
→ y = r . sin θ°
2. cos θ° =rx → x = r . cos θ
3. r = 22 yx +
4. tg θ° =xy
→ θ° =xy
tg.arc
5. Koordinat kutub titik P adalah (r, θ°) bila dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah (r.cosθ° ,r.sinθ°).
6. Koordinat kartesius (x,y) bila dinyatakan dengan koordinat kutub adalah ( 22 yx + ,xy
tg.arc ).
Contoh 1. a : Diketahui koordinat kutub titk P (4 , 60°). Tentukan koordinat kartesius titik tersebut ! Penyelesaian : P (4 , 60°) → r = 4 dan θ° = 60°
x = r . cos θ° y = r . sin θ°x = 4. cos 60° y = 4 . sin 60°x = 4 . ½ y = 4 . ½√3x = 2 y = 2√3
Jadi koordinat kartesius dari titik P (4 , 60°) adalah : P (2 , 2√3)
Contoh 1. b : Diketahui koordinat kartesius titik P (2,2√3). Tentukan koordinat kutub titik P tersebut! Penyelesaian : P (2,2√3). → x = 2 dan y = 2√3 ( di kuadran III)
r = 22 )32()2( −+− tg θ° =2
32xy
−−
=
r = 124 + tg θ° = √3r = √16 θ° = arc. tg √3r = 4 θ° = 240° (kuadran III)
Jadi koordinat kutub dari titik P (2,2√3) adalah : P (4 , 240°)
Lembar Kerja Siswa 2
1. Ubahlah koordinat kutub berikut ke koordinat kartesius !a. A (6 , 30°) b. B (2 , 120°) c. C (6 , 315°) d. D (4√3 , 300°)
2. Ubahlah koordinat kartesius berikut ke koordinat kutub !a. P (2 , 2√3) b. Q (1 , 1) c. R (2√3 , 6) d. S (6 , 2√3)
3. Nyatakan koordinat kutub titiktitik berikut ke koordinat kartesius ! a. (8 , 45°) b. (7 , 90°) c. (4√3 , 150°) d. (10 , 330°) e. (8 , 240°) f. (3√2, 225°) g. (5√3 , 300°) h. (15 , 330°)4. Nyatakan koordinat kartesius titiktitik berikut ke koordinat kutub! a. (5 , 5) b. (5√3, 5) c. (3√2, 3√2) d. (6 , 6√3) d. (3√2, 3√2) e. (3√2, 3√6) f. (3√15, 9√5)5. Nyatakan ke koordinat kartesius ! a. (4, 180°) b. (6 , 270°) c. (8 , 120°) d. (5 , 315°) e. (6 , 140°) f. (10, 185°) g. (8 , 310°) h. (5 , 15°)
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
12
Kegiatan Belajar 3
Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat :1. Menjelaskan tentang aturan sinus dan cosinus2. menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga3. menerapkan aturan cosines untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga
Uraian Materi Kegiatan Belajar
3.1. Aturan Sinus∆ ABC dengan panjang sisisisinya a, b, c dan CE dan BDadalah garis tinggi serta ∆ ABC segitiga sembarang.
Pada ∆ AEC, maka sin A =ACCE → CE = AC . sin A = b . sin A … .1)
Pada ∆ BEC, maka sin B =CBCE → CE = CB . sin B = a . sin B … .2)
Dari pers. 1) dan pers. 2) didapatkan :→ b . sin A = a . sin B ( masingmasing dibagi dengan sin A. sin B)
Bsin.AsinAsin.b
Bsin.AsinBsin.a
= makaBsin
bAsin
a= … 3)
Pada ∆ ADB , maka sin A =ABBD → BD = AB . sin A = c . sin A … 4)
Pada ∆ CDB, maka sin C =BCBD → BD = BC . sin C = a . sin C … . 5)
Dari pers. 4) dan pers. 5) didapatkan→ c . sin A = a . sin C (masingmasing dibagi dengan sin A. sin C)
Csin.AsinCsin.a
Csin.AsinAsin.c
= makaAsin
aCsin
c= … 6)
Dari pers. 3) dan pers. 6) maka didapatkan aturan sinus :
→Csin
cBsin
bAsin
a== ← Aturan Sinus.
Contoh 1:Diketahui ∆ ABC, ∠A = 60°, ∠B = 45° dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC !Penyelesaian :Dari gambar di samping didapatkan :→ AB = c, AC = b dan BC = aAturan sinus yang dipakai :
→Bsin
bAsin
a= →
BsinAC
AsinBC
= → oo 45sinAC
60sin12
=
→ AC = o
o
60sin45sin.12 =
3
2.12
21
21
=33x
32.12 = 3
312 = 4√3 Jadi panjang sisi AC = 4√3 cm.
A
B
CD
E
ab
c
A
B C
bc 60°
a = 12 cm45°
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
13
Contoh 2:Diketahui ∆ ABC AB = 8 cm, AC = 5 cm dan ∠ B = 37°. Hitunglah besar sudut C !Penyelesaian :Dari data di atas ada 2 kemungkinan segitiga yangterbuat, yaitu :
→ AB = c, AC = b dan BC = aAturan sinus yang dipakai :
→Csin
cBsin
b= →
Csin8
37sin5
o = →5
o37sin.8Csin =
→5602,0.8
Csin = → sin C = 0,9632 dg tabel didapat ∠C = 74°24’ = 74,4°
Besar sudut C :→ ∠ C = 74,4°→ ∠C = 180° 74,4° = 105,6° Jadi ∠C = 74,4° dan 105,6°.
3.2 Aturan Cosinus
Pada ∆ ABC, CD adalah garis tinggi.
sin A = Asin.bCDAsin.ACCDACCD
=⇒=⇒
cos A = Acos.bADAcos.ACADACAD
=⇒=⇒
Dasar Phytagoras dari ∆ BDC didapat :→ 222 BDCDa +=→ 222 )ADc()Asin.b(a −+=
→ 222 )Acos.bc()Asin.b(a −+=
→ AcosbAcos.bc.2cAsin.ba 222222 +−+= → Acos.bc2cAcosbAsin.ba 222222 −++=→ Acos.bc2c)AcosA(sinba 22222 −++= → Acos.bc.2cba 222 −+=
Dengan memandang sudut B diperoleh : sin B =at
Maka :→ t = a. sin B→BD = a . cos B→AD = c – a . cos B→ 222 ADtb += → 222 )Bcos.ac()Bsin.a(b −+=
→ Bcos.aBcos.ac.2cBsin.ab 222222 +−+= → 222222 cBcos.ac.2Bcos.aBsin.ab +−+=→ 22222 cBcos.ac.2)BcosB(sinab +−+= → Bcos.ac.2cab 222 −+=
Dengan cara yang sama didapat rumus aturan cosinus sebagai berikut :→ Acos.bc.2cba 222 −+=→ Bcos.ac.2cab 222 −+=→ Ccos.ab.2bac 222 −+=
C
A
B37°
8 cm 5 cm37°
8 cm5 cm
C
A
B
A B
C
D
ab
c
t
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
14
Contoh 1 :Diketahui ∆ ABC , AB = 5 dan AC = 8 dan ∠A=60°.Hitunglah panjang sisi BC!Penyelesaian :Dengan melihat data yang ada didapatkan :AB = c = 5, AC = b = 8, ∠A = 60° , maka aturan cosinus yang dipakai adalah :→ Acos.bc.2cba 222 −+=
→ o222 60cos.5.8.258a −+=
→ 21.8025642a −+=
→ 4089a2 −= = 49→ a = √49 = 7 Jadi sisi BC = a = 7
Contoh 2: Dalam ∆ ABC diketahui AB = 6, AC = 5 dan BC = 4. Hitunglah besar sudut B!
Penyelesaian :Aturan cosinus yang dipakai :
Bcos.AB.BC.2ABBCAC 222 −+=
Bcos.ac.2cab 222 −+=
c.a.2cabBcos
222
−−−
= →c.a.2
bcaBcos222 −+
=
6.4.2564Bcos
222 −+=
48253616Bcos −+
= → cos B = 0,5625 → B = arc. cos 0,6525
Jadi besar sudut B = 55°46’ = 55,77°
Contoh 3 : Pada ∆ ABC diketahui ∠A = 60°, sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukanlah : a. panjang sisi a b. besar ∠ B c. besar ∠ C Penyelesaian :
a. Acos.bc.2cba 222 −+=o222 60cos.16.10.21610a −+=
212 .16.10.2256100a −+=
196a2 = a = 14 cm
b.c.a.2
bcaBcos222 −+
=
16.14.2101614Bcos
222 −+= →
448100256196Bcos −+
=
448356Bcos = → 795,0Bcos = → B = arc. cos 0, 795
Dengan menggunakan tabel sincos atau dengan kalkulator didapatkan besar sudut B = 38°28’Besar sudut C didapatkan dengan dasar jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180° maka besarsudut : C = 180° ( 60° + 38° 28’)
C = 180° 98° 28’C = 81° 32’
Lembar Kerja Siswa KB 31. Tentukan nilai dari unsur yang belum diketahui jika a = 5,5 cm, ∠B = 45° dan ∠A = 60°.2. Pada ∆ ABC jika ∠A = 60° , ∠ B = 15° dan a = 10 cm, tentukan a, b, dan ∠ C!3. Pada ∆ PQR jika ∠Q = 60° , p = 8 cm dan q = 14 cm, tentukan ∠P, ∠R dan sisi r !4. Pada ∆ ABC jika diketahui a = 7 cm, b = 4 cm dan ∠C = 50° , hitunglah sisi c !5. Pada ∆ ABC jika diketahui b = 4 cm, c = 6 cm dan ∠A = 24°, hitunglah sisi a !6. Pada ∆ ABC, diketahui a = 6 cm. b = 7 cm dan c = 5 cm, hitunglah ∠ B!
A B
C
60°
8
5
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
15
7. Pada ∠PQR jika PQ = 7 cm, QR = 9 cm dan PR = 6 cm, hitunglah nilai ∠P, ∠Q dan ∠R!8. Kota B terletak 20 km sebelah utara kota A dan kota C terletak 15 kn barat laut kota A.
Hitunglah jarak antara kota B dan kota C!9. Pada ∆ ABC, ∠A = 30°, ∠C = 45° dan b = 20 cm, tentukan a, c, dan ∠B!10. Pada ∆ ABC, ∠C = 30°, b = 10 cm dan c = 6 cm, tentukan a, ∠B dan ∠C!
Kegiatan Belajar 4. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
Tujuan Kegiatan Belajar 4Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat :
1. Menentukan rumus luas segitiga2. Menentukan luas segitiga
Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
Gambar di bawah adsalah ∆ ABC dan untuk mencari luas segitiga adalah :
Luas ∆ ABC =2tinggixAlas
Dari gambar segitiga tersebut, alas = AB, tinggi CD, dan CD = b sin α, maka
Luas ∆ ABC =2
AB.CD
=2sinAB.b α
= αsinb.c21
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bila diketahui besar salah satu sudut dan panjangdua sisi yang mengapit sudut itu, maka luas segitiga dapat ditentukan :
L ∆ ABC = ½ a. b sin λ
= ½ b.c sin α
= ½ a.c sin β
Contoh 1 :
Diketahui ∆ ABC dengan sisi a = 20, b = 25, δ = 550
Carilah luas ∆ ABC tersebut !
Jawab : Luas ∆ ABC = ½ a . b sin δ
= ½ . 20 . 25 . sin 550
= ½ . 20. 25 (0,8191)
= 209,78 satuan luas.
Jadi luas segitiga ABC adalah 209,78 cm2.
A B
C
D
ab
c
α β
λ
CA
B
2025 5500
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
16
Contoh 2
Diketahui ∆ ABC, dengan sisi a = 14 cm, b = 16 cm dan c = 22 cm.
Carilah luas ∆ ABC tersebut !
Jawab :
α−+= cos.c.b.2cba 222
α−+= cos.22.16.2221614 222
196 = 256 + 489 – 704 cos α
cos α = 704196740 −
cos α = 704544 = 0,7727
α = 39024’
Luas ∆ ABC = ½ b.c sin α
= ½ 16.22 sin 39024’
= 176. 0,6347
= 111,7072
Jadi luas ∆ ABC = 111,7072 cm2
Lembar Kerja Siswa KB 4
1. Carilah luas ∆ ABC jika :a. a = 7 cm, b = 9 cm dan δ = 720
b. b = 24 cm, c = 30 cm dan α = 450
c. c = 40 cm, a = 14 cm dan β = 600
2. Carilah luas ∆ ABC jika :a. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cmb. a = 12,7 cm, δ = 450, β = 600
c. b = 15,16 cm, c = 14,8 cm, δ = 600
3. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !4. Suatu jajaran genjang ABCD, AB = 84 cm, BC = 68 cm dan ∠BAD = 450. Hitunglah luas
jajaran genjang ABCD tersebut !5. Hitunglah luas segiempat ABCD seperti pada gambar berikut :
6. Hitunglah luas segitiga ABC dengan :a. sisi alas BC = 5,6 dan tinggi = 2,5b. sisi alas BC = 16 dan tinggi = 8 cm
7. Hitunglah luas segitiga ABC, bila diketahui AB = 8, BC = 11 dan <B = 30 !8. Hitunglah luas segitiga ABC berikut, jika :
a. b = 4, c = 5 dan , ∠ A = 1200
b. a = 10, b = 20 dan ∠ C = 450
9. Hitunglah luas segi empat ABCD seperti tampak pada gambar!
D
B
C
A
1200 9
10
8
7
120°
B
C
D
A
8
10
7
60°
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
17
10. Diketahui segi enam beraturan dengan panjang sisinya 8 cm. Hitunglah luas segi enamtersebut !
Kegiatan Belajar 5. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
Tujuan Kegiatan Belajar 5Setelah mempelajari materi ini, siswa dapat :
1. Menentukan rumusrumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.2. Menyelesaikan soalsoal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.3. Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisih dua sudut.
Uraian Materi5.1 Rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut.
1. Cos (A+B) = Cos A. Cos B – Sin A . Sin B2. Cos (AB) = Cos A. Cos B + Sin A . Sin B3. Sin (A+B) = Sin A. Cos B + Cos A . Sin B4. Sin (AB) = Sin A. Cos B Cos A . Sin B5. Tan (A+B) = Tan A + Tan B
1 – Tan A. Tan B6. Tan (AB) = Tan A Tan B
1 – Tan A Tan BContoh Soal :
Diketahui : Sin A = 53 untuk A sudut lancip
Cos B = 1312 untuk B sudut lancip
Tentukan : a. Sin (A + B)b. Cos (B – A)c. Tan (A – B)
Jawab :
Sin A = 53 Sin B = 13
12
Cos A = 54 Cos B = 13
12
Tan A = 43 Tan B = 12
5
a. Sin (A+B) = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B
= 53 . ( 13
12 ) + 54 . 13
5
= 6536 + 65
20
= 6516
b. Cos (BA) = Cos B . Cos A + Sin B . Sin A
= 1312 . 5
4 + 135 . 5
3
= 6548 + 65
15
= 6533
c. Tan (AB) = Tan A – Tan B 1 + Tan A . Tan B
A B
C
4
5 3
C
A B12
513
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
18
= )12/5.(4/31)12/5(4/3
−+−−
= 48/15112/54/3
−+ =
4815
4848
48/2048/36
−
+
= 48/3348/56
= 3356
5.2 Rumus trigonometri rangkapa. Sin 2 A = 2 Sin A . Cos Ab. Cos 2 A = Cos2 A – 1
= 2 Cos2 A – 1= 1 – 2 Sin2 A
c. Tan 2 A =ATan1
TanA.22−
Contoh :
Diketahui Cos A = 1312 untuk A sudut lancip.
Tentukan : a. Sin 2 Ab. Cos 2 Ac. Tan 2 A
Jawab :
Cos A = 1312
Sin A = 135
Tan A = 5/12
a. Sin 2 A = 2 Sin A . Cos A
= 2 . 135 . 13
12
= 169120
c. Tan 2 A = 2 Tan A = 2 . 5/12
1 – Tan2 A 1 – ( 125 )2
=
14425
144144
1210
− =
144119
1210
= 119144x12
10 = 119120
b. Cos 2 A = 1 – 2 Sin2 A
= 1 – 2 ( 135 )2
= 1 – 2 16925
= 16950169 −
= 169119
5.3 Rumus perkalian Sinus dan Cosinusa. 2 Sin A . Cos B = Sin (A+B) + sin (AB)b. 2 Cos A . Sin B = Sin (A+B) – Sin (AB)c. 2 Cos A . Cos B = Cos (A+B) + Cos (AB)d. – 2 Sin A . Sin B = Cos (A+B) – Cos (AB)Contoh :Nyatakan sebagai jumlah Sinus dan sederhanakan jika mungkin :
A B
C
13
12
5
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
19
a. Cos 750 Cos 150
b. Cos 2x . Sin xJawab :a. 2 Sin A Cos B = sin (A+B) + sin (AB)
Sin A Cos B = ½ {Sin (A+B) + Sin (AB)}Sin 75 Cos 15 = ½ {Sin (75 + 15) + Sin (75 – 15)}
= ½ {Sin 900 + Sin 600}= ½ {1 + ½ 3 }= ½ + ¼ 3
b. 2 Cos A . Sin B = Sin (A+B) – Sin (AB)Cos A Sin B = ½ {Sin (A+B) – Sin (AB)}Cos 2x Sin x = ½ {Sin (2x + x) – Sin (2x – x)}
= ½ {Sin 3x – Sin x}= ½ Sin 3x – ½ Sin x
5.4 Rumus penjumlahan dan pengurangan Sinus dan Cosinusa. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) . Cos ½ (AB)b. Sin A – Sin B = 2 Cos ½ (A+B) . Sin ½ (AB)c. Cos A – Cos B = 2 Cos ½ (A+B) . Cos ½ (AB)d. Cos A – Cos B = 2 Sin ½ (A+B) . Sin ½ (AB)Contoh :Hitunglah : a. Cos 750 + Cos 150 b. Sin 750 + Sin 150
Jawab :a. Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A+B) Cos ½ (AB)
Cos 750 + Cos 150 = 2 Cos ½ (75+15) Cos ½ (7515)= 2 Cos ½ (90) . Cos ½ (60)= 2 Cos 45 . Cos 30= 2 . ½ 2 . ½ 3 = ½ 6
b. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) . Cos ½ (AB)Sin 75 + Sin 15 = 2 Sin ½ (75+15) . Cos ½ (7515)
= 2 Sin ½ (90) . Cos ½ (60)= 2 Sin 45 . Cos 30= 2 . ½ 2 . ½ 3 = ½ 6
Lembar Kerja Siswa KB 5
1. Diketahui Sin A + ½, Cos B = 23 , A dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari :
a. Cos (A + B)b. Sin (A – B)c. Tan (A – B)
2. Diketahui Tan A = 4/5 dan Tan B = 7/24, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukannilai dari :a. Cos (AB)b. Sin (A+B)c. Tan (AB)
3. Dengan mengatakan 750 = 450 + 300. Tentukan nilai dari :a. Sin 750
b. Cos 750
c. Tan 750
4. Diketahui : tan B = 1/3 (B sudut lancip). Tentukan nilai :a. Sin 2 Ab. Cos 2 Ac. Tan 2 A
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
20
5. Nyatakan sebagai jumlah Sinus atau Cosinus dan sederhanakan jika mungkin :a. 2 Sin 1450 Cos 550
b. Sin (π + x) . Cos (π x)c. 2 Cos (π/2 + x) . Cos (π/2 – x)d. 2 Cos 500 Cos 400 – 2 Sin 950 . Sin 850
6. Sederhanakan :a. Cos 750 – Cos 150
Sin 750 + Sin 150
b. Sin 7A – Sin 3ASin 9A + Sin 3A
7. Buktikkan :
a. Tan 2x = Tany1Tany1
+− , jika 2x + y = π/2
b. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A – Cos 3A = Cos A
c. A2CosA4CosA2SinA4Sin
++ = Tan 3A
d. SinAA3SinA5CosA3Cos
−− = 2 Sin 2A
8. Jika tan x = ½ dan tan y = 1/3 hitunglah :a. tan 2xb. tan 2yc. tan (2x + 2y)
9. Buktikan : Sin 3B + (Cos B + Sin B) (1 – 2 Sin 2B) = Cos 3B
10. Buktikan : α=ααα+α Ctan3CosCos
3SinSin
Kegiatan Belajar 6. Menyelesaikan persamaan trigonometri
Tujuan Kegiatan Belajar 6Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat :
1. Menentukan identitas trigonometri.2. Menyelesaikan bentukbentuk persamaan trigonometri.
Uraian Materi
6.1 Identitas TrigonometriSuatu persamaan yang dipenuhi oleh semua variabelnya disebut identitas/kesamaan.Biasanya bentuk identitas diminta membuktikkan bentuk yang satu dengan bentuk yanglain, atau membuktikkan luar kiri sama dengan luar kanan.
Menurut definisi :
Sin α = ca Ctan α = a
b
Cos α = cb Sec α = b
c
Tan α = ba Cosec = a
c
Sekarang perhatikan rumusrumus berikut :
1. Sin2 α + Cos2 α =22
cb
ca
+
5. Ctan2 α + 1 = 1a
b 2
+
αA C
B
c a
b
β
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
21
= 2
2
2
2
cb
ca
+
= 2
22
cba + = 2
2
cc = 1
= 2
2
2
2
aa
ab
+ = 2
22
aab +
= 2
2
ac = Cosec2 α
2. tan α =αα
==CosSin
cbba
ba 6. Sec α =
bc
=
cb1 =
αCos1
3. ctan α =αα
==SinCos
cacb
ab
=αα
=SinCos
cacb
7. Cosec α =ac
=
ca1
=αSin
1
4. tan2 α + 1 = 1ba 2
+
= 2
2
2
2
bb
ba
+
= 2
22
bba +
= 2
2
bc = Sec2 α
8. Ctan α =
ba1
ab
=
=αtan
1
Contoh :1. Buktikan : Sec A – Cos A = tan A . Sin A
Bukti :
Sec A – Cos A = CosACosA1
−
= CosAACos1 2−
= CosAASin 2
= SinACosASinA
−
= tan A . Sin A (terbukti)
2. Buktikan : Sec2x (1 – sin4x) – 2 Sin2x = Cos2xBukti :
Sec2x (1 – sin4x) – 2 Sin2x =xCos
12 (1 – sin2x) (1 + sin2x) – 2 Sin2x
=xCos
12 .Cos2x (1 + sin2x) – 2 Sin2x
= 1 + Sin2x – 2 Sin2x= 1 – Sin2x= Cos2x (terbukti)
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
22
6.2 Persamaan TrigonometriPersamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat satu atau beberapa fungsitrigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui.
a. Persamaan trigonometri bentuk sederhana1. Jika sin x = sin α maka (i) x = α0 + k.3600
(ii) x = (1800α) + k.3602. Jika cos x = cos α maka (i) x = α0 + k.3600
(ii) x = α0 k . 3600
3. Jika tg x = tg α maka (i) x = α + k.1800
Dimana k adalah bilangan bulat.Atau1. Jika sin x = Sin α maka (i) x = α + k . 2π
(ii) x = (π α) + k . 2π2. Jika cos x = cos α maka (i) x = α + k . 2π
(ii) x = α + k . 2π3. Jika tg x = tg α maka x = α + k . π
Dimana k adalah bilangan bulat.Contoh :1. Tentukan penyelesaian Sin x = ½ 3 untuk 0 x 3600
Jawab :Sin x = ½ 3Sin x = sin 600 maka berlaku :(i) x = 600 + 0.3600 = 600
k = 0à x = 600 + 1.3600 = 600
k = 1à x = 600 + 1.3600 = 4200 (tidak memenuhi)(ii) x = (1800600) + k . 3600
x = 1200 + k . 3600
k = 0à x = 1200 + 0.3600 = 1200
k = 1à x = 1200 + 1.3600 = 4800 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {600, 1200}
2. Cos x ½, tentukan himpunan penyelesaiannya !Jawab :Cos x = ½ (untuk 0 x 3600)Cos x = Cos 600 maka :(i) x = 600 + k . 3600
k = 0à = 600 + 0.3600 = 600
k = 1à = 600 + 1.3600 = 4200 (tidak memenuhi)(ii) x = 600 + k.3600
k = 0à x = 600 + 0.3600 = 600 (tidak memenuhi)k = 1à x = 600 + 1.3600 = 3000
k = 2à x = 600 + 2.3600 = 6600 (tidak memenuhi). Jadi Hp = {600, 3000}3. Tentukan penyelesaian dari tg x = 1/3 3 untuk 0 x 2π !
Jawab :Tg x = 1/3 3
Tg x = tg 6π maka x = 6
π + k . π
k = 0à x = 6π + 0 . π = 6
π
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
23
k = 1à x = 6π + 1. π = 6
7π
k = 2à x = 6π + 2. π = π6
13 tidak memenuhi
Jadi Hp = { 6π , 6
7π }
b. Persamaan bentuk sin px = a, cos px = a; dan tan px = aUntuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin px = a, cos px = a dan tan px= a, dengan p dan a merupakan konstanta, maka terlebih dahulu persamaan tersebutharus ke dalam bentuk dasar.
Contoh :1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 3600 !
a. 2 sin 2x = 3b. cos 2x = ½c. 3 tan 3x = 1
Jawab :a. 2 sin 2x = 3↔ sin 2x = ½ 3↔ sin 2x = sin 600 maka(i) 2x = 600 + k . 3600
x = 300 + k . 1800
k = 0à x = 300 + 0 . 1800 = 300
k = 1à x = 300 + 1 . 1800 = 2100
k = 2à x = 300+2.1800=3900 (tidak memenuhi)
(ii) 2x = 1800 – 600 + k . 3600
2x = 1200 + k . 3600
x = 600 + k . 1800
k = 0à 600 + 0 . 1800 = 600
k = 1à 600 + 1 . 1800 = 2400
k = 2à 600+2.1800 = 4200 (tidak memenuhi)
Jadi Hp = {300, 600, 2100, 2400}
b. Cos 2x = ½↔ cos 2x = Cos 600 maka :(i) 2x = 600 + k . 3600
x = 300 + k . 1800
k = 0à x = 300 + 0 . 1800 = 300
k = 1à x = 300 + 1 . 1800 = 2100
k=2à x = 300+2. 1800 = 3900 (tidak memenuhi)
(ii) 2x = 600 + k . 3600
x = 300 + k . 1800
k = 0à x = 300+0.1800= 300 (tidak memenuhi)k = 1à x = 300 + 1 . 1800 = 1500
k = 2à x = 300 + 2 . 1800 = 3300
k = 3à x =300+3.1800= 5100 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {300, 1500, 2100, 3300}
c. 3 tan 3x = 1
↔ tan 3x = 331
31
−=−
↔ tan 3x = tan 1500 maka3x = 1500 + k . 1800
x = 500 + k . 600
k = 0à x = 500 + 0 . 600 = 500
k = 1à x = 500 + 1 . 600 = 1100
k = 2à x = 500 + 2 . 600 = 1700
k = 3à x = 500 + 3 . 600 = 2300
k = 4à x = 500 + 4 . 600 = 2900
k = 5à x = 500 + 5 . 600 = 3500
k = 6à x = 500 + 6 . 600 = 4100 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {500, 1100, 1700, 2300, 2900, 3500, 4100}
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
24
2. Tentukan Hp dari 3 Cos (4x + π) = 1½ untuk 0 ≤ x ≤ 2πJawab :
3 Cos (4x + π) = 1½↔ 3 Cos (4x + π) = 3/2↔ Cos (4x + π) = 3/2 3↔ Cos (4x + π) = ½ 3↔ Cos (4x + π) = Cos 5/6 π maka :
(i) 4x + π = 5/6 π + k . 2π4x = 5/6 π π + k . 2π4x = π/6 + k . 2π x = π/24 + k . π/2k = 0à x = π/24 + 0 . π/2 = π/24(tidak memenuhi)
)memenuhitidak(2459
2.5
24x5k
2447
2.4
24x4k
2435
2.3
24x3k
2423
2.2
24x2k
2411
2.1
24x1k
π=π
+π
−=→=
π=π
+π
−=→=
π=π
+π
−=→=
π=π
+π
−=→=
π=π
+π
−=→=
(ii) 4x + π = π+π− 2.k65
4x = π+π−π− 2.k65 = π+π− 2.k
611
4x =2
.k2411 π
+π−
)memenuhitidak(2411
2.0
2411x0k π−=
π+π−=→=
)memenuhitidak(2449
2.5
2411x5k
2437
2.4
2411x4k
2425
2.3
2411x3k
2413
2.2
2411x2k
241
2.1
2411x1k
π=π
+π−=→=
π=π
+π−=→=
π=π
+π−=→=
π=π
+π−=→=
π=π
+π−=→=
Jadi Hp = { ππππππππ 2447,24
37,2435,24
25,2423,24
13,2411,4
1 }
3. Tentukan penyelesaian 3 tan ½x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π !Jawab :
3 tan ½ x = 1↔ tan ½ x = 1/ 3↔ tan ½ x = tan π/6 maka :
½ x = π/6 + k . π x = π/3 + k . 2πk = 0à x = π/3 + 0 . 2π = π/3k = 1à x = π/3 + 1 . 2π = 7/3π (tidak memenuhi)
Jadi Hp = {3π }
c. Persamaan bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin (x + b) = c.Untuk menyelesaikan, kita ingiat rumusrumus berikut :Cos (A+B) + Cos (AB) = 2 Cos A . Cos BCos (AB) + Cos (A+B) = 2 Sin A . Sin BSin (A+B) + Sin (AB) = 2 Sin A . Cos BSin (A+B) – Sin (AB) = 2 Cos A . Sin B
Contoh :
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
25
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0 ≤ x ≤ 3600 !a. Sin (600 + 2x) – Sin (600 – x) = 1b. Sin 5x – sin x = 0c. Cos 4x – Cos 2x = 0
Jawab :a. Sin (600 + 2x) – Sin (600 – x) = 1
↔ 2 Cos 600 Sin x = 1↔ 2 . ½ Sin x = 1↔ Sin x = 1↔ Sin x = Sin 900 maka :(i) x = 900 + k . 3600
k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900
k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500
(tidak memenuhi)(ii) x = 1800 – 900 + k . 3600
x = 900 + k . 3600
k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900
k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {900}
b. Sin 5x – sin x = 0↔ Sin (3x + 2x) – Sin (3x2x) = 0↔ 2 Cos 3x . Sin 2x = 0↔ Cos 3x = 0 atau Sin 2x = 0Untuk Cos 3x = 0 ↔ Cos 3x = Cos 900 maka :(i) 3x = 900 + k . 3600
x = 300 + k . 1200
k = 0à x = 300 + 0 . 1200 = 300
k = 1à x = 300 + 1 . 1200 = 1500
k = 2à x = 300 + 2 . 1200 = 2700
k = 3à x = 300 + 3 . 1200 = 3900 (tidak memenuhi)
(ii) 3x = 900 + k . 3600
x = 300 + k . 1200
k = 0à x = 300 + 0 . 1200 = 300 (tidak memenuhi)k = 1à x = 300 + 1 . 1200 = 900
k = 2à x = 300 + 2 . 1200 = 2100
k = 3à x = 300 + 3 . 1200 = 3300
k = 4à x = 300 + 4 . 1200 = 4500 (tidak memenuhi)Untuk Sin 2x = 0 ↔ Sin 2x = Sin 0 maka :(i) 2x = 0 + k . 3600
x = k . 1800
k = 0à x = 0 . 1800 = 0k = 1à x = 1 . 1800 = 1800
k = 2à x = 2 . 1800 = 3600
k = 3à x = 3 . 1800 = 5400 (tidak memenuhi)
(ii) 2x = 1800 – 0 + k . 3600
2x = 1800 + k . 3600
x = 900 + k . 1800
k = 0à x = 900 + 0 . 1800 = 900
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
26
k = 1à x = 900 + 1 . 1800 = 2700
k = 2à x = 900 + 2 . 1800 = 4500 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {00, 300, 900, 1500, 1800, 2100, 2700, 3300, 3600}
c. Cos 4x – Cos 2x = 0↔ Cos (3x + x) – Cos (3x – x) = 0↔ 2 Sin 3x Sin x = 0↔ Sin 3x = 0 atau Sin x = 0Untuk Sin 3x = 0 ↔ Sin 3x = Sin 0 maka :(i) 3x = 00 + k . 3600
x = 00 + k . 1200
k = 0à x = 00 + 0 . 1200 = 0k = 1à x = 00 + 1 . 1200 = 1200
k = 2à x = 00 + 2 . 1200 = 2400
k = 3à x = 00 + 3 . 1200 = 3600
k = 4à x = 00 + 4 . 1200 = 4800 (tidak memenuhi)
(ii) 3x = 1800 – 0 + k . 3600
3x = 1800 + k . 3600
x = 600 + k . 1200
k = 0à x = 600 + 0 . 1200 = 600
k = 1à x = 600 + 1 . 1200 = 1800
k = 2à x = 600 + 2 . 1200 = 3000
k = 3à x = 600 + 3 . 1200 = 4200 (tidak memenuhi)
Untuk Sin x = 0 ↔ Sin x = Sin 00 maka :(i) x = 00 k . 3600
k = 0à x = 00 + 0 . 3600 = 00
k = 1à x = 00 + 1 . 3600 = 3600
k = 2à x = 00 + 2 . 3600 = 7200 (tidak memenuhi)
(ii) x = 1800 – 00 + k . 3600
x = 1800 + k . 3600
k = 0à x = 1800 + 0 . 3600 = 1800
k = 1à x = 1800 + 1 . 3600 = 5400 (tidak memenuhi)
Jadi Hp = {00, 600, 1200, 1800, 2400, 3000, 3600}
d. Persamaan trigonometri bentuk a Cos x0 + b sin x = cUntuk menyelesaikan persamaan a Cos x0 + b sin x = c, mulamula persamaan itu
diubah ke bentuk k Cos (x –α) = c, dimana k = 22 ba + dan tan α =ab ,
Contoh :Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x – Sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 3600 !
Jawab :Cos x – Sin x = 1a = 1b = 1c = 1
k = 22 ba + = 211)1(1 22 =+=−+
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
27
tan α =ab
tan α = )IVkw(111
−−
α = 315
Cos x – Sin x = k Cos (x –α) = 1
2 Cos (x – 315) = 221
21
=
Cos (x – 315) = Cos 450, maka :i. x – 3150 = 450 + k . 3600
x = 3600 + k . 3600 untuk k = 0 diperoleh x = 3600
ii. x – 3150 = 45 + k . 3600
x = 2700 + k . 3600
k = 0à x = 2700 + 0 . 3600 = 2700
k = 1à x = 2700 + 1 . 3600 = 6300 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {2700, 3600}
e. Persamaan kuadrat dalam Sin, Cos, TanUntuk menyelesaikan persamaan trigonometri kuadrat dengan pemisalan kemudiandijalankan untuk mendapatkan akarakar penyelesaian, dan diselesaikan sesuaidengan rumus dasar.
Contoh :Tentukan Hp dari persamaan Sin2x + Sin x2 = 0 untuk 0≤ x ≤ 3600 !
Jawab :Sin2x + Sin x 2 = 0Misal Sin x = p makaSin2x + Sin x 2 = p2 + p – 2 = 0p2 + p – 2 = 0(p + 2) (p – 1) = 0p + 2 = 0 atau p – 1 = 0p = 2 p = 1p = 2Sin x = 2 (tidak mungkin, karena Sin x ≤ 1)p = 1Sin x = 1Sin x = Sin 900 maka :(i) x = 900 + k . 3600
k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900
k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500 (tidak memenuhi)(ii) x = 1800 – 900 + k . 3600
k = 0à x = 900 + k . 3600 = 900 (sama dengan (i))Jadi Hp = {900)
Lembar Kerja Siswa KB 61. Buktikan :
a. Cos A (1 – tan A) = Cos A – Sin Ab. 2 Cos2 A – 1 = 1 – 2 Sin2 A
c.1ASin2
1ACtanATanACtanATan
2 −=
+
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
28
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 3600 dari persamaan berikut :a. Cos x = ½ 3b. Sin x = ½c. Tan x = 3
3. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π dari : … .a. Sin 3x = ½ 2b. b. Tan 5x = 1/3 3
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. Cos 6x – Cos 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600
b. Sin 4x + Sin 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. 2 Sin2x – 6 Sin x + 4 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 36003b. Cos x + 3 Sin x = 3 untuk 0 ≤ x ≤ 3600
c. 2 Cos2x – 3 Cos x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600
d. 2 Cos x 2 Sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 3600
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
29
UJI KOMPETENSI
Pilihlah jawaban yang benar !1. Nilai dai cos 135° adalah …
a. ½ √3 b. ½ √2 c. 31 √3 d. ½ √2 e. ½ √3
2. Jika tg α = 34 dan 180° < α < 270°, maka sin α = …
a. – 4/5 b. – 3/5 c. 3/4. d. 3/5 e. 4/53. Jika 90° < α < 180° dan sin α = 4/5, maka cos α = …
a. 4/3 b. 4/5 c. 3/5 d. 3/5 e. 4/54. Jika sin α = 5/13 ( di kuadran IV) maka sec α = …
a. 13/5 b. 12/5 c. 12/13 d. 13/12 e. 13/55. Jika sin β = ½ √3, maka sudut β berada pada kuadran …
a. II saja b. III saja c. II dan III d. II dan IV e. III dan IV6. Koordinat kartesius titik (4 , 330°) adalah …
a. (2√ 3 , 2) b. (2√ 3 , 2) c. (1 , 2√ 3) d. 2 , 2√ 3) e. (2 , 2√ 3)7. Suatu segitiga sikusiku di C dengan sisi AC = 4 cm dan BC = 8 cm, maka harga cos A = …
a. 31 √ 3 b. ½ √ 2 c. 5
1 √ 5 d. 32 √ 3 e. 4
1 √ 28. Koordinat kutub titik ( 1, √ 3) adalah …
a. (4 , 210°) b. (2 , 240°) c. (6 , 225°) d. (5 , 240°) e. (2 , 210°)
9. Pada setiap segitiga berlaku …
a.b.a.2
cbaAcos222 ++
= c.b.a.2
cbaBcos222 ++
= e.b.a.2
cbaCcos222 ++
=
b.b.a.2
cbaAcos222 −+
= d.b.a.2
acbBcos222 −+
=
10. Jika ∆ XYZ dengan ∠X = 30° dan ∠Y = 45° dan x = 8 cm, maka sisi y adalah …a. 4√ 2 b. 4√ 3 c. 8√ 2 d. 8√ 3 e. 16√ 3
11. Jika f(x) = x3 maka nilai f(x) untuk x = 2 adalah …a. 9 b. 9
1 c. 91 d. 6 e. 9
12. Jika f(x) = xlog5 maka f(25) adalah …a. – 2 b. – ½ c. ½ d. 2 e. 3
13. Jika f(x) = cos (x – 60°) maka f(π) = …a. – ½ √ 3 b. – ½ √ 2 c. – ½ d. ½ √ 2 e. ½ √ 3
14. Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = b cm, sisi BC = a, dan a + b = 10 cm. Jika∠A = 300 dan ∠ B = 600 maka panjang sisi AB … .a. 10 + 5 3 cm b. 10 – 5 3 cm c. 10 3 10 cm d. 5 3 + 5 cm e. 5 3 + 15 cm
15. Cos26π Sin2
43π + Sin
4π Cos
43π … .
a. – 4 ¼ b. – 3 ¾ c. 4 ¼ d. 4 e. 3 ¾16. Jika tan2 x + 1 = a2 maka sin2 x = … .
a. (1a2) / a2 b. –a2/(a2+1) c. 1/a2 d. a2/(a2+1) e. (a21) / a2
17. Pada segitiga ABC diketahui a + b = 10, sudut A = 300 dan B = 450, maka panjang b … .a. 5 ( 2 1) b. 5 (2 2 ) c. 10 (2 2 ) d. 10 ( 2 + 2) e. 10 ( 2 + 1)
18. (1 – Cos x) / Sin x = … .
a.xCos1
xSin+−
b.xSin1xCos
−−
c.xCos1
xSin−
d.xSin1
xCos+
e.xCos1
xSin+
19. Jika2π < x < π dan tan x = a, maka (Sin x + Cos x)2 = … .
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
30
a.1a
1a2a2
2
+++ b.
1a1a2a
2
2
+−− c.
1a1aa
2
2
+++ d.
1a1a2a
2
2
++− e.
1a1a2a
2
2
−+−
20. Luas segitiga ABC dengan panjang sisi b = 5 cm, panjang sisi c = 8 cm, ∠A = 45° adalah …A. 10 cm2 B. 10√3 cm2 C. 20 cm2 D. 20√3 cm2 E. 20√2 cm2
21. Diketahui sin A = 53 , cos B = 13
5 , A dan B sudut lancip, maka nilai dari sin(A + B) = …
A. 6563− B. 65
50− C. 6533− D. 65
33 E. 6563
22. Jika cos A = 54 dan 0° < A < 90° , maka sin 2A = …
A. 2524 B. 10
8 C. 106 D. 25
7 E. 254
23. sin 75° + sin 15° = …A. – 1 B. 0 C. ½ √ 2 D. ½ √ 6 E. 1
24. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3x° 1 = 0, untuk 0°≤x≤ 360° adalah …A. {20°, 10°, 220°, 260°, 340°} D. {60°, 120°, 240°, 300°}
B. {20°, 120°, 140°, 240°, 300°, 340°} E. {60°, 100°, 240°, 330°}
C. {60°, 120°, 240°, 300°}
25. Ali berdiri sejauh 100 meter dari suatu tiang dan memandang ke puncak dengan sudut pandang α. Jikasin α = ¾ dan tinggi Ali 1,50 meter, maka tinggi tiang adalah … .
A. 61,5 mater B. 75 meter C. 76,5 meter D. 81,5 meter E. 134,8 mater
Click t
o buy NOW!
PDFXCHANGE
www.docutrack.com Clic
k to buy N
OW!PDFXCHANGE
www.docutrack.com
top related