5

8.Menerapkan Konsep TrigonometriTujuan PembelajaranSetelah mempelajari seluruh kegiatan belajar pada modul diharapkan siswa dapat :

1. Menjelaskan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen)2. Menentukan nilai perbandingan trigonometri, bila diketahui panjang sisi­sisi segitiganya3. Menentukan nilai  perbandingan trigonometri di berbagai kuadran4. Menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub5. Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya6. Menjelaskan aturan sinus dan aturan cosinus7. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus8. Menentukan luas segitiga dengan aturan sinus9. Mengoperasikan rumus trigonometri  untuk jumlah dan selisih dua sudut dan sudut rangkap

10. Menjelaskan identitas trigonometri : sin2 x + cos2 x = 111. Menyelesaikan bentuk­bentuk persamaan trigonometri :

­ sin x   = a­ cos px = a­ a cos x + b sin x = c

Kegiatan Belajar 1. Menentukan dan menggunakan nilai  perbandingan trigonometri suatu sudut

Tujuan Kegiatan Belajar 1Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat  :

1. menjelaskan tentang perbandingan trigonometri2. menggunakan  perbandingan  trigonometri  untuk  menghitung  panjang  sisi  dan  besar  sudut

segitiga siku­siku.3. menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.

Uraian Materi Kegiatan Belajar 11.1.  Perbandingan Trigonometri

x = sisi siku­siku samping sudut ( proyeksi )y = sisi siku­siku depan sudut ( proyektor )r = sisi miring ( proyektum )Dasar perbandingan :

a. sinus α =ry d. cosecan α  =

yr

b. cosinus α =rx e. secan α =

xr

c. tangen α =xy f. cotangen α  =

yx

Contoh 1 :Suatu garis OP dengan O ( 0 ; 0 ) dan P ( 12 ; 5 ) membentuk sudut α terhadap sumbu x positif.Tentukan perbandingan trigonometrinya.

Penyelesaian : r = 22 5112 +  = 25144 +  = 169  = 13

a. sinus α   =135 d. cosecan α =

513

b. cosinusα =1312 e. secan α =

1213

A

B

x

yr

α

O

y

x

r

O 12

5

P

α

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

6

c. tangen α  =125 f.  cotangen α  =

512

Contoh 2:Diketahui sudut α = 45°, ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α !Penyelesaian : Dengan memperhatikan gambar diperoleh :

AB = BC = sama panjang = 1 maka :AC = 211BCAB 22 =+=+  Sehingga didapatkan :

a. sin 45° = 221

21

ACBC

==

b. cos 45° = 221

21

ACAB

==

c. tan 45° = 111

ABBC

==

Contoh 3:Diketahui sudut α = 0° . Tentukan nilai sin α, cos α dan tan α !Penyelesaian :

 Sudut α = 0° maka sisi AC diproyeksikan berimpit sumbu xdan AC = AB = 1, BC = 0Sehingga :

a. sin 0°  = 010

ACBC

==

b. cos 0° = 111

ACAB

==

c. tan 0° = 010

ABBC

==

Contoh 5 :Diketahui α1 = 30° dan α2 = 60° dan ∠ ABC = 90°. Tentukan nilai sin 30° , cos 30° , tan 30° , cos 60° ,sin 60° dan tan 60° !Penyelesaian : AB : BC : AC = √3 : 1 : 2

sin 30° =21

ACBC

=    sin 60° = 321

23

ACAB

==

cos 30° = 321

23

ACAB

==   cos 60° =21

ACBC

=

tg 30° = 331

31

ABBC

==   tg 60° = 313

BCAB

==

Contoh 6 :Diketahui α = 90° . Tentukan nilai sin 90°, cos 90° dan tg 90° !Penyelesaian :

Karena α = 90°maka AC berimpit sumbu y.Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0

Sehingga :  sin 90° = 111

ACAB

==

cos 90° = 010

ACBC

==

tg 90° = iterdefinistak01

BCAB

==

1A B

C

45°

1√2

O AB = AC

x

y

A B

C

√3

12

30°

60°

x

y

0

B=C

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

7

1.2.   Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku­sikuDalam  segitiga  siku­siku,  jika  diketahui  besar  salah  satu  sudutlancip  dan  panjang  salah  satu  sisinya  maka  ukuran  unsur­unsuryang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan.Perhatikan gambar di samping, misalkan kita ketahui sudut  CAB =α  dan  sisi  AC  =  b  maka  besar  sudut β,  sisi  a  dan    sisi  c  dapatditentukan, dan berlaku :

  1). β = 90° ­ α 2). tg α = tg.bamakaba

α=    3). cos α =cos

bcmakacb

α=

Contoh :Diketahui segitiga ABC siku­siku di B, α = 30° dan panjang sisi b = 30 cm. Hitunglah panjang sisi adan c !

sin 30° =cm30a

ACBC

=

maka a = sin 30° . 30 = ½ . 30 = 15 cm

cos 30° =cm30c

ACAB

=

maka c = cos 30° . 30 = ½√3. 30 = 15√ 3 cm

1.3. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran      Pembagian kuadran :

a. Sudut di Kuadran I ( 0° ≤ x ≤ 90° )

rq

ry

asin ==o

rp

rxacos ==o

pq

xy

tga ==o

 Bila ∆   OAP  dimana  titik  P(p  ,  q)  berada,  dicerminkanterhadap garis y = x, diperoleh P’(q , p) di kuadran I.

   Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah(90° ­ a) dan x = q , y = p dan OP’ = OP = r.

Maka : oo acosrp

ry

)a90(sin =→==−

oo asinrq

rx)a90(cos =→==−

a

b

c

A

B

Cα

β

C

BA

a

c

30 cm

x

y = x

y

p

q P (p , q)

a°

y

x

P’ (q , p)

p

q

(90° ­ a)a°

AO

A’

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

90°

180°

270°

0° / 360°

(x , y)(­x , y)

(­x , ­y) (x , ­y)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

8

oo actgqp

xy

)a90(tg =→==−

Contoh :  sin 30° = sin ( 90° ­ 60°) → cos 60° .  cos 45° = cos (90° ­ 45°) → sin 45°  tg 30°  = tg (90° ­ 60°) → ctg 60°

b. Sudut di Kuadran II ( 90° ≤ x ≤ 180° )  Perhatikan ∆  OAP di kuadran I dan titik P (p , q).

rq

ry

asin ==o

rp

rxacos ==o

pq

xy

atg ==o

Bila ∆   OAP  dimana  titik  P(p  ,  q)  berada,  dicerminkan  terhadap  sumbu  y  maka  akandiperoleh P’(­p , q) di kuadran II. Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah(180° ­ a°) dan x = q, y = ­p, OP’ = OP = r, maka :

oo asinrq

ry

)a180(sin =→==− maka oo asin)a180(sin =−

oo acos­rp

rx)a180(cos =→

−==−   maka oo acos­)a180(cos =−

oo atg­p

qxy

)a180(tg =→−

==−   maka oo atg­)a180(tg =−

Contoh :sin 150° = sin (180° ­ 30° )  = sin 30° → maka sin 150° = ½cos 120° = cos (180° ­ 60°) = ­ cos 60° → maka cos 120° = ­ ½tg 135°   = tg (180° ­ 45° )  = ­ tg 45° → maka tg 135°  = ­ 1

c. Sudut di Kuadran III ( 180° ≤ x ≤ 270° )  Perhatikan ∆  OAP di kuadran I dan titik P (p , q).

rq

ry

asin ==o

rp

rxacos ==o

pq

xy

atg ==o

Bila ∆  OAP dicerminkan terhadap titik pangkal O atau diputar 180° maka diperoleh P’ (­q , ­p) dikuadran III, sehingga sudut antara OP’ dan sumbu x positif adalah (180° + a°) dan x = ­ p,      y = ­ qserta OP’ = OP = r.

  Maka diperoleh :oo asin­

rq

ry

)a180(sin =→−

==+ → maka oo asin­)a180(sin =+

oo acos­rp

rx)a180(cos =→

−==+ → maka oo acos­)a180(cos =+

oo atgpq

xy

)a180(tg =→−−

==+ → maka oo atg)a180(tg =+

P (p , q)P’ (­p , q)

a°a°

(180° ­ a°)

p­ p

q

x

y

A

O

A’

q

x

rrq

y

x

y P (p , q)

yx

r

a°AO

A’

P’ (­p , ­q)

y

xp

q

­q

­p(180°+ a°)

a°

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

9

Contoh :sin 225°  = sin (180° + 45°) = ­ sin 45° = ­ ½ √ 2cos 240° = cos (180° + 60°) = ­ cos 60° = ­ ½tg 210°   = tg (180° + 30° ) = tg 30° = 33

1

d. Sudut di Kuadran IV ( 270° ≤ x ≤ 360° )Perhatikan ∆  OAP danP( p,q) di kuadran I.

rq

ry

asin ==o

rp

rxacos ==o

pq

xy

atg ==o

 Bila ∆  OAP dicerminkan terhadap sb. X, maka diperoleh P’(p  ,  ­q)  di  kuadran  IV,  sehingga  sudut  antara  OP’  dansumbu x positif adalah (360° ­ a°) atau ( ­a° ) dan  x = p,  y =­ q serta OP’ = OP =  r.

Maka :oo asin­

rq

ry

)a360(sin =→−

==− → oo asin­)asin()a360(sin =−=−

oo acosrp

rx)a360(cos =→==− → oo acos)acos()a360(cos =−=−

oo a­tgpq

xy

)a360(tg =→−

==− → oo atg­)a(tg)a360(tg =−=−

Contoh :  sin 300°  = sin (360° ­ 30°) = sin (­ 30°) → ­ sin 30° = ­ ½  cos 315° = cos (360°­ 45°) = cos (­ 45°) → cos 45° = ½ √ 2  tg ( ­ 30°) = ­ tg 30° = ­ 33

1

Lembar Kerja Siswa 11.  Tentukan perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen pada masing­masing segitiga

berikut !

2. Nyatakan tiap­tiap bentuk berikut ini dalam sudut lancip!  a. sin 117° c. tg 278° e. tg 203°  b.cos 192° d. cos 331° f. sin 254°

3.  Jika tg θ = 1815−  untuk 270° < θ < 360° hitunglah nilai dari :

  a. cos θ b. sin θ

4. Tentukan nilai dari :  a. sin2 30° + cos2 30° = …  c. cos 330° + tg 240° ­ sin 45° = ...  b. cos 300° ­ cos 180° + cos 90° =…   d. sin 135° ­ cos 225° + tg 240° =…

x

y

O

P ( p , q)

p­q

q

P’ ( p , ­q)

r

r

247

βα

13

12

A

B

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

10

5. Lengkapilah tabel di bawah ini !Sudut α 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°Sin αCos αTg α

6.  Jika diketahui tg A = p.  Hitunglah nilai dari :  a. 2.sin A.cos A = …  b. cos2 A – sin2 A = …

7.  Jika sin α = 178  dan cos β = 5

3  untuk α dan β sudut lancip, tentukan nilai dari :  a. sin α .cos β  ­ cos α . sin β  = …  b. 2. sin β . cos β = …  c. βα−

β+αtg.tg1tgtg  = …

2. Kegiatan Belajar 2. Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub

Tujuan Kegiatan Belajar 2Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat :

1. menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub.2. mengubah dari koordinat kartesius ke koordinat kutub.3. mengubah dari koordinat kutub ke koordinat kartesius.

Uraian Materi Kegiatan Belajar 2

 Letak  suatu  titik  pada  sebuah  bidang  dapat  dinyatakan  dengan  2  macam  sistem  koordinat,yaitu :

a. .

2.1.   Koordinat kartesiusSistem koordinat kartesius, yaitu dengan absis (x) dan ordinat (y). Misal  Titik P (x , y)

2.2  Koordinat kutubSistem  koorsdinat  kutub, yaitu  dengan  jarak  (r) dan  sudut  yang  dibentuk  dengan  sumbu  x

positif (θ°). Misal Titik P (r , θ°)

xx

y

y

P (x , y)

0

x

y

y

x

r

θ°

P (r , θ)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

11

1.3  Konversi koordinatDari gambar koordinat kartesius  titik  P adalah  (x  ,  y) dan koordinat kutub adalah  (r  , θ°),

tampak bahwa dari x , y , r, dan θ° terdapat hubungan sebagai berikut :

1. sin θ° =ry

→ y = r . sin θ°

2. cos θ° =rx → x = r . cos θ

3. r = 22 yx +

4. tg θ° =xy

→ θ° =xy

tg.arc

5. Koordinat kutub titik P adalah (r, θ°) bila dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah (r.cosθ° ,r.sinθ°).

6. Koordinat kartesius (x,y) bila dinyatakan dengan koordinat kutub adalah ( 22 yx +  ,xy

tg.arc ).

Contoh 1. a :      Diketahui koordinat kutub titk P (4 , 60°). Tentukan koordinat kartesius titik tersebut !      Penyelesaian : P (4 , 60°) → r = 4 dan θ° = 60°

x = r . cos θ° y = r . sin θ°x = 4. cos 60°   y = 4 . sin 60°x = 4 . ½ y = 4 . ½√3x = 2 y = 2√3

  Jadi koordinat kartesius dari titik P (4 , 60°) adalah  : P (2 , 2√3)

Contoh 1. b :      Diketahui koordinat kartesius titik P (­2,­2√3). Tentukan koordinat kutub titik P tersebut!      Penyelesaian : P (­2,­2√3). → x = ­2 dan y = ­2√3    ( di kuadran III)

r = 22 )32()2( −+− tg θ° =2

32xy

−−

=

r = 124 + tg θ° = √3r = √16 θ° = arc. tg √3r = 4 θ° = 240°  (kuadran III)

  Jadi koordinat kutub dari titik P (­2,­2√3)  adalah : P (4 , 240°)

Lembar Kerja Siswa 2

1. Ubahlah koordinat kutub berikut ke koordinat kartesius !a. A (6 , 30°)  b. B (2 , 120°)  c. C (6 , 315°)  d. D (4√3 , 300°)

2. Ubahlah koordinat kartesius berikut ke koordinat kutub !a. P (2 , 2√3)  b. Q (­1 , ­1)  c. R (­2√3 , 6)  d. S (6 , ­2√3)

3.  Nyatakan koordinat kutub titik­titik berikut ke koordinat kartesius !  a. (8 , 45°)  b. (7 , 90°) c. (4√3 , 150°)  d. (10 , 330°)  e. (8 , 240°)  f. (3√2, 225°)  g. (5√3 , 300°)   h. (15 , 330°)4.  Nyatakan koordinat kartesius titik­titik berikut ke koordinat kutub!  a. (5 , 5) b. (­5√3, 5)  c. (­3√2, ­3√2)  d. (6 , ­6√3)  d. (­3√2, 3√2) e. (­3√2, ­3√6)  f. (3√15, ­9√5)5. Nyatakan ke koordinat kartesius !  a. (4, 180°)  b. (6 , 270°)  c. (8 , 120°)  d. (5 , 315°)  e. (6 , 140°)  f. (10, 185°)  g. (8 , 310°)  h. (5 , 15°)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

12

Kegiatan Belajar 3

Tujuan Kegiatan Belajar 3    Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat :1. Menjelaskan tentang aturan sinus dan cosinus2. menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga3. menerapkan aturan cosines untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga

Uraian Materi Kegiatan Belajar

3.1. Aturan Sinus∆ ABC dengan panjang sisi­sisinya a, b, c dan CE dan BDadalah garis tinggi serta ∆ ABC segitiga sembarang.

Pada ∆  AEC, maka sin A =ACCE → CE = AC . sin A = b . sin A … .1)

Pada ∆  BEC, maka sin B  =CBCE → CE = CB . sin B = a . sin B … .2)

Dari pers. 1) dan pers. 2) didapatkan :→ b . sin A = a . sin B  ( masing­masing dibagi dengan sin A. sin B)

Bsin.AsinAsin.b

Bsin.AsinBsin.a

=  makaBsin

bAsin

a= …  3)

Pada ∆  ADB , maka sin A =ABBD → BD = AB . sin A = c . sin A …  4)

Pada ∆  CDB, maka sin C =BCBD → BD = BC . sin C = a . sin C … . 5)

Dari pers. 4) dan pers. 5) didapatkan→ c . sin A = a . sin C (masing­masing dibagi dengan sin A. sin C)

Csin.AsinCsin.a

Csin.AsinAsin.c

=  makaAsin

aCsin

c= …  6)

Dari pers. 3) dan pers. 6) maka didapatkan aturan sinus :

→Csin

cBsin

bAsin

a== ← Aturan Sinus.

Contoh 1:Diketahui ∆  ABC, ∠A = 60°, ∠B = 45° dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC !Penyelesaian :Dari gambar di samping didapatkan :→ AB = c, AC = b dan BC = aAturan sinus yang dipakai :

→Bsin

bAsin

a= →

BsinAC

AsinBC

= → oo 45sinAC

60sin12

=

→ AC = o

o

60sin45sin.12  =

3

2.12

21

21

 =33x

32.12  = 3

312  = 4√3 Jadi panjang sisi AC = 4√3 cm.

A

B

CD

E

ab

c

A

B C

bc 60°

a = 12 cm45°

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

13

Contoh 2:Diketahui ∆  ABC AB = 8 cm, AC = 5 cm dan ∠ B = 37°. Hitunglah besar sudut  C !Penyelesaian :Dari data di atas ada 2 kemungkinan segitiga yangterbuat, yaitu :

→ AB = c, AC = b dan BC = aAturan sinus yang dipakai :

→Csin

cBsin

b= →

Csin8

37sin5

o = →5

o37sin.8Csin =

→5602,0.8

Csin = → sin C = 0,9632  dg tabel didapat ∠C = 74°24’ = 74,4°

Besar sudut C :→ ∠ C = 74,4°→ ∠C = 180° ­ 74,4° = 105,6°    Jadi ∠C = 74,4° dan 105,6°.

3.2 Aturan Cosinus

Pada ∆  ABC, CD adalah garis tinggi.

sin A = Asin.bCDAsin.ACCDACCD

=⇒=⇒

cos A = Acos.bADAcos.ACADACAD

=⇒=⇒

Dasar Phytagoras dari ∆  BDC didapat :→ 222 BDCDa +=→ 222 )ADc()Asin.b(a −+=

→ 222 )Acos.bc()Asin.b(a −+=

→ AcosbAcos.bc.2cAsin.ba 222222 +−+= → Acos.bc2cAcosbAsin.ba 222222 −++=→ Acos.bc2c)AcosA(sinba 22222 −++= → Acos.bc.2cba 222 −+=

Dengan memandang sudut B diperoleh : sin B =at

Maka :→ t = a. sin B→BD = a . cos B→AD = c – a . cos B→ 222 ADtb += → 222 )Bcos.ac()Bsin.a(b −+=

→ Bcos.aBcos.ac.2cBsin.ab 222222 +−+= → 222222 cBcos.ac.2Bcos.aBsin.ab +−+=→ 22222 cBcos.ac.2)BcosB(sinab +−+= → Bcos.ac.2cab 222 −+=

Dengan cara yang sama didapat rumus aturan cosinus sebagai berikut :→ Acos.bc.2cba 222 −+=→ Bcos.ac.2cab 222 −+=→ Ccos.ab.2bac 222 −+=

C

A

B37°

8 cm 5 cm37°

8 cm5 cm

C

A

B

A B

C

D

ab

c

t

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

14

Contoh 1 :Diketahui ∆  ABC , AB = 5 dan AC = 8 dan ∠A=60°.Hitunglah panjang sisi BC!Penyelesaian :Dengan melihat data yang ada didapatkan :AB = c = 5, AC = b = 8, ∠A = 60° , maka aturan cosinus yang dipakai adalah :→ Acos.bc.2cba 222 −+=

→ o222 60cos.5.8.258a −+=

→ 21.8025642a −+=

→ 4089a2 −=  = 49→ a = √49 = 7       Jadi sisi BC = a = 7

Contoh 2:   Dalam ∆  ABC diketahui AB = 6, AC = 5 dan BC = 4. Hitunglah besar sudut B!

Penyelesaian :Aturan cosinus yang dipakai :

Bcos.AB.BC.2ABBCAC 222 −+=

Bcos.ac.2cab 222 −+=

c.a.2cabBcos

222

−−−

= →c.a.2

bcaBcos222 −+

=

6.4.2564Bcos

222 −+=

48253616Bcos −+

= →    cos B = 0,5625 →     B = arc. cos 0,6525

Jadi besar sudut B = 55°46’ = 55,77°

Contoh 3 :    Pada ∆  ABC diketahui ∠A = 60°, sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukanlah :    a. panjang sisi a b. besar ∠ B c. besar ∠ C    Penyelesaian :

a. Acos.bc.2cba 222 −+=o222 60cos.16.10.21610a −+=

212 .16.10.2256100a −+=

196a2 =  a = 14 cm

b.c.a.2

bcaBcos222 −+

=

16.14.2101614Bcos

222 −+= →

448100256196Bcos −+

=

448356Bcos = → 795,0Bcos = →   B = arc. cos 0, 795

Dengan menggunakan tabel sin­cos atau dengan kalkulator didapatkan besar sudut B = 38°28’Besar sudut C didapatkan dengan dasar jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180° maka besarsudut : C = 180° ­ ( 60° + 38° 28’)

C = 180° ­ 98° 28’C = 81° 32’

Lembar Kerja Siswa KB 31.  Tentukan nilai dari unsur yang belum diketahui jika a = 5,5 cm, ∠B = 45° dan ∠A = 60°.2.  Pada ∆  ABC jika ∠A = 60° , ∠ B = 15° dan a = 10 cm, tentukan a, b, dan ∠ C!3. Pada ∆  PQR jika ∠Q = 60° , p = 8 cm dan q = 14 cm, tentukan ∠P, ∠R dan sisi r !4. Pada ∆  ABC jika diketahui a = 7 cm, b = 4 cm dan ∠C = 50° , hitunglah sisi c !5. Pada ∆ ABC jika diketahui b = 4 cm, c = 6 cm dan ∠A = 24°, hitunglah sisi a !6. Pada ∆ ABC, diketahui a = 6 cm. b = 7 cm dan c = 5 cm, hitunglah ∠ B!

A B

C

60°

8

5

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

15

7. Pada ∠PQR jika PQ = 7 cm, QR = 9 cm dan PR = 6 cm, hitunglah nilai ∠P, ∠Q dan ∠R!8.  Kota  B  terletak  20  km  sebelah  utara  kota  A  dan  kota  C  terletak  15  kn  barat  laut  kota  A.

Hitunglah jarak antara kota B dan kota C!9.  Pada ∆  ABC, ∠A = 30°, ∠C = 45° dan b = 20 cm, tentukan a, c, dan ∠B!10. Pada ∆  ABC, ∠C = 30°, b = 10 cm dan c = 6 cm, tentukan a, ∠B dan ∠C!

Kegiatan Belajar 4. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua  sudut

Tujuan Kegiatan Belajar 4Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat :

1. Menentukan rumus luas segitiga2. Menentukan luas segitiga

Uraian Materi Kegiatan Belajar 4

Gambar di bawah adsalah ∆ ABC dan untuk mencari luas segitiga adalah :

Luas ∆ ABC =2tinggixAlas

Dari gambar segitiga tersebut, alas = AB, tinggi CD, dan CD = b sin α, maka

Luas ∆ ABC   =2

AB.CD

=2sinAB.b α

= αsinb.c21

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bila diketahui besar salah satu sudut dan panjangdua sisi yang mengapit sudut itu, maka luas segitiga dapat ditentukan :

L ∆ ABC   = ½ a. b sin λ

= ½ b.c sin α

= ½ a.c sin β

Contoh 1 :

Diketahui ∆ ABC dengan sisi a = 20, b = 25, δ = 550

Carilah luas ∆ ABC tersebut !

Jawab : Luas ∆ ABC   = ½ a . b sin δ

= ½ . 20 . 25 . sin 550

= ½ . 20. 25 (0,8191)

= 209,78 satuan luas.

Jadi luas segitiga ABC adalah 209,78 cm2.

A B

C

D

ab

c

α β

λ

CA

B

2025 5500

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

16

Contoh 2

Diketahui ∆ ABC, dengan sisi a = 14 cm, b = 16 cm dan c = 22 cm.

Carilah luas ∆ ABC tersebut !

Jawab :

α−+= cos.c.b.2cba 222

α−+= cos.22.16.2221614 222

196 = 256 + 489 – 704 cos α

cos α = 704196740 −

cos α = 704544  = 0,7727

α = 39024’

Luas ∆ ABC = ½ b.c sin α

= ½ 16.22 sin 39024’

= 176. 0,6347

= 111,7072

Jadi luas ∆ ABC = 111,7072 cm2

Lembar Kerja Siswa KB 4

1. Carilah luas ∆ ABC jika :a. a = 7 cm, b = 9 cm dan δ = 720

b. b = 24 cm, c = 30 cm dan α = 450

c. c = 40 cm, a = 14 cm dan β = 600

2. Carilah luas ∆ ABC jika :a. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cmb. a = 12,7 cm, δ = 450, β = 600

c. b = 15,16 cm, c = 14,8 cm, δ = 600

3. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !4. Suatu  jajaran genjang ABCD, AB = 84 cm, BC = 68 cm dan ∠BAD = 450. Hitunglah luas

jajaran genjang ABCD tersebut !5. Hitunglah luas segiempat ABCD seperti pada gambar berikut :

6. Hitunglah luas segitiga ABC dengan :a. sisi alas BC = 5,6 dan tinggi = 2,5b. sisi alas BC = 16 dan tinggi = 8 cm

7. Hitunglah luas segitiga ABC, bila diketahui AB = 8, BC = 11 dan <B = 30 !8. Hitunglah luas segitiga ABC berikut, jika :

a. b = 4, c = 5 dan , ∠ A = 1200

b. a = 10, b = 20 dan ∠ C = 450

9. Hitunglah luas segi empat ABCD seperti tampak pada gambar!

D

B

C

A

1200 9

10

8

7

120°

B

C

D

A

8

10

7

60°

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

17

10. Diketahui  segi  enam  beraturan  dengan  panjang sisinya  8  cm.  Hitunglah  luas  segi  enamtersebut !

Kegiatan Belajar 5. Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua  sudut

Tujuan Kegiatan Belajar 5Setelah mempelajari materi ini, siswa dapat :

1. Menentukan rumus­rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.2. Menyelesaikan soal­soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.3. Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisih dua sudut.

Uraian Materi5.1  Rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut.

1. Cos (A+B) = Cos A. Cos B – Sin A . Sin B2. Cos (A­B) = Cos A. Cos B + Sin A . Sin B3. Sin (A+B) = Sin A. Cos B + Cos A . Sin B4. Sin (A­B) = Sin A. Cos B ­ Cos A . Sin B5. Tan (A+B) =    Tan A + Tan B

1 – Tan A. Tan B6. Tan (A­B) =       Tan A ­ Tan B

1 – Tan A ­ Tan BContoh Soal :

Diketahui : Sin A = 53  untuk A sudut lancip

 Cos B = ­ 1312  untuk B sudut lancip

Tentukan :  a. Sin (A + B)b. Cos (B – A)c. Tan (A – B)

Jawab :

Sin A = 53 Sin B = 13

12

Cos A = 54 Cos B = ­ 13

12

Tan A = 43 Tan B = ­ 12

5

a. Sin (A+B)   = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B

= 53  . (­ 13

12 ) + 54  . 13

5

= ­ 6536  + 65

20

= ­ 6516

b. Cos (B­A)  = Cos B . Cos A + Sin B . Sin A

= ­ 1312  . 5

4  + 135  . 5

3

= ­ 6548  + 65

15

= ­ 6533

c. Tan (A­B)   =   Tan A – Tan B   1 + Tan A . Tan B

A B

C

4

5 3

C

A B12

513

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

18

= )12/5.(4/31)12/5(4/3

−+−−

= 48/15112/54/3

−+   =

4815

4848

48/2048/36

−

+

= 48/3348/56

= 3356

5.2 Rumus trigonometri rangkapa. Sin 2 A   = 2 Sin A . Cos Ab. Cos 2 A   = Cos2 A – 1

= 2 Cos2 A – 1= 1 – 2 Sin2 A

c. Tan 2 A =ATan1

TanA.22−

Contoh :

Diketahui Cos A = 1312  untuk A sudut lancip.

Tentukan :   a. Sin 2 Ab. Cos 2 Ac. Tan 2 A

Jawab :

Cos A = 1312

Sin A = 135

Tan A = 5/12

a. Sin 2 A = 2 Sin A . Cos A

= 2 . 135  . 13

12

= 169120

c. Tan 2 A = 2 Tan A   =  2 . 5/12

  1 – Tan2 A    1 – ( 125 )2

=

14425

144144

1210

− =

144119

1210

            = 119144x12

10  = 119120

b. Cos 2 A = 1 – 2 Sin2 A

= 1 – 2 ( 135 )2

= 1 – 2 16925

= 16950169 −

= 169119

5.3 Rumus perkalian Sinus dan Cosinusa. 2 Sin A . Cos B = Sin (A+B) + sin (A­B)b. 2 Cos A . Sin B = Sin (A+B) – Sin (A­B)c. 2 Cos A . Cos B = Cos (A+B) + Cos (A­B)d. – 2 Sin A . Sin B = Cos (A+B) – Cos (A­B)Contoh :Nyatakan sebagai jumlah Sinus dan sederhanakan jika mungkin :

A B

C

13

12

5

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

19

a. Cos 750 Cos 150

b. Cos 2x . Sin xJawab :a. 2   Sin A Cos B   = sin (A+B) + sin (A­B)

Sin A Cos B  = ½ {Sin (A+B) + Sin (A­B)}Sin 75 Cos 15  = ½ {Sin (75 + 15) + Sin (75 – 15)}

= ½ {Sin 900 + Sin 600}= ½ {1 + ½ 3 }= ½ + ¼ 3

b. 2  Cos A . Sin B  = Sin (A+B) – Sin (A­B)Cos A Sin B  = ½ {Sin (A+B) – Sin (A­B)}Cos 2x Sin x  = ½ {Sin (2x + x) – Sin (2x – x)}

= ½ {Sin 3x – Sin x}= ½ Sin 3x – ½ Sin x

5.4 Rumus penjumlahan dan pengurangan Sinus dan Cosinusa. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) . Cos ½ (A­B)b. Sin A – Sin B = 2 Cos ½ (A+B) . Sin ½ (A­B)c. Cos A – Cos B = 2 Cos ½ (A+B) . Cos ½ (A­B)d. Cos A – Cos B = ­ 2 Sin ½ (A+B) . Sin ½ (A­B)Contoh :Hitunglah :  a. Cos 750 + Cos 150 b. Sin  750 + Sin 150

Jawab :a. Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A+B) Cos ½ (A­B)

Cos 750 + Cos 150   = 2 Cos ½ (75+15) Cos ½ (75­15)= 2 Cos ½ (90) . Cos ½ (60)= 2 Cos 45 . Cos 30= 2 . ½ 2 . ½ 3  = ½ 6

b. Sin A + Sin B   = 2 Sin ½ (A+B) . Cos ½ (A­B)Sin 75 + Sin 15  = 2 Sin ½ (75+15) . Cos ½ (75­15)

= 2 Sin ½ (90) . Cos ½ (60)= 2 Sin 45 . Cos 30= 2 . ½ 2  . ½ 3  = ½ 6

Lembar Kerja Siswa KB 5

1. Diketahui Sin A + ½, Cos B = 23 , A dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari :

a. Cos (A + B)b. Sin (A – B)c. Tan (A – B)

2. Diketahui Tan A = ­4/5 dan Tan B = 7/24, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukannilai dari :a. Cos (A­B)b. Sin (A+B)c. Tan (A­B)

3. Dengan mengatakan 750 = 450 + 300. Tentukan nilai dari :a. Sin 750

b. Cos 750

c. Tan 750

4. Diketahui : tan B = 1/3 (B sudut lancip). Tentukan nilai :a. Sin 2 Ab. Cos 2 Ac. Tan 2 A

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

20

5. Nyatakan sebagai jumlah Sinus atau Cosinus dan sederhanakan jika mungkin :a. 2 Sin 1450 Cos 550

b. Sin (π + x) . Cos (π ­ x)c. 2 Cos (π/2 + x) . Cos (π/2 – x)d. 2 Cos 500 Cos 400 – 2 Sin 950 . Sin 850

6. Sederhanakan :a. Cos 750 – Cos 150

Sin  750 + Sin 150

b. Sin 7A – Sin 3ASin 9A + Sin 3A

7. Buktikkan :

a. Tan 2x = Tany1Tany1

+− ,  jika 2x + y = π/2

b. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A – Cos 3A = Cos A

c. A2CosA4CosA2SinA4Sin

++ = Tan 3A

d. SinAA3SinA5CosA3Cos

−−  = 2 Sin 2A

8. Jika tan x = ½ dan tan y = 1/3 hitunglah :a. tan 2xb. tan 2yc. tan (2x + 2y)

9. Buktikan : Sin 3B + (Cos B + Sin B) (1 – 2 Sin 2B) = Cos 3B

10. Buktikan : α=ααα+α Ctan3Cos­Cos

3SinSin

Kegiatan Belajar 6. Menyelesaikan persamaan trigonometri

Tujuan Kegiatan Belajar 6Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat :

1. Menentukan identitas trigonometri.2. Menyelesaikan bentuk­bentuk persamaan trigonometri.

Uraian Materi

6.1 Identitas TrigonometriSuatu  persamaan  yang  dipenuhi  oleh  semua  variabelnya  disebut  identitas/kesamaan.Biasanya bentuk identitas diminta membuktikkan bentuk yang satu dengan bentuk yanglain, atau membuktikkan luar kiri sama dengan luar kanan.

Menurut definisi :

Sin α = ca Ctan α = a

b

Cos α = cb Sec α = b

c

Tan α = ba Cosec = a

c

Sekarang perhatikan rumus­rumus berikut :

1. Sin2 α + Cos2 α   =22

cb

ca

+

5. Ctan2 α + 1   = 1a

b 2

+

αA C

B

c a

b

β

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

21

= 2

2

2

2

cb

ca

+

= 2

22

cba + = 2

2

cc   = 1

= 2

2

2

2

aa

ab

+ = 2

22

aab +

= 2

2

ac    = Cosec2 α

2. tan α =αα

==CosSin

cbba

ba 6. Sec α   =

bc

  =

cb1   =

αCos1

3. ctan α =αα

==SinCos

cacb

ab

                     =αα

=SinCos

cacb

7. Cosec α   =ac

=

ca1

                      =αSin

1

4. tan2 α + 1   = 1ba 2

+

= 2

2

2

2

bb

ba

+

= 2

22

bba +

                           = 2

2

bc    = Sec2 α

8. Ctan α   =

ba1

ab

=

=αtan

1

Contoh :1. Buktikan : Sec A – Cos A = tan A . Sin A

Bukti :

Sec A – Cos A   = CosACosA1

−

= CosAACos1 2−

= CosAASin 2

= SinACosASinA

−

= tan A . Sin A (terbukti)

2. Buktikan : Sec2x (1 – sin4x) – 2 Sin2x = Cos2xBukti :

Sec2x (1 – sin4x) – 2 Sin2x   =xCos

12 (1 – sin2x) (1 + sin2x) – 2 Sin2x

=xCos

12 .Cos2x (1 + sin2x) – 2 Sin2x

= 1 + Sin2x – 2 Sin2x= 1 – Sin2x= Cos2x   (terbukti)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

22

6.2 Persamaan TrigonometriPersamaan  trigonometri  adalah  persamaan  yang  memuat  satu  atau  beberapa  fungsitrigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui.

a. Persamaan trigonometri bentuk sederhana1. Jika sin x = sin α maka  (i) x = α0 + k.3600

(ii) x = (1800­α) + k.3602. Jika cos x = cos α maka  (i) x = α0 + k.3600

(ii) x = ­α0 k . 3600

3. Jika tg x = tg α maka   (i) x = α + k.1800

Dimana k adalah bilangan bulat.Atau1. Jika sin x = Sin α maka   (i) x = α + k . 2π

(ii) x = (π ­ α) + k . 2π2. Jika cos x = cos α maka  (i) x = α + k . 2π

(ii) x = ­α + k . 2π3. Jika tg x = tg α maka x = α + k . π

Dimana k adalah bilangan bulat.Contoh :1. Tentukan penyelesaian Sin x = ½ 3  untuk 0   x    3600

Jawab :Sin x = ½ 3Sin x = sin 600 maka berlaku :(i) x = 600 + 0.3600 = 600

k = 0à x = 600 + 1.3600 = 600

k = 1à x = 600 + 1.3600 = 4200 (tidak memenuhi)(ii) x = (1800­600) + k . 3600

x = 1200 + k . 3600

k = 0à x = 1200 + 0.3600 = 1200

k = 1à x = 1200 + 1.3600 = 4800 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {600, 1200}

2. Cos x ½, tentukan himpunan penyelesaiannya !Jawab :Cos x = ½ (untuk 0    x    3600)Cos x = Cos 600 maka :(i) x = 600 + k . 3600

k = 0à = 600 + 0.3600 = 600

k = 1à = 600 + 1.3600 = 4200  (tidak memenuhi)(ii) x = ­ 600 + k.3600

k = 0à x = ­600 + 0.3600 = ­600 (tidak memenuhi)k = 1à x = ­600 + 1.3600 = 3000

k = 2à x = ­600 + 2.3600 = 6600  (tidak memenuhi).  Jadi Hp = {600, 3000}3. Tentukan penyelesaian dari tg x = 1/3 3  untuk 0   x    2π !

Jawab :Tg x = 1/3 3

Tg x = tg 6π  maka x = 6

π  + k . π

k = 0à x = 6π  + 0 . π = 6

π

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

23

k = 1à x = 6π  +  1. π = 6

7π

k = 2à x = 6π  +  2. π = π6

13   tidak memenuhi

Jadi Hp = { 6π , 6

7π }

b. Persamaan bentuk sin px = a, cos px = a; dan tan px = aUntuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin px = a, cos px = a dan tan px= a, dengan p dan a merupakan konstanta, maka terlebih dahulu persamaan tersebutharus ke dalam bentuk dasar.

Contoh :1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0   x   3600 !

a. 2 sin 2x = 3b. cos 2x = ½c. 3  tan 3x = ­1

Jawab :a. 2 sin 2x = 3↔ sin 2x = ½ 3↔ sin 2x = sin 600 maka(i) 2x = 600 + k . 3600

  x = 300 + k . 1800

k = 0à x = 300 + 0 . 1800 = 300

k = 1à x = 300 + 1 . 1800 = 2100

k = 2à x = 300+2.1800=3900 (tidak memenuhi)

(ii) 2x = 1800 – 600 + k . 3600

2x = 1200 + k . 3600

  x = 600 + k . 1800

k = 0à 600 + 0 . 1800 = 600

k = 1à 600 + 1 . 1800 = 2400

k = 2à 600+2.1800 = 4200  (tidak memenuhi)

Jadi Hp = {300, 600, 2100, 2400}

b. Cos 2x = ½↔ cos 2x = Cos 600 maka :(i) 2x = 600 + k . 3600

  x = 300 + k . 1800

k = 0à x = 300 + 0 . 1800 = 300

k = 1à x = 300 + 1 . 1800 = 2100

k=2à x = 300+2. 1800 = 3900  (tidak memenuhi)

(ii) 2x = ­600 + k . 3600

  x = ­300 + k . 1800

k = 0à x = ­300+0.1800= ­300 (tidak memenuhi)k = 1à x = ­300 + 1 . 1800 = 1500

k = 2à x = ­300 + 2 . 1800 = 3300

k = 3à x =­300+3.1800= 5100 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {300, 1500, 2100, 3300}

c. 3 tan 3x = ­1

↔ tan 3x = 331

31

−=−

↔ tan 3x = tan 1500 maka3x = 1500 + k . 1800

  x = 500 + k . 600

k = 0à x = 500 + 0 . 600 = 500

k = 1à x = 500 + 1 . 600 = 1100

k = 2à x = 500 + 2 . 600 = 1700

k = 3à x = 500 + 3 . 600 = 2300

k = 4à x = 500 + 4 . 600 = 2900

k = 5à x = 500 + 5 . 600 = 3500

k = 6à x = 500 + 6 . 600 = 4100 (tidak memenuhi)Jadi Hp = {500, 1100, 1700, 2300, 2900, 3500, 4100}

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

24

2. Tentukan Hp dari 3  Cos (4x + π) = ­1½ untuk 0 ≤ x ≤ 2πJawab :

3  Cos (4x + π) = ­1½↔ 3  Cos (4x + π) = ­3/2↔ Cos (4x + π) = ­3/2 3↔ Cos (4x + π) = ­½ 3↔ Cos (4x + π) = Cos 5/6 π maka :

(i) 4x + π = 5/6 π + k . 2π4x = 5/6 π ­ π +  k . 2π4x = ­π/6 + k . 2π  x = ­π/24 + k . π/2k = 0à x = ­π/24 + 0 . π/2 = ­π/24(tidak memenuhi)

)memenuhitidak(2459

2.5

24x5k

2447

2.4

24x4k

2435

2.3

24x3k

2423

2.2

24x2k

2411

2.1

24x1k

π=π

+π

−=→=

π=π

+π

−=→=

π=π

+π

−=→=

π=π

+π

−=→=

π=π

+π

−=→=

(ii) 4x + π = π+π− 2.k65

4x = π+π−π− 2.k65  = π+π− 2.k

611

4x =2

.k2411 π

+π−

)memenuhitidak(2411

2.0

2411x0k π−=

π+π−=→=

)memenuhitidak(2449

2.5

2411x5k

2437

2.4

2411x4k

2425

2.3

2411x3k

2413

2.2

2411x2k

241

2.1

2411x1k

π=π

+π−=→=

π=π

+π−=→=

π=π

+π−=→=

π=π

+π−=→=

π=π

+π−=→=

Jadi Hp = { ππππππππ 2447,24

37,2435,24

25,2423,24

13,2411,4

1 }

3. Tentukan penyelesaian 3  tan ½x = 1 untuk 0 ≤ x ≤  2π !Jawab :

3  tan ½ x = 1↔ tan ½ x = 1/ 3↔ tan ½ x = tan π/6 maka :

½ x = π/6 + k . π    x = π/3 + k . 2πk = 0à x = π/3 + 0 . 2π = π/3k = 1à x = π/3 + 1 . 2π = 7/3π   (tidak memenuhi)

Jadi Hp = {3π }

c. Persamaan bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin  (x + b) = c.Untuk menyelesaikan, kita ingiat rumus­rumus berikut :Cos (A+B) + Cos (A­B) = 2 Cos A . Cos BCos (A­B) + Cos (A+B) = 2 Sin A . Sin BSin (A+B) + Sin (A­B) = 2 Sin A . Cos BSin (A+B) – Sin (A­B) = 2 Cos A . Sin B

Contoh :

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

25

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0 ≤ x ≤ 3600 !a. Sin (600 + 2x) – Sin (600 – x) = 1b. Sin 5x – sin x = 0c. Cos 4x – Cos 2x = 0

Jawab :a. Sin (600 + 2x) – Sin (600 – x) = 1

↔ 2 Cos 600 Sin x = 1↔ 2 . ½ Sin x = 1↔          Sin x = 1↔          Sin x = Sin 900 maka :(i) x = 900 + k . 3600

k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900

k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500

(tidak memenuhi)(ii) x = 1800 – 900 + k . 3600

x = 900 + k . 3600

k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900

k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500  (tidak memenuhi)Jadi Hp = {900}

b. Sin 5x – sin x = 0↔ Sin (3x + 2x) – Sin (3x­2x) = 0↔ 2 Cos 3x . Sin 2x = 0↔ Cos 3x = 0 atau Sin 2x = 0Untuk Cos 3x = 0 ↔ Cos 3x = Cos 900 maka :(i) 3x = 900 + k . 3600

  x = 300 + k . 1200

k = 0à x = 300 + 0 . 1200 = 300

k = 1à x = 300 + 1 . 1200 = 1500

k = 2à x = 300 + 2 . 1200 = 2700

k = 3à x = 300 + 3 . 1200 = 3900   (tidak memenuhi)

(ii) 3x = 900 + k . 3600

x = ­300 + k . 1200

k = 0à x = ­300 + 0 . 1200 = ­300 (tidak memenuhi)k = 1à x = ­300 + 1 . 1200 = 900

k = 2à x = ­300 + 2 . 1200 = 2100

k = 3à x = ­300 + 3 . 1200 = 3300

k = 4à x = ­300 + 4 . 1200 = 4500 (tidak memenuhi)Untuk Sin 2x = 0 ↔ Sin 2x = Sin 0 maka :(i) 2x = 0 + k . 3600

  x = k . 1800

k = 0à x = 0 . 1800 = 0k = 1à x = 1 . 1800 = 1800

k = 2à x = 2 . 1800 = 3600

k = 3à x = 3 . 1800 = 5400   (tidak memenuhi)

(ii) 2x = 1800 – 0 + k . 3600

2x = 1800 + k . 3600

  x = 900 + k . 1800

k = 0à x = 900 + 0 . 1800 = 900

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

26

k = 1à x = 900 + 1 . 1800 = 2700

k = 2à x = 900 + 2 . 1800 = 4500   (tidak memenuhi)Jadi Hp = {00, 300, 900, 1500, 1800, 2100, 2700, 3300, 3600}

c. Cos 4x – Cos 2x = 0↔ Cos (3x + x) – Cos (3x – x) = 0↔ ­2 Sin 3x Sin x = 0↔ Sin 3x = 0 atau Sin x = 0Untuk Sin 3x = 0 ↔ Sin 3x = Sin 0 maka :(i) 3x = 00 + k . 3600

  x = 00 + k . 1200

k = 0à x = 00 + 0 . 1200 = 0k = 1à x = 00 + 1 . 1200 = 1200

k = 2à x = 00 + 2 . 1200 = 2400

k = 3à x = 00 + 3 . 1200 = 3600

k = 4à x = 00 + 4 . 1200 = 4800 (tidak memenuhi)

(ii) 3x = 1800 – 0 + k . 3600

3x = 1800 + k . 3600

  x = 600 + k . 1200

k = 0à x = 600 + 0 . 1200 = 600

k = 1à x = 600 + 1 . 1200 = 1800

k = 2à x = 600 + 2 . 1200 = 3000

k = 3à x = 600 + 3 . 1200 = 4200 (tidak memenuhi)

Untuk Sin x = 0 ↔ Sin x = Sin 00 maka :(i) x = 00 k . 3600

k = 0à x = 00 + 0 . 3600 = 00

k = 1à x = 00 + 1 . 3600 = 3600

k = 2à x = 00 + 2 . 3600 = 7200 (tidak memenuhi)

(ii) x = 1800 – 00 + k . 3600

x = 1800 + k . 3600

k = 0à x = 1800 + 0 . 3600 = 1800

k = 1à x = 1800 + 1 . 3600 = 5400 (tidak memenuhi)

Jadi Hp = {00, 600, 1200, 1800, 2400, 3000, 3600}

d. Persamaan trigonometri bentuk a Cos x0 + b sin x = cUntuk  menyelesaikan  persamaan  a  Cos  x0  +  b  sin  x  =  c,  mula­mula  persamaan  itu

diubah ke bentuk k Cos (x –α) = c, dimana k = 22 ba + dan tan α =ab ,

Contoh :Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x – Sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 3600 !

Jawab :Cos x – Sin x = 1a = 1b = ­1c = 1

k = 22 ba +  = 211)1(1 22 =+=−+

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

27

tan α =ab

tan α = )IVkw(111

−−

α = 315

Cos x – Sin x = k Cos (x –α) = 1

2 Cos (x – 315) = 221

21

=

Cos (x – 315) = Cos 450, maka :i. x – 3150 = 450 + k . 3600

x = 3600 + k . 3600 untuk k = 0 diperoleh x = 3600

ii. x – 3150 = ­45 + k . 3600

x = 2700 + k . 3600

k = 0à x = 2700 + 0 . 3600 = 2700

k = 1à x = 2700 + 1 . 3600 = 6300   (tidak memenuhi)Jadi Hp = {2700, 3600}

e. Persamaan kuadrat dalam Sin, Cos, TanUntuk  menyelesaikan  persamaan  trigonometri  kuadrat  dengan  pemisalan  kemudiandijalankan  untuk  mendapatkan  akar­akar  penyelesaian,  dan  diselesaikan  sesuaidengan rumus dasar.

Contoh :Tentukan Hp dari persamaan Sin2x + Sin x­2 = 0 untuk 0≤ x ≤ 3600 !

Jawab :Sin2x + Sin x ­ 2 = 0Misal Sin x = p makaSin2x + Sin x ­ 2 = p2 + p – 2 = 0p2 + p – 2 = 0(p + 2) (p – 1) = 0p + 2 = 0 atau  p – 1 = 0p = ­2    p = 1p = ­2Sin x = ­2 (tidak mungkin, karena Sin x ≤ ­1)p = 1Sin x = 1Sin x = Sin 900 maka :(i) x = 900 + k . 3600

k = 0à x = 900 + 0 . 3600 = 900

k = 1à x = 900 + 1 . 3600 = 4500 (tidak memenuhi)(ii) x = 1800 – 900 + k . 3600

k = 0à x = 900 + k . 3600 = 900 (sama dengan (i))Jadi Hp = {900)

Lembar Kerja Siswa KB  61. Buktikan :

a. Cos A (1 – tan A) = Cos A – Sin Ab. 2 Cos2 A – 1 = 1 – 2 Sin2 A

c.1ASin2

1ACtan­ATanACtanATan

2 −=

+

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

28

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 3600 dari persamaan berikut :a. Cos x = ½ 3b. Sin x = ­ ½c. Tan x = ­ 3

3. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π dari : … .a. Sin 3x = ½ 2b. b. Tan 5x = 1/3 3

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. Cos 6x – Cos 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600

b. Sin 4x + Sin 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. 2 Sin2x – 6 Sin x + 4 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 36003b. Cos x + 3  Sin x = 3  untuk 0 ≤ x ≤ 3600

c. 2 Cos2x – 3 Cos x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 3600

d. 2  Cos x ­ 2  Sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 3600

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

29

UJI  KOMPETENSI

Pilihlah jawaban yang benar !1. Nilai dai cos 135° adalah …

a. ­ ½ √3 b. ­ ½ √2 c. 31 √3 d. ½ √2 e. ½ √3

2. Jika tg α = 34  dan 180° < α < 270°, maka sin α = …

a. – 4/5 b. – 3/5 c. 3/4. d. 3/5 e. 4/53. Jika 90° < α < 180° dan sin α = 4/5, maka cos α = …

a. ­4/3 b. ­4/5 c. ­3/5 d. 3/5 e. 4/54. Jika sin α = ­ 5/13 ( di kuadran IV) maka sec α = …

a. ­13/5 b. ­12/5 c. 12/13 d. 13/12 e. 13/55. Jika sin β = ­ ½ √3, maka sudut β berada pada kuadran  …

a. II saja b. III saja c. II dan III d. II dan IV e. III dan IV6. Koordinat kartesius titik (4 , 330°) adalah …

a. (2√ 3 , ­2) b. (2√ 3 , 2) c. (­1 , 2√ 3) d. ­2 , 2√ 3) e. (2 , 2√ 3)7. Suatu segitiga siku­siku di C dengan sisi AC = 4 cm dan BC = 8 cm, maka harga  cos A = …

a. 31 √ 3 b. ½ √ 2 c. 5

1 √ 5 d. 32 √ 3 e. 4

1 √ 28. Koordinat kutub titik ( ­1, ­√ 3) adalah …

a. (4 , 210°) b. (2 , 240°) c. (6 , 225°) d. (5 , 240°) e. (2 , 210°)

9. Pada setiap segitiga berlaku …

a.b.a.2

cbaAcos222 ++

= c.b.a.2

cbaBcos222 ++

= e.b.a.2

cbaCcos222 ++

=

b.b.a.2

cbaAcos222 −+

= d.b.a.2

acbBcos222 −+

=

10. Jika ∆  XYZ dengan ∠X = 30° dan ∠Y = 45° dan x = 8 cm, maka sisi y adalah …a. 4√ 2 b. 4√ 3 c. 8√ 2 d. 8√ 3 e. 16√ 3

11.  Jika f(x) = x3  maka nilai f(x) untuk x = ­ 2 adalah …a. ­9 b. ­ 9

1 c. 91 d. 6 e. 9

12.  Jika f(x) = xlog5  maka f(25) adalah …a. – 2 b. – ½ c. ½ d. 2 e. 3

13.  Jika f(x)  = cos (x – 60°) maka f(π) = …a. – ½ √ 3 b. – ½ √ 2 c. – ½ d. ½ √ 2 e. ½ √ 3

14. Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = b cm, sisi BC = a, dan a + b = 10 cm.                  Jika∠A = 300 dan ∠ B = 600 maka panjang sisi AB … .a. 10 + 5 3  cm  b. 10 – 5 3  cm  c. 10 3  ­ 10 cm  d. 5 3  + 5 cm  e. 5 3  + 15 cm

15. Cos26π ­ Sin2

43π + Sin

4π  Cos

43π … .

a. – 4 ¼ b. – 3 ¾ c. 4 ¼ d. 4 e. 3 ¾16. Jika tan2 x + 1 = a2   maka sin2 x = … .

a. (1­a2) / a2 b. –a2/(a2+1) c. 1/a2 d. a2/(a2+1) e. (a2­1) / a2

17. Pada segitiga ABC diketahui a + b = 10, sudut A = 300 dan B = 450, maka panjang b … .a. 5 ( 2 ­ 1) b. 5 (2 ­ 2 ) c. 10 (2 ­ 2 ) d. 10 ( 2  + 2)  e. 10 ( 2  + 1)

18. (1 – Cos x) / Sin x = … .

a.xCos1

xSin+−

b.xSin1xCos

−−

c.xCos1

xSin−

d.xSin1

xCos+

e.xCos1

xSin+

19. Jika2π  < x < π dan tan x = a, maka (Sin x + Cos x)2 = … .

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

30

a.1a

1a2a2

2

+++ b.

1a1a2a

2

2

+−− c.

1a1aa

2

2

+++ d.

1a1a2a

2

2

++− e.

1a1a2a

2

2

−+−

20. Luas segitiga ABC dengan panjang sisi b = 5 cm, panjang sisi c = 8 cm, ∠A = 45° adalah …A. 10 cm2 B. 10√3 cm2 C. 20 cm2 D. 20√3 cm2 E. 20√2 cm2

21. Diketahui sin A = 53 , cos B = 13

5 , A dan B sudut lancip, maka nilai dari sin(A + B) = …

A. 6563− B. 65

50− C. 6533− D. 65

33 E. 6563

22. Jika cos A = 54  dan 0° < A < 90° , maka sin 2A = …

A. 2524 B. 10

8 C. 106 D. 25

7 E. 254

23. sin 75° + sin 15° = …A. – 1 B. 0 C. ½ √ 2 D. ½ √ 6 E. 1

24. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3x°­ 1 = 0, untuk 0°≤x≤ 360° adalah …A. {20°, 10°, 220°, 260°, 340°} D. {60°, 120°, 240°, 300°}

B. {20°, 120°, 140°, 240°, 300°, 340°} E. {60°, 100°, 240°, 330°}

C. {60°, 120°, 240°, 300°}

25. Ali berdiri sejauh 100 meter dari suatu tiang dan memandang ke puncak dengan sudut pandang α. Jikasin α = ¾  dan tinggi Ali 1,50 meter, maka tinggi tiang adalah … .

A. 61,5 mater B. 75 meter C. 76,5 meter D. 81,5 meter E. 134,8 mater

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com