dadang amir hamzah · pdf filematematika ii : aplikasi integral dadang amir hamzah sumber :...
Post on 05-Feb-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matematika II : Aplikasi Integral
Dadang Amir Hamzah
sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg
2016
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 3 / 58
Luas Antara Kurva
Misalkan f(x) ≥ g(x) untuk setiap x ∈ [a, b].
Misalkan S adalah daerah pada bidang antara grafik f(x) dang(x), a ≤ x ≤ b.
Bagaimana menghitung luas S?
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 4 / 58
Luas Antara Kurva
Misalkan f(x) ≥ g(x) untuk setiap x ∈ [a, b].Misalkan S adalah daerah pada bidang antara grafik f(x) dang(x), a ≤ x ≤ b.
Bagaimana menghitung luas S?
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 4 / 58
Luas Antara Kurva
Misalkan f(x) ≥ g(x) untuk setiap x ∈ [a, b].Misalkan S adalah daerah pada bidang antara grafik f(x) dang(x), a ≤ x ≤ b.
Bagaimana menghitung luas S?
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 4 / 58
Luas Antara Kurva
Langkah pertama adalah membagi selang [a, b] menjadi n bagiandengan menggunakan partisi
P : a < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b.
Hampiri daerah S oleh persegi panjang yang panjang alasnya∆xi = xi − xi−1 dan tingginya f(x∗i )− g(x∗i ). Jadi luas hampirannya adalah
∆Si ≈ (f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi
Apabila f dan g terintegral, dapat dipilih x∗i = xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 5 / 58
Luas Antara Kurva
Langkah pertama adalah membagi selang [a, b] menjadi n bagiandengan menggunakan partisi
P : a < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b.
Hampiri daerah S oleh persegi panjang yang panjang alasnya∆xi = xi − xi−1 dan tingginya f(x∗i )− g(x∗i ). Jadi luas hampirannya adalah
∆Si ≈ (f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi
Apabila f dan g terintegral, dapat dipilih x∗i = xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 5 / 58
Luas Antara Kurva
Maka secara intuitif
Luas(S) =
n∑i=1
∆Si ≈n∑i=1
(f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi
Luas daerah S, Luas(S) didefinisikan sebagai nilai limit jumlahRiemann diatas
Luas(S) = lim|P |→0
n∑i=1
(f(x∗i )− g(xi)∗)∆x =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx
atau bila f dan g terintegral,
limn→∞
n∑i=1
(f(x∗i − g(x∗i ))∆x =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 58
Luas Antara Kurva
Maka secara intuitif
Luas(S) =
n∑i=1
∆Si ≈n∑i=1
(f(x∗i )− g(x∗i ))∆xi
Luas daerah S, Luas(S) didefinisikan sebagai nilai limit jumlahRiemann diatas
Luas(S) = lim|P |→0
n∑i=1
(f(x∗i )− g(xi)∗)∆x =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx
atau bila f dan g terintegral,
limn→∞
n∑i=1
(f(x∗i − g(x∗i ))∆x =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 58
Definisi Daerah Antara Dua Kurva
DefinisiJika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a, b] dan f(x) ≥ g(x) untuksetiap x ∈ [a, b], maka luas daerah yang dibatasi oleh grafiky = f(x), y = g(x), dan dua garis veritkal x = a dan x = b adalah
A =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 7 / 58
Luas Daerah Dibawah Kurva
Jika S adalah daerah dibawah kurva f(x) ≥ 0, antara x = a dan x = b,maka S dapat dipandang sebagai daerah antara y = f(x) dany = g(x) = 0 (xb-x). Maka
Luas(S) =
∫ b
af(x)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 58
Langkah Umum
1 Selalu mulai dengan sketsa kedua kurva.
2 Tentukan mana yang atas yA dan mana yang bawah yB,kemudian sketsa satu contoh persegi panjang yang digunakanuntuk menghampiri
3 Slice - Approximate - Integrate :I. Slice : Lakukan partisi P = {x0, x1, . . . , xn}II. Approximate : Buat persegi panjang yang menghampiri komponen
luas ∆Ai antara x = xi−1 dan x = xi, dan tentukan luashampirannya.
∆Ai ≈ (yA − yB)∆xIII. Integrate : Maka luasnya adalah
A = limn→
n∑i=1
(yA − yB)∆x =
∫ b
a
(yA − yB)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 58
Langkah Umum
1 Selalu mulai dengan sketsa kedua kurva.2 Tentukan mana yang atas yA dan mana yang bawah yB,
kemudian sketsa satu contoh persegi panjang yang digunakanuntuk menghampiri
3 Slice - Approximate - Integrate :I. Slice : Lakukan partisi P = {x0, x1, . . . , xn}II. Approximate : Buat persegi panjang yang menghampiri komponen
luas ∆Ai antara x = xi−1 dan x = xi, dan tentukan luashampirannya.
∆Ai ≈ (yA − yB)∆xIII. Integrate : Maka luasnya adalah
A = limn→
n∑i=1
(yA − yB)∆x =
∫ b
a
(yA − yB)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 58
Langkah Umum
1 Selalu mulai dengan sketsa kedua kurva.2 Tentukan mana yang atas yA dan mana yang bawah yB,
kemudian sketsa satu contoh persegi panjang yang digunakanuntuk menghampiri
3 Slice - Approximate - Integrate :I. Slice : Lakukan partisi P = {x0, x1, . . . , xn}II. Approximate : Buat persegi panjang yang menghampiri komponen
luas ∆Ai antara x = xi−1 dan x = xi, dan tentukan luashampirannya.
∆Ai ≈ (yA − yB)∆xIII. Integrate : Maka luasnya adalah
A = limn→
n∑i=1
(yA − yB)∆x =
∫ b
a
(yA − yB)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 58
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dany = 2x− x2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 10 / 58
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dany = 2x− x2Solusi :Tentukan titik potongnya : Menyelesaikan x2 = 2x− x2 atau2x2 − 2x = 0.Jadi, 2x(x− 1) = 0. Keduanya berpotongan di x = 0 dan x = 1.
Diperoleh yA = 2x− x2 dan yB = x2 dan 0 ≤ x ≤ 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 10 / 58
Luas persegi panjang hampirannya adalahL ≈ (yA − yB)∆x) = ((2x− x2)− x2)∆x.
Maka L =∫ 10 ((2x− x2)− x2)dx =
∫ 10 (2x− 2x2)dx = 1
3 .
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 58
Luas persegi panjang hampirannya adalahL ≈ (yA − yB)∆x) = ((2x− x2)− x2)∆x.Maka L =
∫ 10 ((2x− x2)− x2)dx =
∫ 10 (2x− 2x2)dx = 1
3 .
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 58
Interpretasi
Kurva A dan B menyatakan laju dua kendaraan yang melakukanbalapan. Berikan interpretasi luas daerah antara A dan B, 0 ≤ t < 16.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 12 / 58
Luas daerah kurva kecepatan A menyatakan jarak yang telahditempuh oleh mobil A dalam selang waktu 16 detik.
Luas daerah kurva kecepatan B adalah jarak yang telah ditempuholeh mobil A dalam selang waktu 16 detik.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 13 / 58
Luas daerah kurva kecepatan A menyatakan jarak yang telahditempuh oleh mobil A dalam selang waktu 16 detik.Luas daerah kurva kecepatan B adalah jarak yang telah ditempuholeh mobil A dalam selang waktu 16 detik.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 13 / 58
Maka luas daerah diantara kedua kurva kecepatan menyatakan jarakantara kedua mobil pada detik ke 16
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 14 / 58
Untuk menentukan luas daerah antara y = f(x) dan y = g(x)harus ditentukan selang dimana f(x) ≥ g(x) dan selang dimanaf(x) ≤ g(x).Luas daerah antara kurva y = f(x) dan y = g(x) adalah
S1 + S2 + S3 =
∫ b
a|f(x)− g(x)|dx
karena
|f(x)− g(x)| ={f(x)− g(x), jika f(x) ≥ g(x)g(x)− f(x), jika g(x) ≥ f(x)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 15 / 58
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin(x) dany = cos(x), x = 0 dan x = π/2.sss
Maka,
A = A1 +A2 =
∫ π/4
0(cos(x)− sin(x))dx+
∫ π/2
π/4(sin(x)− cos(x))dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 58
Ada situasi dimana sebaiknya kita memandang x sebagai fungsidari y.
I Jika f(y) ≤ g(y) untuk semua y, c ≤ y ≤ d, maka luasnya adalahA =
∫ d
c(f(y)− g(y))dy
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 17 / 58
Ada situasi dimana sebaiknya kita memandang x sebagai fungsidari y.
I Jika f(y) ≤ g(y) untuk semua y, c ≤ y ≤ d, maka luasnya adalahA =
∫ d
c(f(y)− g(y))dy
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 17 / 58
Definisi
Jika xR(y) dan xL(y) masing-masing adalah kurva batas kanan dankiri sebuah daerah, maka luas daerah tersebut adalah
A =
∫ d
c[xR(y)− xL(y)]dy
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 18 / 58
DefinisiJika x = f(y) dan x = g(y) kontinu pada interval [c, d] dan f(y) ≥ g(y)untuk setiap y ∈ [c, d], maka luas daerah yang dibatasi oleh grafikx = f(y), x = g(y), dan dua garis horizontal y = c dan y = d adalah
A =
∫ d
c[f(y)− g(y)]dy
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 19 / 58
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x− 1 dan y2 = 2x+ 6.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 20 / 58
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x− 1 dan y2 = 2x+ 6.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 20 / 58
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x− 1 dan y2 = 2x+ 6.
Cara I : Memandang x sebagai fungsi dari y
A =
∫ 4
−2
(y + 1−
(y22− 3))
dy = 18
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 20 / 58
Memandang y sebagai fungsi dari x
A =
∫ 1
−32(√
2x+ 6)dx+
∫ 5
−1
(√2x+ 6− (x− 1)
)dx = 18
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 21 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 58
Volume Silinder Umum
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 23 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.
Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Benda Pejal
Misalkan benda pejal terletak antara x = a dan x = b.Strategi: Slice-Approximate-Integrate.
I Potong benda itu menjadi beberapa potongan tipis yangmasing-masing dapat dihampiri oleh silider tipis.
I Estimasi volume diperoleh dengan menjumlahkan volume semuasilinder tipis.
I Volume sesungguhnya diperoleh melalui proses limit, dengan hasilintegral.
Misalkan benda terletak antara bidang x = a dan x = b. Luaspenampang pada tiap x terhadap bidang Px yang tegak lurussumbu- x adalah A(x), tiap x, a ≤ x ≤ b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 58
Partisi interval [a, b] dengan himpunan titik pembagi
P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .
Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,
∆Vi ≈ A(x∗i )∆xi.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 25 / 58
Partisi interval [a, b] dengan himpunan titik pembagi
P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.
Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,
∆Vi ≈ A(x∗i )∆xi.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 25 / 58
Partisi interval [a, b] dengan himpunan titik pembagi
P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]
Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,
∆Vi ≈ A(x∗i )∆xi.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 25 / 58
Partisi interval [a, b] dengan himpunan titik pembagi
P = {a = x0, x1, x2, . . . , xn = b} .Potong benda menggunakan bidang-bidang Pxi tegak lurus sb-xmelalui xi, i = 1, . . . , n.Plih sembarang x∗ ∈ [xi−1, xi]Volume tiap bagian tipis ∆Vi dihampiri oleh A(x∗i )∆xi,
∆Vi ≈ A(x∗i )∆xi.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 25 / 58
V =
n∑i=1
∆Vi ≈n∑i=1
A(x∗i )∆xi
Jadi,
V = lim|P |→0
n∑i=1
A(x∗i )∆xi =
∫ b
aA(x)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 26 / 58
V =
n∑i=1
∆Vi ≈n∑i=1
A(x∗i )∆xi
Jadi,
V = lim|P |→0
n∑i=1
A(x∗i )∆xi =
∫ b
aA(x)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 26 / 58
Definisi Volume
DefinisiJika S adalah benda pejal yang terletak pada x = a dan x = b, sertapenampang terhadap bidang lurus Px yang melalui x ∈ [a, b] diketahuiadalah A(x) kontinu, maka
V =
∫ b
aA(x)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 27 / 58
Volume Bola
Perlihatkan bahwa volume bola dengan radius r adalah V = 4π3 r
3.
Luas penampang A(x) = πy2 = π(r2 − x2)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 58
Volume Bola
Perlihatkan bahwa volume bola dengan radius r adalah V = 4π3 r
3.Luas penampang A(x) = πy2 = π(r2 − x2)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 58
Volume Bola
C =
∫ r
−rA(x)dx =
∫ r
−rπ(r2 − x2)dx =
4
3πr3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 29 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 30 / 58
Contoh
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh grafik y =√x, x = 1, dan
y =√x. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan
memutar S terhadap sumbu-x.
V =
∫ 1
0π(√x)2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 31 / 58
Contoh
Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar daerah yangdibatasi y − x3, y = 8, dan sumbu-y, terhadap sumbu-y.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 32 / 58
Solusi
A(y) = πx2 = π( 3√y)2 = πy2/3
Volume cakram hampiran ∆V = A(y)dy = πy2/3dy, 0 ≤ y ≤ 8
Maka volumenya adalah
V =
∫ 8
0A(y)dy =
∫ 8
0πy2/3dy = π
3
5y5/3
∣∣∣∣80
=96
5π
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 58
Solusi
A(y) = πx2 = π( 3√y)2 = πy2/3
Volume cakram hampiran ∆V = A(y)dy = πy2/3dy, 0 ≤ y ≤ 8
Maka volumenya adalah
V =
∫ 8
0A(y)dy =
∫ 8
0πy2/3dy = π
3
5y5/3
∣∣∣∣80
=96
5π
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 58
Solusi
A(y) = πx2 = π( 3√y)2 = πy2/3
Volume cakram hampiran ∆V = A(y)dy = πy2/3dy, 0 ≤ y ≤ 8
Maka volumenya adalah
V =
∫ 8
0A(y)dy =
∫ 8
0πy2/3dy = π
3
5y5/3
∣∣∣∣80
=96
5π
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 58
Problem
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x.Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar Rterhadap sumbu-x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 58
Problem
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x.Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar Rterhadap sumbu-x.Titik potong : x2 = x maka x2 − x = x(x− 1) = 0. Jadi, keduanyaberpotongan di x = 0 dan x = 1. Penamppangnya berupa dualingkaran sepusat (cincin) dengan luas cicin : π(rluar)
2 − π(rdalam)2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 58
Solusi:
rluar = x dan rdalam = x2. Maka
A(x) = πx2 − πx4.
Volume benda
V =
∫ 1
0(πx2 − πx4)dx =
[π3x3 − π
5x5]10
=2π
15
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 35 / 58
Solusi:rluar = x dan rdalam = x2. Maka
A(x) = πx2 − πx4.
Volume benda
V =
∫ 1
0(πx2 − πx4)dx =
[π3x3 − π
5x5]10
=2π
15
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 35 / 58
Solusi:rluar = x dan rdalam = x2. Maka
A(x) = πx2 − πx4.
Volume benda
V =
∫ 1
0(πx2 − πx4)dx =
[π3x3 − π
5x5]10
=2π
15
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 35 / 58
Metode Cakram dan Washer
Pada contoh diatas kita menyelesaikan masalah penentuanvolume benda putar dengan menggunakan metode cakram atauwasher.
C =
∫ b
aA(x)dx atau V =
∫ d
cA(y)dy
dengan A(x) = π(rluar(x))2 − π(rdalam(x))2.
Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakramJika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 36 / 58
Metode Cakram dan Washer
Pada contoh diatas kita menyelesaikan masalah penentuanvolume benda putar dengan menggunakan metode cakram atauwasher.
C =
∫ b
aA(x)dx atau V =
∫ d
cA(y)dy
dengan A(x) = π(rluar(x))2 − π(rdalam(x))2.
Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakram
Jika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 36 / 58
Metode Cakram dan Washer
Pada contoh diatas kita menyelesaikan masalah penentuanvolume benda putar dengan menggunakan metode cakram atauwasher.
C =
∫ b
aA(x)dx atau V =
∫ d
cA(y)dy
dengan A(x) = π(rluar(x))2 − π(rdalam(x))2.
Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakramJika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 36 / 58
Metode Cakram dan Washer
Pada contoh diatas kita menyelesaikan masalah penentuanvolume benda putar dengan menggunakan metode cakram atauwasher.
C =
∫ b
aA(x)dx atau V =
∫ d
cA(y)dy
dengan A(x) = π(rluar(x))2 − π(rdalam(x))2.
Jika rdalam(x) = 0, maka penampang berupa cakram : metodecakramJika rdalam(x) > 0, maka penampang berupa cincin : metodewasher atau metode cincin.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 36 / 58
Contoh
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y =√x.
Kemudian daerah S diputar terhadap garis x = −1 menghasilkansuatu benda padat. Tentukan volume benda padat tersebut.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 37 / 58
Contoh
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y =√x.
Kemudian daerah S diputar terhadap garis x = −1 menghasilkansuatu benda padat. Tentukan volume benda padat tersebut.
Titik potong : x =√x atau x−
√x = 0. Faktorkan,√
x(√x− 1) = 0. Maka titik potong adalah x = 0 dan x = 1.
Radius luar: rluar(x) = 1 +√x dan radius dalam rdalam(x) = 1 + x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 37 / 58
Titik potong : x =√x atau x−
√x = 0. Faktorkan,√
x(√x− 1) = 0. Maka titik potong adalah x = 0 dan x = 1.
Radius luar: rluar(x) = 1 +√x dan radius dalam rdalam(x) = 1 + x.
S(y) = π(rluar(y))2 − π(rdalam(y))2 = π(1 +√y)2 − π(1 + y)2
Maka
V =∫ 10
(π(1 +
√y)2 − π(1 + y)2
)dy
= π∫ 10
(1√y − y2 − y
)dy = π
2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 58
Diperlukan metode alternatif
ProblemDaerah D dibawah grafik y = 22 − x3 diputar terhadap sb-y. Tentukanvolume benda padat (solid) yang diperoleh.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 39 / 58
Metode Shell (Kulit Tabung)
Misalkan S adalah daerah dibawah kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b.
Kemudian S diputar terhadap sb-y
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 40 / 58
Metode Shell (Kulit Tabung)
Misalkan S adalah daerah dibawah kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b.Kemudian S diputar terhadap sb-y
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 40 / 58
Kulit Tabung
Slice : Partisi interval [a, b] menjadi
P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}, xi−1 < xi.
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 41 / 58
Kulit Tabung
Slice : Partisi interval [a, b] menjadi
P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}, xi−1 < xi.
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 41 / 58
Kulit Tabung
Slice : Partisi interval [a, b] menjadi
P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}, xi−1 < xi.
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 41 / 58
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 42 / 58
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 42 / 58
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 42 / 58
Approximate : Tiap daerah antara xi−1 dan xi ketika diputarmenghasilakan benda yang kita sebut kulit tabung tak beraturandengan volume ∆Vi. Cara menghampirinya adalah sebagaiberikut :
I Hampiri dulu daerah yang diputar dengan persegi yang tingginyaf(x∗i ) dan lebar ∆xi. Ketika daerah ini diputar, diperoleh kulittabung dengan:
F radius dalam xi−1 dan radius luar xi.F tinggi f(x∗
i ), danF tebal ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 42 / 58
Volume tiap Kulit Tabung / Silinder
Volume kulit tabung adalah selisih volume silinder luar denganradius r2 dan vlume silinder dalam dengan radius r1
ddV = V2 − V1
= πr22h− πr21h= π(r22 − r21)h= π(r2 + r1)(r2 − r1)h= 2π
(r2+r1
2
)(r2 − r1)h
= 2π(r2+r1
2
)h∆r
MakaV = 2π r h∆r
dengan r = r2+r12 adalah rata-rata radius luar dan dalam
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 58
Volume tiap Kulit Tabung / Silinder
Volume kulit tabung adalah selisih volume silinder luar denganradius r2 dan vlume silinder dalam dengan radius r1dd
V = V2 − V1= πr22h− πr21h= π(r22 − r21)h= π(r2 + r1)(r2 − r1)h= 2π
(r2+r1
2
)(r2 − r1)h
= 2π(r2+r1
2
)h∆r
MakaV = 2π r h∆r
dengan r = r2+r12 adalah rata-rata radius luar dan dalam
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 58
Volume tiap Kulit Tabung / Silinder
Volume kulit tabung adalah selisih volume silinder luar denganradius r2 dan vlume silinder dalam dengan radius r1dd
V = V2 − V1= πr22h− πr21h= π(r22 − r21)h= π(r2 + r1)(r2 − r1)h= 2π
(r2+r1
2
)(r2 − r1)h
= 2π(r2+r1
2
)h∆r
MakaV = 2π r h∆r
dengan r = r2+r12 adalah rata-rata radius luar dan dalam
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 58
Volume kulit tabung adalah
V = 2π r h∆r
V = [keliling] [tinggi] [tebal]
∆Vi = [2π x∗i ] [f(x∗i )] ∆xi
dengan x∗i = xi+xi−1
2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 58
Volume kulit tabung adalah
V = 2π r h∆r
V = [keliling] [tinggi] [tebal]
∆Vi = [2π x∗i ] [f(x∗i )] ∆xi
dengan x∗i = xi+xi−1
2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 58
Maka volume total adalah
∆Vi ≈ [2π xx̄2] [f(x̄i)] ∆xi
V = lim‖P‖→∞∑n
i=1 2π x̄i f(x̄i) ∆xi
Dari jumalah Riemann diperoleh
V =
∫ b
a2π x f(x) dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 45 / 58
Maka volume total adalah
∆Vi ≈ [2π xx̄2] [f(x̄i)] ∆xi
V = lim‖P‖→∞∑n
i=1 2π x̄i f(x̄i) ∆xi
Dari jumalah Riemann diperoleh
V =
∫ b
a2π x f(x) dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 45 / 58
Volume tiap silinder: Alternatif
Gunting secara vertikal dan ratakan sehingga diperoleh balok tipissebagai berikut :
∆Vi ≈ [2π x̄i] [f(x̄i)] ∆xi
V = lim‖P‖→∞∑n
i=1 2π x̄i f(x̄i) ∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 58
Kembali ke problem semula
Dengan menggunakan metode kulit tabung, volume
V =
∫ 2
02π x(2x2 − x3) dx = . . .
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 47 / 58
Contoh 1
Daerah yang dibatasi kurva y = x dan y =√x diputar terhadap
sumbu-y. Tentukan volume benda yang dihasilkan.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 48 / 58
Contoh 1
Daerah yang dibatasi kurva y = x dan y =√x diputar terhadap
sumbu-y. Tentukan volume benda yang dihasilkan.
Solusi :Radiusnya adalah r = x, 0 ≤ x ≤ 1, tinggi h = x− x2. Maka∆V = 2π x(x− x2) ∆x.
V =
∫ 1
02π x (x− x2) dx =
π
6
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 48 / 58
Contoh 2
Daerah R dibatasi oleh kurva x = y2 dan x = 1 kemudian diputarterhadap sumbu-x. Tentukan volume benda yang dihasilkan.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 49 / 58
Contoh 2
Daerah R dibatasi oleh kurva x = y2 dan x = 1 kemudian diputarterhadap sumbu-x. Tentukan volume benda yang dihasilkan.
Solusi :Radiusnya adalah y, 0 ≤ y ≤ 1, tinggi h = 1− y2. Maka∆V = 2π y (1− y2) ∆x.
V =
∫ 1
02π y(1− y2) dy =
π
2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 49 / 58
Contoh 3
Putar daerah dibawah kurva y = x− x2 terhadap garis x = 2.Tentukan volumenya.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 50 / 58
Contoh 3
Putar daerah dibawah kurva y = x− x2 terhadap garis x = 2.Tentukan volumenya.
Solusi :Elemen volume ∆Vi : radius r = 2− x, tinggi h = x− x2,0 ≤ x ≤ 1. Maka
∆Vi ≈ [2π (2− xi)] [xi − x2i ] ∆xi
Volume total
V =∫ 10 2π (2− x) (x− x2) dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 50 / 58
Contoh 3
Putar daerah dibawah kurva y = x− x2 terhadap garis x = 2.Tentukan volumenya.
Solusi :Elemen volume ∆Vi : radius r = 2− x, tinggi h = x− x2,0 ≤ x ≤ 1. Maka
∆Vi ≈ [2π (2− xi)] [xi − x2i ] ∆xi
Volume total
V =∫ 10 2π (2− x) (x− x2) dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 50 / 58
Exercise
Hitung volume benda putar yang dihasilkan dari memutar daerah Ryang dibatasi oleh kurva y = 3 + 2x− x2, garis x = 0 dan y = 0terhadapa. sumbu-x, b. sumbu-y,c. garis y = −1, d. garis x = 4.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 51 / 58
Exercise
Hitung volume benda putar yang dihasilkan dari memutar daerah Ryang dibatasi oleh kurva y = 3 + 2x− x2, garis x = 0 dan y = 0terhadapa. sumbu-x, b. sumbu-y,c. garis y = −1, d. garis x = 4.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 51 / 58
Outline
1 Luas Antara Kurva
2 VolumeVolume Benda PutarVolume Irisan bidang tegak lurus
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 52 / 58
Benda Pejal
Benda pejal berikut mempunyai alas berupa lingkaran satuanx2 + y2 = 1. Penampang terhadap bidang tegak lurus sumbu-x berupasegitiga sama sisi. Tentukan volumenya.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 53 / 58
Solusi:Untuk setiap x, −1 ≤ x ≤ 1, penampang berupa segitiga samasisi dengan panjang sisi 2y = 2
√1− x2
Tinggi segitiga adalah√
3√
1− x2.Maka luasnya adalah
A(y) =1
2
(√3√
1− x3)(
1√
1− x2)
=√
3(1− x2)
Volumenya adalah
V =
∫ 1
−1
√3(1− x3) dx =
4
3
√3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 54 / 58
Solusi:Untuk setiap x, −1 ≤ x ≤ 1, penampang berupa segitiga samasisi dengan panjang sisi 2y = 2
√1− x2
Tinggi segitiga adalah√
3√
1− x2.
Maka luasnya adalah
A(y) =1
2
(√3√
1− x3)(
1√
1− x2)
=√
3(1− x2)
Volumenya adalah
V =
∫ 1
−1
√3(1− x3) dx =
4
3
√3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 54 / 58
Solusi:Untuk setiap x, −1 ≤ x ≤ 1, penampang berupa segitiga samasisi dengan panjang sisi 2y = 2
√1− x2
Tinggi segitiga adalah√
3√
1− x2.Maka luasnya adalah
A(y) =1
2
(√3√
1− x3)(
1√
1− x2)
=√
3(1− x2)
Volumenya adalah
V =
∫ 1
−1
√3(1− x3) dx =
4
3
√3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 54 / 58
Solusi:Untuk setiap x, −1 ≤ x ≤ 1, penampang berupa segitiga samasisi dengan panjang sisi 2y = 2
√1− x2
Tinggi segitiga adalah√
3√
1− x2.Maka luasnya adalah
A(y) =1
2
(√3√
1− x3)(
1√
1− x2)
=√
3(1− x2)
Volumenya adalah
V =
∫ 1
−1
√3(1− x3) dx =
4
3
√3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 54 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Perhatikan gambar
garis OP mempuntai persamaan y = L2hx
Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx
Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =
[s(x)
]2=(Lx
)2x2
Volumenya adalah
V =
∫ h
0A(x)dx =
∫ h
0
L2
h2x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Perhatikan gambar
garis OP mempuntai persamaan y = L2hx
Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx
Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =
[s(x)
]2=(Lx
)2x2
Volumenya adalah
V =
∫ h
0A(x)dx =
∫ h
0
L2
h2x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Perhatikan gambar
garis OP mempuntai persamaan y = L2hx
Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx
Atau gunakan sifat segitiga sebangun.
Jadi, luas penampang adalah A(x) =[s(x)
]2=(Lx
)2x2
Volumenya adalah
V =
∫ h
0A(x)dx =
∫ h
0
L2
h2x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Perhatikan gambar
garis OP mempuntai persamaan y = L2hx
Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx
Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =
[s(x)
]2=(Lx
)2x2
Volumenya adalah
V =
∫ h
0A(x)dx =
∫ h
0
L2
h2x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Benda Pejal
Tentukan volume piramida degan alas persegi (panjang sisi L) dantingginya h.
Perhatikan gambar
garis OP mempuntai persamaan y = L2hx
Jadi, s(x) = 2y(x) = Lhx
Atau gunakan sifat segitiga sebangun.Jadi, luas penampang adalah A(x) =
[s(x)
]2=(Lx
)2x2
Volumenya adalah
V =
∫ h
0A(x)dx =
∫ h
0
L2
h2x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 55 / 58
Problem
Sebuah benda padat terbuat dari kayu berbentuk silinder denganradius 4. Benda tersebut dipotong sepanjang bidang tegak lurussumbu kayu, kemudian dipotong lagi sepanjang bidang yangmembentuk sudut 30◦ dengan bidang pertama sepanjang diameter.Tentukan volumenya.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 56 / 58
Tempatkan benda pada bidang xy sehingga alasnya berupasetengah lingkaran y2 + x2 ≤ 16, y ≥ 0, −4 ≤ x ≤ 4
ss
Penampang tegak lurus sumbu-x berupa segitiga siku-sikudengan alas dan tinggi:
s(x) =√
16− x2 t(x) = tan(30◦)s(x) =
√16− x2√
3
Luas penampangnya adalah
A(x) =s(x)t(x)
2=
16− x2
2√
3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 57 / 58
Tempatkan benda pada bidang xy sehingga alasnya berupasetengah lingkaran y2 + x2 ≤ 16, y ≥ 0, −4 ≤ x ≤ 4
ss
Penampang tegak lurus sumbu-x berupa segitiga siku-sikudengan alas dan tinggi:
s(x) =√
16− x2 t(x) = tan(30◦)s(x) =
√16− x2√
3
Luas penampangnya adalah
A(x) =s(x)t(x)
2=
16− x2
2√
3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 57 / 58
Tempatkan benda pada bidang xy sehingga alasnya berupasetengah lingkaran y2 + x2 ≤ 16, y ≥ 0, −4 ≤ x ≤ 4
ss
Penampang tegak lurus sumbu-x berupa segitiga siku-sikudengan alas dan tinggi:
s(x) =√
16− x2 t(x) = tan(30◦)s(x) =
√16− x2√
3
Luas penampangnya adalah
A(x) =s(x)t(x)
2=
16− x2
2√
3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 57 / 58
Tempatkan benda pada bidang xy sehingga alasnya berupasetengah lingkaran y2 + x2 ≤ 16, y ≥ 0, −4 ≤ x ≤ 4
ss
Penampang tegak lurus sumbu-x berupa segitiga siku-sikudengan alas dan tinggi:
s(x) =√
16− x2 t(x) = tan(30◦)s(x) =
√16− x2√
3
Luas penampangnya adalah
A(x) =s(x)t(x)
2=
16− x2
2√
3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 57 / 58
dan volumenya
V =∫ 4−4A(x)dx =
∫ 4−4
(16−x22√3
)dx
= 12√3
(16x− x2
3
)∣∣∣∣4−1
= 1283√3
Alternatif
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 58 / 58
dan volumenya
V =∫ 4−4A(x)dx =
∫ 4−4
(16−x22√3
)dx
= 12√3
(16x− x2
3
)∣∣∣∣4−1
= 1283√3
Alternatif
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 58 / 58
dan volumenya
V =∫ 4−4A(x)dx =
∫ 4−4
(16−x22√3
)dx
= 12√3
(16x− x2
3
)∣∣∣∣4−1
= 1283√3
Alternatif
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 58 / 58
top related