contoh soal persamaan schrodinger dan penyelesaiannya

by:

Dodoh Sutarsih (4211412008)

Ayu Shaleha (4211412025)

Miftachul Janah (4211412051)

Soal dan Pembahasan(Persamaan Schrödinger)

Tunjukkan fungsi gelombang berikut

1. =

dengan n = 1, 2, 3, ..., merupakan penyelesaian Persamaan ScrhÖdinger bagi partikel bermassa m yang hanya bebas bergerak dalam interval - x Tentukan pula batasan nilai yang diijinkan !

;

0 ;

AnalisisPernyataan bahwa “partikel hanya dapat

bergerak bebas dalam interval - x ” memiliki arti bahwa partikel tidak

mungkin berada di luar interval itu. Dengan kata lain, peluang mendapatkan

partikel di luar interval itu sebesar nol. Hal ini hanya dipenuhi jika fungsi gelombang

di luar interval - x bernilai nol.Partikel bebas bergerak dalam interval - x

menunjukkan bahwa partikel tidak mengalami gaya apapun dalam interval

itu.

Jadi, energi potensialnya konstan. Kita lambangi potensial konstan ini dengan Dengan demikian, persamaan ScrhÖdinger dalam interval- x berbentuk

Untuk menguji apakah benar fungsi gelombang yang diketahui tadi merupakan penyelesaian persamaan ScrhÖdinger, kita substitusikan fungsi gelombang itu ke dalam persamaan terakhir di atas.

Substitusi ke ruas kiri menghasilkan

Substitusi ke ruas kiri menghasilkan

Dengan demikian kita dat hubungan.Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang tadi dijamin sebagai penyelesaian persamaan ScrhÖdinger bagi partikel yang bebas bergerak dalam interval - x asalkan tetapan dalam fungsi gelombang itu memenuhi hubungan Ungkapan ini sekaligus memberikan batasan nilai yang harus dipenuhi oleh .

Penyelesaian:

... persamaan (i)

Menentukan nilai =

= = sin = sin = ...persamaan (ii)

Menentukan nilai =

= = ... persamaan (iii)

Mensubstitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke dalam persamaan (i) -

=

= +

Karena partikel berada pada daerah bebas potensial, maka nilai = 0,sehingga diperoleh persamaan: = +

=

2. Fungsi gelombang yang menyatakan keadaan dasar suatu partikel yang terkungkung di dalam potensial “kotak” 1 dimensi adalah:

=

Dengan dan suatu tetapan. Selidikilah apakah fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner atau tidak! Hitung nilai harap energi total partikel beserta ketakpastiannya!

Analisis

Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah (x,t) =

Ternyata fungsi rapat peluang posisi tersebut tidak bergantung pada waktu. Dengan demikian disimpulkan bahwa

fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner.

Penyelesaian

Nilai Harap Energi TotalKarena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka nilaiharap energi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: =

= dx= = =

Ketakpastian Energi TotalTerlebih dahulu menentukan hasil kuadrat dari nilai harap energi total² = ²

= dx= ()= =

Dari nilai harap energi total dan nilai harap kuadrat energi total tersebut didapatkan nilai ketakpastian energi total sebagai berikut

0Jadi,nilai harap energi total pada keadaan itu adalah dengan ketakpastian sebesar nol. Karena ketakpastiannya nol berarti nilai energi total partikel bersifat pasti. Hal ini dapat memperjelas pernyataan sebelumnya bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana enrgi partikel bernilai pasti.

3. Tunjukkan bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi

Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (energi kinetik ditambah energi potensial) sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tidak berubah terhadap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, kita selidiki bagaimana nilai harap hamiltonian sistem berubah terhadap waktu.

Berdasarkan persamaan

=+

Perubahan nilai harap terhadap waktu dapat dituliskan

=+

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa

nilai harap hamiltonian sistem konservatif bersifat

kekal. Ini berarti bahwa persamaan

schrodinger menjamin tetap

berlakunya hukum kekekalan energi

(secara rata-rata).

=0

= 0

= 0 = konstanta