contoh soal analisa matriks (balok menerus) revisi2 01-07-15
Post on 11-Jul-2016
260 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Hal.1 dari 65 Sondra Raharja, ST
CONTOH SOAL ANALISA MATRIKS METODE KEKAKUAN BIASA
GAMBAR BALOK MENERUS
Data Properties Penampang
Tinggi balok, h = 40Lebar balok, b = 25Mutu beton, fc' = 250Modulus elastisitas beton, Ec =4700 x sqrt (fc'/10) x 10 Ec = 235000
Ix = 133333.3Span (bentang) balok, L1 = 300Span (bentang) balok, L2 = 400Span (bentang) balok, L3 = 300Span (bentang) balok, L4 = 250Jarak beban, a3 = L3/2 a3 = 150
Beban-beban yang bekerjaq1 = 7.5q2 = 6
P = 1000M1 = 100000M2 = 50000
Penyusunan matriks-matriks
GAMBAR 1 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN HILANGKAN, GBRKAN DOF
GAMBAR 2 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN HILANGKAN, KECUALI BEBAN SELARAS DOF
Momen inersia balok, Ix = 1/12 x bh3
A B C
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cm q2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 mL2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m
A B C
D1
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 m
D2
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 m
Hal.2 dari 65 Sondra Raharja, ST
Susun matrik AD, ---> gaya luar yang selaras DOF
Dari perletakan didapat DOF = 4
0 0AD = 0 AD = 0
M1 -100000M2 50000
GAMBAR 3 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN DI MASUKAN, KECUALI YG SELARAS DOF, YG SELARAS DOF DIHILANGKAN, GAMBARKANREAKSI PERLETAKAN AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
Catatan : ARL adalah reaksi perletakan semula, akibat beban primerADL adalah rekasi perletakan akibat kekangan pada posisi DOF atau gaya akibat beban terjepit yg selaras dg DOF
Freebody A- B (Bentang 1) :
GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANGBESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
ARL1 = q1.L1/2 = 1125 kg
ARL2 = = 56250 kg.cm
ARL3 = q1.L1/2 = 1125 kg
ADL1 = = -56250 kg.cm
Freebody B- C (Bentang2 ) :
GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANGBESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
ARL3 = P/2 = 500 kg
ADL1 = P.L2 / 8 = 50000 kg.cm
ARL4 = P/2 = 500 kg
ADL2 = - P.L2 / 8 = -50000 kg.cm
Bh --> orde matriks d x 1 = AD
1/12 x q1.L12
-1/12 x q1.L12
A B C
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cmq2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 mL2/2 = 2 m
ADL1 ADL2
ARL1
ARL2
ARL3 ARL4
A
ARL1
ARL2
ARL3
Hal.4 dari 65 Sondra Raharja, ST
Freebody C - D (Bentang 3) :
GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANGBESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
ARL4 = 13/32. q2.L3 = 731.25 kg
ADL2 = = 30937.5 kg.cm
ARL5 = 3/32. q2.L3 = 168.75 kg
ADL3 = = -14062.5 kg.cm
Freebody D - E (Bentang 4) :
GAMBAR 2 . GAMBAR FREEBODY SESUAI BENTANGAN YG DIKEKANGBESERTA REAKSI AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
Karena tidak ada gaya luar disepanjang bentang, maka reaksi perletakan tidak ada
ARL5 = 0 kgADL3 = 0 kg.cmARL6 = 0 kgADL4 = 0 kg.cm
Gabungkan seluruh reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan sehingga dapat disusun matriks ADL dan ARL
Pada joint B reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :
ARL3 Btg1 + ARL3 Btg2 = 1625
ADL1 btg1 + ADL1 btg2 = -6250
Pada joint C reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :
11/192.q2.L32
- 5/192. q2.L32
ADL2
ARL4
D
L4 = 2.5 m
ADL3
ARL5
A B
q1 = 7.5 Kg/cm
L1 = 3 m
ADL1
ARL1
ARL2
ARL3
B
L2/2 = 2 m
ADL1
ARL3
DC
q2 = 6 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m
ADL2 ADL3
ARL4 ARL5
Hal.5 dari 65 Sondra Raharja, ST
ARL4 btg2 + ARL4 btg3 = 1231.25
ADL2 btg2 + ADL2 btg3 = -19062.5
Pada joint D reaksi gaya ujung batang yg dijumlahkan adalah sbb :
ARL5 btg3 + ARL5 btg4 = 168.75
ADL3 btg3 + ADL3 btg4 = -14062.5
Susun matriks ADL dan ARL sbb :
ADL1 -6250ADL2 = -19062.5
ADL = ADL3 -14062.5ADL4 0
ARL1 1125ARL2 56250
ARL = ARL3 = 1625ARL4 1231.25ARL5 168.75ARL6 0
Susun matriks kekakuan [S] dan matriks reaksi perletakan [ARD]
Hitung matriks akibat displacement / perpindahan yaitu matriks kekakuan [S] dan matriksreaksi perletakan semula akibat displacement [ARD]
Perpindahan 1 ---> yaitu akibat D1
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUANGAMBAR PERPINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK B
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 mARD11
ARD21
ARD31 ARD41
S11 S21
Hal.6 dari 65 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODYGAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBATPERPINDAHAN TSB
ARD11 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg
ARD21 = 2.Ec.Ix = 208888888.9 kg.cmL1
S11 = 4.Ec.Ix + 4.Ec.Ix = 731111111.1 kg.cmL1 L2
ARD31 = - 6.Ec.Ix + 6.Ec.Ix = -913888.8889 kg
ARD41 = - 6.Ec.Ix + 0 = -1175000 kg
S21 = 2.Ec.Ix + 0 = 156666666.7 kg.cmL2
ARD51 = 0 = 0 kg
S31 = 0 + 0 = 0 kg.cm
ARD61 = 0 = 0 kg
S41 = 0 = 0 kg.cm
Perpindahan 2 ---> yaitu akibat D2
L12
L12 L22
L22
EI
L1
θ = 1
θ = 1
ARD11
ARD21 S11
ARD31
A B
θ = 1
θ = 1B
ARD31
S11
EI
L3
ARD41
S21 S31
ARD51
C D
ARD51
S31
D
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 mARD12=0
ARD22=0
ARD32 ARD42
S12 S22
Hal.7 dari 65 Sondra Raharja, ST
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUANGAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK C
Hal.8 dari 65 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODYGAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBATPERPINDAHAN TSB
ARD12 = 0 = 0 kg
ARD22 = 0 = 0 kg.cm
ARD32 = 0 + 6.Ec.Ix = 1175000 kg
S12 = 0 + 2.Ec.Ix = 156666666.7 kg.cmL2
ARD42 = - 6.Ec.Ix + 6.Ec.Ix = 913888.8889 kg
S22 = 4.Ec.Ix + 4.Ec.Ix = 731111111.1 kg.cmL2 L3
ARD52 = - 6.Ec.Ix + 0 = -2088888.889 kg
S32 = 2.Ec.Ix + 0 = 208888888.9 kg.cmL3
ARD62 = 0 = 0 kg
S42 = 0 = 0 kg.cm
Perpindahan 3 ---> yaitu akibat D3
L22
L22 L32
L32
EI
L1
ARD12
ARD22 S12
ARD32
A B
ARD32
S12
B
θ = 1
θ = 1EI
L3
C D
ARD42
S32
ARD52
S22
ARD52
S32
D
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 mARD13=0
ARD23=0
ARD33=0 ARD43
S13=0S23
Hal.9 dari 65 Sondra Raharja, ST
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUANGAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK D
Hal.10 dari 65 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODYGAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBATPERPINDAHAN TSB
ARD13 = 0 = 0 kg
ARD23 = 0 = 0 kg.cm
ARD33 = 0 + 0 = 0 kg
S13 = 0 + 0 = 0 kg.cm
ARD43 = 0 + 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg
S23 = 0 + 2.Ec.Ix = 208888888.9 kg.cmL3
ARD53 = - 6.Ec.Ix + 6.Ec.Ix = 919111.1111 kg
S33 = 4.Ec.Ix + 4.Ec.Ix = 919111111.1 kg.cmL3 L4
ARD63 = - 6.Ec.Ix = -3008000 kg
S43 = 2.Ec.Ix = 250666666.7 kg.cmL4
Perpindahan 4 ---> yaitu akibat D4
L32
L32 L42
L42
EI
L1
ARD13
ARD23 S13
ARD33
A B
ARD33
S13
B
EI
L3
θ = 1
θ = 1
ARD43
S23 S33
ARD53
C D
θ = 1D
ARD53
S33
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 m L3 = 3 mARD14=0
ARD24=0
ARD34=0 ARD44=0
S14=0 S24=0
Hal.11 dari 65 Sondra Raharja, ST
UNTUK MENDAPATKAN KEKAKUANGAMBAR PERINDAHAN 1 SATUAN (PUT. SUDUT/ROTASI) PD TITIK E
Hal.12 dari 65 Sondra Raharja, ST
GAMBAR SEMUA FREEBODYGAMBAR FREEBODY BESERTA PERPINDAHANNYA DAN REAKSI AKIBATPERPINDAHAN TSB
ARD14 = 0 = 0 kg
ARD24 = 0 = 0 kg.cm
ARD34 = 0 + 0 = 0 kg
S14 = 0 + 0 = 0 kg.cm
ARD44 = 0 + 0 = 0 kg
S24 = 0 + 0 = 0 kg.cm
ARD54 = 0 + 6.Ec.Ix = 3008000 kg
S34 = 0 + 2.Ec.Ix = 250666666.7 kg.cmL4
ARD64 = - 6.Ec.Ix = -3008000 kg
S44 = 4.Ec.Ix = 501333333.3 kg.cmL4
Matriks kekakuan sbb :
S11 S12 S13 S14S21 S22 S23 S24
= S31 S32 S33 S34S41 S42 S43 S44
731111111 156666667 0 0
156666667 731111111 208888888.89 0
L42
L42
S d x d
EI
L1
ARD14
ARD24 S14
ARD34
A B
ARD34
S14
B
EI
L2
ARD44
S24 S34
ARD54
C D
ARD54
S34
D
Hal.13 dari 65 Sondra Raharja, ST
= 0 208888889 919111111.11 250666666.67
0 0 250666666.67 501333333.33
S d x d
Hal.14 dari 65 Sondra Raharja, ST
Matriks reaksi perletakan (ARD) karena displacement (akibat beban rotasi 1 satuan) sbb :
ARD11 ARD12 ARD13 ARD14ARD21 ARD22 ARD23 ARD24
= ARD31 ARD32 ARD33 ARD34ARD41 ARD42 ARD43 ARD44ARD51 ARD52 ARD53 ARD54ARD61 ARD62 ARD63 ARD64
2088888.9 0 0 0208888889 0 0 0
= -913888.89 1175000 0 0-1175000 913888.89 2088888.889 0
0 -2088889 919111.1111 30080000 0 -3008000 -3008000
Mencari Displacement dari DOF
Invers matriks kekakuan
731111111 156666667 0 0
156666667 731111111 208888888.89 0
S = 0 208888889 919111111.11 250666666.67
0 0 250666666.67 501333333.33
1.4392E-009 -3.335E-010 8.775864E-011 -4.38793E-011
-3.335E-010 1.5563E-009 -4.09540E-010 2.047702E-010
= 8.7759E-011 -4.095E-010 1.367572E-009 -6.83786E-010
-4.388E-011 2.0477E-010 -6.83786E-010 2.336574E-009
1.4392E-009 -3.335E-010 8.775864E-011 -4.38793E-011
D = -3.335E-010 1.5563E-009 -4.09540E-010 2.047702E-010
8.7759E-011 -4.095E-010 1.367572E-009 -6.83786E-010
-4.388E-011 2.0477E-010 -6.83786E-010 2.336574E-009
1.4392E-009 -3.335E-010 8.775864E-011 -4.38793E-011
D = -3.335E-010 1.5563E-009 -4.09540E-010 2.047702E-010
8.7759E-011 -4.095E-010 1.367572E-009 -6.83786E-010
-4.388E-011 2.0477E-010 -6.83786E-010 2.336574E-009
-7.10E-006 radD = 7.302E-005 rad
-0.000159 rad0.0001792 rad
ARDr x d
ARDr x d
D = S-1 .(AD - ADL)
S-1
Hal.15 dari 65 Sondra Raharja, ST
HITUNG REAKSI PERLETAKAN MATRIKS AR
AR = ARL + ARD.D
1125 2088888.8889 0 0
56250 208888888.89 0 0
AR = 1625 + -913888.88889 1175000 0
1231.25 -1175000 913888.88889 2088888.9
168.75 0 -2088888.8889 919111.11
0 0 0 -3008000
1125 -14.825847846 1110.1742
56250 -1482.5847846 54767.415
AR = 1625 + 92.279159028 = 1717.2792
1231.25 -257.0104835 974.23952
168.75 240.46115949 409.21116
0 -60.903987168 -60.903987
A B C
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cm q2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 mL2/2 = 2 m
AR1
AR2
AR3 AR4
Hal.16 dari 65 Sondra Raharja, ST
cmcmkg/cm2kg/cm2
cm4cmcmcmcmcm
kg/cmkg/cmkgkg.cmkg.cm
h
b
D E
L4 = 2.5 mL3/2 = 1.5 m
M1=-100000 Kg.cmM2=50000 Kg.cm
D E
L4 = 2.5 mL3 = 3 m
D3 D4
D E
L4 = 2.5 mL3 = 3 m
M1 M2
Hal.17 dari 65 Sondra Raharja, ST
Bh --> orde matriks d x 1 = AD4x1
D E
q2 = 6 Kg/cm
L4 = 2.5 mL3/2 = 1.5 m
ADL3 ADL4
ARL5 ARL6
A B
q1 = 7.5 Kg/cm
L1 = 3 m
ADL1
ARL1 ARL3
B C
P = 1000 Kg
L2/2 = 2 m L2/2 = 2 m
ADL1 ADL2
ARL4
Hal.19 dari 65 Sondra Raharja, ST
Gabungkan seluruh reaksi ujung batang akibat gaya luar dan kekangan sehingga dapat disusun matriks ADL dan ARL
kg
kg.cm
DC
q2 = 6 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m L3/2 = 1.5 m
ADL3
ARL4 ARL5
E
L4 = 2.5 m
ADL4
ARL6
C
P = 1000 Kg
L2/2 = 2 m
ADL2
ARL4
Hal.20 dari 65 Sondra Raharja, ST
kg
kg.cm
kg
kg.cm
Hitung matriks akibat displacement / perpindahan yaitu matriks kekakuan [S] dan matriks
D E
L4 = 2.5 mARD51=0 ARD61=0
S31 =0 S41 =0
Hal.21 dari 65 Sondra Raharja, ST
(kg/cm2 x cm4 )/ cm2
(kg/cm2 x cm4 )/ cm
(kg/cm2 x cm4 )/ cm
θ = 1
EI
L2
C
S21
ARD41
EI
L4
S41
ARD61
E
D E
L4 = 2.5 mARD52 ARD62=0
S32S42 =0
Hal.23 dari 65 Sondra Raharja, ST
EI
L2
θ = 1
θ = 1S22
ARD42
C
EI
L4
ARD52
S42
ARD62
E
D E
L4 = 2.5 mL3 = 3 mARD53 ARD63
S33 S43
Hal.25 dari 65 Sondra Raharja, ST
EI
L2
ARD33
S23
ARD43
C
θ = 1
EI
L4
E
ARD53
S43
ARD63
D E
L4 = 2.5 mL3 = 3 mARD54 ARD64
S34 S44
Hal.29 dari 65 Sondra Raharja, ST
Matriks reaksi perletakan (ARD) karena displacement (akibat beban rotasi 1 satuan) sbb :
0 -6250
0 - -19062.5
-100000 -14062.5
50000 0
6250
19062.5
-85937.5
50000
Hal.30 dari 65 Sondra Raharja, ST
0 -7.09748E-006
0 7.301519E-005
0 X -0.0001589734
0 0.0001792207
3008000
-3008000
kg -> AR1kg.cm -> AR2
kg -> AR3kg -> AR4kg -> AR5kg -> AR6
D E
L4 = 2.5 mL3/2 = 1.5 m
M1=-100000 Kg.cmM2=50000 Kg.cm
AR5 AR6
04/23/2016 17:25:45
Hal.31 dari 65 Sondra Raharja, ST
CONTOH SOAL ANALISA MATRIKS METODE KEKAKUAN LANGSUNG
GAMBAR BALOK MENERUS
Data Properties Penampang
Tinggi balok, h = 40 cmLebar balok, b = 25 cmMutu beton, fc' = 250 kg/cm2Modulus elastisitas beton, Ec =4700 x sqrt (fc'/10) x 10 Ec = 235000 kg/cm2
Ix = 133333.3 cm4Span (bentang) balok, L1 = 300 cmSpan (bentang) balok, L2 = 400 cmSpan (bentang) balok, L3 = 300 cmSpan (bentang) balok, L4 = 250 cmJarak beban, a3 = L3/2 a3 = 150 cm
Beban-beban yang bekerjaq1 = 7.5 kg/cmq2 = 6 kg/cm
P = 1000 kgM1 = 100000 kg.cmM2 = 50000 kg.cm
I. HITUNG MATRIKS KEKAKUAN BATANG [SM]
1. Matriks Kekakuan untuk Batang 1 - Perpindahan/Displacement arah 1 --> D1 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM11 = 12.Ec.Ix = 13925.92593 kg/cm SM31 = - 12.Ec.Ix =
SM21 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg SM41 = 6.Ec.Ix =
Momen inersia balok, Ix = 1/12 x bh3
L13 L13
L12 L12
b
j
D1
D2 k
i
D3
D4
A B DC
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cm q2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m L4 = 2.5 mL2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m
M1=-100000 Kg.cm
EI
L1
∆
SM11
SM21
SM31
SM41A
B
04/23/2016 17:25:45
Hal.32 dari 65 Sondra Raharja, ST
- Perpindahan/Displacement arah 2 --> D2 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM12 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg/cm SM32 = - 6.Ec.Ix =
SM22 = 4.Ec.Ix = 417777778 kg SM42 = 2.Ec.Ix =L1 L1
- Perpindahan/Displacement arah 3 --> D3 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM13 = - 12.Ec.Ix = -13925.9259 kg/cm SM33 = 12.Ec.Ix =
SM23 = -6.Ec.Ix = -2088888.89 kg SM43 = -6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 4 --> D4 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM14 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg/cm SM34 = - 6.Ec.Ix =
SM24 = 2.Ec.Ix = 208888889 kg SM44 = 4.Ec.Ix =L1 L1
L12 L12
L13 L13
L12 L12
L12 L12
θ = 1
θ = 1EI
L1
A B
SM12
SM42
SM32
SM22
EI
L1
∆
SM13
A
BSM23
SM33
SM43
EI
L1
θ = 1
θ = 1
SM14
SM24 SM44
SM34
A B
04/23/2016 17:25:45
Hal.33 dari 65 Sondra Raharja, ST
Susun matriks kekakuan batang 1
SM11 SM12 SM13 SM14SM1 = SM21 SM22 SM23 SM24
SM31 SM32 SM33 SM34SM41 SM42 SM43 SM44
13925.925926 2088888.8889 -13925.92593 2088888.8889
SM1 = 2088888.8889 417777777.78 -2088888.889 208888888.89
-13925.92593 -2088888.889 13925.925926 -2088888.889
2088888.8889 208888888.89 -2088888.889 417777777.78
2. Matriks Kekakuan untuk Batang 2 - Perpindahan/Displacement arah 1 --> D1 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM11 = 12.Ec.Ix = 5875 kg/cm SM31 = - 12.Ec.Ix =
SM21 = 6.Ec.Ix = 1175000 kg SM41 = 6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 2 --> D2 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM12 = 6.Ec.Ix = 1175000 kg/cm SM32 = - 6.Ec.Ix =
SM22 = 4.Ec.Ix = 313333333 kg SM42 = 2.Ec.Ix =L2 L2
- Perpindahan/Displacement arah 3 --> D3 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNG
L23 L23
L22 L22
L22 L22
EI
L2
∆
SM11
SM21
SM31
SM41B
C
θ = 1
θ = 1EI
L2
B C
SM12
SM42
SM32
SM22
EI
L2
∆
SM13
B
CSM23
SM33
SM43
04/23/2016 17:25:45
Hal.34 dari 65 Sondra Raharja, ST
BATANG
SM13 = - 12.Ec.Ix = -5875 kg/cm SM33 = 12.Ec.Ix =
SM23 = -6.Ec.Ix = -1175000 kg SM43 = -6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 4 --> D4 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM14 = 6.Ec.Ix = 1175000 kg/cm SM34 = - 6.Ec.Ix =
SM24 = 2.Ec.Ix = 156666667 kg SM44 = 4.Ec.Ix =L2 L2
Susun matriks kekakuan batang 2
SM11 SM12 SM13 SM14SM2 = SM21 SM22 SM23 SM24
SM31 SM32 SM33 SM34SM41 SM42 SM43 SM44
5875 1175000 -5875 1175000
SM2 = 1175000 313333333.33 -1175000 156666666.67
-5875 -1175000 5875 -1175000
1175000 156666666.67 -1175000 313333333.33
3. Matriks Kekakuan untuk Batang 3 - Perpindahan/Displacement arah 1 --> D1 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM11 = 12.Ec.Ix = 13925.92593 kg/cm SM31 = - 12.Ec.Ix =
SM21 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg SM41 = 6.Ec.Ix =
L23 L23
L22 L22
L22 L22
L33 L33
L32 L32
EI
L2
θ = 1
θ = 1
SM14
SM24 SM44
SM34
B C
EI
L3
∆
SM11
SM21
SM31
SM41C
D
04/23/2016 17:25:46
Hal.35 dari 65 Sondra Raharja, ST
- Perpindahan/Displacement arah 2 --> D2 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM12 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg/cm SM32 = - 6.Ec.Ix =
SM22 = 4.Ec.Ix = 417777778 kg SM42 = 2.Ec.Ix =L3 L3
- Perpindahan/Displacement arah 3 --> D3 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM13 = - 12.Ec.Ix = -13925.9259 kg/cm SM33 = 12.Ec.Ix =
SM23 = -6.Ec.Ix = -2088888.89 kg SM43 = -6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 4 --> D4 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM14 = 6.Ec.Ix = 2088888.889 kg/cm SM34 = - 6.Ec.Ix =
SM24 = 2.Ec.Ix = 208888889 kg SM44 = 4.Ec.Ix =L3 L3
L32 L32
L33 L33
L32 L32
L32 L32
θ = 1
θ = 1EI
L3
C D
SM12
SM42
SM32
SM22
EI
L3
θ = 1
θ = 1
SM14
SM24 SM44
SM34
C D
EI
L3
∆
SM13
C
DSM23
SM33
SM43
04/23/2016 17:25:46
Hal.36 dari 65 Sondra Raharja, ST
Susun matriks kekakuan batang 3
SM11 SM12 SM13 SM14SM3 = SM21 SM22 SM23 SM24
SM31 SM32 SM33 SM34SM41 SM42 SM43 SM44
13925.925926 2088888.8889 -13925.92593 2088888.8889
SM3 = 2088888.8889 417777777.78 -2088888.889 208888888.89
-13925.92593 -2088888.889 13925.925926 -2088888.889
2088888.8889 208888888.89 -2088888.889 417777777.78
4. Matriks Kekakuan untuk Batang 4 - Perpindahan/Displacement arah 1 --> D1 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM11 = 12.Ec.Ix = 24064 kg/cm SM31 = - 12.Ec.Ix =
SM21 = 6.Ec.Ix = 3008000 kg SM41 = 6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 2 --> D2 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM12 = 6.Ec.Ix = 3008000 kg/cm SM32 = - 6.Ec.Ix =
SM22 = 4.Ec.Ix = 501333333 kg SM42 = 2.Ec.Ix =L4 L4
- Perpindahan/Displacement arah 3 --> D3 (Translasi arah sb-Y)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
L43 L43
L42 L42
L42 L42
EI
L4
∆
SM11
SM21
SM31
SM41D
E
θ = 1
θ = 1EI
L4
D E
SM12
SM42
SM32
SM22
EI
L4
∆
SM13
D
ESM23
SM33
SM43
04/23/2016 17:25:46
Hal.37 dari 65 Sondra Raharja, ST
SM13 = - 12.Ec.Ix = -24064 kg/cm SM33 = 12.Ec.Ix =
SM23 = -6.Ec.Ix = -3008000 kg SM43 = -6.Ec.Ix =
- Perpindahan/Displacement arah 4 --> D4 (Rotasi arah sb-Z)
GAMBAR FREEBODY BALOK DG PERPINDAHAN DAN REAKSI UJUNGBATANG
SM14 = 6.Ec.Ix = 3008000 kg/cm SM34 = - 6.Ec.Ix =
SM24 = 2.Ec.Ix = 250666667 kg SM44 = 4.Ec.Ix =L4 L4
Susun matriks kekakuan batang 4
SM11 SM12 SM13 SM14SM4 = SM21 SM22 SM23 SM24
SM31 SM32 SM33 SM34SM41 SM42 SM43 SM44
24064 3008000 -24064 3008000
SM4 = 3008000 501333333.33 -3008000 250666666.67
-24064 -3008000 24064 -3008000
3008000 250666666.67 -3008000 501333333.33
II. SUSUN MATRIKS KEKAKUAN TITIK KUMPUL [Sj]
Matriks Sj disusun dari matriks SM
13925.925926 2088888.8889 -13925.92593 2088888.8889
SM1 = 2088888.8889 417777777.78 -2088888.889 208888888.89
-13925.92593 -2088888.889 13925.925926 -2088888.889 PENJUMLAHAN GAYA DI JOINT DILAKUKAN2088888.8889 208888888.89 -2088888.889 417777777.78 HANYA PADA TITIK / JOINT YANG TERJADI PERPINDAHAN
(DISPLACEMENT)
5875 1175000 -5875 1175000
SM2 = 1175000 313333333.33 -1175000 156666666.67
-5875 -1175000 5875 -1175000
1175000 156666666.67 -1175000 313333333.33
13925.925926 2088888.8889 -13925.92593 2088888.8889
SM3 = 2088888.8889 417777777.78 -2088888.889 208888888.89
-13925.92593 -2088888.889 13925.925926 -2088888.889
2088888.8889 208888888.89 -2088888.889 417777777.78
24064 3008000 -24064 3008000
SM4 = 3008000 501333333.33 -3008000 250666666.67
-24064 -3008000 24064 -3008000
L43 L43
L42 L42
L42 L42
EI
L4
θ = 1
θ = 1
SM14
SM24 SM44
SM34
D E
04/23/2016 17:25:46
Hal.38 dari 65 Sondra Raharja, ST
3008000 250666666.67 -3008000 501333333.33
GAMBARKAN POSISI DOF UTK TATAULANG SJ
1 2 3 4 5 6 7
1 13925.925926 2088888.8889 -13925.92593 2088888.8889 0 0 0
2 2088888.8889 417777777.78 -2088888.889 208888888.89 0 0 0
3 -13925.92593 -2088888.889 19800.925926 -913888.8889 -5875 1175000 0
4 2088888.8889 208888888.89 -913888.8889 731111111.11 -1175000 156666667 0
Sj = 5 0 0 -5875 -1175000 19800.926 913888.89 -13925.92593
6 0 0 1175000 156666666.67 913888.89 731111111 -2088888.889
7 0 0 0 0 -13925.926 -2088889 37989.925926
8 0 0 0 0 2088888.9 208888889 919111.11111
9 0 0 0 0 0 0 -24064
10 0 0 0 0 0 0 3008000
5 6 7 D1 8 D2 9
1 2 3 4 5 6 7
1 731111111.11 156666666.67 0 0 2088888.9 208888889 -913888.8889
2 156666666.67 731111111.11 208888888.89 0 0 0 1175000
3 0 208888888.89 919111111.11 250666666.67 0 0 0
4 0 0 250666666.67 501333333.33 0 0 0
Sj = 5 2088888.8889 0 0 0 13925.926 2088888.9 -13925.92593
6 208888888.89 0 0 0 2088888.9 417777778 -2088888.889
7 -913888.8889 1175000 0 0 -13925.926 -2088889 19800.925926
8 -1175000 913888.88889 2088888.8889 0 0 0 -5875
9 0 -2088888.889 919111.11111 3008000 0 0 0
10 0 0 -3008000 -3008000 0 0 0
Bentuk matriks Sj yang ditataulang (re-arrangement) ---> berdasarkan posisi DOF
SFF SFR
1
2
3
4
3
4
5
6
Pertemuan joint dijumlahkan (digabungkan)
5
6
7
8 8
D1
1
2
A B DC
3
4
5
6
7
8D2D1 D3 D4
A B DC
D1
L1 = 3 m L2 = 4 m L4 = 2.5 mL3 = 3 m
D2 D3
04/23/2016 17:25:46
Hal.39 dari 65 Sondra Raharja, ST
Sj =
731111111.11 156666666.67 0 0
156666666.67 731111111.11 208888888.89 0
= 0 208888888.89 919111111.11 250666666.67
0 0 250666666.67 501333333.33
1.4392418E-009 -3.334828E-010 8.7758644E-011 -4.387932E-011
-3.334828E-010 1.5562533E-009 -4.095403E-010 2.0477017E-010
= 8.7758644E-011 -4.095403E-010 1.3675722E-009 -6.837861E-010
-4.387932E-011 2.0477017E-010 -6.837861E-010 2.3365739E-009
III. SUSUN MATRIKS VEKTOR AKSI (GAYA) KOMBINASI [Ac]
Ac = Aj + AE
Aj ---> Beban aksi di joint
GAMBARKAN POSISI BEBAN LUAR PADA DOF
0 00 00 00 0
Aj = 0 = 00 00 0
- M1 -1000000 0
M2 50000
Hitung reaksi di ujung batang freebody (AML) ---> Beban dimasukkan kecuali beban aksi di joint
GAMBARKAN BALOK SEMULA DG BEBAN, KECUALI BEBAN DIJOINT
Freebody A - B :
GAMBARKAN FREEBODY, BEBAN DAN REAKSINYA
AML1 = q1.L1/2 = 1125 kg
SRF SRR
Didapatkan matriks SFF
SFF
Hitung invers matriks SFF
SFF(-1)
1
2 4Urutan Penomoran
A B DC
L1 = 3 m L2 = 4 m L4 = 2.5 mL3 = 3 m
M1
A B DC E
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cmq2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m L4 = 2.5 mL2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m
q1 = 7.5 Kg/cmAML2
DI TITIK A
DI TITIK B
DI TITIK C
DI TITIK D
DI TITIK E
04/23/2016 17:25:46
Hal.40 dari 65 Sondra Raharja, ST
AML2 = = 56250 kg.cm
AML3 = q1.L1/2 = 1125 kg
AML4 = = -56250 kg.cm
Freebody B - C :
GAMBARKAN FREEBODY, BEBAN DAN REAKSINYA
AML1 = P/2 = 500 kg
AML2 = P.L2 / 8 = 50000 kg.cm
AML3 = P/2 = 500 kg
AML4 = - P.L2 / 8 = -50000 kg.cm
Freebody C - D :
GAMBARKAN FREEBODY, BEBAN DAN REAKSINYA
AML1 = 13/32. q2.L3 = 731.25 kg
AML2 = = 30937.5 kg.cm
AML3 = 3/32. q2.L3 = 168.75 kg
AML4 = = -14062.5 kg.cm
Freebody D - E :
GAMBARKAN FREEBODY, BEBAN DAN REAKSINYA
AML1 = 0 = 0 kg
AML2 = 0 = 0 kg.cm
AML3 = 0 = 0 kg
AML4 = 0 = 0 kg.cm
Susun matriks AE dari matriks AML
1125AM1 = 56250
1125-56250
1125 -1125500 56250 -56250
AM2 = 50000 1625 -1625500 -6250 6250
-50000 1231.25 -1231.25AE = - -19062.5 AE = 19062.5
731.25 168.75 -168.75AM3 = 30937.5 -14062.5 14062.5
168.75 0 0
1/12 x q1.L12
-1/12 x q1.L12
11/192.q2.L32
- 5/192. q2.L32
A
L1 = 3 mAML1
B
P = 1000 Kg
L2/2 = 2 m
AML2
AML1
C
q2 = 6 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m
AML2
AML1
D
L4 = 2.5 m
AML2
AML1
04/23/2016 17:25:46
Hal.42 dari 65 Sondra Raharja, ST
Susun matriks Ac
1 0 -1125 -1125 52 0 -56250 -56250 63 0 -1625 -1625 74 0 6250 6250 D1
Ac = 5 0 + -1231.25 = -1231.25 86 0 19062.5 19062.5 D27 0 -168.75 -168.75 98 -100000 14062.5 -85937.5 D39 0 0 0 1010 50000 0 50000 D4
1 62502 19062.5 ---> AFC3 -85937.54 50000 Ac = AFC
Ac = 5 -1125 ARC6 -562507 -1625 ---> ARC8 -1231.259 -168.7510 0
Didapat matriks AFC dan ARC
6250 -1125AFC = 19062.5 -56250
-85937.5 ARC = -162550000 -1231.25
-168.750
1.43924E-009 -3.33483E-010 8.77586E-011 -4.38793E-011 6250
-3.33483E-010 1.55625E-009 -4.09540E-010 2.04770E-010 x 19062.5
8.77586E-011 -4.09540E-010 1.36757E-009 -6.83786E-010 -85937.5
-4.38793E-011 2.04770E-010 -6.83786E-010 2.33657E-009 50000
-7.097480E-006
7.3015192E-005
-0.0001589734
0.0001792207
V. HITUNG REAKSI PERLETAKAN [AR]
1125 2088888.8889 0 0 0 -7.097480E-006
56250 208888888.89 0 0 0 7.3015192E-005
AR = 1625 + -913888.8889 1175000 0 0 x -0.0001589734
1231.25 -1175000 913888.88889 2088888.8889 0 0.0001792207
168.75 0 -2088888.889 919111.11111 3008000
0 0 0 -3008000 -3008000
Tata ulang (re-arrangement) matriks Ac
IV. HITUNG PERPINDAHAN (DISPLACEMENT) [ DF ]
DF = SFF (-1). AFC
DF =
DF =
AR = -ARC + SRF.DF
04/23/2016 17:25:46
Hal.43 dari 65 Sondra Raharja, ST
1125 -14.8258478 1110.174152 1110.17415256250 -1482.58478 54767.41522 54767.415221625 + 92.27915903 = 1717.279159 1717.279159
AR = 1231.25 -257.010484 974.2395165 974.2395165168.75 240.4611595 409.2111595 409.2111595
0 -60.9039872 -60.9039872 -60.9039872
A B DC
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cm q2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m L4 = 2.5 mL2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 m
M1=-100000 Kg.cm
AR1
AR2
AR3 AR4 AR5
04/23/2016 17:25:46
Hal.44 dari 65 Sondra Raharja, ST
-13925.926 kg/cm
2088888.9 kg
h
E
L4 = 2.5 m
M2=50000 Kg.cm
04/23/2016 17:25:46
Hal.45 dari 65 Sondra Raharja, ST
-2088889 kg/cm
208888889 kg
13925.926 kg/cm
-2088889 kg
-2088889 kg/cm
417777778 kg
04/23/2016 17:25:46
Hal.46 dari 65 Sondra Raharja, ST
-5875 kg/cm
1175000 kg
-1175000 kg/cm
156666667 kg
04/23/2016 17:25:46
Hal.47 dari 65 Sondra Raharja, ST
5875 kg/cm
-1175000 kg
-1175000 kg/cm
313333333 kg
-13925.926 kg/cm
2088888.9 kg
04/23/2016 17:25:46
Hal.48 dari 65 Sondra Raharja, ST
-2088889 kg/cm
208888889 kg
13925.926 kg/cm
-2088889 kg
-2088889 kg/cm
417777778 kg
04/23/2016 17:25:46
Hal.49 dari 65 Sondra Raharja, ST
-24064 kg/cm
3008000 kg
-3008000 kg/cm
250666667 kg
04/23/2016 17:25:46
Hal.50 dari 65 Sondra Raharja, ST
24064 kg/cm
-3008000 kg
-3008000 kg/cm
501333333 kg
PENJUMLAHAN GAYA DI JOINT DILAKUKANHANYA PADA TITIK / JOINT YANG TERJADI PERPINDAHAN(DISPLACEMENT)
04/23/2016 17:25:46
Hal.51 dari 65 Sondra Raharja, ST
8 9 10
0 0 0 50 0 0 60 0 0 70 0 0 D1
2088888.89 0 0 8208888889 0 0 D2919111.111 -24064 3008000 9919111111 -3008000 250666667 D3-3008000 24064 -3008000 10
250666667 -3008000 501333333 D4
D3 10 D4
8 9 10
-1175000 0 0
913888.889 -2088889 0
2088888.89 919111.11 -3008000
0 3008000 -3008000
0 0 0
0 0 0
-5875 0 0
19800.9259 -13925.926 0
-13925.9259 37989.926 -24064
0 -24064 24064
7 9
10
E
9
10
E
L4 = 2.5 m
D4
04/23/2016 17:25:46
Hal.53 dari 65 Sondra Raharja, ST
B
AML3
C
P = 1000 Kg
L2/2 = 2 m
AML4
AML3
D
q2 = 6 Kg/cm
L3/2 = 1.5 m
AML4
AML3
E
L4 = 2.5 m
AML4
AML3
04/23/2016 17:25:47
Hal.56 dari 65 Sondra Raharja, ST
--> AR1 --> AR2 --> AR3 --> AR4 --> AR5 --> AR6
E
L4 = 2.5 m
M2=50000 Kg.cm
AR6
GAMBAR 1 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN HILANGKAN, GBRKAN DOF
GAMBAR 2 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN HILANGKAN, KECUALI BEBAN SELARAS DOF
GAMBAR 1 . GAMBAR BALOK MENERUS DIKEKANGBEBAN DI MASUKAN, KECUALI YG SELARAS DOF, YG SELARAS DOF DIHILANGKAN, GAMBARKANREAKSI PERLETAKAN AKIBAT KEKANGAN (ARL DAN ADL)
A B C
P = 1000 Kgq1 = 7.5 Kg/cm q2 = 6 Kg/cm
L1 = 3 m L2/2 = 2 m L3/2 = 1.5 mL2/2 = 2 m
EI
L
θ = 1
θ = 1
ARD11
ARD21 S11
ARD31
A B
EI
L3
ARD41
S21 S31
ARD51
C D
A B C
L1 = 3 m L2 = 4 mARD14=0
ARD24=0
ARD34=0 ARD44=0
S14=0 S24=0
EI
L
θ = 1
θ = 1EI
L
A B
ARD31
S21S11
EI
L4
ARD51
S31 S41
ARD61
D E
D E
L4 = 2.5 mL3 = 3 mARD54 ARD64
S34 S44
EI
top related