by : hanung n. prasetyo - hanungnindito.files.wordpress.com · ukuran pemusatan nilai tunggal yang...

theory

STATISTIKA DESKRIPTIF

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

By : Hanung N. Prasetyo

UKURAN PEMUSATAN

Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan

pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data.

Yang termasuk ukuran pemusatan :

1. Rata-rata hitung

2. Median

3. Modus3. Modus

4. Rata-rata ukur

5. Rata-rata harmonis

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

1. RATA-RATA HITUNG

Rumus umumnya :

1. Untuk data yang tidak mengulang

data nilai Banyaknya

data nilai semuaJumlah hitung rata-Rata =

1. Untuk data yang tidak mengulang

2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu

n

X

n

X...XX X n21 Σ

=+++

=

f

fX

f...ff

Xf...XfXf X

n21

nn2211

ΣΣ

=++++++

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

RATA-RATA HITUNG (lanjutan)

1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi

Interval Kelas Nilai Tengah

(X)

Frekuensi fX

9-21

22-34

15

28

3

4

45

11222-34

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

28

41

54

67

80

93

4

4

8

12

23

6

112

164

432

804

1840

558

Σf = 60 ΣfX = 3955

65,92 60

3955

f

fX X ==ΣΣ

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

RATA-RATA HITUNG (lanjutan)

2. Dengan Memakai Kode (U)

Interval Kelas Nilai Tengah

(X)

U Frekuensi fU

9-21

22-34

15

28

-3

-2

3

4

-9

-8

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

41

54

67

80

93

-1

0

1

2

3

4

8

12

23

6

-4

0

12

46

18

Σf = 60 ΣfU = 55

65,92 60

55 13 54

f

fU c X X 0 =

+=

ΣΣ

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

2. MEDIAN

Untuk data berkelompok formulanya adalah:

f

F - 2

n

c L Med 0

+=

median kelas frekuensi f

median mengandung yang kelas

sebelum kelas semua frekuensijumlah F

median kelasbawah batas L

f

0

0

=

=

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

MEDIAN (lanjutan)

Contoh :

Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga :

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21

22-34

3

4 73, sehingga :

L0 = 60,5

F = 19

f = 12

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

4

8

12

23

6

Σf = 60

72,42 12

19 - 2

60

13 60,5 Med =

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

3. MODUS

Untuk data berkelompok

b b

b c L Mod

21

10

++=

modus kelassesudah kelassatu tepat frekuensi

dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

modus kelas sebelum kelassatu tepat frekuensi

dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

modus kelasbawah batas L

2

1

0

=

=

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

MODUS (lanjutan)

Contoh :

Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga :

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21

22-34

3

474-86, sehingga :

L0 = 73,5

b1 = 23-12 = 11

b2 = 23-6 =17

22-34

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

4

4

8

12

23

6

Σf = 60

78,61 17 11

11 13 73,5 Mod =

+

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN

MODUS

Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan.

3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.

Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan :

Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

( )Med X3 Mod - X −=

UKURAN LETAK(FRAKTIL)KUARTIL, DESIL, PERSENTIL

1. Kuartil

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

� Q1 Artinya : 25 % data jatuh di bawah Q1

� Q2 Artinya : 50 % data jatuh di bawah Q2

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KUARTIL (lanjutan)

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

( )1,2,3 i ,

4

1ni-ke nilai Qi =

+=

Untuk data berkelompok

L0 = batas bawah kelas kuartil

F = jumlah frekuensi semua

kelas sebelum kelas kuartil Qi

f = frekuensi kelas kuartil Qi

1,2,3 i , f

F -4

in

cL Q 0i =

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KUARTIL (lanjutan)

Contoh :Q1 membagi data menjadi 25 %

Q2 membagi data menjadi 50 %

Q3 membagi data menjadi 75 %

Interval

Kelas

Nilai

Tengah

(X)

Frekuensi

9-21 15 3

Sehingga :

Q1 terletak pada 48-60

Q2 terletak pada 61-73

Q3 terletak pada 74-86

9-21

22-34

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

15

28

41

54

67

80

93

3

4

4

8

12

23

6

Σf = 60

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KUARTIL (lanjutan)

Untuk Q1, maka :

Untuk Q2, maka :

54 8

11 -4

1.60

1347,5 Q1 =

+=

19 -2.60

Untuk Q2, maka :

Untuk Q3, maka :

72,42 12

19 -4

2.60

1360,5 Q2 =

+=

81,41 23

31 -4

3.60

1373,5 Q3 =

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

2. Desil

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesaratau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang samabesar.

Untuk data tidak berkelompok

( )91,2,3,..., i ,

10

1ni-ke nilai Di =

+=

Untuk data berkelompokL0 = batas bawah kelas desil Di

F = jumlah frekuensi semua

kelas sebelum kelas desil Di

f = frekuensi kelas desil Di

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

10

91,2,3,..., i , f

F -10

in

cL D 0i =

+=

Contoh :

D3 membagi data 30%

D7 membagi data 70%

Sehingga :

D3 berada pada 48-60

D berada pada 74-86

Interval

Kelas

Nilai

Tengah

(X)

Frekuensi

9-21

22-34

35-47

48-60

61-73

74-86

15

28

41

54

67

80

3

4

4

8

12

23

D7 berada pada 74-8674-86

87-99

80

93

23

6

Σf = 60

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

58,875 8

11 -10

3.60

1347,5 D3 =

+= 79,72 23

31 -10

7.60

1373,5 D7 =

+=

3. Persentil

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

( )991,2,3,..., i ,

100

1ni-ke nilai Pi =

+=

Untuk data berkelompok

991,2,3,..., i , f

F -100

in

cL P 0i =

+=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

UKURAN PENYIMPANGAN(DISPERSI)

HOMOGEN DAN HETEROGEN DATA

Perhatikan daftar angka berikut ini:

I. 50,50,50,50,50

II. 30,40,50,60,70

III.20,30,50,70,80III.20,30,50,70,80

50 X =

KetigaKetiga kelompokkelompok data data mempunyaimempunyai ratarata--rata rata hitunghitung yang yang samasama, , yaituyaitu ::

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

Bagaimana pendapatmu?

DISPERSI DATA

Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.

Jenisnya :- Jangkauan (Range)- Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)- Variansi (Variance)- Standar Deviasi (Standart Deviation)

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

1. JANGKAUAN

Menyatakan selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dalam

data

R = nilai maksimum – nilai minimum

2. SIMPANGAN RATA-RATA

Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data.

n

X - X SRΣ

=Data tidak berkelompok :

f

X - Xf SR

Σ

Σ=

Data berkelompok :

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

SIMPANGAN RATA-RATA (lanjutan)

Contoh perhitungan SR untuk data berkelompok:Interval Interval

KelasKelas

XX ff

99--2121

2222--3434

3535--4747

1515

2828

4141

33

44

44

50,9250,92

37,9237,92

24,9224,92

152,76152,76

151,68151,68

99,6899,68

X - X X - Xf

3535--4747

4848--6060

6161--7373

7474--8686

8787--9999

4141

5454

6767

8080

9393

44

88

1212

2323

66

24,9224,92

11,9211,92

1,081,08

14,0814,08

27,0827,08

99,6899,68

95,3695,36

12,9612,96

323,84323,84

162,48162,48

Σf = 60Σf = 60 998,76998,76

16,646 60

76,998 SR ==

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

3. VARIANSI

Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.

( ) ( )( )1 -n n

X - Xn Satau

1-n

X - X S

222

2

2 ΣΣ=

Σ=

Data tidak berkelompok :

( )1 -n n1-n

Data berkelompok :

( ) ( )( )

f n

1 -n n

fX - fXn Satau

1-f

X - Xf S

222

2

2

Σ=

ΣΣ=

ΣΣ

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

4. STANDAR DEVIASI

Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku.

( ) ( )( )1 -n n

X - Xn Satau

1 -n

X - X S

222

ΣΣ=

Σ=

Data tidak berkelompok :

( )1 -n n1 -n

Data berkelompok :

( ) ( )( )

f n

1 -n n

2fX - fX2n Satau

1 - f

X - Xf S

2

Σ=

ΣΣ=

ΣΣ

=

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

STANDAR DEVIASI (lanjutan)Contoh :

Interval Interval

KelasKelas

XX ff

99--2121

2222--3434

1515

2828

33

44

2592,852592,85

1437,931437,93

7778,557778,55

5751,725751,72

( )2X - X ( )2X - Xf

2222--3434

3535--4747

4848--6060

6161--7373

7474--8686

8787--9999

2828

4141

5454

6767

8080

9393

44

44

88

1212

2323

66

1437,931437,93

621621

142,09142,09

1,171,17

198,25198,25

733,33733,33

5751,725751,72

24842484

1136,721136,72

14,0414,04

4559,754559,75

4399,984399,98

Σf = 60Σf = 60 26124,7626124,76

21,04 442,79 S

442,79 1-60

76,26124 S2

==

==

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KEMIRINGAN DISTRIBUSI DATA

Derajat atau ukuran dari ketidak simetrian suatu distribusi data.

Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur kemiringan distribusi data yaitu formula:kemiringan distribusi data yaitu formula:

1. Pearson � menggunakan format ukuran gejala pusat

2. Momen � menggunakan format ukuran dispersi

3. Bowley � menggunakan format ukuran letak

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai

rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai

rata-rata.

Curve B :

Skewed Left

Curve A :

Skewed Right

KEMENCENGAN

� Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi

rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata.

� Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi

rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur

ke kiri)

1. RUMUS PEARSON

( )

: Bila

Pearson kemiringanderajat

S

Med - X3 atau

S

Mod - X

=

==

α

αα

kanan ke miring datanya distribusi maka ,0 3.

kiri ke miring datanya distribusi maka ,0 2.

simetri datanya distribusi maka 0, 1.

: Bila

>

<

=

ααα

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

2. RUMUS MOMEN ( )3

3

3nS

X - X Σ

=αData tidak berkelompok

Data berkelompok( )

fS

X - Xf

3

3

3 ΣΣ

=α

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

kanan miring datanya distribusi maka 0, Jika 3.

kiri miring datanya distribusi maka 0, Jika 2.

simetri datanya distribusi maka 0, Jika 1.

3

3

3

>

<

=

α

α

α

3. RUMUS BOWLEY

13

213

Q - Q

Q - Q Q

+=α

1. Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri

2. Jika Q = Q maka α = 1 dan distribusi datanya 2. Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan

3. Jika Q2 = Q3 maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (KURTOSIS)

Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data.

Ada 3 jenis :

1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi

2. Mesokurtis, puncaknya normal2. Mesokurtis, puncaknya normal

3. Platikurtis, puncak rendah

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (lanjutan)

( )4

4

4nS

X - X Σ

=αData tidak berkelompok

Data berkelompok

( )4Σ ( )

sPlatikurti 3,

sLeptokurti 3,

Mesokurtis 3,

nS

X - Xf

4

4

4

4

4

4

<

>

=

Σ=

α

α

α

α

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP