bahan ajar matematika rekayasa i33
Post on 22-Jul-2015
1.030 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAHAN AJAR
MATEMATIKA REKAYASA I
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WARMADEWA DENPASAR 2011/2012
BAHAN AJAR MATEMATIKA REKAYASA ISILABUS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Aturan Dasar dan Hukum-hukum matematika Turunan / Deferensial Penerapan Deferensial Deferensial Parsial Integral Integral Rangkap Koordinat Kutub
ATURAN DASAR DAN HUKUM-HUKUM MATEMATIKA1) Identitas Aljabar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( (
)( )( )(
) ) )
2) Identitas Trigonometri a)
b)
( ( ( ( (
) ) ) ) )
c)
d) Penjumlahan
Matematika Rekayasa I | 1
e.
( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
f. Sudut Negatif ( ) ( ) ( ) g. Kurva-kurva baku 1. garis Lurus Kemiringan (slope) : Sudut antar dua garis :
Persamaan Garis Lurus (kemiringan = m) - yang memotong sumbu y rill di C ) - yang melalui ( ( ) ( ) - yang melalui ( )
2. Lingkaran - Berpusat dititik asal dengan jari-jari - Berpusat di (n,k) dengan jari-jari ( Hukum-hukum matematika
)
(
)
a) Hokum Asosiatif ( untuk penjumlahan dan perkalian ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Hukum kumulatif (untuk penjumlahan dan perkalian)
c) Hukum distribusi (untuk perkalian dan pembagian) ( ) ( )Matematika Rekayasa I | 2
TURUNAN/DEFERENSIAL Koefisien Deferensial Baku
NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
( )
Contoh : 1.
2.3.
Fungsi dari Suatu Fungsiadalah fungsi , karena harga tergantung pada sudut , demikian pula ( ) adalah fungsi sudut ( ) yaitu ( ) adalah fungsi dari ( ), tetapi ( ) itu merupakan fungsi , karena harganya bergantung kepada . Jadi kedua pernyataan ( ) adalah fungsi dari ( ) dan ini, kita gabungkan dapat kita lakukan bahwa ( ) adalah fungsi dari fungsi , jadi ( ) adalah fungsi dari fungsi dan secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai fungsi sudut fungsi.Matematika Rekayasa I | 3
Contoh ( Jawab : Missal :=
)
( (
) )
PERKALIAN DUA FUNGSIJika dengan adalah fungsi , maka :
Contoh : 1. Jawab :
, deferensialkan terhadap !
(
)
Semua cara sama untuk mendeferensialkan suatu perkalian adalah : 1. Tuliskanlah fungsi yang pertama dan deferensialkanlah fungsi yang kedua, 2. Tuliskanlah fungsi yang kedua dan deferensialkalah fungsi yang pertama
PEMBAGIAN DUA FUNGSI
Dimana u dan v adalah fungsi x maka :
Matematika Rekayasa I | 4
Contoh: 1. Jawab deferensialkan terhadap x!
(
)( (
) ( )
)( )
Deferensial Logaritmik Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien deferensial, lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai Deferensial Logaritmik.
{
}
{
}
{
}
Contoh : 1. Jawab { * + ( ) + deferensialkanlah terhadap x!
Matematika Rekayasa I | 5
*
+
FUNGSU IMPLISITJika dan terdeteksi sepenuhnya oleh dan disebut sebagai fungsi eksplisit dari . Jika kaitan antara dan sangat ketat, ada kalanya kita tidak dapat memisahkan di ruas kiri sendiri, misalnya , dalam hal semacam ini, ( ) tersirat di dalamnya. disebut fungsi implisit karena hubungannya dalam bentuk
Contah 1. jika Jawab , tentukanlah dititik !
(
)
Matematika Rekayasa I | 6
(
)(
) (
( ) ( )
)(
( (
)( ) ( )( ( )
)( )( )
)
( )
PERSAMAAN PARAMETRIK
Dalam hal ini sebuah harga tertentu akan memberikan pasangan harga variable ketiga yaitu disebut parameter dan kedua pernyataan untuk dan disebut persamaan parametrik. Contoh : 1. !
(
)
PENERAPAN DEFERENSIALPersamaan Garis Lurus yang melalui :
0 C 0
y x
Matematika Rekayasa I | 7
Persamaan dasar sudut garis lurus : dengan : kemiringan d d C = Perpotongan dengan sumbu Jika skala identik, maka riil
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,2) dan Q(-2,1)!y 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 P
Jawab ( ) ( ) ( )
Persamaan (1) dan (2) dieliminasi
Untuk
substitusikan ke persamaan (1)
Sebagai persamaan garisnya :
(
)
Bila harga m tertentu dan titik yang dilalui (x,y) tertentu maka persamaan garisnya: ( Contoh Garis melalui titik (5,3) dengan kemiringan 2, maka persamaan garisnya adalah : ( ( ) )
Matematika Rekayasa I | 8
Persamaan garis yang melalui titik yang sama dn saling tegak lurus :
Contoh : Garis melalui titik (4,3) dengan m=2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis tersebut! Jawab
Persamaan garisnya : ( ( ( ) )
Garis Singgung Dan Garis Normal
P
Ty=f(x)
Kemiringan kurva singgung di titik p diketahui.
( ) disebuah titik p pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis di titik p yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya
Kemiringan di tentukan oleh harga
Matematika Rekayasa I | 9
Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva Jawab: Kemiringan (m) = P(1,0)= m = di titik P(1,0)
Persamaan garis ( ( ) )
Menentukan garis normal di P Didefenisikan sebagai garis yang melalui titik P dan tegak lurus kepada garis singgung di P Kemiringan garis normal Unutk soal di atas Persamaan garis normalnya ( )
6
2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik :( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
untuk persamaan parametric kurva
Untuk M garis singgung Matematika Rekayasa I | 10
M garis normal
Menentukan garis singgung dan garis normalnya : Untuk memperoleh persamaan garis singgung dan garis normal kita harus mengetahui harga x dan y yang di lalui :
Persamaan garis singgung ( ( ) )
Persamaan garis normal : ( ( ) )
Harga maksimum dan minimum (titik balik) Contoh :
Titik balik terjadi bila :
Matematika Rekayasa I | 11
(
)(
)
Untuk menentukan jenis masing-masing titk balik substitusikan nilai x kedalam
Dititik dititik
Titik belok Contoh
(
)
untuk titik belok
(
)
Uji perubahan tanda untuk ( ( )( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ) ( )
untuk ( ( )( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ) ( )
Matematika Rekayasa I | 12
jadi satu-satunya titik belok yang ada terjadi pada
yaitu pada titik
DIDEFERENSIAL PARSIALContoh
Tinjaulah hubungan
Pernyataan
sendiri masih merupakan fungsi x dan y karena itu kita dapat mencari koefisien
diferensial parsialnya terhadap x maupun y. i. Jika bila dideferensialkan secara parsial terhadap x kita peroleh { ii. } ( )
Jikat kita deferensialkan secara parsial terhadap y, kita peroleh : { } ( )
Tentu saja kita dapat juga melakukuan hal yang sama terhadap hasil : ( ( ) )
diatas dan ini memberikan
PERTAMBAHAN KECILContoh : 1. Jika dengan V 250 volt dan R 50. Tentukan perubahan I jika V bertambah sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 5 ( )
Sehingga untuk ( ) ( ) Matematika Rekayasa I | 13
Yakni turun sebesar 0,03 ampere.
2. Jika persen, dan Jawab:
, tentukanlah presentasi pertambahan , jika bertambah 1 persen.
bertambah 2 persen, berkurang 3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{ { }
}
Jadi, turun sebesar 11 persen.
Matematika Rekayasa I | 14
Integral Integral integral baku: Deferensial ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Integral
Contoh soal: 1. 3. ( )
=2 2. 4. +c
Matematika Rekayasa I | 15
(( )
)( )
+C
(
)
(
)
Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x: Serupa juga dengan: 1. 2. 3. 4. 5. Contoh soal: 1. 2. 3. ( ( )( )
(
)
(
)
(( ) ( ) ( )
)
+c
(
) ) )( )
( ( (
) ) ) ( )
4. 5. (
Integral dalam bentuk Contoh: ( )
( ) ( )
( (
) ) ( )
Integral dalam bentuk ( ) ( )( )
(
)
Integral suatu perkalian integral per bagian (parsial) Contoh Matematika Rekayasa I | 16
1.
(
)
2.
* * * * + + +in +
{
}
INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL Kaidah pecahan parsial : Pembilang dari fungsi yang di berikan harus lebih rendahderajadnya dari pada derajad penyebutnya. Jika tidak demikian maka kita harus membaginya dahulu dengan pembagian biasa. Matematika Rekayasa I | 17
Faktorkanlah penyebutnya menjadi factor-faktor prima. Factor linear ( Factor ( Factor ( ) akan memberikan pecahan parsial yang berbentuk ) akan memberikan pecahan parsial : ) akan memberikan pecahan parsial +(( ) )
+
(
)
Factor kuadrat (
) akan memberikan pecahan parsial
Contoh Missal : U= dV= 1. = = ( ( ) )
Integral Fungsi Trigonometri 1
Pokok bahasan materi ini adalah tentang Integran fungsi trigonometri. Kita masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : No 1 2 3 4 5 6 f(x) sin x cos x tan x cot x sec x csc x f ( ) cos x - sin x sec2x -csc2x tan x sec x -cot x csc x
Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : 1. 2. 3. 4. 5. 6. sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C sec2x dx = tan x + C csc2x dx = - cot x+ C tan x . sec x dx = sec x + C cot x. csc x dx = - csc x + C Matematika Rekayasa I | 18
Ingat juga bahwa tan2A = sec2A 1 dan cot2x = csc2x - 1 Contoh 1 Tentukanlah Jawab : ( 8 + 4 sin x 3 tan x . sec x) dx = 8x 4 cos x 3 sec x + C Contoh 2 ( 3 sin x 4 tan2x 6)dx ( 8 + 4 sin x 3 tan x . sec x) dx
Tentukanlah Jawab :
1 + tan 2 x = sec 2x sehingga tan2x = sec2x 1 ( 3 sin x 4 tan2x 6)dx (3 sin x 4(sec2x 1) 6)dx (3 sin x 4 sec2x + 4 6) dx (3 sin x 4 sec2x 2) dx
=
=
=
= - 3 cos x 4 tan x 2x + C
Turunan Fungsi Trigonometri 2
Selain bentuk bentuk di atas kita juga masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : F(x) sin (ax + b) cos (ax + b) tan (ax + b) f ( ) a cos (ax + b) - a sin (ax + b) a sec2(ax + b) Matematika Rekayasa I | 19 f( )
cotg (ax + b) sec (ax + b) cosec (ax + b)
- a cosec2(ax + b) a tan (ax + b) sec (ax + b) - a cotg (ax + b) cosec (ax + b)
Dari tabel tersebut dapat diperoleh bahwa :
1.
cos (a + b) d
sin (ax + b) + C
2.
sin (a + b) d
-
cos (ax + b) + C
3.
sec2(ax + b) dx =
tan (ax + b) + C
4
cosec2(ax + b) dx = -
cotg (ax + b) + C
5.
tan (a + b) sec (a + b) d
sec (ax + b) + C
6.
cotg (a + b) cosec (a + b) d
cosec (ax + b) + C
Seringkali dalam menyelesaikan integral fungsi trigonometri, bagian integrannya perlu diubah dengan menggunakan identitas trigonometri agar bentuknya lebih sederhana dan integralnya segera dapat ditemukan.Oleh karena itu perlu diingat bahwa : 2 sin A . sin B = cos (A B) cos (A + B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A B)
sin2A =
, cos2A =
, sin 2x = 2 sin x cos x
Ada 4 Identitas yang perlu digunakan : 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A+B) sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A+B) + sin (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B) cos (A+B)
Contoh : = ( = * = * = {+ ( ) + }+c Matematika Rekayasa I | 20 ) ( )+
= = ( = * = * = { =
-
+c
) ( ) + + +c }+c ( )+
-
Untuk mengintegrasikan sin2x dan cos2x, dinyatakan dengan cosinus sudut rangkap. Contoh : ( ( ) ) ( )
-
Mengintegrasikan
-Mengintegrasi sin5x dan cos5x Contoh : Cos5x dx = = ( =2 4
x . cos x dx = (
2
x)2 cos x dx
x + sin4x) cos x dx2
x dx - 2 +
x . cos x dx + +c
4
x . cos x dx
= sin x
Contoh soal penerapan Integral 1) Carilah luas di bawah kurva y= x2+2x+1 di antara x = 1 dan x = 2 Jawab : ( 0 0 0 2) Harga Mean Tentukanlah harga mean dari Jawab : ( Matematika Rekayasa I | 21 ) 1 0 1 ) 1 0 1 diantara x= -1 dan x = 2 1
,
,( , -
)
(
)-
3) Harga RMS Tentukan harga RMS dari y = - cos sin 200t diantara t Jawab : 0 dan t
( ( ( ) )
)
(
)
[ [ ]
]
Sentroid suatu bentuk bidang Contoh : Tentukanlah posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x, sumbu x, dan ordinat pada x = 0 dan x = Jawab : I1 = Cari = =5[ =5[( )
=5
-
)
=5[- . . + I1 = 5 [ I2 =
] [
-
]=
- ] - = - [ 1] =
=5[-
)
Matematika Rekayasa I | 22
= [
- ]. = [
- ]
= 0,8660 0,5236
Cari I3 = = = = [x [. /
( ]
)
=> sin
= sin =
= = = =
0 , ,
1 (
()
)
Integral lipat dua :
Contoh : Hitungan : 1.
Matematika Rekayasa I | 23
0 ( ) 1 0 1
2. Hitunglah ( , {( ( ,( ( )( ) ) ) ) )
)
Integral lipat tiga : Contoh: 1. Hitunglah 0 ( *( , ) ( ) ( ) ( ( 1 , + ) ( ) )
2. Hitunglah . . . . ( ( ( . =( ) / ( ) ) ) (
( / / /
)
/
( )
)
)
(
) Matematika Rekayasa I | 24
(
)
(
)
Contoh Soal Lain : 1. Garis oleh Jawab: Dik : Dij : ( ) ( . . . . . / / / . / / / ) dan parabola dan ordinat berpotong di . Tentukan luas daerah yang dilingkupi dengan menggunakan integral lipat dua?
Matematika Rekayasa I | 25
top related