bab 3(3) spl
Post on 21-Aug-2015
2.156 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Bab 3 : Sistem Persamaan Linear
• Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.
• Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.
1 1 2 2 ... n na x a x a x b
Persamaan Linear
Contoh
Persamaan Linear• x + 2y = 5000• 3x + y = 10000• 2x - 3y + 5z = 30• x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Bukan Persamaan Linear• x2 – 2y = 3• sinx + 2 cos y = 0• 3e2x – sin (x+y) = 10
• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan liniear
• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
Sistem Persamaan Linear
• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
• atau AX = Bdimana: A dinamakan matriks koefisien
X dinamakan matriks peubahB dinamakan matriks konstanta
11 11 1
11 11 2
1 1
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
1
2
m
bb
b
1
2
n
xx
x
Contoh
• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:
• Contoh
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
Augmented Matrix
• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.
• Contoh: x – 2y = 72x + 3y = 7
{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut
Solusi SPL
• Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah:– SPL mempunyai solusi tunggal– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL tidak mempunyai solusi
Solusi SPL
Artinya : SPL 2x – y = 2 x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
y = x
y = 2x - 2(2, 2) merupakan titik potong dua garis tersebut
Tidak titik potong yang lain selain titik tersebut
(2, 2)x
y
1 2
2
Ilustrasi Solusi SPL Tunggal
Perhatikan SPL x – y = 02x – 2y = 0
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya:
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
x
x – y = 0
2x – 2y = 0 y
Ilustrasi Solusi SPL Tak Hingga Banyak
Perhatikan SPL x – y = 02x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
x
y y = x y = x – 1
1
Ilustrasi SPL Tidak Punya Solusi
• Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear.
• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana
Eliminasi Gauss-Jordan
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.
Langkah-Langkah
1 1 2 92 4 3 13 6 5 0
1 1 2 92 4 3 10 0 0 0
3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di bawah satu utamanya.
Langkah-Langkah
1 1 2 92 1 3 13 6 5 0
1 4 3 70 1 6 20 0 1 5
5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di atas satu utamanya
Langkah-Langkah
• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss).
• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)
1 0 0 10 1 0 20 0 1 3
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gaus-Jordan
2 82 3 1
3 7 4 10
x y zx y zx y z
Contoh
2 1 3 13
2 3 3 2
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371
0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 13 552
0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2
b b b bb
b b b b
Solusi
Jadi solusi dari SPL x = 3y = 1z = 2
1 2
2
1 3
1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8
1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93
3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14
b bb
b b
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1 x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1 -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1
Latihan Soal
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah
ke-i, xi)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
Aturan Cramer
• Hitung determinan A (|A|)• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i
diganti oleh Matriks B. Contoh :
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
1 12 1
2 21 21
2
n
n
n n nn
b a a
b a aA
b a a
11 1 1
11 2 22
1
n
n
n n nn
a b a
a b aA
a b a
det( )det( )
ii
Ax
A
Langkah-Langkah
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer
• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
x
y
z
Contoh
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)
8
1
10
B
1 1 2
1 2 3
3 7 4
Ax
X y
z
2 3 1 3 1 21 1 2
7 4 3 4 3 7
1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)
13 13 26 52
A
Solusi
1
8 1 2
1 2 3
10 7 4
A 1
2 3 1 3 1 28 1 2
7 4 10 4 10 7
8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)
8(13) 26 26 156
A
2
1 8 2
1 1 3
3 10 4
A2
1 3 1 3 1 11 8 2
10 4 3 4 3 10
1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)
26) 104 26 52
A
3
2 1 1 1 1 21 1 8
7 10 3 10 3 7
1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)
13 13 104 104
A3
1 1 8
1 2 1
3 7 10
A
Solusi
1
2
3
det( ) 1563
det( ) 52det( ) 52
1det( ) 52det( ) 104
2det( ) 52
Ax
AA
yAA
zA
Solusi dari SPLx = 3y = 1z = 2
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Bentuk umum:
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten, selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah• Jika tidak demikian,
SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
SPL Homogen
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
00
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a xa x a x a x
a x a x a x
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1 x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1 -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1
Latihan Soal
top related