analisis struktur metode matrix · analisis struktur metode matrix pertemuan ke-3 sistem rangka...

ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX

Pertemuan ke-3

SISTEM RANGKA BATANG (PLANE TRUSS)

Sistem koordinat

global

lokalglobal

lokal

elemen

Struktur merupakan gabungan dari banyak elemen yang bekerja sebagai satu sistem

Setiap elemen memiliki sumbu bahan, mengikuti arah panjang elemen

Sumbu bahan tersebut disebut sistem koordinat lokal elemen

Struktur, memiliki sistem koordinat global untuk menyatakan orientasi arah secara global

Sistem koordinat

global

lokal

Orientasi elemen terhadap sistem koordinat global dapat dikenali melalui

sudut α (alpha)

Sudut α dihitung dari sumbu-X (global) menuju sumbu-x (lokal),

dengan poros sumbu Z positif (berlawanan jarum jam)

Nodal Elemen

i

j

Setiap elemen plane truss memiliki 2 joint (nodal)

Notasi/penamaan joint (nodal) dengan notasi “i” dan “j”

“i” adalah nodal pada posisi permulaan

“j” adalah nodal pada posisi akhir

Sistem koordinat lokal, berjalan dari nodal “i” menuju “j”

Note : Notasi “i” dan “j” boleh diganti, asalkan menunjukkan urutan

Prinsip pembebanan Superposisi

Pengaruh beberapa pembebanan pada struktur dapat diperoleh

dengan menjumlahkan pengarus masing-masing pembebanan

yang dikerjakan sendiri-sendiri secara terpisah.

Terdapat 2 beban = P1 dan P2

RA, RB, MB = reaksi tumpuan

D = displacement struktur

Prinsip pembebanan Superposisi

Beban nodal ekivalen

Pada metode matriks, berlaku ketentuan berikut :

Beban hanya bekerja pada nodal (joint load)

Displacement (translasi & rotasi) dihitung hanya pada nodal

Bagaimana jika beban tidak bekerja pada nodal ??

Jika beban bekerja tidak pada nodal,

maka harus dibuat sebuah beban

tiruan pada nodal yang memiliki

pengaruh yang setara/ekivalen

Beban nodal ekivalen

Beban nodal ekivalen

Beban nodal ekivalen

Beban nodal ekivalen

X

Y

Nodal displacement

X

Y

Sb. Y

Sb. X

Nodal displacement dinyatakan dalam sistem koordinat global

Nodal displacement

X

Y

Nodal displacement dinyatakan dalam sistem koordinat global

Matrix Kekakuan Elemen

global

lokal

Matrix Kekakuan Elemen

Matrix Kekakuan Elemen

Matrix Kekakuan Elemen

[F] = [K] . [u]

Matrix Kekakuan Elemen

Transformasi Koordinat

globallokal Matrix transformasi

Transformasi Koordinat

Transformasi Koordinat

Transformasi Koordinat

Matrix kekakuan global

kemudian

menjadi :

Contoh :

Contoh :

Contoh :

Matrix kekakuan global , menjadi :

Contoh :

Contoh :

Contoh :

Contoh :

3 t

1

2

3

12

3

3

2

Keterangan :

Nomor nodal

Nomor elemen

200

200 cm

200 cm

282,84 cm

90˚ 45˚

45˚

Contoh :

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

• Elemen 1

i = node 1

J = node 2

Contoh :

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

• Elemen 2

i = node 2

J = node 3

Contoh :

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

• Elemen 3

i = node 1

J = node 3

• Setiap isi matriks kekakuan global elemen diplotkan kedalam matrik kekakuan struktur berdasarkan index-nya

• Keseluruhan matrik kekakuan struktur (tiap elemen) kemudian dijumlahkan

• Orde/ukuran matrik kekakuan struktur = jumlah nodal*jumlah DOF

• Untuk kasus plane truss, jumlah DOF adalah 2 , yaitu :• U displacement horizontal

• V displacement vertikal

• Contoh : • Jumlah nodal =3

• Jumlah DOF = 2

• Orde/ukuran matrik kekakuan struktur = 3*2 = 6

• Maka, matrik kekakuan struktur adalah 6 x 6

(6 baris, 6 kolom)

Menyusun matriks kekakuan struktur

• Kekakuan struktur elemen 1

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

Menyusun matriks kekakuan struktur

Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1

367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0

0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5

[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0

0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0

0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0

0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5

• Kekakuan struktur elemen 2

• Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

Menyusun matriks kekakuan struktur

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1

367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0

0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5

[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0

0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0

0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0

0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5

• Kekakuan struktur elemen 3

u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1

[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1

-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3

Menyusun matriks kekakuan struktur

Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1

0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5 0 0 0 -367.5 v1

[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0 0 0 0 0 u2

0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0 0 0 0 0 v2

0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 0 0 u3

0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 0 0 367.5 v3

• Matrix kekakuan struktur keseluruhan diperoleh dengan menjumlahkan matriks kekakuan elemen

• Kekakuan struktur = [K1] + [K2] + [K3]

• Maka diperoleh :

Menyusun matriks kekakuan struktur

u1 v1 u2 v2 u3 v3

367.5 0 -367.5 0 0 0 u1

0 367.5 0 0 0 -367.5 v1

[ K ] = -367.5 0 551.25 -183.75 -183.75 183.75 u2

0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2

0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3

0 -367.5 183.75 -183.75 -183.75 551.25 v3

F1

G1

F2

G2

F3

G3

• Matriks beban merupakan matriks kolom (hanya ada 1 kolom)

• Matriks beban memiliki jumlah baris sebesar = jumlah nodal*jumlah DOF

• Contoh :• Jumlah nodal = 3

• Jumlah DOF =2

• Jumlah baris = 3*2 =6 baris

• Maka orde matriks beban adalah = 6x1 (6 baris, 1 kolom)• F = beban horizontal

• G = beban vertikal

Beban horizontal node 1

Beban vertikal node 1

Menyusun matriks beban

U1

V1

U2

V2

U3

V3

• Matriks displacement merupakan matriks kolom (hanya ada 1 kolom)

• Memiliki jumlah baris sebesar = jumlah nodal*jumlah DOF

• Contoh :• Jumlah nodal = 3

• Jumlah DOF =2

• Jumlah baris = 3*2 =6 baris

• Maka orde matriks displacement adalah = 6x1 (6 baris, 1 kolom)• U = displacement horizontal

• V = displacement vertikal

displacement horizontal node 1

displacement vertikal node 1

Menyusun matriks displacement

U1

V1

U2

V2

U3

V3

• Matriks displacement

• Matriks beban

Matriks beban dan displacement

F1

G1

F2

G2

F3

G3

F1

G1

0

G2

3

0

U1

V1

U2

V2

U3

V3

Matriks displacement merupakan matriks yang dicari