analisis peubah ganda (multivariate …stat.ipb.ac.id/en/uploads/stk334/stk334_02.pdf · misal a...

ANALISIS PEUBAH GANDA(MULTIVARIATE ANALYSIS)

PENGENALAN MATRIKS

DEPARTEMEN STATISTIKADR. IR. I MADE SUMERTAJAYA, MSI

Definisi Matriks

Susunan angka-angka di dalam kotak yang

dibagi ke dalam baris dan kolom.

Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom,

maka matriks tersebut berdimensi n x p.

contoh :

1055

7012

291

543

Matriks Putaran

Diperoleh dengan cara menukar baris dan

kolomnya, dinotasikan dengan A’.

contoh :

642

531'A

65

43

21

A

Matriks Simetrik

Jika A = A’ maka A adalah matriks simetrik

095

972

521

Matriks Diagonal

Jika matriks n x n yang semua unsur

nondiagonalnya bernilai nol, disebut matriks diagonal.

700

000

005

Matriks Khusus

- matriks identitas

- matriks nol

- matriks segitiga

Kebebasan Linier

Sekumpulan vektor kolom atau baris tak nol dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun

yang bisa dituliskan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya.

1110

49

31

Pangkat Matriks

Banyaknya baris atau kolom pada matriks itu yang bersifat bebas linier.

pada matriks di atas berpangkat r(A)=2

Matriks Singular dan Nonsingular

Matriks A n x n dikatakan singular jika

semua baris atau kolomnya saling bebaslinier.

Kebalikan Matriks

Untuk matriks persegi A, jika berlaku

AB = BA= I, maka B adalah matriks

kebalikan dari A, dinotasikan A-1.

49

31A

23

1

23

923

3

23

4

1A

Normal Vektor Euclidian

Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki

panjang yang didefinisikan sebagai :

aa'

Dan vektor normal dari a =a/√a’a

memiliki norma √22+12+22 =3

2

1

2

a

3

23

13

2

2

1

2

3

1b

Jarak Euclid antar Dua Vektor

Jika dua buah vektor a dan b berukuran n

x 1 maka jarak euclid:

)()'(),( bababad

4

1

6

2

3

5

b

a

3)42()13()65(),( 222 bad

Vektor dan Matriks Ortogonal

Dua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan ortogonal satu sama lain jika a’b=0.

5

9

5

a

1

0

1

b

Sebuah matriks A berukuran n x n adalah

matriks ortogonal jika A’A=AA’=I.

6

20

3

16

1

2

1

3

16

1

2

1

3

1

A

Akar Ciri dan Vektor Ciri

Untuk matriks A berukuran n x nmaka pasangan-pasangan(λ1,x1),…,(λn,xn) dikatakan sebagaipasangan akar ciri dan vektor ciriyang ortonormal jika berlaku:

Ax1= λ1x1

:

:

Axn= λnxn

Atau memenuhi det(Ax – λIx)=0

Penguraian Spektral dari Sebuah Matriks Simetrik

A=PΛP’

dengan A adalah matriks simetrik n x n, P adalah suatu matriks ortogonal dan Λ adalah matriks

diagonal. P=(x1|x2|…|xn) dan Λ=diag(λ1,…, λn)

Determinan Matriks

yaitu perkalian dari seluruh akar ciri dari matriks

persegi n x n A, |A|= λ1x….x λn

Teras Matriks

teras dari matriks A n x n, tr(A) adalah penjumlahan semua akar cirinya.

tr(A)= λ1+ ….+λn , yang sebanding dengan jumlah dari semua unsur diagonal utamanya.

Bentuk Kuadratik

Misal A adalah matrik berukuran n x n dan

x adalah vektor peubah berukuran n x 1 maka:

n

i

n

j

jiij xxaAxx1 1

'

nnnnnnnnn xxaaxxaaxaxa 11,,1212112

22

111 )(...)(...

Bentuk itu adalah bentuk kuadratik dari x.

Contoh:

111

124

321

A

3

2

1

x

x

x

x

323121

2

3

2

2

2

1 2462' xxxxxxxxxAxx

maka

Matriks Definit dan Semidefinit Positif

Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:

-definit positif jika

x’Ax > 0 untuk sembarang vektor x ≠

0

-semidefinit positif jika

x’Ax ≥ 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0

Akar Kuadratik Matrik Semidefinit Positif

A=matrik semidefinit positif, diperoleh matriks ∆ atas U sehingga

A=U’U (penguraian Cholesky)

Akar kuadrat dari matrik simetrik:

A=PΛP’=(PΛ1/2P’)(PΛ1/2P’)=A1/2A1/2

dimana P matrik ortogonal dan Λmatriks diagonal.

Perkalian KroneckerPerkalian Kronecker C denganD dinotasikan

DCYaitu dengan mengalikan setiap unsur matriks C dengan matriks D, dan kemudian membuat matriks gabungannya.contoh:

2311

1140

4301

C

7

3

1

D

142177

6933

2311

77280

33120

1140

282107

12903

4301

DC

MATRIKS DALAM MULTIVARIATE

Untuk banyaknya pengamatan(observasi) sebesar n danbanyaknya peubah sebesar p,matriks datanya dituliskan

'

:

'

'

......

:...::

...

...

2

1

1

22221

11211

nnpn

p

p

x

x

x

xx

xxx

xxx

X

1'1

1

:

1

1

...

:...::

...

...

1

:

21

22221

11211

2

1

Xn

x

xxx

xxx

xxx

n

x

x

x

x

pnpp

n

n

p

pp

pp

pppp

p

s

s

s

D

Xn

IXn

S

sss

sss

S

:00

:...::

0...0

0...0

'111

'1

1

...

:...::

...

22

11

21

)(

21

11211

1...

:...::

...1

...

......::

...

1...00

:...::

0...1

0

0...01

21

112

22

2

11

1

11

1

2211

12

1111

11

22

11

21

)(

pp

p

pppp

pp

pp

p

pp

p

pp

p

pp

pp

rr

rr

ss

s

ss

s

ss

s

ss

s

ss

s

ss

s

R

s

s

s

D

R = D-1/2SD-1/2 atau

S = D1/2RD1/2

Jika vektor a dikalikan terhadap X sehinggamembentuk kombinasi linier dari X, maka

Rataan (a’X) =

Ragam (a’X) = a’Sa

Ragam (a’X dan b’X) = a’Sb

xa'

Partisi Matriks

)2(

)1(

1

1

)1(

:

:

x

x

x

x

x

x

x

p

q

q

px

ppqppqp

pqqqqqq

qpqqqqq

pqq

pxpn

ssss

ssss

ssss

ssss

S

...|...

:...:|:...:

...|...

...|...

:...:|:...:

...|...

1,1

,11,1,11,1

1,1

11,1111

)(

2221

1211

|

|

|

ss

ss

q

q

qp

qp

TERIMAKASIH