analisa-root-locus-menggunakan-matlab.pdf

Nama : Ardian Umam

NIM/Jur/Angk : 35542/Teknik Elektro UGM/2009

Root Locus

A. Landasan Teori

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole

(loop tertutupnya).

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Untuk mengetahui kawasan letak

pole-pole persamaan karakteristik sistem tersebut terhadap kemungkinan kombinasi nilai K, maka

diperlukan sebuah metode yang disebut dengan Root Locus. Root berarti akar dan Locus berarti

tempat kedudukan. Maka Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik

dari sebuah sistem pengendalian proses dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Ini dapat digunakan

untuk menentukan stabilitas sistem tersebut selalu stabil atau ada batas kestabilannya, sehingga

dalam merancang sistem kontrol, si desainer bisa mendapatkan hasil step response sesuai yang

diinginkannya dengan mengubah nilai-nilai K.

Dalam sistem pengendali, dikenal juga sistem kontrol untuk kestabilan sistem, yang disebut

dengan PID. Sistem kontrol PID terdiri dari tiga buah cara pengaturan yaitu kontrol P

(Proportional), D (Derivative) dan (Integral), dengan masing-masing memiliki kelebihan dan

kekurangan. Dalam implementasinya masing-masing cara dapat bekerja sendiri maupun gabungan

diantaranya. Dalam perancangan sistem kontrol PID yang perlu dilakukan adalah mengatur

parameter P, I atau D agar tanggapan sinyal keluaran sistem terhadap masukan tertentu

sebagaimana yang diiginkan. Untuk merancang sistem kontrol PID, kebanyakan dilakukan dengan

metoda coba-coba atau (trial & error). Hal ini disebabkan karena parameter Kp, Ki dan Kd tidak

independent. Untuk mendapatkan aksi kontrol yang baik diperlukan langkah coba-coba dengan

kombinasi antara P, I dan D sampai ditemukan nilai Kp, Ki dan Kd seperti yang diiginkan. Berikut

skema/blok sistem plant dengan sebuah kontroler menggunakan PID.

B. Cara Kerja

Cara kerja percobaan disini adalah meneliti perubahan pole-pole sistem terhadap perubahan

parameter pengendali, dalam percobaan ini parameter pengendali yang akan digununakan yakni

K, ki dan kp. Selanjutnya adalah melakukan ploting step response dari sitem sesuai dengan

kombinasi parameter pengendali yang diberikan. Percobaan yang dilakukan yakni :

1. Melakukan pengalian fungsi alih sistem dengan konstanta tertentu dalam loop terbuka,

kemudian mengamati hasil step response-nya

2. Melakukan pemberian nilai parameter pengendali K pada sistem pengendali tertutup

yang membuat pole-pole persamaan karakteristik berada disebelah kiri sumbu imaginer

kemudian melakukan plot step response-nya dan melakukan analisa.

3. Melakukan pemberian nilai parameter pengendali K pada sistem pengendali tertutup

yang membuat pole-pole persamaan karakteristik berada disebelah kanan sumbu

imaginer kemudian melakukan plot step response-nya dan melakukan analisa.

4. Melakukan percobaan pengaturan parameter pengendali integral (ki) dan proportional

(kp) pada sistem kontrol tertutup (close loop).

Percobaan ini menggunakan software Matlab, untuk percobaan dan alur yang lebih detail

akan diuraikan secara sistematis pada bab analisa pembahasan dengan harapan agar setiap langkah

percobaan beserta hasilnya sekalian dapat diberi analisa penjelasan. Hal ini dimaksudkan agar

alurnya pembahasan pada tulisan ini lebih sistematis dan tidak terpecah-pecah.

C. Analisis dan Pembahasan

Pada perobaan ini dilakukan dengan menggunakan software komputasi yang dinamakan

dengan matlab, karena library yang tersedia sangat support untuk melakukan komputasi dan

simulasi di bidang pengendalian dasar. Berikut adalah langkahnya :

1. Pertama adalah menginisiasikan suatu fungsi alih (TF) sistem ke program matlab. Misalnya

sistem yang akan kita uji sebagai berikut :

input _ output

Gambar 0.1

K

Dari sistem di atas transfer function sistem terbukanya adalah : 1

𝑠+2 𝑠+1 (𝑠+6). Maka dalam

matlab dengan perintah sebagai berikut : G=zpk([],[-2 -1 -6],[1]);

2. Selanjutnya adalah menampilkan plot root locus dari fungsi tersebut dengan blok diagram

seperti Gambar 0.1 di atas, yakni nilai K terletak pada feedback, maka perintah yang

digunakan untuk mencari root locus yakni dengan perintah : rlocus(G). Dalam matlab,

perintah root locus pada help desk matlab yaitu melakukan plotting pole-pole dengan nilai

K=0 hingga K=infinite, dimana nilai K terletak pada feedback blok diagram. Untuk lebih

jelasnya lihat Gambar.0.2. Model Root Locus Matlab. Setelah ditekan tombol enter akan

muncul window baru yaitu kurva root locus sebagai berikut :

in out

Gambar 0.2. Model Root Locus Matlab

Gambar 0.3. Root Locus Sistem

Dari Gambar 0.3 di atas terlihat beberapa garis kurva, yang berwarna hijau, merah dan biru.

Garis tersebut adalah area root locus dari fugsi alih. Garis putus-putus di atas adalah Sumbu

X Axis dan Sumbu Y Imaginer. Seperti landasan teori sebelumnya, kurva root locus di atas

adalah area dari pole-pole fungsi alih dengan berbagai kemungkinan nilai dari K dari K=0

hingga K=tak hingga (infinite).

3. Langkah selanjutnya adalah dengan melakukan plot LTI menggunakan perintah ltiview,

pada tahap ini yang akan diplot adalah step respon-nya. Berikut perintahnya :

ltiview(‘step’,G), setelah ditekan enter akan muncul sebagai berikut :

Gambar 0.4. Step Respons

Sistem

K

Kurva step di atas menunjukkan bahwa sistem mencapai stabil tanpa adanya overshoot.

Perintah ltiview(‘step’,G) berfungsi untuk melakukan plot step respon fungsi G =

1

𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +𝐾 dengan nilai K disini = 0. Sesuai root locus, K=0 memiliki pole yang

berada di kiri sumbu imaginer, sehingga step respon-nya stabil, dan nilai settling time

(waktu stabil) dicapai pada detik ke 4.75.

4. Selanjutnya akan dibandingkan kurva step respon di atas dengan fungsi alih dikalikan

dengan bilangan tertentu dalam sistem terbuka (open loop), misal diambil nilai tersebut

adalah 2. Maka fungsi alih menjadi : 2 𝑥 1

𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +𝐾;𝐾 = 0. Perintah yang digunakan

sebagai berikut : ltiview(‘step’,2*G), berikut hasil plotnya :

input output

-

Gambar 0.5. Blok diagram

Gambar 0.6. Step respons sistem

Dari kurva di atas terlihat bahwa nilai dari settling time berniali tetap, yakni = 4.75. Ini

berarti bahwa pengubahan nilai konstanta pengali untuk fungsi alih dengan model blok

diagram di atas tidak mempengaruhi nilai settling time, alasannya adalah karena persamaan

karakteristiknya tidak berubah sehingga bentuk kurva root locusnya juga tidak berubah.

Akan tetapi terdapat perbedaan pada nilai amplitude, sistem sekarang bernilai sekitar 1.68.

Jika dilihat pada sebelumnya (saat belum dikalikan dengan konstanta=2), nilai amplitude

pada saat stabil adalah sekitar 0.83. Dari hasil ini dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai

konstanta pengali fungsi alih sistem terbuka berbanding lurus dengan nilai amplitude-nya,

dengan hubungan sebagai berikut :

Amplitude baru = Konstanta x Ammplitude baru

5. Selanjutnya adalah melakukan percobaan dengan sistem kendali tertutup (close loop), atau

dikenal juga dengan istilah memberikan feedback pada sitem kendali. Pada percobaan ini

dilakukan dengan berbagai nilai K yang membuat nilai pole-polenya berada disebelah kiri

sumbu imaginer. Dari kurva root locus matlab bisa diambil nilai K yang menyebabkan pole

masih berada di kiri Sb.Imaginer, misalnya nilai K=1, K=30, K=50 dan K=133.

2

Untuk K=1

Perintah di Matlab T=feedback(G,1)

ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.7. Step response K=1

Untuk K=30

Perintah di Matlab T=feedback(G,30)

ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.8. Step response K=30

Untuk K=50

Perintah di Matlab T=feedback(G,50)

ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.9. Step response K=50

Untuk K=133

Perintah di Matlab T=feedback(G,133)

ltiview(‘step’, T)

Gambar 1.0. Step response K=133

Dari hasil beberapa percobaan di atas dengan beberapa nilai K, maka dapat ditarik

kesimpulan bahwa semakin besar nilai K, maka laju kenaikan kurva step respon semakin besar. Hal

ini mengakibatkan semakin besarnya nilai overshoot. Hal ini juga berakibat berubahnya waktu

settling time-nya, akan tetapi perubahan nilai K terhadap nilai settling time disini tidak berbanding

lurus, juga bukan berbanding terbalik. Buktinya, semakin ditambah nilai K ada yang justru turun

nilai settling time-nya dan ada yang justru naik. Kesimpulan selanjutnya adalah, berbagai nilai K

selama membuat pole-pole sistem berada di kiri Sumbu Imaginer, maka sistem akan tidak stabil,

ditunjukkan dengan grafik step response yang akan konvergen (0 < settling time < ~).

6. Percobaan selanjutnya ialah mencoba melakukan plot step response dpada sistem kendali

tertutup (close loop) dengan nilai K yang diberikan dipilih angka tertentu agar pole-pole

berada di kanan Sumbu Y Imaginer. Dari root locus pada Matlab, misal diambil nilai K=260

agar pole dikanan Sumbu Imaginer. Berikut blok diagram dengan K=260..

Gambar 1.1. Blok Diagram

Persamaan tersebut memiliki fungsi alih = 1

𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +260. Pada matlab fungsi alih

dengan feedback K=260 bisa didapatkan dengan perintah, T=feedback(G,260). Untuk

260

melakukan plotting step respon-nya menggunakan perintah, ltiview(‘step’, T). Berikut

kurva step responnya :

Gambar 1.2. Step response sistem

Terlihat bahwa grafik di atas divergen, hal ini karena nilai K=260 membuat pole berada di

kanan sumbu imaginer yang membuat sistem menjadi tidak stabil. Sehingga kesimpulannya

adalah nilai K yang membuat pole-pole sistem berada di sebelah kanan sumbu imaginer,

maka siste tidak stabil dengan ditunjukkan step response-nya divergen (settling time=~).

7. Selanjutnya adalah meneliti apa pengaruh dari Ki dan Kp. Dalam kontrol PID (Proportional

Integral Derivatif), Ki adalah konstanta integral dan Kp adalah konstanta proportional.

Penggunaan Kp dan Ki saja misalnya dalam percobaan ini menggunakan fungsi alih kontrol

= 𝐾𝑝𝑆+𝐾𝑖

𝑆. Maka blok diagram pada percobaan ini menjadi :

Gambar 1.3.

Perintah dalah matlab :

# kp=1;

# ki=1;

# H=tf([kp],[1])+tf([ki],[1 0]);

# T=feedback(H*G,1);

Dari perintah ini telah didapatkan nilai transfer function dari sistem di atas dengan ki=1 dan kp=1.

Selanjutnya adalah melakukan plot step response dari transfer function ini, yakni dengan perintah

ltiview(‘step’,T). Maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

Gambar 1.4. Step Response dengan ki=1, kp=1

Selanjutnya adalah dengan pengubahan nilai dari ki. Misal diambil ki=2, ki=5 dan ki=12. Berikut

hasil plot step response-nya :

Gambar 1.5. Step Response ki=2, kp=1 Gambar 1.6. Step Response ki=5, kp=1 Gambar 1.7. Step Response ki=12, kp=1

Kemudian percobaan diteruskan dengan perubahan pada nilai kp, sedangkan nilai ki=1. Misalnya

variasi nilai yang diambil kp=3, kp=8, kp=20 dan kp=45. Berikut hasil plot step response-nya :

Gambar 1.8. Step Response ki=1, kp=3 Gambar 1.9. Step Response ki=1, kp=8

Gambar2.0. Step Response ki=1, kp=20 Gambar 2.1. Step Response ki=1, kp=45

Dari hasil plot step response di atas, maka dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi nilai ki, maka

kurva step response akan semakin naik dan otomatis akan meningkatkan overshoot. Begitu pula

untuk nilai kp, semakin tinggi nilai kp, maka kurva step response juga akan semakin naik sehingga

overshoot semakin tinggi. Kedua nilai ini akan memiliki bentuk kurva step response yang

konvergen selama nilai ki dan kp membuat pole-pole persamaan karakteristik berada di sebelah kiri

sumbu imaginer. Pada percobaan di atas menunjukkan bentuk kurva step response yang konvergen,

karena kombinasi nilai kp dan ki-nya membuat nilai pole-pole berada di sebelah kiri sumbu

imaginer.