aljabar linier : notasi matriks

Aljabar Linier

Pertemuan 1

Jadwal Kuliah Hari : Rabo jam : 15.30

Sistem Penilaian UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 %

Silabus• Bab I Matriks dan Operasinya• Bab II Determinan Matriks• Bab III Invers Matriks• Bab IV Sistem Persamaan Linear• Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen• Bab VI Matlab (SPL)• Bab VII Vektor• Bab VIII Perkalian Vektor• Bab IX Ruang Vektor• Bab X Proses Gram Schmidt• Bab XI Transformasi Linier Kernel• Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen• Bab XIII MATLAB

Sub Pokok Bahasan 11. Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan– Matriks dan Jenisnya– OperasiMatriks– Operasi Baris Elementer –Sifat OperasiMatriks

Beberapa Aplikasi Matriks– Representasi image (citra)– Chanel/Frequency assignment– Operation Researchdan lain-lain.

Pengertian MatrixBeberapa pengertian tentang matriks :1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang

disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.

3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

Notasi yang digunakan

Atau Atau    

Matriks

Notasi Matriks

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

::::

....

.....

21

22221

11211

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

Baris ke -1

Kolom ke -2

Matrix A berukuran (ordo) m x n

Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan jijij ba

Jenis Matriks

(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol

Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.

(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.

Contoh : Matriks berukuran 2x2

A =

32

41

Jenis Matriks

(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.

Contoh :

(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

Contoh :

Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

300

050

002

100

010

001

Jenis Matriks(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang

semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.

Contoh :   A=

(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A =

400

040

004

400

540

123

(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

  A=

(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh :A = =

496

041

003

110

132

021TA

110

132

021

TAA

(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0

Contoh :

0120

1043

2401

0310A TA

0120

1043

2401

0310

TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT

(AT) T = A k(AT) = (kA)T

(AB)T = BT AT

Operasi Matrix• Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

67

74

14

13

53

61

Operasi Matrix• Pengurangan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

41

52

14

13

53

61

Operasi MatrixPerkalian Matriks

• Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

• Perkalian Matriks dengan Matriks

Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn

Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

kskr

kqkp

sr

qpk

)23()32(

,

xx ut

sr

qp

Bgfe

dbaA

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrep

dubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfe

dbaBA

Hukum Perkalian Matriks :

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Operasi Baris Elementer (OBE)Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.

Contoh : OBE 1

OBE2

420

123

321

420

321

123

21 bbA

3112

7120

1011

41

3112

7120

4044

1bA

OBE3

5110

7120

1011

3112

7120

101131 bbA

Definisi yang perlu diketahui :

0000

1300

3111

B

– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

OBE Sifat matriks hasil OBE :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss)

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)