aljabar linier
Post on 12-Apr-2017
265 Views
Preview:
TRANSCRIPT
RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)
ORTOGONAL DAN ORTONORMAL, KOMPLEMEN ORTOGONAL,
PROSES ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear
Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh :
Kelompok 10/ Kelas VI A3
Nikmah Wulandari 13144100090
Isti Yuliani 13144100095
Yunika Noviyanti 13144100115
PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI..............................................................................................................................ii
A. Ortogonal dan otonormal....................................................................................................1
1. Ortogonal.........................................................................................................................1
2. Ortonormal......................................................................................................................2
3. Komplemen Ortogonal....................................................................................................3
B. Pengantar Metode Gram-Schmidt......................................................................................5
C. Basis Ortonormal dan Ortogonal........................................................................................6
D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt..............................................................................10
SOAL LATIHAN.....................................................................................................................19
PEMBAHASAN......................................................................................................................22
DAFTAR PUSTAKA..............................................................................................................31
ii
RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)
A. Ortogonal dan otonormal
1. Ortogonal
Sebuah himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam
dinamakan himpunan ortogonal (ortogonal set) jika semua pasangan
vektor-vektor yang beda di dalam himpunan tersebut ortogonal.
Definisi :
Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang Hasil kali dalam di katakan
ortogonal jika
Vektor u dan v yang ortogonal dinyatakan dengan dan
dibaca ortogonal pada , atau ortogonal pada . Menurut definisi
tersebut, vektor nol ortogonal pada setiap vektor di , subhimpunan
dari , dikatakan ortogonal jika setiap dua vektor di
yang berbeda senantiasa ortogonal. Himpunan ortogonal mungkin memuat
vektor nol, khususnya akan dipandang himpunan ortogonal yang hanya
memuat vektor tak nol.
Ortogonal untuk
Contoh :
Diketahui: pada . Apakah
himpunan vektor S = {u1, u2, u3} merupakan himpunan ortogonal?
Penyelesaian :
=
=
=
=
=
1
=
=
= = = 0
Jadi, himpunan vektor adalah ortogonal.
2. Ortonormal
Sebuah himpunan ortogonal yang mana setiap vektornya mempunyai norm
1 dinamakan himpunan ortonormal (ortonormal set)
Definisi :
Subhimpunan dari ruang hasil kali dalam dikatakan
ortonormal jika ortogonal dan tiap vektor pada mempunyai panjang
Ortonormal: untuk
untuk
Contoh :
Diketahui: dan pada .
Apakah himpunan vektor merupakan himpunan ortonormal?
Penyelesaian :
=
=
=
=
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
dan
Jadi, himpunan vektor adalah ortonormal.
3. Komplemen Ortogonal
Definisi :
Misalkan adalah sebuah subruang dari sebuah ruang hasil kali
dalam . Sebuah vektor u pada V dikatakan ortogonal terhadap
jika vektor tersebut ortogonal terhadap setiap vektor pada , dan
himpunan semua vektor di dalam yang ortogonal terhadap
disebut sebagai komplemen ortogonal dari .
Komplemen ortogonal sebuah subruang W dinotasikan dengan
(dibaca “ tegak lurus”).
Teorema:
3
Sifat-Sifat Komplemen Ortogonal
Jika adalah sebuah subruang daru suatu ruang hasil kali dalam
berdimensi terhingga , maka:
a. adalah subruang dari
b. Satu-satunya vektor yang merupakan milik bersama dan
adalah .
c. Komplemen ortogonal dari adalah , yaitu .
Bukti :
a. Pertama-tama perhatikan bahwa untuk setiap vektor
di dalam , sehingga mengandung setidaknya vektor nol. Kita
hendak menunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu, kita hendak menunjukkan
bahwa jumlahan dua vektor di dalam adalah ortogonal dengan
setiap vektor pada dan kelipatan skalar sehingga dari sebuah
vektor di dalam jiga ortogonal dengan setiap vektor pada .
Misalkan u dan adalah vektor-vektor sebalarang dalam ,
adalah sebuah skalar sebarang, dan adalah sebuah vektor
sebarang pada . Maka dari definisi tentang kita akan
memperoleh dan . Dengan menggunakan sifat-
sifat dasar hasil kali dalam kita akan memperoleh
Yang membuktikan bahwa dan ku keduanya berada di
dalam
4
b. Jika v adalah vektor yang menjadi milik bersama dan ,
maka , yang mengimplikasikan bahwa
berdasarkan aksioma 4 untuk hasil kali dalam.
Contoh :
Catatan. Karena dan adalah komplemen ortogonal satu
dengan lainya dengan merujuk pada bagian (c) dari teorema di atas,
kita dapat mengatakan bahwa dan adalah komplemen
ortogonal.
Secara grafik:
Gambar 1 Ortogonal dan komplemen ortogonal
B. Pengantar Metode Gram-Schmidt
1. Pengertian Metode Gram-Schmidt
Jika kita mempunyai sebuah basis dari ruang vektor , tetapi basis tersebut
bukan basis ortogonal. Ada suatu algoritma atau prosedur yang dapat kita gunakan
untuk mengubah sebarang basis tersebut menjadi basis ortogonal dan ortonormal.
Algoritma ini disebut Algoritma Gram-Scmidt.
5
2. Pengertian ortogonalisasi dan ortonormalisasi
Proses mengubah sebarang basis menjadi basis ortogonal disebut
ortogonalisasi. Sedangkan proses mengubah sebarang basis menjadi basis
ortonormal disebut ortonormalisasi.
C. Basis Ortonormal dan Ortogonal
Definisi
Misalkan ruang vektor dilengkapi hasil kali dalam. Basis
disebut basis ortogonal bagi jika semua komponennya saling ortogonal,
yaitu memenuhi syarat :
Jika basis tersebut memenuhi:
Untuk setiap maka basis tersebut disebut basis ortonormal
Contoh:
Diketahui: diberikan himpunan pada dengan
Apakah himpunan tersebut ortogonal dan normal?
6
Penyelesaian:
Adalah vektor-vektor di yang dilengkapi hasil kali dalam Euclid
diperoleh
Jadi, himpunan tersebut merupakan basis ortogonal karena memenugi syarat.
Selanjutnya untuk menentukan normalnya maka dihitung norm dari setiap
vektor di sebagai berikut :
Karena setiap vektor di V adalah ortogonal dan bernorm 1 maka V adalah
ortonormal. Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang kali dalam
maka vektor mempunyau norm 1 karena
Definisi
Proses perkalian suatu vektor tak nol v dengan kebalikan panjangnya
(norm) untuk memperoleh suatu vektor dengan norm 1 disebut dengan
penormalan atau normalisasi (normalizing) v
7
Teorema
Jika adalah ortonormal, maka
Untuk dan
Akibatnya setiap vektor dihimpunan ortonormal adalah bebas linear.
Suatu basis dari ruang hasil kali dalam V yang ortonormal disebut basis
ortonormal atau basis satuan dari V. jika basisnya hanya ortogonal maka
disebut basis ortogonal. Teorema berikut memperlihatkan bahwa
sederhana sekali untuk menyatakan suatu vektor dalam suku – suku dari
suatu absis ortonormal.
Teorema
Jika adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil
kali dalam V dan u adalah sebarang vektor di V, maka
dan
8
Contoh :
Diberikan vektor – vektor
Mudah diperiksa bahwa himpunan adalah basis ortonormal
untuk dengan hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya diambil suatu vektor
dan akan dicari kombinasi linearnya dari vektor – vektor di S.
Berdasarkan teorema di atas diperoleh :
Teorema
Diberikan himpunan ortonormal diruang hasil kali dalam
V. jika W adalah ruang yang direntang oleh maka setiap
vektor bisa dinyatakan dalam bentuk :
Dengan dan ortogonal terhadap W yang dirumuskan :
Berikut ilustrasi dari Torema di atas ruang
9
Berdasarkan gambar diatas, vektor disebut proyeksi ortogonal dari u
dan disingkat , sedangkan vektor disebut komponen dari u
yang ortogonal terhadap W.
Contoh :
Diberikan ruang vektor dengan hasil kali dalam Euclid dan ruang
vektor W yang direntang oleh vektor–vektor ortonormal.
Proyeksi ortogonal dari vektor pada W adalah:
Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap W adalah
Teorema
Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga
mempunyai suatu basis ortonormal.
D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt
Proses ortogonalisasi Gram–Schmidt adalah proses mengkonversikan
suatu basis sebarang di V (V adalau suatu ruang hasil kali dalam) menjadi
basis ortogonal. Diambil ruang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi
10
n, dan suatu himpunan sebagai basis untuk V . Langkah–
langkah berikut, dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram–Schmidt,
akan menghasilkan suatu basis
ortogonal untuk V .
Langkah 1 : Mengambil
Langkah 2 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dengan
cara menghitung komponen dari yang ortogonal
terhadap ruang yang direntang oleh , yaitu
Langkah 3 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dan
dengan cara menghitung komponen dari yang ortogonal
terhadap ruang yang direntang oleh dan , yaitu
Langkah 4 : Membentuk vektor yang ortogonal terhadap , dan
dengan cara menghitung komponen dari yang
ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh ,
dan
Apabila kita melakukan hal ini, setelah langkah ke-n memperoleh
himpunan vektor – vektor ortogonal yang terdiri dari n
vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis ortogonal untuk V.
11
penormalan vektor – vektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis
ortonormal.
Rumus Gram–Schmidt dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut :
Contoh :
Diberikan dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan algoritma
Gram – Schmidt untuk mengubah vektor – vektor basis ,
, menjadi sebuah basis ortogonal
kemudian normalisasikan vektor basis ortogonal untuk memperoleh
sebuah basis ortonormal
Penyelesaian :
Cek ortogonal dari setiap vektor :
Himpunan vektor tersebut tidak ortogonal sehingga merupakan basis
sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt :
Langkah 1 :
Langkah 2 :
12
=
=
=
Langkah 3:
=
Jadi,
13
Cek ortogonnalitasnya :
= =0
= (1,-1,1) = 0
= = 0
Terbukti membentuk sebuah
basis orthogonal untuk
Norma vektor-vektor ini adalah :
Jadi , basis ortonormal untuk adalah
14
Contoh : diberikan dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan
algoritma Gram- Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis
menjadi sebuah basis orthogonal
kemudian normalisasikan vektor basis orthogonal untuk
memperoleh sebuah basis ortonormal
Penyelesaian :
Cek orthogonal dari setiap vektor:
Himpunan vektor tersebut tidak orthogonal sehingga merupakan basis
sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt:
15
Langkah 1:
Langkah 2 :
Langkah 3 :
Jadi,
16
Cek ortogonalittasnya:
Terbukti membentuk sebuah
basis ortogonal untuk R3.
Norma vektor-vektor ini adalah :
Jadi , basis ortonormal untuk R3 adalah {q1 , q2 , q3 }
17
18
SOAL LATIHAN
1. Tentukan apakah himpunan S= di bawah ini merupakan himpunan
ortogonal dalam R3
S =
2. Tentukan apakah himpunan A= di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
A =
3. Tunjukkan bahwa himpunan S= adalah himpunan yang oronormal
dalam R3 dengan = dan =
4. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
A=
5. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
B=
19
6. Diberikan adalah bidang di dengan persamaan dan
, tentukan proyeksi ortogonal pada dan komponen yang
ortogonal kepada .
7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) dari bila:
8. Diberikan beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses
ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis
dan menjadi basis yang ortonormal.
9. Tentukan basis ortogonal untuk yang memuat vektor .
10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis
ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang dari yang
direntang oleh .
20
21
PEMBAHASAN
1. Tentukan apakah himpunan S= di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
S =
Jawab :
Karena ada tiga vektor dalam himpunan A, maka terdapat tiga pasang
yang berbeda dari himpunan tersebut. Kita dapat mengeceknya sebagai
berikut.
22
Jadi,S adalah himpunan ortogonal.
2. Tentukan apakah himpunan A= di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
A =
Jawab:
23
Jadi, A bukan termasuk himpunan oerogonal.
3. Tunjukkan bahwa himpunan S= adalah himpunan yang oronormal
dalam R3 dengan = dan =
Jawab :
Jadi, terbukti S merupakan himpunan ortonormal.
4. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
A=
Jawab :
Jelas bahwa
5. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
B=
Jawab:24
6. Diberikan adalah bidang di dengan persamaan dan
, tentukan proyeksi ortogonal pada dan komponen yang
ortogonal kepada .
Jawab:
Basis ortogonal untuk adalah dan .
Maka :
Sehingga :
25
Dapat anda buktikan bahwa ( ) di , serta dapat pula anda
tunjukkan bahwa tegak lurus .
7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) dari bila:
Jawab :
Kita mempunyai persamaan :
sehingga
atau
sehingga
dan adalah basis untuk , tetapi mereka tidak
ortogonal karena
, sehingga kita akan mencari vektor
tak nol yang lain, yang ortogonal dengan salah satu vektor dan .26
Andai adalah sebuah vektor di yang ortogonal dengan maka
karena di dan karena sehingga
Sehingga kita akan menyelesaikan SPL :
dan dan didapat penyelesaikannya adalah
dan dengan adalah sembarang bilangan real. Dengan
demikian, atau lebih khususnya diambil .dan dapat
dilihat bahwa adalah himpunan ortogonal di . Sehingga
merupakan basis yang ortogonal untuk dan dim .
8. Diberikan beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan
proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis
dan menjadi basis yang ortonormal.
Jawab :
27
Membentuk basis ortonormal untuk
9. Tentukan basis ortogonal untuk yang memuat vektor .
Jawab :
Dapat diambil dua vektor sembarang yang lain. Misal dan , sehingga
adalah basis untuk (dapat anda buktikan sendri).
Sekarang digunakan proses Gramm-Schimidt untuk mendapatkan basis baru
yang ortogonal sebagai berikut.
Langkah 1 :
Langkah 2:
28
Langkah 3:
Jadi, adalah basis ortogonal untuk yang memuat
10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis
ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang dari
yang direntang oleh .
Jawab :
1. Pertama-tama tetapkan
2. Hitunglah
Terapkan
3. Hitungllah
29
Hilangkan pecahan-pecahan yang ada sehingga diperoleh
Jadi membentuk basis ortogonal untuk . Normalisasikan
vektor-vektor ini sehingga diperoleh basis ortonormal dari
. Kita memperoleh , maka
30
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear. Yogyakarta: Universitas PGRI
Yogyakarta.
Andrilli, Stephen and David Hecke. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth
Edition.Canada: Elsevier.
Anton, Howard and Chris Rores. 2004. Elementary Linear Algebra Applications
version. Jakarta: Erlangga.
Santosa Gunawan R. 2009. Aljabar Linear Dasar. Yogyakarta: Andi Offset.
31
top related