81 bukti bukti_limit_ apiq

1

Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif

Pembuktian Limit Terpenting

a b

c

a < b < c

a b

c

a < b < c

r = 1

r = 1 jika c = x maka

a < b < c

x cos x < sin x < x

cos x < (sin x)/x < 1

1< (sin x)/x < 1

Jadi, (Sin x)/x = 1

Atau, Sin x = x

4

Keterangan

a b

c

a < b < c

r = 1

r = 1

Jika c = x maka

Besar sudut = x/r = x/1 = x

Sinx = b/r = b

Cosx = d/r = dd = cosx

Besar sudut =

x = a/cosx

a b

c

a < b < c

r = 1

c = x

b = sinx

d = cosx

d = cosx a = x(cosx)

a b

c a < b < c

r = 1 x(cosx) < sinx < x

d = cosx bagi dengan x,

cosx < (sinx)/x < 1

karena x 0

cos(0) < (sinx)/x < 1

a b

c r = 1

d = cosx

karena x 0

cos(0) < (sinx)/x < 1

1 < (sinx)/x < 1

teori “apit”

(sinx)/x = 1

sinx = x

9

Latihan

Hitunglah

Limit x 0

Sin 3x

7x= … = 3x

7x= 3

7

2x

Sin 5x= … = 2x

5x= 2

5

Hitunglah

Limit x 0

Sin 3x

Sin 8x= … = 3x

8x= 3

8

Sin 6x

Sin 4x= … = 6x

4x= 3

2

Hitunglah

Limit x 0

2x + Sin 3x

3x + Sin 8x= … = 5x

11x= 5

11

3x + Sin 6x

2x + Sin 4x= … = 9x

6x= 3

2

Hitunglah

Limit x 0

2x + tan 5x

3x + Sin 8x= … = 7x

11x= 7

11

3x + tan 2x

2x + tan 5x= … = 5x

7x= 5

7

Buktikan

Limit x 0

tan x

x= 1

tan x = x

tan xx

= (sin x)/(cosx)

x

= (sin x)/(1)

x

= sin x

x= 1

tan x

x= 1

15

Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif

Hitunglah

Limit x 0

tan 2x + tan 5x

Sin 8x - tan 4x= … = 7x

4x= 7

4

Sin 3x - tan 2x

Sin 2x + tan 5x= … = 1x

7x= 1

7

Hitunglah

Limit x 0

tan 2x . tan 5x

Sin 8x . tan 4x= … = 10x2

32x2= 10

32

Sin 3x . tan 2x

Sin 2x . tan 5x= … = 6x2

10x2= 6

10

Untuk

Limit x 0

Sin x = x = tan x

Cos x = Cos 0 = 1

19

Alternatif Bukti

a

b

c

Luas sektor a < Luas segitiga b < Luas sektor c

r = 1

r = 1

a

b

c

Luas a < Luas b < Luas cr = 1

r = 1 sudut = x

½ (cos x)2 x < ½ cosx . sin x < ½ .1. x

(cos x)2x < cosx . sin x < x

cos x < (sin x)/x < 1/cosx

a

b

c

r = 1

r = 1 sudut = x

cos x < (sin x)/x < 1/cosx

cos 0 < (sin x)/x < 1/cos 0

1 < (sin x)/x < 1

(sin x)/x = 1

sin x = x

23

Test Limit

Pengujian limit secara formal memanfaatkan delta epsilon.

Tetapi anak-anak lebih suka dan mudah paham menggunakan pengujian dengan kalkulator atau komputer.

Uji dengan kalkulator,

Limit x 0

Sin 3x

Sin 8x= … = 3x

8x= 3

8

Mis x = 0,001

Sin (0,003)

Sin (0,008)= 5,236

13,96= 0,3750

= 0,3750

Uji dengan kalkulator,

Limit x 0

2x + Sin 3x

2x + Sin 8x= … = 5x

10x= 5

10

Mis x = 0,001 (rad)

0,002+Sin (0,003)

0,002+Sin (0,008)= 0,00499999

0,00999991= 0,500

= 0,5

Uji dengan kalkulator,

Limit x 0

2x + tan 4x

2x + Sin 8x= … = 6x

10x= 6

10

Mis x = 0,001 (rad)

0,002+tan (0,004)

0,002+Sin (0,008)= 0,00600000

0,00999991= 0,600

= 0,6

28

Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif

Terimakasih

quantumyes@yahoo.comapiqquantum.wordpress.com

(022)2008621