3.1. diferensial panjang, luas dan volume a ... -...

3.1. DIFERENSIAL PANJANG, LUAS DAN VOLUME A. KOORDINAT CARTESIAN

(1) Diferensial perpindahan:

(2) Diferensial luas normal:

(3) Diferensial volume:

B. KOORDINAT SILINDER

(1) Diferensial perpindahan:

(2) Diferensial luas normal:

(3) Diferensial volume:

C. KOORDINAT BOLA

(1) Diferensial perpindahan:

(2) Diferensial luas normal:

(3) Diferensial volume:

Contoh 3.1

Perhatikan gambar di samping. Hitung: (a) Jarak BC (b) Jarak CD (c) Luas permukaan ABCD (d) Luas permukaan ABO (e) Luas permukaan AOFD (f) Volume ABDCFO

Meskipun titik A, B, C dan D diberikan dalam koordinat Cartesian, sangat jelas bahwa benda memiliki simetri silinder. Oleh karenanya soal ini akan diselesaikan dalam koordinat silinder.

3.2. INTEGRAL GARIS, PERMUKAAN DAN VOLUME

Integral garis adalah integral komponen tangensial A sepanjang kurva L.

Gambar 3.8 Lintasan integrasi medan vektor A

Diberikan medan vektor A dan kurva L, kita definisikan integral:

sebagai integral garis dari A di sekeliling L (lihat Gambar 3.8).

Jika lintasan integrasi adalah kurva tertutup seperti abca pada Gambar 3.8, persamaan 3.11 menjadi integral kontur tertutup

(3.11)

(3.12)

yang dikenal sebagai sirkulasi dari A di sekeliling L.

Diberikan medan vektor A, kontinu dalam daerah yang mengandung permukaan halus S, kita mendefinisikan integral permukaan atau fluks dari A melalui S (lihat Gambar 3.9) sebagai

Gambar 3.9 Fluks dari medan vektor A melalui permukaan S.

atau sederhananya, (3.13)

Untuk permukaan tertutup, persamaan (3.13) menjadi

yang direferensikan sebagai fluks keluar total A dari S. Perhatikan bahwa lintasan tertutup mendefinisikan permukaan terbuka; sedangkan permukaan tertutup mendefinisikan volume (Gambar 3.11 dan 3.16).

Kita definisikan integral sebagai integral volume dari suatu skalar v di sekeliling volume v.

3.3. OPERATOR DEL

Operator del, ditulis , adalah operator diferensial vektor. Dalam koordinat Cartesian,

Operator diferensial vektor ini, dikenal juga sebagai operator gradien, bukanlah suatu vektor, tetapi bila dioperasikan pada fungsi skalar misalnya, terjadilah sebuah vektor. Operator ini bermanfaat dalam mendefinisikan

1. Gradien dari skalar V, ditulis sebagai V 2. Divergensi dari vektor A, ditulis sebagai . A 3. Curl dari vektor A, ditulis sebagai x A 4. Laplacian dari skalar V, ditulis sebagai 2V

Dalam koordinat silinder,

Dalam koordinat bola,

3.4. GRADIEN DARI SKALAR

Gradien dari medan skalar V adalah vektor yang merepresentasikan magnitude dan arah laju ruang maksimum kenaikan V.

Dalam koordinat Cartesian,

Dalam koordinat silinder,

Dalam koordinat bola,

Untuk operasi gradien, berlaku rumus-rumus sebagai berikut:

dengan U, V skalar dan n bilangan bulat.

3.5. DIVERGENSI DARI VEKTOR DAN TEOREMA DIVERGENSI

Divergensi dari A pada titik yang diberikan P adalah fluks per satuan volume yang keluar seiring dengan penyusutan volume di sekitar P.

Oleh karenanya,

Gambar Ilustrasi divergensi dari medan vektor di titik P; (a) divergensi positif, (b) divergensi negatif, (c) divergensi nol

Dalam koordinat Cartesian,

Dalam koordinat silinder,

Dalam koordinat bola,

Sifat-sifat divergensi medan vektor:

Dari definisi divergensi A, selanjutnya diperoleh

Persamaan ini dikenal sebagai teorema divergensi, atau disebut juga teorema Gauss-Ostrogradsky.

3.6. CURL DARI VEKTOR DAN TEOREMA STOKES

Dalam koordinat Cartesian,

Dalam koordinat silinder,

Dalam koordinat bola,

Sifat-sifat curl medan vektor:

Gambar Ilustrasi curl dari medan vektor di titik P; (a) curl di P berarah keluar bidang gambar, (b) curl di P nol

Dari definisi curl A, selanjutnya diperoleh

Persamaan ini dikenal sebagai teorema Stokes.

Gambar Ilustrasi Teorema Stokes

3.7. LAPLACIAN DARI SKALAR

3.8. KLASIFIKASI MEDAN VEKTOR