27. modul matematika - integral bagian

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

INTEGRAL BAGIAN

Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan. Maka dengan

teorema rantai dapat diperoleh turunan dari hasilkali kedua fungsi, yaitu :

[ ] ( ) ( )ddx

f x g x f xd g x

dxg x

d f x

dx( ) ( ) ( )

( )( )

( )= +

Bila dilakukan integrasi pada kedua ruas maka didapatkan :

[ ] ( ) ( )ddx

f x g x f xd g x

dxdx g x

d f x

dxdx( ) ( ) ( )

( )( )

( )= +∫∫ ∫

( ) ( )f x g x C f x

d g x

dxdx g x

d f x

dxdx( ) ( ) ( )

( )( )

( )+ = +∫ ∫

atau f x g x dx f x g x g x f x dx C( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )= − +∫∫ .

Karena integral pada kedua ruas juga akan menghasilkan konstanta C, maka dapat dituliskan sebagai berikut :

f x g x dx f x g x g x f x dx( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )= − ∫∫ Misal u = f(x) du = f’(x) dx v = g(x) dv = g’(x) dx Substitusi ke dalam rumus integral di atas didapatkan rumus integral bagian untuk integral tak tentu adalah :

u dv uv v du= − ∫∫

Bila f(x) dan g(x) integrabel pada [ a,b ] maka rumus integral bagian untuk integral tentu dapat dituliskan :

u dv uvb

av du

a

b

a

b∫ ∫= −

Contoh Hitung integral berikut

a. ( )x e dx x d e xe e dx xe e Cx x x x x x= = − = − +∫∫∫

b. ( ) [ ]ln ln ln lnx dx x x x d x x x xe

e ee

= − = − =∫ ∫1

1 11

1

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

c. ( ) ( )e x dx e d x e x e x dx e x e d xx x x x x xsin cos cos cos cos sin= − = − + = − +∫∫ ∫∫= − + − ∫e x e x e x dxx x xcos sin sin

Bila suku paling kanan dipindah ke ruas kiri maka didapatkan :

( )e x e x xx x∫ = − +sin cos sin12

+ C.

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 13 ) Gunakan metode integral bagian untuk menyelesaikan integral berikut:

1. x e dxx−∫

2. x e dxx3∫

3. ( )ln 2 3x dx+∫

4. x x dxsec2∫

5. x x dx2 cos∫

6. sin−∫ 1 x dx

7. tan−∫ 1 x dx

8. x x dxtan−∫ 1

9. e x dxx−∫ cos

10. ( )ln x dx2

0

2

1+∫

11. ln x

xdx

e

e

2∫

12. x x dxsin/

40

2π

∫

13. x x dxcsc2

6

2

π

π

∫